文档内容
2017 年四川省成都市中考数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今
有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则
﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（
）
A． B． C． D．
3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只
需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元
为（ ）
A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010 D．6.47×1011
4．（3分）二次根式 中，x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6
7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比
第1页（共31页）赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分） 60 70 80 90 100
人数（人） 7 12 10 8 3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分 D．80分，70分
8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：
OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3 D． ：
9．（3分）已知x=3是分式方程 ﹣ =2的解，那么实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．0C．1D．2
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（ ﹣1）0= ．
12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 ．
13．（4分）如图，正比例函数y =k x和一次函数y =k x+b的图象相交于点A（2，
1 1 2 2
1），当x＜2时，y y ．（填“＞”或“＜”）．
1 2
第2页（共31页）14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长
为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长
为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，
则平行四边形ABCD周长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：| ﹣1|﹣ +2sin45°+（ ）﹣2；
（2）解不等式组： ．
16．（6分）化简求值： ÷（1﹣ ），其中x= ﹣1．
17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会
为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分
为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下
面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数
是 人；
第3页（共31页）（2）“非常了解”的4人有A ，A 两名男生，B ，B 两名女生，若从中随机抽取两
1 2 1 2
人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概
率．
18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾
到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，
再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正
北方向，求B，C两地的距离．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y= x的图象与反比
例函数y= 的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB
于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交
CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求 的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．
第4页（共31页）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是 ．
22．（4分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 2﹣
1 2 1
x 2=10，则a= ．
2
23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径
向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在
阴影区域内的概率为P ，针尖落在⊙O内的概率为P ，则 = ．
1 2
24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我
们把点P（′ ，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影
点A′，B′均在反比例函数y= 的图象上．若AB=2 ，则k= ．
25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分
线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE
的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．
第5页（共31页）五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选
择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一
站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（x 单位：千米）
乘坐地铁的时间y （单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
1
地铁站 A B C D E
x（千米） 8 9 10 11.5 13
y （分钟） 18 20 22 25 28
1
（1）求y 关于x的函数表达式；
1
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y = x2﹣11x+78
2
来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时
间最短？并求出最短时间．
27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于
点D，则D为BC的中点，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C
三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C
关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．
第6页（共31页）28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交
于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4 ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛
物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在
抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形
PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
第7页（共31页）2017 年四川省成都市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•成都）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，
意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记
作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下
就记为负，直接得出结论即可．
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规
定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2．（3分）（2017•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其
俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看一层三个小正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
第8页（共31页）3．（3分）（2017•成都）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时
成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数
法表示647亿元为（ ）
A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010 D．6.47×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：647亿=647 0000 0000=6.47×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2017•成都）二次根式 中，x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选（A）
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意
义的条件，本题属于基础题型．
5．（3分）（2017•成都）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
第9页（共31页）B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
6．（3分）（2017•成都）下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6
【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可．
【解答】解：A．a5+a5=2a5，所以此选项错误；
B．a7÷a=a6，所以此选项正确；
C．a3•a2=a5，所以此选项错误；
D．（﹣a3）2=a6，所以此选项错误；
故选B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等，关键
是熟记，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类
项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数
不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
7．（3分）（2017•成都）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中
的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分） 60 70 80 90 100
人数（人） 7 12 10 8 3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分 D．80分，70分
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位
数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为
中位数．
第10页（共31页）【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大
（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组
数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会
出错．
8．（3分）（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似
图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3 D． ：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：
OA′=2：3，
∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（ ）2= ，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多
边形的性质是解题的关键．
9．（3分）（2017•成都）已知x=3是分式方程 ﹣ =2的解，那么实数k的值为（
）
A．﹣1 B．0C．1D．2
【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值．
【解答】解：将x=3代入 ﹣ =2，
∴
第11页（共31页）解得：k=2，
故选（D）
【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x=3代入原方程中，本题属
于基础题型．
10．（3分）（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如
图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来
判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．
【解答】解：根据二次函数的图象知：
抛物线开口向上，则a＞0；
抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣ ＞0，即b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关
信息以及抛物线与x轴交点情况，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（2017•成都）（ ﹣1）0= 1 ．
第12页（共31页）【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案．
【解答】解：（ ﹣1）0=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．
12．（4分）（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 40 °
．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定
理得出答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠A的度数为：40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．
13．（4分）（2017•成都）如图，正比例函数y =k x和一次函数y =k x+b的图象相交
1 1 2 2
于点A（2，1），当x＜2时，y ＜ y ．（填“＞”或“＜”）．
1 2
【分析】由图象可以知道，当x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的
增减性即可得到结论．
【解答】解：由图象知，当x＜2时，y 的图象在y 上右，
2 1
∴y y ．
1＜ 2
故答案为：＜．
第13页（共31页）【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．
14．（4分）（2017•成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为
圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大
于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作AP射线，交边CD于点Q，若
DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 1 5 ．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出
CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出
DQ=AD，进而可得出结论．
【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC= DQ= ，
∴CD=DQ+CQ=3+ = ，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ +3）=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（2017•成都）（1）计算：| ﹣1|﹣ +2sin45°+（ ）﹣2；
（2）解不等式组： ．
第14页（共31页）【分析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法
则计算即可得到结果．
（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可．
【解答】解：（1）原式= ﹣1﹣2 +2× +4
= ﹣1﹣2 + +4
=3；
（2） ，
①可化简为2x﹣7＜3x﹣3，
﹣x＜4，
x＞﹣4，
②可化简为2x≤1﹣3，则x≤﹣1．
不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂以及特殊角
的三角函数值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）（2017•成都）化简求值： ÷（1﹣ ），其中x= ﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．
【解答】解： ÷（1﹣ ）= • = ，
∵x= ﹣1，
∴原式= = ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）（2017•成都）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，
某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，
调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结
果绘制成下面两个统计图．
第15页（共31页）（1）本次调查的学生共有 5 0 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数
是 36 0 人；
（2）“非常了解”的4人有A ，A 两名男生，B ，B 两名女生，若从中随机抽取两
1 2 1 2
人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概
率．
【分析】（1）用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案；
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一
位女同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）4÷8%=50（人），
1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）=360（人）；
故答案为：50，360；
（2）画树状图，共有12根可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，
∴P（恰好抽到一男一女的）= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或
树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18．（8分）（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，
小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行
驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C
恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
第16页（共31页）【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后
在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．
【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4× =2（千米），
BD=AB•sin∠BAD=4× =2 （千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=2 （千米），
∴BC= BD=2 （千米）．
答：B，C两地的距离是2 千米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转
化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
19．（10分）（2017•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y= x
的图象与反比例函数y= 的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB
于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
第17页（共31页）【分析】（1）把A（a，﹣2）代入y= x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y= ，
可得反比例函数的表达式为y= ，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的
坐标；
（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面
积为3，可得方程 m×| m﹣ |=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y= x，可得a=﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y= ，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为y= ，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m， ），则C（m， m），
∵△POC的面积为3，
∴ m×| m﹣ |=3，
解得m=2 或2，
∴P（2 ， ）或（2，4）．
第18页（共31页）【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例
函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
20．（12分）（2017•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交
BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA
于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求 的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．
【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则
DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由
OD是△ABC的中位线，得：OD= AC= ，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，
BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为： ，则 = ，求出r的值即可．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
第19页（共31页）∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE=x，EC=4x，则AC=3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD= AC= ×3x= ，
∵OD∥AC，
∴∠E=∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴ ，
∴ = = ，
∴ = ；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
第20页（共31页）∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵ ，
∴△BFD∽△EFA，
∴ ，
∴ = ，
解得：r = ，r = （舍），
1 2
综上所述，⊙O的半径为 ．
第21页（共31页）【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、
三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为
r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）（2017•成都）如图，数轴上点A表示的实数是 ﹣ 1 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为 = ，
则数轴上点A表示的实数是： ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．
22．（4分）（2017•成都）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实
1 2
数根，且x 2﹣x 2=10，则a= ．
1 2
【分析】由x 2﹣x 2=0得x +x =0或x ﹣x =0；当x +x =0时，运用两根关系可以得到
1 2 1 2 1 2 1 2
﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．
【解答】解：由两根关系，得根x +x =5，x •x =a，
1 2 1 2
由x 2﹣x 2=10得（x +x ）（x ﹣x ）=10，
1 2 1 2 1 2
若x +x =5，即x ﹣x =2，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2=（x +x ）2﹣4x •x =25﹣4a=4，
1 2 1 2 1 2
∴a= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
1 2
的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 1 2
23．（4分）（2017•成都）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，
CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小
针，记针尖落在阴影区域内的概率为P ，针尖落在⊙O内的概率为P ，则 = ．
1 2
第22页（共31页）【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P ，P 的值即可得出答案．
1 2
【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD= ，
故S =π，
圆O
阴影部分面积为：π ×2+ × ﹣π=2，
则P = ，P = ，
1 2
故 = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．
24．（4分）（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一
点P（x，y），我们把点P（′ ，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，
B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y= 的图象上．若AB=2 ，则k= ﹣ ．
【分析】设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A（′ ，），B（′ ，），由AB=2 可
得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程
组，解之即可得出k值．
【解答】解：设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A（′ ， ），B（′ ， ），
∵AB=2 ，
∴b﹣a=2，即b=a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y= 的图象上，
∴ ，
解得：k=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标
特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、
a、b的方程组是解题的关键．
第23页（共31页）25．（4分）（2017•成都）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿
∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使
点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=
cm．
【分析】作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，首先证
明△AKC′≌△GFM，可得GF=AK，由AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，推出 = ，
可得 = ，推出C′K=1cm，在Rt△AC′K中，根据AK= ，求出AK即可解决问题．
【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，
∵GF⊥AA′，
∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，
∴∠MGF=∠KAC′，
∴△AKC′≌△GFM，
∴GF=AK，
∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，
∴ = ，
∴ = ，
∴C′K=1cm，
在Rt△AC′K中，AK= = cm，
∴FG=AK= cm，
故答案为 ．
第24页（共31页）【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构
造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多
市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，
D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为
x（单位：千米），乘坐地铁的时间y（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如
1
下表：
地铁站 A B C D E
x（千米） 8 9 10 11.5 13
y （分钟） 18 20 22 25 28
1
（1）求y 关于x的函数表达式；
1
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y = x2﹣11x+78
2
来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时
间最短？并求出最短时间．
【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y 关于x的函数表达
1
式；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y +y = x2﹣9x+80，根据二次函数
1 2
的性质，即可得出最短时间．
【解答】解：（1）设y =kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
1
，
解得： ，
故y 关于x的函数表达式为：y =2x+2；
1 1
第25页（共31页）（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y +y =2x+2+ x2﹣11x+78= x2﹣9x+80，
1 2
∴当x=9时，y有最小值，y = =39.5，
min
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短
时间为39.5分钟．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注
意自变量x的取值范围．
27．（10分）（2017•成都）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C
三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C
关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．
第26页（共31页）【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；
②结论：CD= AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知 BD=CE，在 Rt△ADH 中，
DH=AD•cos30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=
AD+BD，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出
A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边
三角形；
②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得
=cos30°，由此即可解决问题．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
②解：结论：CD= AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，
在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°= AD，
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，
第27页（共31页）∵CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD．
拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC=∠AEC=120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE=5，EC=EF=2，
∴AH=HE=2.5，FH=4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，
∴ =cos30°，
∴BF= =3 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边
三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解
决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
第28页（共31页）28．（10分）（2017•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c
与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4 ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上
一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在
抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形
PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2 ，0），设抛物线的解析式为
y=ax2+4，把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣
2m）2﹣4，由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C
在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有 ，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意
易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出
PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M
（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正
方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2 ，0），设抛物线的解析式为
y=ax2+4，
把A（﹣2 ，0）代入可得a=﹣ ，
第29页（共31页）∴抛物线C的函数表达式为y=﹣ x2+4．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣
2m）2﹣4，
由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有 ，解得2＜m＜2 ，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2 ．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，
∴PF=FM，∠PFM=90°，
易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y=﹣ x2+4上，
∴m﹣2=﹣ （m+2）2+4，解得m= ﹣3或﹣ ﹣3（舍弃），
∴m= ﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
第30页（共31页）把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣ x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍
弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m= ﹣3或6．
【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的
判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
第31页（共31页）
