文档内容
第 2 节 运动的合成与分解
目录
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................1
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：一个平面运动的实例........................................................................................................................2
知识点2：运动的合成与分解............................................................................................................................5
知识点3：小船渡河模
型....................................................................................................................................10知识点4：关联速度
模型....................................................................................................................................12
【方法技巧】.............................................................................................................................................................31
方法技巧 小船渡河...........................................................................................................................................16
方法技巧 解决关联速度问题的思路...............................................................................................................16
【巩固训练】.............................................................................................................................................................17
【学习目标】
1．通过蜡块的运动理解合运动、分运动的概念，会分析互成角度的两个分运动的合运动的运动性质。
2．掌握运动的合成与分解的方法。
3．体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能运用这种思想分析解决实际问题。
重点：
1．通过对合运动与分运动的分析，知道合运动与分运动的关系。
2．能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移。
3．能利用运动的合成和分解知识分析关联速度问题，掌握绳关联和杆关联速度分解的方法。
难点：
1.学会判断合运动的轨迹和性质。
2.会解决小船渡河问题。
【思维导图】【知识梳理】
知识点 1：一个平面运动的实例
1．实验观察蜡块的运动规律
蜡块在竖直玻璃管内向上 ，将玻璃管沿水平方向 ，观察到蜡块
做 。
2.蜡块的位移与位置蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为v ，玻璃管向右匀速移动的速度设为v 。从蜡块开始运动
y x
的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示 ， 。
3．蜡块运动的轨迹
在x、y的表达式中消去t，得y=𝑣
𝑦𝑥，由于v 和v 均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。
x y
𝑣
𝑥
4．蜡块的速度
由勾股定理可得：v＝ ，v与x轴正方向间夹角的正切为
【典例1】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R（R视为质点）。将玻
璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R
在x、y方向的运动情况可能是（ ）
A．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀速直线运动
B．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
C．x方向上做匀减速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
D．x方向上做匀加速直线运动，y方向上做匀速直线运动
【变式1】如图所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将
玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿
水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（ ）A．速度不断增大 B．速度先增大后减小
C．运动的加速度保持不变 D．运动的加速度先水平向左后水平向右
【变式2】如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐
标原点以速度𝑣
0
=3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，1s时小
圆柱体的速度为𝑣=5cm/s。下列说法正确的是（ ）
A．小圆柱体做匀加速直线运动
B．小圆柱体的加速度是4cm/s2
C．0~1s内小圆柱体沿y轴方向的位移为2cm
D．该时刻小圆柱体到坐标原点的距离为5cm
【变式3】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R（R视为
质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度𝑣
0
=3cm/s匀速
上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为(4cm,6cm)，
则此时（ ）
A．R的加速度大小为2cm/s2 B．R的加速度大小为4cm/s2C．R的速度大小为4cm/s D．R的速度大小为5cm/s
知识点 2：运动的合成与分解
1． 合运动与分运动
（1）一个物体同时参与几个运动，那么物体 叫做合运动，参与的那几个运动叫做
。
（2）合运动与分运动的关系
（1） 等时性---合运动和分运动经历的时间 ；
（2）独立性---各分运动 进行，互不影响；
（3）等效性---各分运动的规律叠加起来和合运动的规律 ；
（4）同体性---各分运动与合运动是 物体的运动。
合运动与分运动
运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解，物体实际运动（合运动）的位移、速
度、加速度就是物体的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是物体的分位
移、分速度、分加速度。合运动的位移、速度、加速度可以比两个分运动的位移、速度、加速度都
大，也可以比两个分运动位移、速度、加速度都小，还可以等于其中一个分速度的位移、速度、加速
度。
2． 运动的合成与分解
（1）由分运动求合运动的过程叫作 ；由合运动求分运动的过程叫作 。运动
的合成与分解指的是对位移、速度、加速度这些描述运动的物理量进行合成与分解。
（2）运算法则：
①分解方法：可以根据运动的 分解；也可以 分解。
②位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循 定则。
3． 合运动的性质
（1）合运动性质的分析方法
①F(𝑎 )与v共线，物体做直线运动，若F(𝑎 )不变，为匀变速直线运动；若F(𝑎 )变化，为非匀变
合 合 合
速直线运动。②F（𝑎 )与v不共线，物体做曲线运动，若F(𝑎 )不变，为匀变速曲线运动；若F(𝑎 )变化，为非匀
合 合 合
变速曲线运动。
（2）两个互成角度的直线运动合成
两个匀速直线运 一个匀速直线运动 两个初速度为0的匀加 两个初速度不为0的匀加速直线运
分运动 动 一个匀变速直线运 速直线运动 动
匀速直线运动 匀变速曲线运动 初速度为0的匀加速直 可能是匀变速直线运动
合运动 线运动 可能是匀变速曲线运动
𝒂
𝒂
矢量图 𝟏
𝒂
𝟐
判断合运动的性质
判断互成角度的直线运动的合运动性质，关键是判断合初速度与合加速度是否共线、合加速度是否恒
定，
合成两个直线运动的初速度，得到合初速度；合成两个直线运动的加速度，得到合加速度。
【典例2】关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动
【变式1】如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔贴着细线的顶端水平向右匀速移动，运
动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。在铅笔未碰到橡皮前，关于橡皮的运动下列说法正确的是（
）A．橡皮做匀加速直线运动
B．橡皮做匀速直线运动
C．橡皮做匀变速曲线运动
D．橡皮做速率不变的曲线运动
【变式2】无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右
、竖直向上为𝑥轴、𝑦轴的正方向，某架参演的无人机在𝑥、𝑦方向的𝑣−𝑡图像分别如图甲、乙所示，则在
0∼𝑡 时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
2
A． B．
C． D．
【变式3】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，
在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是（ ）A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．运动员着地时的速度方向竖直向下
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【典例3】我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无
人机配送质量为2kg的物件时，物件水平𝑥轴方向和竖直𝑦轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示，以竖
直向上为正方向。重力加速度𝑔取10m/s2
，下列说法正确的是（ ）
A．物件在1∼3s内做变减速曲线运动
B．物件在水平方向加速度大小为4m/s2
C．物件在1s时的速度大小为3m/s
D．物件在0∼3s提升的高度为4.5m
【变式1】某快递公司用无人机配送快递，某次配送质量为1kg的快递，在无人机飞行过程中，0~10s内快
递在水平方向的速度—时间图像如图甲所示，竖直方向（初速度为零）的加速度—时间图像如图乙所示，
下列说法正确的是（ ）A．快递做匀变速曲线运动
B．快递在0~10s内的位移大小为75m
C．10s末快递的速度为10 26m/s
D．1s末快递受到合力大小为4 2N
【变式2】某物体的运动分解为相互垂直的x方向和y方向的𝑣−𝑡图像如图所示。在0~1s内，下列判断正
确的是（ ）
A．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为10m/s2
，做匀变速直线运动
B．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为10m/s2
，做匀变速曲线运动
C．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为14m/s2
，做匀变速直线运动
D．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为14m/s2
，做匀变速曲线运动
【变式3】某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、
乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（ ）A．质点的运动轨迹是直线
B．𝑡=2s时，质点的合速度方向与水平方向成45°
C．𝑡=3s时，质点的合速度大小为 13m/s
D．𝑡=4s时，质点的合位移大小为16m
知识点 3：小船渡河模型
1. 模型特点
(1)船的实际运动是船随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三个速度v (船在静水中的速度)、v (水流速度)、v (船的实际速度)（如图甲所示）。船头指向是
船 水 合
船在静水中的速度方向，船的实际运动方向是合运动的方向。
2. 分析方法
将船的运动分解为船随水流的运动和船在静水中的运动，如图乙所示。v 表示水流速度，v 表示船
水 船
在静水中的速度，θ表示船头与河岸间的夹角，将船的速度v船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分
解，则v －v cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v ＝v sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。两
水 船 ⊥ 船
个方向的运动情况相互独立、互不影响。
3.最短渡河时间与最短渡河位移
情况 图示 说明
渡河
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝
min
时间 d
v
最短 船如果v ＞v ，当船头方向与上游夹角θ满足v cos θ＝v
船 水 船 水
时，合速度方向垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河
位移
最短
如果v ＜v ，当船头方向(即v 方向)与合速度方向垂直
船 水 船
dv
时，渡河位移最短，等于 水
v
船
【典例4】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是
瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（ ）
𝑏
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为𝑡=
𝑣
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短
𝑎𝑣
C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为𝑣 min = 𝑏
𝑎𝑣
D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为𝑣 min =
𝑎2+𝑏2
【变式1】假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300m的水域
的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关
系如图乙所示，则关于小船渡过这段水域的运动，下列说法正确的是（ ）
A．最短时间为100s B．最小位移大于300m
C．最大速度为3.5m/s D．运动轨迹为直线【变式2】如图，小船以大小为𝑣 1＝5m/s、船头与上游河岸成𝜃＝60°角的速度（在静水中的速度）从A处
渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽𝑑＝180m，则下列说法中正确的是（ ）
A．河中水流速度为2.5 3m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 3s
C．小船渡河的最短时间为24s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是85 5m
【变式3】如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 𝑣 =5m/s的河流中进行水上救援演练，
1
可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v ，则（ ）
2
A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安
全到达对岸
B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v 不得小于3m/s
2
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 𝑣 =10m/s匀速航行，则恰能到达正对岸
2
D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s
知识点 4：关联速度模型
1. 模型特点关联速度问题一般是由绳(或杆)相牵连的物体或直接接触的两物体问题（高中阶段研究的绳都是不可伸长
的，杆都是不可伸长且不可压缩的），在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳、沿杆或
垂直于接触面方向的速度大小相等，称为关联速度。
2. 分析方法
物体的实际运动就是合运动。把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分
量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。
3. 常见模型
速度关系 图例
𝑣 =𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
物
绳模型
𝑣 =𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐵 物
𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝐵 𝐴
杆模型 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑣 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝐴 𝐵
【典例4】如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量
，当绳子与水平面夹角为𝜃时，下面说法正确的是（ ）
𝑣
A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为𝑣cos𝜃
cos𝜃C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力
【变式1】如图，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。轻环
A在外力作用下沿杆匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置过程中（ ）
A．重物B匀速下降 B．重物B加速下降
C．绳对B的拉力小于B的重力 D．绳对B的拉力大于B的重力
【变式2】如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与
放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为夹角为37°、53°，两物体的
20 3 4
速率分别为𝑣 、𝑣 ，且此时𝑣 +𝑣 = m/s，sin37°= 、cos37°= ，则𝑣 的大小为（ ）
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 3 5 5 𝐴
10 4
A． m/s B． m/s C．2m/s D．4m/s
3 3
【变式3】如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角
为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么（ ）
A．5 s时绳与水面的夹角为60°
B．5 s时小船前进了15 mC．5 s时小船的速率为5 m/s
D．5 s时小船到岸边距离为10 m
【典例5】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆𝐿 、𝐿 ，两杆不接触，间距可忽略不计。两个小
1 2
球a、b均视为质点，a球套在竖直杆𝐿 上，b球套在水平杆𝐿 上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，当轻杆
1 2
与竖直方向的夹角为𝛼时，小球a的速度大小为𝑣 ，则此时小球b的速度大小为（ ）
0
𝑣
A．𝑣
𝑎
sin𝛼 B．𝑣
𝑎
cos𝛼 C．𝑣
𝑎
tan𝛼 D．
tan
𝑎
𝛼
【变式1】如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v ，半圆柱体上有一根能沿竖
0
直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角
为θ，下列说法正确的是（ ）
A．竖直杆向下做加速直线运动
B．竖直杆向下做减速直线运动
C．v ：v =tanθ：1
0 杆
D．v ：v =1：tanθ
0 杆
【变式2】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖
直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【变式3】曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，
从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴
上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速n=1800r/min,OA=20cm,AB=60cm，
下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为8 2πm/s
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为12πm/s
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为4 10πm/s
【方法技巧】
方法技巧 1 小船渡河
1. 求最短渡河位移时，要先判断船速与水速的大小关系，如果船速小于水速，船不能垂直到达河岸，当
船速与合速度垂直时，有最短渡河位移，但此时渡河时间不是最短。2. 渡河时间与水速无关，只要船头垂直于河岸，渡河时间就最短。
方法技巧 2 解决关联速度问题的思路
【巩固训练】
1．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在一端封闭的细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做的小圆
柱体A，玻璃管的开口用橡皮塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块A从坐标原点以速度v 匀速上浮，在蜡块匀速
0
上升的同时，将玻璃管沿ⅹ轴正方向由静止开始做匀加速直线运动。蜡块A的运动轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
2.（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）关于运动，以下说法正确的是（ ）A．物体受变力作用不可能做直线运动
B．物体受恒力作用不可能做曲线运动
C．两个初速度为0，加速度不同的匀变速直线运动的合运动有可能是曲线运动
D．分运动一是匀速直线运动，分运动二是匀加速直线运动，若这两个运动的方向不在一条直线上，
则其合运动一定是曲线运动
3.（25-26高三上·山东烟台·期中）某质点在Oxy平面上运动，其沿x轴方向运动的加速度一时间图像如图
甲所示，沿y轴方向运动的位移一时间图像如图乙所示。已知t=0时，质点位于y轴上，它沿x轴方向速
度为1m/s。则t=3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为（ ）
A． 5 2m B． 61m C． 74m D． 89m
4.（24-25高一下·广东肇庆·期末）小船横渡一条两岸平直的河流，水流速度方向与河岸平行，船相对于静
水的速度大小不变，且船头始终垂直指向河岸，小船由P到Q的运动轨迹如图所示。关于小船渡河的过程
，下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河的时间与水流的速度无关
B．小船做匀变速曲线运动
C．河水各处的流速均相等
D．小船的实际速度一直在变大5.（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓
意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者
B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为q，则（ ）
A．A匀速运动时，B加速上升
B．A匀速运动时，B也匀速上升
C．当q=30o时，A与B的速度大小之比为 3:2
D．当q=30o时，A与B的速度大小之比为2: 3
6.（24-25高一下·云南文山·期中）关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于分运动的速度
B．运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解
C．合运动的时间等于各分运动的时间之和
D．分运动是变速直线运动，则合运动必是曲线运动
7.火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一
根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v 匀速运动，被救助的人员紧抱在
0
M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当BN =2h时，被救人员向B点运动的速率是（ ）3 1
A．v B．2v C． v D． v
0 0 2 0 2 0
8.一质点在直角坐标系𝑥𝑂𝑦所在平面内由𝑂点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化如图所示
。则（ ）
A．3s末质点速度的大小为7m/s
B．前3s质点做匀变速直线运动，加速度大小为1m/s2
C．3−4s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5m/s2
D．3−4s内质点的位移大小为7.5m
9.如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数𝜇=0.2，杆的竖直部分光滑
。两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连，已知：𝑂𝐴=6m，𝑂𝐵=8m，若A球
在水平外力作用下向右移动的速度为3m/s时，则B球的速度为（ ）
A．1.5m/s B．2.25m/s C．3m/s D．4m/s
10.（24-25高一下·河南开封·期末）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的
速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ ）A．船渡河的最短时间是60s
B．船在行驶过程中，船头必须始终偏向河岸上游
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
11.（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图甲，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为
3m/s.假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（ ）
A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为150m
B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s
C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为150m
100 100
D．如图乙，若出发点 3m以下均为危险区，小船过河的最短时间为 3s
3 3
12.（24-25高一上·重庆·期末）曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转化的主要运动零件。如图
所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲
轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v =12m/s的匀速圆周运动，已知OP=6m，PQ=8m，则下列说法正
0
确的是（ ）A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于12m/s
B．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度为零
C．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为10m/s
D．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为15m/s
13.2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种
特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在
静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为𝑑=200m，水流速度
为3m/s，方向与河岸平行，求：
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6m/s，小船在静水中的速度为4m/s不变，此种情况下渡河最短位移及
渡河时间分别为多少？
