第4节抛体运动的规律（举一反三讲义）（原卷版）_2026高考物理_222026版物理《高考一轮复习举一反三》全国版_2026《高中物理•举一反三系列》必修二(RJ)_第五章抛体运动

第 4 节 抛体运动的规律
目录
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................1
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：平抛运动的速度................................................................................................................................2
知识点2：平抛运动的位移与轨迹....................................................................................................................4
知识点3：平抛运动的两个重要推论................................................................................................................6
知识点4：斜抛运动............................................................................................................................................9
知识点5：有约束的平抛运动..........................................................................................................................12
【方法技巧】.............................................................................................................................................................14
方法技巧1 平抛运动时间和水平射程............................................................................................................14
方法技巧2 逆向思维解决斜抛运动................................................................................................................14
方法技巧3 平抛运动的特殊分解方法...........................................................................................................14
【巩固训练】.............................................................................................................................................................15
【学习目标】
1. 知道平抛运动的受力特点，会运用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析。
2. 理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹，会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的
实际问题。
重点：
通过运动的分解，会确定平抛运动的速度、位移和运动轨迹。
难点：
掌握平抛运动的规律，能运用平抛运动的规律解决实际问题
【思维导图】【知识梳理】
知识点 1：平抛运动的速度
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动。
2．平抛运动的速度
以初速度v 沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。
0
(1) 水平方向：𝑣
𝑥=
(2)竖直方向：水平抛出经时间t后，𝑣
𝑦=(3)合速度
大小：v＝ v2＋v2＝ ；
x y
v
方向：tan θ＝ y＝ (θ是v与水平方向的夹角)
v
x
【典例1】（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高
的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则
水离开出水口的速度大小为（ ）
D g D g
A． B．
4 h 4 2h
( 2+1)D g g
C． D．( 2+1)D
2 2h 2h
【变式1】（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处
荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在
c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（ ）
A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d
【变式2】（2025·四川·模拟预测）如图所示，将飞镖以大小为v 的速度水平射出，飞镖插入墙面时速度与
0
竖直方向夹角为60°，若不考虑所受的空气阻力，则飞镖在空中的运动时间为（ ）v 3v 3v 3v
A． 0 B． 0 C． 0 D． 0
g 2g g 3g
【变式3】掷飞镖是在现代体育项目中一个重要的比赛项目．如图所示，现有一运动员从同一位置先后水
平掷出两支相同的飞镖，落在同一竖直标靶上，飞镖A与竖直标靶成角53°，B与竖直标靶成角37°，落点
相距为d，不计空气阻力，则：
（1）飞镖A与B在空中飞行的时间之比为多少？
（2）该运动员掷飞镖的位置与标靶的水平距离为多少？
知识点 2：平抛运动的位移与轨迹
1. 平抛运动的位移
以初速度v 沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。
0
水平抛出经时间t后：
(1)水平方向：x＝
(2)竖直方向：y＝
(3)合位移：①大小l＝ x2＋y2=
②方向与水平方向夹角满足tan α＝
2.平抛运动的轨迹
x 1
根据x＝v t求得，t＝ ，代入y＝ gt2得y＝ ，平抛运动的轨迹是一条 。
0 v 2
0
【典例2】（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离
水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加
速度为g，h远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间t；
（2）水从管口排出时的速度大小v ；
0
（3）管口单位时间内流出水的体积Q。
【变式1】如图所示光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的
竖直高度为h=0.4m；在距地面高为H =1.2m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管
内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M 处进入管内，设小球弹出点O到管口M 的水平距离
为x，弹出的初速度大小为v ，重力加速度g取10m/s2。关于x和v 的值，下列选项正确的是（ ）
0 0
A．x=1.6m，v =4m/s B．x=1.6m，v =4 2m/s
0 0C．x=0.8m，v =4m/s D．x=0.8m，v =4 2m/s
0 0
【变式2】中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一
手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿
的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加
速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
g g
D．若初速度为v ，则L <v <3L
0 2h 0 2h
【变式3】（2025·四川·模拟预测）某同学借助安装在高处的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。该同学站
在水平地面上，与出球口水平距离l = 2.5 m，举手时手掌距地面最大高度h = 2.0 m。发球机出球口以速度
0
v = 5 m/s沿水平方向发球。从篮球发出到该同学起跳离地，耗时t = 0.2 s，该同学跳至最高点伸直手臂恰
0 0
能在头顶正上方接住篮球。重力加速度g大小取10 m/s2。求：
(1)t 时间内篮球的位移大小；
0
(2)出球口距地面的高度。
知识点 3：平抛运动的两个重要推论
1. 推论一：平抛运动的物体，在任一时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。理论推导：速度偏向角的正切值 ①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 ②
联立①②式解得𝑥 = 1 𝑣 𝑡= 1 𝑥
𝑂𝐵 0 𝐴
2 2
2. 推论二：做平抛运动的物体，从抛出点开始，任意时刻平抛运动的速度方向与水平方向的夹角θ和位
移方向与水平方向的夹角α的关系是tanθ＝2tanα
理论推导：tanθ＝ v y＝ ，tanα＝ 𝑦 𝐴＝ ，故tanθ＝2tanα。
v x 𝑥 𝐴
【典例3】如图所示，从倾角为α的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，均落到斜面
上，当抛出的速度为v 时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，当抛出的速度为v 时，小球到
1 1 2
达斜面时速度方向与斜面的夹角为，若不考虑空气阻力，则（ ）
2
A． 可能大于
1 2
B．可能小于
1 2
C．一定等于
1 2
D．、的大小关系与斜面的倾角α无关
1 2
【变式1】如图，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶端O点水平抛出，分别落到斜面上的A、B两点，
OB=9OA，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）A．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1:2
B．甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向相同
C．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为2:1
D．甲、乙两球运动过程中速度变化量的方向不相同
【变式2】如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以被为一个平整的斜面，运动员每次都
以不同的速度将箭由水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭
头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点
是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投
影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度
g取10m s2。则下列说法正确的是（ ）
A．QM的长度为20m
B．OP与x与水平方向的夹角为22.5°C．质点在P点的速度v大小为40m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
知识点 4：斜抛运动
将物体以初速度v 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在 作用下的运动。
0
1. 研究方法
斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。水平方向：物体做 运动；
竖直方向上物体做 运动。
2. 运动规律
(1)速度规律
水平速度v ＝v ＝ 。 竖直速度v ＝v －gt＝ 。 t时刻的速度大小v＝
x 0x y 0y
v2＋v2。
x y
(2)位移规律
水平位移x＝ 。 竖直位移y＝ 。
t时间内的位移大小s＝ x2＋y2。
3．最大高度和射程
2v v2
(1)斜上抛运动的飞行时间t＝ 0y＝ 。 (2)最大高度h＝ 0y＝ 。
g 2g
(2)射程s＝v cosθ·t＝ ，在v 大小不变的情况下，随θ的增大，射程也增大，当θ＝45°时，
0 0
射程达到最大值，随θ的继续增大，射程减小。
4. 斜上抛运动的对称性(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两段上升时间等于下降时间。
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
【典例4】（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图
所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v ，末速度v沿x
0
轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方
向分速度v 和竖直方向分速度v 与时间t的关系，下列图像可能正确的是（ ）
x y
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次
抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于
P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v 和v ，其中v 方向水平，v 方向斜向上。忽略空气阻力，
1 2 1 2
关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v
1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等
【变式2】某人在离地面1.4m的高度，将质量0.4kg的小球以v =10m/s的速度斜向上抛出，小球的初速
0
度方向与水平方向之间的夹角为37o，不计空气阻力，g=10m/s2,求
（1）小球从抛出点上升的最大高度；
（2）小球在空中运动的时间；
（3）小球落地点与抛出点的水平距离。
【变式3】（24-25高一下·广西贵港·月考）如图所示，一跳台滑雪运动员（视为质点）自雪道M处自由滑
下，在O处腾空时速度与水平方向的夹角为30°，落在倾角为30°的斜坡上的Q点（未画出）。运动员在
空中P点（未画出）离斜坡最远，最远距离为5 3m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则（ ）
A．运动员在P点的速度大小为10m/sB．运动员腾空 2s后到达空中P点
C．落点Q距离O点40m
D．运动员在O点的速度大小为10m/s
知识点 5：有约束的平抛运动
1. 斜面约束
（1）从斜面上抛出，又落回到斜面上
1 y
抛出后运动时间为t，水平方向：x＝v t 竖直方向：y＝ gt2 θ与v 、t的关系：tanθ＝ =
0 2 0 x
（2）从斜面外抛出，又垂直落回到斜面上
v v
抛出后运动时间为t，水平方向：v ＝v 竖直方向：v ＝gt θ与v 、t的关系：tanθ＝ x＝ 0
x 0 y 0 v gt
y
2. 曲面约束
（1）从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上
抛出后运动时间为t，抛出后运动时间为t，利用几何关系求解位移关系x=v t 𝑦= 𝑅2
0
=(𝑥−𝑅)2+𝑦2
（2）从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的
切线方向抛出后运动时间为t，分解速度，构建速度三角形x=v
0
t 𝑣
𝑦
=𝑔𝑡 𝑡𝑎𝑛𝜃= 𝑣 𝑦=
𝑣
𝑥
【典例5】如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端P以速度v 抛出一个小球，落在斜面上处Q点，小
0
球落在斜面上的速度与斜面的夹角a，若把初速度变为2v ，则（ ）
0
A．PQ间距一定为原来间距的2倍 B．空中的运动时间变为原来的 2倍
C．夹角a将变大 D．夹角a将不变
【变式1】如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球
8
初速度为v = gR ，为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（ ）．
0 5
A．=37°
3
B．=arccos
4
3
C．=arccos
4
D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽
【变式2】如图，倾角30°的固定斜面上有一小球B，位于同一水平高度有另一小球A，将A、B分别以v
1
和v 水平相向抛出，恰好都落在斜面上的C点，且小球A恰好垂直斜面落在C处，则初速度v 、v 之比为
2 1 2
（ ）A．1：2 B．2：3 C．3：2 D．2：1
【变式3】如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点
以水平向右的初速度v 抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度v 抛出，不计空气阻力，两
A B
物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP=37°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是（ ）
A．物体B比A先到达P点
B．A、B物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为v :v =16:9
A B
D．抛出时，两物体的速度大小之比为v :v =4:3
A B
【方法技巧】
方法技巧 1 平抛运动时间和水平射程
2h
(1)运动时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v无关。
g 0
2h
(2)水平射程：x＝v t＝v ，即水平射程由初速度v和下落高度h共同决定。
0 0 g 0
方法技巧 2 逆向思维解决斜抛运动
斜抛运动由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
方法技巧 3 平抛运动的特殊分解方法对与一些问题，比如求平抛运动到斜面的最大距离时，可将平抛运动分解到沿斜面和垂直于斜面这两个方
向的直线运动，分析两个方向的运动规律，列方程求解。
【巩固训练】
1．如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断
正确的是（ ）
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
2.如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P
点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出
至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（ ）
L L
A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于
v v
L L
C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于
v v
3.（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速
率v 水平向右抛球，小孩以速率v 水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平
1 2
距离为l时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则v 为（ ）
12g g H -h 2(H -h)
A．l -v B．l -v C．l -v D．l -v
H -h 2 2(H -h) 2 2g 2 g 2
4.（24-25高二上·山西晋中·开学考试）从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，
三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正
确的是（ ）
A．落在a点的小球撞在墙面的速度最小
B．三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式v >v >v
a c b
C．落在c点的小球飞行时间最短
D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点
5.（25-26高三上·山东日照·期中）如图所示，乒乓球自动发球机出球口中心位于水平球桌左侧边缘中点正
上方，距桌面的高度为H，球桌长度为L、宽度为D，球网高度为h。发球速度的大小和方向均可调节，
忽略空气阻力，乒乓球可以看成质点，重力加速度大小为g。若乒乓球以速度v沿水平方向发出，能够直
接越过球网并落在右侧桌面上，则v的（ ）L g L 2g
A．最小值为 B．最小值为
2 2H 2 H -h
g æ D2 ö g
C．最大值为  L2+D2 D．最大值为 çL2+ ÷
2H è 4 ø2H
6.如图，以9.8m/s的水平初速度v 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，则
0
物体完成这段飞行的时间是（取g=9.8m/s2）（ ）
3 2 3
A． s B． s C． 3s D．2s
3 3
7.一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v 射出，最后从B处离开斜面，
0
下列说法不正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
1 2h
C．小球从A处到达B处所用的时间为
sin g
2h
D．小球到达B处的水平方向位移大小s=v
0 g
8.（2024·安徽合肥·三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度v 从跳台顶端A水平飞出
0
，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离
为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括
滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（ ）v2sintan2 v2sintan2
A． 0 B． 0
2g g
v2sin2tan2 v2sin2tan2
C． 0 D． 0
2g g
9.（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰
撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，
球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（ ）
3 4 3 5
A． H B． H C． H D． H
4 5 5 6
10.（2024·江苏·高考真题）某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水（
）
A．加速度相同
B．喷出时的初速度相同
C．在最高点的速度相同
D．在空中的运动时间相同11.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为
原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（ ）
2 t t
A．t B． t C． D．
2 2 4
12.如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点
；第二次落在斜面底端C点，已知AB∶BC = 1∶3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．两次小球在空中的时间之比为1:2
B．两次小球水平抛出的初速度之比为1: 3
C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1:2
D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为2:1
13.（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为
环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度v 和v 水平相向抛出，初速
1 2
度为v 的小球落到a点所用时间为t ，初速度为v 的小球落到b点所用时间为t ，a点高度大于b点高度
1 1 2 2
，不计空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的初速度一定有v <v
1 2B．两小球落到圆环上所用的时间满足t <t
1 2
C．不论v 和v 满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
1 2
D．若两小球同时水平抛出，不论v 和v 满足什么关系，两小球都能在空中相遇
1 2
14.从A点以初速度v =3m/s水平抛出一个小球，落在倾角为37°的斜面上的B点，小球到达B点时速度方
0
向恰好与斜面垂直．已知g=10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求
（1）小球到达B点时的速度大小；
（2）A、B两点的高度差.
15.（24-25高三上·安徽·期中）为了祖国的统一，为了维护世界的和平，2024年10月14日中国人民解放
军东部战区组织陆军、海军、空军、火箭军等兵力开展“联合利剑—2024B”一次大规模的围台军演。如图所
示，某科目军事演习，红军“轰—20”轰炸机在离海面高H=500m高处水平飞行，发现远处海面有一艘静止
的蓝军模型军舰，飞机为了保证安全，需要在距离军舰水平距离s=1000m时投下炸弹，若军舰发现飞机投
下炸弹时立即以加速度a=2m/s2开始做匀加速直线运动，与飞机运动方向相同，结果炸弹仍然命中目标，
不计军舰大小，不计空气阻力（g=10m/s2），求：
(1)炸弹从投出至命中目标经过的时间；
(2)飞机释放炸弹时飞行速度的大小v；
(3)若军舰不动，同时竖直向上发炮拦截炸弹，发射炮弹的速度大小v 应为多少才能成功拦截？
0