第4节抛体运动的规律（举一反三讲义）（解析版）_2026高考物理_222026版物理《高考一轮复习举一反三》全国版_2026《高中物理•举一反三系列》必修二(RJ)_第五章抛体运动

第 4 节 抛体运动的规律
目录
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................1
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：平抛运动的速度................................................................................................................................2
知识点2：平抛运动的位移与轨迹....................................................................................................................6
知识点3：平抛运动的两个重要推论..............................................................................................................11
知识点4：斜抛运动..........................................................................................................................................16
知识点5：有约束的平抛运动..........................................................................................................................21
【方法技巧】.............................................................................................................................................................26
方法技巧1 平抛运动时间和水平射程............................................................................................................26
方法技巧2 逆向思维解决斜抛运动................................................................................................................26
方法技巧3 平抛运动的特殊分解方法...........................................................................................................26
【巩固训练】.............................................................................................................................................................26
【学习目标】
1. 知道平抛运动的受力特点，会运用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析。
2. 理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹，会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的
实际问题。
重点：
通过运动的分解，会确定平抛运动的速度、位移和运动轨迹。
难点：
掌握平抛运动的规律，能运用平抛运动的规律解决实际问题
【思维导图】【知识梳理】
知识点 1：平抛运动的速度
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．平抛运动的速度
以初速度v 沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。
0
(1) 水平方向：𝑣 v
𝑥= 0
(2)竖直方向：水平抛出经时间t后，𝑣 gt
𝑦=(3)合速度
大小：v＝ v2 x ＋v2 y ＝
v2
0
+(gt2)；
v
方向：tan θ＝ y＝ 𝑔𝑡 (θ是v与水平方向的夹角)
v 𝑣
x 0
【典例1】（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高
的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则
水离开出水口的速度大小为（ ）
D g D g
A． B．
4 h 4 2h
( 2+1)D g g
C． D．( 2+1)D
2 2h 2h
【答案】C
【解析】设出水孔到水桶中心距离为x，则
2h
x=v
0 g
落到桶底A点时
D 2×2h
x+ =v
2 0 g
解得
( 2+1)D g
v =
0 2 2h
故选C。【变式1】（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处
荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在
c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（ ）
A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d
【答案】C
【解析】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有
1
x=vt,h= gt2
2
可得
g
v=x
2h
因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c上面。
故选C。
【变式2】（2025·四川·模拟预测）如图所示，将飞镖以大小为v 的速度水平射出，飞镖插入墙面时速度与
0
竖直方向夹角为60°，若不考虑所受的空气阻力，则飞镖在空中的运动时间为（ ）
v 3v 3v 3v
A． 0 B． 0 C． 0 D． 0
g 2g g 3g
【答案】Dv 3v
【解析】飞镖做平抛运动，其竖直分速度v = 0 = 0
y tan60° 3
由于v =gt
y
3v
则时间t= 0
3g
故选D。
【变式3】掷飞镖是在现代体育项目中一个重要的比赛项目．如图所示，现有一运动员从同一位置先后水
平掷出两支相同的飞镖，落在同一竖直标靶上，飞镖A与竖直标靶成角53°，B与竖直标靶成角37°，落点
相距为d，不计空气阻力，则：
（1）飞镖A与B在空中飞行的时间之比为多少？
（2）该运动员掷飞镖的位置与标靶的水平距离为多少？
24
【答案】（1）t :t =3:4；（2）x= d
A B 7
【解析】（1）飞镖A做平抛运动
x=v t
A A
由几何关系
v
tan53°= A
gt
A
飞镖B做平抛运动
x=v t
B B
由几何关系v
tan37°= B
gt
B
联立解得
t :t =3:4
A B
（2）A、B在竖直面内做自由落体运动
1 1
d = gt2 - gt2
2 B 2 A
联立解得，该运动员郑飞镖的位置与标靶的水平距离为
24
x= d
7
知识点 2：平抛运动的位移与轨迹
1. 平抛运动的位移
以初速度v 沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。
0
水平抛出经时间t后：
(1)水平方向：x＝v t
0
1
(2)竖直方向：y＝ gt2
2
(3)合位移：
①大小l＝ x2＋y2= (𝑣 𝑡)2+( 1 𝑔𝑡2) 2
0
2
y gt
②方向与水平方向夹角满足tan α＝ ＝
x 2v
0
2. 平抛运动的轨迹
x 1 g
根据x＝v t求得，t＝ ，代入y＝ gt2得y＝ x2 ，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
0 v 2 2v2
0 0【典例2】（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离
水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加
速度为g，h远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间t；
（2）水从管口排出时的速度大小v ；
0
（3）管口单位时间内流出水的体积Q。
2h g g
【答案】（1） ；（2）d ；（3）Sd
g 2h 2h
【解析】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向
1
h= gt2
2
解得水从管口到水面的运动时间
2h
t=
g
（2）由平抛运动规律得，水平方向
d =v t
0
解得水从管口排出时的速度大小
g
v =d
0 2h
（3）管口单位时间内流出水的体积
g
Q=Sv =Sd
0 2h【变式1】如图所示光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的
竖直高度为h=0.4m；在距地面高为H =1.2m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管
内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M 处进入管内，设小球弹出点O到管口M 的水平距离
为x，弹出的初速度大小为v ，重力加速度g取10m/s2。关于x和v 的值，下列选项正确的是（ ）
0 0
A．x=1.6m，v =4m/s B．x=1.6m，v =4 2m/s
0 0
C．x=0.8m，v =4m/s D．x=0.8m，v =4 2m/s
0 0
【答案】A
【解析】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口M 时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，
做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示
根据几何关系得
x=2H -h=1.6m
小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从O到M 的运动时间为
2H -h
t= =0.4s
g
水平方向匀速运动有x
v = =4m/s
0 t
故选A。
【变式2】中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一
手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿
的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加
速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
g g
D．若初速度为v ，则L <v <3L
0 2h 0 2h
【答案】C
1
【解析】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由h= gt2
2
2h
可得小面圈在空中运动的时间为t=
g
由于h相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意；
B．根据Dv=gDt可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同
，故B正确，不符合题意；
D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为L<x<3L
L g
由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为v = =L
0min t 2h3L g
同理水平初速度的最大值为v = =3L
0max t 2h
g g
所以水平初速度的取值范围为L <v <3L ，故D正确，不符合题意；
2h 0 2h
9L2g
C．落入锅中时，最大速度为v = v2 +v2 = +2gh
max 0max y 2h
L2g
最小速度为v = v2 +v2 = +2gh
min 0min y 2h
则v ¹3v
max min
即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。
故选C。
【变式3】（2025·四川·模拟预测）某同学借助安装在高处的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。该同学站
在水平地面上，与出球口水平距离l = 2.5 m，举手时手掌距地面最大高度h = 2.0 m。发球机出球口以速度
0
v = 5 m/s沿水平方向发球。从篮球发出到该同学起跳离地，耗时t = 0.2 s，该同学跳至最高点伸直手臂恰
0 0
能在头顶正上方接住篮球。重力加速度g大小取10 m/s2。求：
(1)t 时间内篮球的位移大小；
0
(2)出球口距地面的高度。
26
【答案】(1) m
5
(2)3.7 m
【解析】（1）在t 时间内，篮球水平方向做匀速直线运动，位移为
0
x=v t =5´0.2m=1m
0 0
竖直方向做自由落体运动，位移为
1 1
h= gt2 = ´10´0.22m=0.2m
2 0 2
所以篮球的位移为
26
x = x2+h2 = 1.04m= m
0 5（2）从发出球到接住球经过的时间为
l 2.5
t = = s=0.5s
v 5
0
所以该同学起跳离地到接住球经历的时间为
t =t-t =0.3s
1 0
同学起跳后上升的高度为
1 1
h = gt2 = ´10´0.32 =0.45m
1 2 1 2
整个过程篮球下降的高度
1 1
h = gt2 = ´10´0.52m=1.25m
2 2 2
所以出球口距地面的高度为
H =h +h +h =2m+0.45m+1.25m=3.7m
0 1 2
知识点 3：平抛运动的两个重要推论
1. 推论一：平抛运动的物体，在任一时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
理论推导：速度偏向角的正切值𝑡an𝜃= 𝑣 𝑦 = 𝑔𝑡 ①
𝑣 𝑥 𝑣 0
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值tan θ = y A = 1 2 gt2 ②
x A v 0 t−x OB
联立①②式解得𝑥 = 1 𝑣 𝑡= 1 𝑥
𝑂𝐵 0 𝐴
2 2
2. 推论二：做平抛运动的物体，从抛出点开始，任意时刻平抛运动的速度方向与水平方向的夹角θ和位
移方向与水平方向的夹角α的关系是tanθ＝2tanα
1
gt2
理论推导：tanθ＝ v y＝ gt ，tanα＝ 𝑦 𝐴＝ 2 ＝ gt ，故tanθ＝2tanα。
v x v 0 𝑥 𝐴 v 0 t 2v 0【典例3】如图所示，从倾角为α的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，均落到斜面
上，当抛出的速度为v 时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，当抛出的速度为v 时，小球到
1 1 2
达斜面时速度方向与斜面的夹角为，若不考虑空气阻力，则（ ）
2
A． 可能大于
1 2
B．可能小于
1 2
C．一定等于
1 2
D．、的大小关系与斜面的倾角α无关
1 2
【答案】C
【解析】设当将小球以初速度v 平抛时，在斜面上的落点与抛出点的间距为L，则由平抛运动的规律得
0
1
Lcosa=v t，Lsina= gt2
0 2
整理得
v 1
0 = cota
gt 2
若设落到斜面上时小球速度方向与竖直方向的夹角为γ，则有
v 1
tang= 0 = cota
gt 2
p
= -a-g
2
可知到达斜面时速度方向与斜面的夹角与a有关，与初速度无关，当a不变时，不变，即一定等于
1 2
，故ABD错误，C正确。
故选C。
【变式1】如图，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶端O点水平抛出，分别落到斜面上的A、B两点，
OB=9OA，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）A．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1:2
B．甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向相同
C．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为2:1
D．甲、乙两球运动过程中速度变化量的方向不相同
【答案】B
【解析】AC．设斜面倾角为，由于两次均落至斜面，位移偏角相同，可得
1
gt2
y 2 gt
tan= = =
x v t 2v
0 0
可得
gt
v =
0 2tan
落至斜面的位移为
v t gt2
s= 0 =
cos 2sin
由题意可知两次的位移之比为1:9，故所用时间之比为1:3，初速度之比为1:3，故AC错误；
B．甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向与水平方向夹角a满足
v gt
tana= y = =2tan
v v
0 0
故落至斜面时速度方向相同。故B正确；
D．运动过程中速度变化量
Dv=gt
可知甲、乙两球速度变化量的方向始终竖直向下，均与重力加速度g方向相同。故D错误。故选B。
【变式2】如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以被为一个平整的斜面，运动员每次都
以不同的速度将箭由水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭
头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】平抛运动的位移角（与水平方向的夹角）满足
1
gt2
y 2 gt
tana= = =
x v t 2v
0 0
速度角（与水平方向的夹角）满足
v gt
tanb= y =
v v
0 0
所以有
tanb=2tana
所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在
，所以箭与水平方向的夹角都小于90°。
故选B。
【变式3】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点
是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投
影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度
g取10m s2。则下列说法正确的是（ ）A．QM的长度为20m
B．OP与x与水平方向的夹角为22.5°
C．质点在P点的速度v大小为40m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
【答案】AD
【解析】A．根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有
1
MP= gt2
2
可得
t=2s
质点在水平方向的位移为
OM =v t =40m
0
根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以
QM=20m
故A正确；
B．因为OP与x与水平方向的夹角满足
MP 1
tana= =
OM 2
因为
tan45°=1可见两个角的正切值是二倍关系，但是a不是45°的一半，故B错误；
C．质点在P点的竖直速度
v =gt =10´2m/s=20m/s
y
所以在P点的速度为
v= v2+v2 = 202+202 m s=20 2m/s
x y
故C错误；
D．因为
v
tan= y =1
v
x
所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确。
故选AD。
知识点 4：斜抛运动
将物体以初速度v 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
0
1. 研究方法
斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。水平方向：物体做匀速直线运动；竖直方
向上物体做竖直上抛运动。
2. 运动规律
(1)速度规律
水平速度v ＝v ＝v cosθ。 竖直速度v ＝v －gt＝v sinθ－gt。 t时刻的速度大小v＝ v2＋v2。
x 0x 0 y 0y 0 x y
(2)位移规律1
水平位移x＝v tcosθ。 竖直位移y＝v tsinθ－ gt2。
0 0 2
t时间内的位移大小s＝ x2＋y2。
3．最大高度和射程
2v 2v sinθ v2 v2sin2θ
(1)斜上抛运动的飞行时间t＝ 0y＝ 0 。 (2)最大高度h＝ 0y＝ 0 。
g g 2g 2g
2v2sinθcosθ v2sin2θ
(2)射程s＝v cosθ·t＝ 0 ＝ 0 ，在v 大小不变的情况下，随θ的增大，射程也增大，当θ＝45°
0 g g 0
时，射程达到最大值，随θ的继续增大，射程减小。
4. 斜上抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两段上升时间等于下降时间。
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
【典例4】（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图
所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v ，末速度v沿x
0
轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方
向分速度v 和竖直方向分速度v 与时间t的关系，下列图像可能正确的是（ ）
x y
A． B．C． D．
【答案】AD
【解析】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即v 为定值，则有
x
水平位移
x=v t
x
故A正确，C错误；
BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则
1
y=v t- gt2，v =v -gt
y0 2 y y0
且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。
故选AD。
【变式1】（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次
抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于
P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v 和v ，其中v 方向水平，v 方向斜向上。忽略空气阻力，
1 2 1 2
关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v
1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等
【答案】B【解析】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒
2的加速度，A错误；
C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒
2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误；
B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。
与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v ，
1
B正确；
D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷
粒2的平均速度，D错误。
故选B。
【变式2】某人在离地面1.4m的高度，将质量0.4kg的小球以v =10m/s的速度斜向上抛出，小球的初速
0
度方向与水平方向之间的夹角为37o，不计空气阻力，g=10m/s2,求
（1）小球从抛出点上升的最大高度；
（2）小球在空中运动的时间；
（3）小球落地点与抛出点的水平距离。
【答案】（1）1.8m；（2）1.4s；（3）11.2m
【解析】（1）小球做斜抛运动，小球从抛出点上升的最大高度为
(v sin37o)2 62
h = 0 = m=1.8m
m 2g 2´10
（2）小球从抛出点上升的最大高度所用的时间为
v sin37o
t = 0 =0.6s
1 g小球从最高点到落地的过程，有
1
h +h= gt2
m 2 2
解得
t =0.8s
2
小球在空中运动的时间为
t =t +t =1.4s
1 2
（3）小球落地点与抛出点的水平距离为
x=v tcos37o =8´1.4m=11.2m
0
【变式3】（24-25高一下·广西贵港·月考）如图所示，一跳台滑雪运动员（视为质点）自雪道M处自由滑
下，在O处腾空时速度与水平方向的夹角为30°，落在倾角为30°的斜坡上的Q点（未画出）。运动员在
空中P点（未画出）离斜坡最远，最远距离为5 3m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则（ ）
A．运动员在P点的速度大小为10m/s
B．运动员腾空 2s后到达空中P点
C．落点Q距离O点40m
D．运动员在O点的速度大小为10m/s
【答案】BC
【解析】ABD．运动员在空中P点离斜坡最远时，速度与斜面平行，且最远距离为s=5 3m
v sin60°2
根据速度-位移公式，有s= 0
2gcos30°联立解得v =10 2m/s
0
v sin60°
则从起跳到P点用时t = 0 = 2s
gcos30°
则在P点速度v =v cos60°+gsin30°t =10 2m/s
P 0
故AD错误，B正确；
1
C．根据位移-时间公式，有L=v cos60°´2t+ gsin30°´(2t)2
0 2
代入数据解得落点Q 到O点的距离为L=40m
故C正确。
故选BC。
知识点 5：有约束的平抛运动
1. 斜面约束
（1）从斜面上抛出，又落回到斜面上
1 y gt
抛出后运动时间为t，水平方向：x＝v t 竖直方向：y＝ gt2 θ与v 、t的关系：tanθ＝ ＝
0 2 0 x 2v
0
（2）从斜面外抛出，又垂直落回到斜面上
v v
抛出后运动时间为t，水平方向：v ＝v 竖直方向：v ＝gt θ与v 、t的关系：tanθ＝ x＝ 0
x 0 y 0 v gt
y
2. 曲面约束
（1）从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上抛出后运动时间为t，利用几何关系求解位移关系x=v t 𝑦= 1 𝑔𝑡2 𝑅2 =(𝑥−𝑅)2+𝑦2
0 2
（2）从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的
切线方向
抛出后运动时间为t，分解速度，构建速度三角形x=v
0
t 𝑣
𝑦
=𝑔𝑡 𝑡𝑎𝑛𝜃= 𝑣 𝑦 = 𝑔𝑡
𝑣 𝑥 𝑣 0
【典例5】如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端P以速度v 抛出一个小球，落在斜面上处Q点，小
0
球落在斜面上的速度与斜面的夹角a，若把初速度变为2v ，则（ ）
0
A．PQ间距一定为原来间距的2倍 B．空中的运动时间变为原来的 2倍
C．夹角a将变大 D．夹角a将不变
【答案】D
【详解】AB．小球从抛出到落到斜面上，有
1
gt2
y 2
tan= =
x v t
0
可得
2v tan
t = 0
g若把初速度变为2v ，则小球空中的运动时间变为原来的2倍；根据
0
1
y= gt2
2
可知小球下落高度变为原来的4倍，根据几何关系可知PQ间距一定为原来间距的4倍，故AB错误；
CD．根据平抛运动推论：平抛运动的合速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍
，则有
tan(a+)=2tan
由于不变，则夹角a将不变，故C错误，D正确。
故选D。
【变式1】如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球
8
初速度为v = gR ，为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（ ）．
0 5
A．=37°
3
B．=arccos
4
3
C．=arccos
4
D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽
【答案】A
【详解】ABC．几何关系有
x2+y2 =R2
平抛运动
x=v t-R
01
y= gt2
2
8
v = gR
0 5
代入解得
=37°
故A正确，BC错误；
D．速度反向延长线必然均分水平位移，所以小球不可能垂直击中凹槽，故D错误。
故选A。
【变式2】如图，倾角30°的固定斜面上有一小球B，位于同一水平高度有另一小球A，将A、B分别以v
1
和v 水平相向抛出，恰好都落在斜面上的C点，且小球A恰好垂直斜面落在C处，则初速度v 、v 之比为
2 1 2
（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：2 D．2：1
【答案】B
【详解】两球均做平抛运动，下落高度h相同，由
1
h= gt2
2
知运动时间t相等。小球A垂直落在斜面上时，速度与水平方向夹角为60°，分解速度有
v gt
tan60°= y =
v v
1 1
则
3
v = gt
1 3小球B位移与水平方向夹角等于斜面倾角30°，分解位移有
1
gt2
y 2
tan30°= =
x v t
2
得
3
v = gt
2 2
因此
v :v =2:3
1 2
故选B。
【变式3】如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点
以水平向右的初速度v 抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度v 抛出，不计空气阻力，两
A B
物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP=37°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是（ ）
A．物体B比A先到达P点
B．A、B物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为v :v =16:9
A B
D．抛出时，两物体的速度大小之比为v :v =4:3
A B
【答案】BC
【详解】AB．根据题意两物体竖直方向下落高度相等，则有
1
x sin37o = gt2
AP 2
可知，A、B物体一定同时到达P点，故A错误，B正确；
CD．物体做平抛运动，水平方向有x cos37o =v t，x tan37osin37o =v t
AP A AP B
结合上述解得
v :v =16:9
A B
故C正确，D错误。
故选BC。
【方法技巧】
方法技巧 1 平抛运动时间和水平射程
2h
(1)运动时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v无关。
g 0
2h
(2)水平射程：x＝v t＝v ，即水平射程由初速度v和下落高度h共同决定。
0 0 g 0
方法技巧 2 逆向思维解决斜抛运动
斜抛运动由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
方法技巧 3 平抛运动的特殊分解方法
对与一些问题，比如求平抛运动到斜面的最大距离时，可将平抛运动分解到沿斜面和垂直于斜面这两个方
向的直线运动，分析两个方向的运动规律，列方程求解。
【巩固训练】
1．如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断
正确的是（ ）
A．A比B先落入篮筐B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
【答案】D
【解析】AB．若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的
AB两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误
；
C．因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速
度大，故C错误；
D．由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。
故选D。
2.如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P
点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出
至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（ ）
L L
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
v v
L L
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
v v
【答案】B
【解析】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹
和积木运动时间相同，根据
1
h= gt2
2可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做
匀速直线运动，故有
L
t =
v
故选B。
3.（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速
率v 水平向右抛球，小孩以速率v 水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平
1 2
距离为l时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则v 为（ ）
1
2g g H -h 2(H -h)
A．l -v B．l -v C．l -v D．l -v
H -h 2 2(H -h) 2 2g 2 g 2
【答案】B
1
【解析】若小孩能接到球，则有H -h= gt2，l =vt+v t
2 1 2
g
联立解得v =l -v
1 2(H -h) 2
故选B。
4.（24-25高二上·山西晋中·开学考试）从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，
三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正
确的是（ ）A．落在a点的小球撞在墙面的速度最小
B．三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式v >v >v
a c b
C．落在c点的小球飞行时间最短
D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点
【答案】D
【解析】C．三个小球的竖直位移大小关系为h >h >h ，根据
c b a
1
h= gt2
2
可知t >t >t ，即落在a点的小球飞行时间最短，故C错误；
c b a
D．三个小球的水平位移相同，a、b、c三点速度方向的反向延长线一定过水平位移的中点，即a、b、c三
点速度方向的反向延长线交于一点，故D正确；
AB．令表示小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角，x和h分别表示水平位移和竖直位移，
则
1
vt
v v 2 0 x
tan= 0 = 0 = =
v gt 1 2h
y gt2
2
小球撞在墙面的竖直分速度大小为
v = 2gh
y
合速度大小为
v= v2+v2
0 y
联立可得gx
v= gxtan+
tan
三个小球水平位移相同，代入数据后解得
v =v >v
a c b
故AB错误。
故选D。
5.（25-26高三上·山东日照·期中）如图所示，乒乓球自动发球机出球口中心位于水平球桌左侧边缘中点正
上方，距桌面的高度为H，球桌长度为L、宽度为D，球网高度为h。发球速度的大小和方向均可调节，
忽略空气阻力，乒乓球可以看成质点，重力加速度大小为g。若乒乓球以速度v沿水平方向发出，能够直
接越过球网并落在右侧桌面上，则v的（ ）
L g L 2g
A．最小值为 B．最小值为
2 2H 2 H -h
g æ D2 ö g
C．最大值为  L2+D2 D．最大值为 çL2+ ÷
2H è 4 ø2H
【答案】D
1 1
【解析】AB．当乒乓球恰能从中间越过球网时速度最小，则最小速度满足 L=v t ，H -h= gt2
2 min1 2 1
L g
解得v = ，AB错误；
min 2 2(H -h)
D 1
CD．当乒乓球恰能落到右侧边角时速度最大，则最大速度满足 L2+( )2 =v t ，H = gt2
2 max 2 2 2
æ D2 ö g
解得v = çL2+ ÷ ，C错误，D正确。
max è 4 ø2H
故选D。6.如图，以9.8m/s的水平初速度v 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，则
0
物体完成这段飞行的时间是（取g=9.8m/s2）（ ）
3 2 3
A． s B． s C． 3s D．2s
3 3
【答案】C
【解析】设垂直地撞在斜面上时速度为v，将速度分解水平的
vsinθ=v
0
竖直方向
v =vcosθ
y
由以上两个方程可以求得
v =v cotθ
y 0
由竖直方向自由落体的规律得
v =gt
y
代入数值可求得
t= 3s
故选C。
7.一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v 射出，最后从B处离开斜面，
0
下列说法不正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹为抛物线B．小球的加速度为gsinθ
1 2h
C．小球从A处到达B处所用的时间为
sin g
2h
D．小球到达B处的水平方向位移大小s=v
0 g
【答案】D
【解析】A．小球水平方向做匀速运动，沿斜面向下做匀加速运动，则运动轨迹为抛物线，选项A正确，
不符合题意；
B．小球的加速度为
mgsin
a= =gsin
m
方向沿斜面向下，选项B正确，不符合题意；
C．小球从A处到达B处
h 1
= at2
sinθ 2
解得所用的时间为
1 2h
t =
sin g
选项C正确，不符合题意；
D．小球到达B处的水平方向位移大小
v 2h
s=v t = 0
0 sin g
选项D错误，符合题意。
故选D。
8.（2024·安徽合肥·三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度v 从跳台顶端A水平飞出
0
，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括
滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（ ）
v2sintan2 v2sintan2
A． 0 B． 0
2g g
v2sin2tan2 v2sin2tan2
C． 0 D． 0
2g g
【答案】A
【解析】对运动员在空中的运动沿平行斜面和垂直斜面方向分解可知，运动员从A运动到P点和从P点运
动到B点所用时间相等，因此运动员沿平行斜面方向的分运动从A到C的时间与从C到B的时间相等，
运动员沿平行斜面做加速度为gsin的匀加速运动，设整个运动时间为t，则
æt ö 2
CB-AC =gsinç ÷
è2ø
由于从A到P的水平位移与从P到B的水平位移相等，因此
AD=DB
则
æt ö 2
CB-AC =2CD=gsinç ÷
è2ø
运动员做平抛运动有
1
x=vt，y= gt2
0 2
又
y
tan=
x
解得2v tan
t = 0
g
则
v2sintan2
CD= 0
2g
故选A。
9.（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰
撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，
球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（ ）
3 4 3 5
A． H B． H C． H D． H
4 5 5 6
【答案】A
【解析】设球1、球2的平抛初速度分别为v 、v ，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整
1 2
2H
个运动过程的时间t=
g
可得L=v t
2
球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最
高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t ，则有
1
L=v ´3t
1 1
且t =t
1
v 1
联立解得 1 =
v 3
2
设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为v ，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x 、x ，有
y1 1 2
v2 =2gH
y1设球1到达A点时竖直方向速度大小为v ，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得
y2
v2 =2gH -h
y2
v -v
可得碰撞点到A点的时间为t = y1 y2
2 g
2H -h
球2刚好越过挡板AB的时间为t =
3 g
水平方向位移关系有v t =vt+vt
2 3 1 12
3
联立以上，解得h= H
4
故选A。
10.（2024·江苏·高考真题）某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水（
）
A．加速度相同
B．喷出时的初速度相同
C．在最高点的速度相同
D．在空中的运动时间相同
【答案】A
【解析】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；
D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为v ，水平方向速度为v ，竖直方向，根据对称性可知在空中运动
y x
的时间
2h
t =2
g可知
t >t
b a
D错误；
BC．最高点的速度等于水平方向的分速度
x
v =
x t
由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速
度的大小，BC错误；
故选A。
11.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为
原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（ ）
2 t t
A．t B． t C． D．
2 2 4
【答案】C
【解析】把平抛运动分解成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据运动的独立性和
等时性可知，平抛运动的时间和水平方向上运动的时间相同。由题意可知
x
=t
v
当速度变为2倍时
x t
=
2v 2
故选C。
12.如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点
；第二次落在斜面底端C点，已知AB∶BC = 1∶3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（ ）A．两次小球在空中的时间之比为1:2
B．两次小球水平抛出的初速度之比为1: 3
C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1:2
D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为2:1
【答案】A
【解析】AB．已知
AB:BC =1:3
根据几何关系可知竖直位移之比
h :h =1:4
B C
水平位移之比为
x :x =1:4
B C
根据
2h
t = µ h
g
可得小球做平抛运动的时间之比为
t :t =1:2
B C
根据
x
v =
0 t
可得初速度大小之比为v :v =1:2
0B 0C
故A正确，B错误；
CD．小球击中斜面时速度与水平方向的夹角
gt
tan=
v
0
则
tan
B =1
tan
C
所以
 =
B C
根据几何关系可知此时速度与斜面的夹角
b=-a
两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1∶1，故CD错误。
故选A。
13.（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为
环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度v 和v 水平相向抛出，初速
1 2
度为v 的小球落到a点所用时间为t ，初速度为v 的小球落到b点所用时间为t ，a点高度大于b点高度
1 1 2 2
，不计空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的初速度一定有v <v
1 2
B．两小球落到圆环上所用的时间满足t <t
1 2
C．不论v 和v 满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
1 2D．若两小球同时水平抛出，不论v 和v 满足什么关系，两小球都能在空中相遇
1 2
【答案】BC
2h
【解析】AB. 根据t= ，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有
g
t <t
1 2
水平位移
x=vt
0
由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即v <v ，故A错误，B正确；
2 1
C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有
v gt
tana= y =
v v
0 0
1
gt2
y 2 gt
tanb= = =
x v t 2v
0 0
可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交
点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确；
D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示
故D错误。
故选BC。
14.从A点以初速度v =3m/s水平抛出一个小球，落在倾角为37°的斜面上的B点，小球到达B点时速度方
0
向恰好与斜面垂直．已知g=10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求
（1）小球到达B点时的速度大小；
（2）A、B两点的高度差.【答案】（1）5m/s；（2）0.8m
【解析】（1）刚落到B点时
v
sin37°= 0
v
代入数据得
v=5m/s
（2）在B点竖直方向速度满足
v
0
tan 37°=
v
y
运动学公式
v2 =2gh
y
代入数据得
h=0.8m
15.（24-25高三上·安徽·期中）为了祖国的统一，为了维护世界的和平，2024年10月14日中国人民解放
军东部战区组织陆军、海军、空军、火箭军等兵力开展“联合利剑—2024B”一次大规模的围台军演。如图所
示，某科目军事演习，红军“轰—20”轰炸机在离海面高H=500m高处水平飞行，发现远处海面有一艘静止
的蓝军模型军舰，飞机为了保证安全，需要在距离军舰水平距离s=1000m时投下炸弹，若军舰发现飞机投
下炸弹时立即以加速度a=2m/s2开始做匀加速直线运动，与飞机运动方向相同，结果炸弹仍然命中目标，
不计军舰大小，不计空气阻力（g=10m/s2），求：(1)炸弹从投出至命中目标经过的时间；
(2)飞机释放炸弹时飞行速度的大小v；
(3)若军舰不动，同时竖直向上发炮拦截炸弹，发射炮弹的速度大小v 应为多少才能成功拦截？
0
【答案】(1)10s
(2)110m/s
(3)55m/s
【解析】（1）根据题意，炸弹做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，由
1
H = gt2
2
解得
t=10s
（2）根据题意，炸弹做平抛运动，水平方向有
1
vt =s+ at2
2
解得飞机释放炸弹时飞行速度的大小为
v=110m/s
（3）根据题意，炸弹在竖直方向做自由落体运动，若军舰不动，发射炮弹竖直向上做上抛运动，若要成
功拦截，在竖直方向上有
1 1
H = gt¢2+（v t¢- gt¢2）
2 0 2
炸弹在水平方向有
s=vt¢
联立解得
v =55m/s
0