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2017 年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面四个数中比﹣5小的数是（ ）
A．1B．0C．﹣4 D．﹣6
2．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，
也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环
境质量有很大影响．2.3μm用科学记数法可表示为（ ）
A．23×10﹣5m B．2.3×10﹣5m C．2.3×10﹣6m D．0.23×10﹣7m
3．（3分）为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽
取老人的方法最合适的是（ ）
A．随机抽取100位女性老人
B．随机抽取100位男性老人
C．随机抽取公园内100位老人
D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人
4．（3分）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角
等于（ ）
A．19° B．38° C．42° D．52°
5．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方
形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）
第1页（共32页）A． B． C． D．
6．（3分）下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴
对称图形的有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
跳远成绩 160 170 180 190 200 210
人数 3 9 6 9 15 3
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9，9B．15，9C．190，200 D．185，200
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x2y+5xy=8x3y2 B．（x+y）2=x2+y2
C．（﹣2x）2÷x=4x D． + =1
9．（3分）端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商
品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列
方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）不等式组 的非负整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．（3分）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B
的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，
则点D的坐标为（ ）
第2页（共32页）A．（ ， ）B．（2， ）C．（ ，）D．（ ，3﹣ ）
12．（3分）如图，过点A（2，0）作直线l：y= x的垂线，垂足为点A ，过点A 作
0 1 1
A A ⊥x轴，垂足为点A ，过点A 作A A ⊥l，垂足为点A ，…，这样依次下去，得到
1 2 2 2 2 3 3
一组线段：A A ，A A ，A A ，…，则线段A A 的长为（ ）
0 1 1 2 2 3 2016 2017
A．（ ）2015 B．（ ）2016 C．（ ）2017 D．（ ）2018
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）分解因式：3x2﹣18x+27= ．
14．（5分）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
15．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 ，弦CD的长
为3cm，则图中阴影部分面积是 ．．
16．（5分）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC
交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF= ，则CE= ．
第3页（共32页）三、解答题（共5小题，满分44分）
17．（7分）计算：﹣12017﹣丨1﹣ 丨+ ×（ ）﹣2+（2017﹣π）0．
18．（9分）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
19．（9分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（t 单位：分），将获
得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜
t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单
车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
20．（9分）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔
第4页（共32页）尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角
为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）
21．（10分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=
图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＞0的解集．
四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分）
22．（6分）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
23．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M
为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为 ，则四边形AMCD的面积是 ．
24．（6分）设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则 = ．
25．（6分）如图，已知直线l ∥l ，l 、l 之间的距离为8，点P到直线l 的距离为6，
1 2 1 2 1
第5页（共32页）点Q到直线l 的距离为4，PQ=4 ，在直线l 上有一动点A，直线l 上有一动点B，
2 1 2
满足AB⊥l ，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
2
五、解答题（共3小题，满分36分）
26．（12分）观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a = = ；
6
（2）用含n的代数式表示第n个等式：a = = ；
n
（3）a +a +a +a +a +a = （得出最简结果）；
1 2 3 4 5 6
（4）计算：a +a +…+a ．
1 2 n
27．（12分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连
接AC，点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说
明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C
第6页（共32页）（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时
点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个
点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，
试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，
求出t值；若不存在，请说明理由．
第7页（共32页）2017 年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2017•内江）下面四个数中比﹣5小的数是（ ）
A．1B．0C．﹣4 D．﹣6
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣5＜1，
﹣5＜0，
﹣5＜﹣4，
﹣5＞﹣6，
∴四个数中比﹣5小的数是﹣6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝
对值大的其值反而小．
2．（3 分）（2017•内江）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5μm
（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有
害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm用科学记数法可表示为（
）
A．23×10﹣5m B．2.3×10﹣5m C．2.3×10﹣6m D．0.23×10﹣7m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
第8页（共32页）【解答】解：2.3μm=2.3×0.000001m=2.3×10﹣6m，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2017•内江）为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行
调查，下列抽取老人的方法最合适的是（ ）
A．随机抽取100位女性老人
B．随机抽取100位男性老人
C．随机抽取公园内100位老人
D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人
【分析】利用抽取的样本得当，能很好地反映总体的情况可对各选项进行判断．
【解答】解：为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城
市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人，这种抽取老人的方法最合适．
故选D．
【点评】本题考查了抽样调查的可靠性：抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离
总体情况．抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面
调查的情况（如具有破坏性的调查）．
4．（3分）（2017•内江）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，
则∠α的余角等于（ ）
A．19° B．38° C．42° D．52°
【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线性质得出∠DCA=∠FAC=38°，∠α=∠DCB，
第9页（共32页）求出即可．
【解答】解：过C作CD∥直线m，
∵m∥n，
∴CD∥m∥n，
∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠α=90°﹣52°=38°，
则∠a的余角是52°．
故选D．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，作出辅助
线是关键．
5．（3分）（2017•内江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图
所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主
视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，3；据
此可画出图形．
【解答】解：如图所示：
第10页（共32页）故选A．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，
可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小
正方形数字中的最大数字．
6．（3分）（2017•内江）下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些
图形中只是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，
圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，
等腰三角形不是中心对称图形，只是轴对称图形，
所以，只是轴对称图形的有1个．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
7．（3分）（2017•内江）某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测
试，成绩如表：
跳远成绩 160 170 180 190 200 210
人数 3 9 6 9 15 3
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9，9B．15，9C．190，200 D．185，200
【分析】根据中位数和众数的定义即可解决问题．
第11页（共32页）【解答】解：45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第 23个数据
190，众数是出现次数最多的数据200；
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数；熟记众数和中位数的定义是解决问题的关键．
8．（3分）（2017•内江）下列计算正确的是（ ）
A．3x2y+5xy=8x3y2 B．（x+y）2=x2+y2
C．（﹣2x）2÷x=4x D． + =1
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）3x2y与5xy不是同类项，故A不正确；
（B）原式=x2+2xy+y2，故B不正确；
（C）原式=4x2÷x=4x，故C正确；
（D）原式= ﹣ =﹣1，故D不正确；
故选（C）
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式运算的法则，本题属于
基础题型．
9．（3分）（2017•内江）端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，
其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y
件，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品分别得出等
式组成方程组即可．
【解答】解：设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系
是解题关键．
第12页（共32页）10．（3分）（2017•内江）不等式组 的非负整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣ ，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣ ≤x＜5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出
不等式组的解集是解此题的关键．
11．（3分）（2017•内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、
y轴上，点B的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C
落在点D处，则点D的坐标为（ ）
A．（ ， ）B．（2， ）C．（ ，）D．（ ，3﹣ ）
【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D
点坐标．
【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3 ），
∴AC=OB=3 ，∠CAB=30°，
∴BC=AC•tan30°=3 × =3，
∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，
∴∠BAD=30°，AD=3 ，
过点D作DM⊥x轴于点M，
∵∠CAB=∠BAD=30°，
第13页（共32页）∴∠DAM=30°，
∴DM= AD= ，
∴AM=3 ×cos30°= ，
∴MO= ﹣3= ，
∴点D的坐标为（ ， ）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得
出∠DAM=30°是解题关键．
12．（3分）（2017•内江）如图，过点A（2，0）作直线l：y= x的垂线，垂足为点A ，
0 1
过点A 作A A ⊥x轴，垂足为点A ，过点A 作A A ⊥l，垂足为点A ，…，这样依次
1 1 2 2 2 2 3 3
下去，得到一组线段：A A ，A A ，A A ，…，则线段A A 的长为（ ）
0 1 1 2 2 3 2016 2017
A．（ ）2015 B．（ ）2016 C．（ ）2017 D．（ ）2018
【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA =（ ）nOA=2（
n
）n，依此规律即可解决问题．
【解答】解：由y= x，得
l的倾斜角为30°，
点A坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴OA = OA= ，OA = OA ═ ，OA = OA ═ ，OA = OA ═ ，…，
1 2 1 3 2 4 3
第14页（共32页）∴OA =（ ）nOA=2（ ）n．
n
∴OA =2×（ ）2016，
2016
A A 的长 ×2×（ ）2016=（ ）2016，
2016 2107
故选：B．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直
角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA =
n
（ ）nOA=2（ ）n是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2017•内江）分解因式：3x2﹣18x+27= 3 （ x﹣3 ） 2 ．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：3x2﹣18x+27，
=3（x2﹣6x+9），
=3（x﹣3）2．
故答案为：3（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公
式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．（5分）（2017•内江）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 x ≥ 2 且 x ≠ 3
．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于
0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3．
故答案为x≥2且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面
考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，
考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
第15页（共32页）15．（5分）（2017•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为
，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是 π﹣ ．．
【分析】根据垂径定理得到CE= ，根据勾股定理得到OE= ，利用扇形和三角形的
面积公式，求得阴影部分面积．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE= ，
∵OC= ，
∴OE= ，
∴∠OCE=30°，
∴∠COD=120°，
∴图中阴影部分面积= ﹣ ×3× =π﹣ ，
故答案为：π﹣ ．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质和扇形面积公式，
数形结合是解答此题的关键．
16．（5分）（2017•内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接
DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF= ，则
CE= ．
第16页（共32页）【分析】如图，连接EF．首先求出DM、DF的长，证明△DEF∽△DPC，可得 = ，求出
DE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，
∴AM=BM=1，
在Rt△ADM中，DM= = = ，
∵AM∥CD，
∴ = = ，
∴DP= ，∵PF= ，
∴DF=DP=PF= ，
∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP，
∴△DEF∽△DPC，
∴ = ，
∴ = ，
∴DE= ，
∴CE=CD﹣DE=2﹣ = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分
线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考
第17页（共32页）常考题型．
三、解答题（共5小题，满分44分）
17．（7分）（2017•内江）计算：﹣12017﹣丨1﹣ 丨+ ×（ ）﹣2+（2017﹣π）0．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化
简求出答案．
【解答】解：原式=﹣1﹣|1﹣ × |+2×4+1
=﹣1﹣0+8+1
=8．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质、负指数幂的性
质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
18．（9分）（2017•内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余
的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
第18页（共32页）【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠2=∠3是
解题关键．
19．（9分）（2017•内江）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（t 单
位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，
C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单
车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从
而补全统计图；
（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数
减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）；
（2）A组所占圆心角的度数是：360°× =108°；
C组的人数有：50﹣15﹣19﹣4=12（人），
第19页（共32页）补全条形图如图所示：
（3）画树状图，共有12个可能的结果，
恰好选中甲的结果有6个，
∴P（恰好选中甲）= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状
图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图
能清楚地表示出每个项目的数据．
20．（9分）（2017•内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的
点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔
尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）
【分析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，
DE=2xm，DC=3xm，BC= xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的
第20页（共32页）值，然后即可求出塔DE的高度．
【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，
∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．
又∵∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°．
∴∠DBE=∠BDE．
∴BE=DE．
设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，
BC= = = x，
由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC．
∴ x+60=3x，
解得：x=30+10 ，
2x=60+20 ．
答：塔高约为（60+20 ）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构
造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
21．（10分）（2017•内江）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反
比例函数y= 图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＞0的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B
第21页（共32页）的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函
数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S =S +S 进行
△AOB △AOC △BOC
计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图
象上方，据此可得不等式的解集．
【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y= ，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为y=﹣ ，
把B（n，﹣4）代入y=﹣ ，得﹣4n=﹣8，
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得
，
解得 ，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S =S +S = ×2×2+ ×2×4=6；
△AOB △AOC △BOC
（3）由图可得，不等式kx+b﹣ ＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数
的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次
函数的解析式．
四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分）
第22页（共32页）22．（6分）（2017•内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ﹣
2020 ．
【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，
然后代入数据计算求解即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式
是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
23．（6分）（2017•内江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，
且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为 ，则四边形AMCD的面
积是 1 ．
【分析】延长BA、CD，交点为E．依据题意可知MB=ME．然后证明△EAD∽△EBC．
依据相似三角形的性质可求得△EAD和△EBC的面积，最后依据S = S
四边形AMCD △EBC
﹣S 求解即可．
△EAD
【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．
第23页（共32页）∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，
∴MB=ME．
又∵AM= AB，
∴AE= AB．
∴AE= BE．
∵AD∥BC，
∴△EAD∽△EBC．
∴ = ．
∴S = S = ．
四边形ADBC △EBC
∴S = ．
△EBC
∴S = × = ．
△EAD
∴S = S ﹣S = ﹣ =1．
四边形AMCD △EBC △EAD
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法
是解题的关键．
24．（6分）（2017•内江）设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则 =
47 ．
【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据
完全平方公式得到α4+β4=47，于是得到结论．
【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，
∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，
∴α+β=3，αβ=1，
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=7，α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2•β2=47，
第24页（共32页）∴ = =47，
故答案为：47．
【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对 进行
变形．
25．（6分）（2017•内江）如图，已知直线l ∥l ，l 、l 之间的距离为8，点P到直线l
1 2 1 2 1
的距离为6，点Q到直线l 的距离为4，PQ=4 ，在直线l 上有一动点A，直线l 上
2 1 2
有一动点B，满足AB⊥l ，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= 1 6 ．
2
【分析】作PE⊥l 于E交l 于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l 于B，作BA⊥l 于
1 2 2 1
A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．首先证明四边形ABCP是平行四边形，
PA+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：作PE⊥l 于E交l 于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l 于B，作BA⊥l
1 2 2 1
于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4 ，PD=18，
∴DQ= = ，CD=PD﹣PC=18﹣8=10，
∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴PA=BC，
∴PA+BQ=CB+BQ=QC= = =16．
故答案为16．
第25页（共32页）【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、
勾股定理等知识，解题的关键是学会构建平行四边形解决问题，属于中考常考题
型．
五、解答题（共3小题，满分36分）
26．（12分）（2017•内江）观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a = = ﹣ ；
6
（2）用含n的代数式表示第n个等式：a = = ﹣ ；
n
（3）a +a +a +a +a +a = （得出最简结果）；
1 2 3 4 5 6
（4）计算：a +a +…+a ．
1 2 n
【分析】（1）根据已知4个等式可得；
（2）根据已知等式得出答案；
（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；
（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，a = = ﹣ ，
6
故答案为： ， ﹣ ；
（2）a = = ﹣ ，
n
故答案为： ， ﹣ ；
第26页（共32页）（3）原式= ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣
= ﹣
= ，
故答案为： ；
（4）原式= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
= ﹣
= ．
【点评】本题主要考查数字的变化，解题的关键是根据已知等式得出等式的变化
规律及列项相消法求解．
27．（12分）（2017•内江）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂
足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说
明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【分析】（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；
（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；
（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则
PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从
而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．
【解答】证明：（1）如图1，连接BC，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
第27页（共32页）∴ = ，
∴∠A=∠ABC，
∵EC=AE，
∴∠A=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2=AE•AB；
（2）PB=PE，理由是：
如图2，连接OB，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBN+∠OBN=90°，
∵∠OBN+∠COB=90°，
∴∠PBN=∠COB，
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，
∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，
∴∠PEB=∠PBN，
∴PB=PE；
（3）如图3，∵N为OC的中点，
∴ON= OC= OB，
Rt△OBN中，∠OBN=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
第28页（共32页）∵Q为⊙O任意一点，
连接PQ、OQ，
因为OQ为半径，是定值4，
则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，
当P、Q、O三点共线时，PQ最小，
∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，
∠A= ∠COB=30°，
∴∠PEB=2∠A=60°，
∠ABP=90°﹣30°=60°，
∴△PBE是等边三角形，
Rt△OBN中，BN= =2 ，
∴AB=2BN=4 ，
设AE=x，则CE=x，EN=2 ﹣x，
Rt△CNE中，x2=22+（2 ﹣x）2，
x= ，
∴BE=PB=4 ﹣ = ，
Rt△OPB中，OP= = = ，
∴PQ= ﹣4= ．
则线段PQ的最小值是 ．
第29页（共32页）【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边
三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，
确定PQ最小值时Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相
结合，解决问题．
28．（12分）（2017•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称
轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时
点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个
点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，
试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，
求出t值；若不存在，请说明理由．
第30页（共32页）【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的
解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S 与t的函数关系式
△MBN
S =﹣ （t﹣1）2+ ．利用二次函数的图象性质进行解答；
△MBN
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
∴A（﹣2，0），
把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得
，
解得 ，
所以该抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+3；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）．
在Rt△BOC中，BC= =5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H．
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴ ，即 = ，
∴HN= t．
∴S = MB•HN= （6﹣3t）• t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，
△MBN
当△PBQ存在时，0＜t＜2，
∴当t=1时，
第31页（共32页）S = ．
△PBQ最大
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是 ；
（3）如图2，
在Rt△OBC中，cos∠B= = ．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=6﹣3t．
当∠MNB=90°时，cos∠B= = ，即 = ，
化简，得17t=24，解得t= ，
当∠BMN=90°时，cos∠B= = ，
化简，得19t=30，解得t= ，
综上所述：t= 或t= 时，△MBN为直角三角形．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次
函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，
即自变量的取值范围．
第32页（共32页）
