2.万有引力定律（举一反三讲义）（解析版）_2026高考物理_222026版物理《高考一轮复习举一反三》全国版_2026《高中物理•举一反三系列》必修二(RJ)_第七章万有引力与宇宙航行

第 2 节 万有引力定律 目录 【学习目标】...............................................................................................................................................................1 【思维导图】...............................................................................................................................................................1 【知识梳理】...............................................................................................................................................................2 知识点1：行星与太阳间的引力、月-地检验..................................................................................................2 知识点2：万有引力定律....................................................................................................................................6 【方法技巧】.............................................................................................................................................................13 方法技巧 用“填补法”计算万有引力...........................................................................................................13 【巩固训练】.............................................................................................................................................................13 【学习目标】 1．在开普勒行星运动定律、匀速圆周运动知识和牛顿运动定律的基础上，推导得到太阳与行星间的引力 表达式，并初步理解其物理意义。 2．了解月-地检验的内容。 3．理解万有引力定律的内容及条件。 重点： 理解万有引力定律的内容、含义及适用条件 难点： 能应用万有引力定律求解实际问题 【思维导图】【知识梳理】 知识点 1：行星与太阳间的引力、月-地检验 1．行星与太阳间的引力 （1）近似处理：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动 （2）理论推导：太阳对行星的引力 太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力F＝m𝑣2 ； 𝑟 2𝜋𝑟 行星绕太阳运行的线速度：𝑣= ； 𝑇 𝑟3 由开普勒第三定律知，行星轨道半径r与周期T的关系： ＝k。 𝑇2 m 𝑚 于是得出：F＝4π2k ，即F∝ 。 r2 𝑟2 （3）行星对太阳的引力 由牛顿第三定律可得行星对太阳的引力F也应与太阳的质量m 成正比，即F∝ 𝑚太。 太 𝑟2 （4）综合可知太阳与行星之间的引力F∝ 𝑚 𝑚太 ，即F=𝐺 𝑚 𝑚太 𝑟2 𝑟2 2．月-地检验 （1）猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种性质的力。 （2）检验方法：𝐺𝑀𝑚 ①假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F= 。 𝑟2 根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度𝑎 = 𝐺𝑀 地 ，式中M 是地球质量，r是地球中心 月 𝑟2 地 与月球中心的距离。 𝐺𝑚 ②假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度g= 地，式中R是地球中心 𝑅2 a r2 与苹果间的距离。由以上两式可得 月  。由于月球与地球中心的距离约为地球半径的 60 倍，所以 g R2 a 1 月  。 g 602 （3）结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律 。 【典例1】牛顿进行了著名的月地检验，验证了苹果下落的力和使月球绕地球运动的力是同一种性质的力 ，同样遵从“平方反比”规律。在进行月地检验时，不需要用到的物理量是（ ） A．月球公转的周期 B．地球与月球的距离 C．地表的重力加速度 D．地球自转的周期 【答案】D 【解析】月球绕地球做匀速圆周运动，则有 v2 F m r 由向心加速度的表达式得 æ2prö 2 ç ÷ v2 è T ø a  r r 可得 4p2r a T2 可得 a 4p2r  g gT2根据牛顿的猜想，若两个引力都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律，都是由地球的吸引产 生的，设地球的质量为M，月球质量为m，则 GMm maµ r2 地球表面的物体：有 GMm' m'aµ R2 a R2 a 4p2r 所以  与  的结果比较可知，两种情况下的计算的结果是近似相等的，可知牛顿的猜想是正 g r2 g gT2 确的。所以在进行月地检验时，需要用到的物理量除了地球的半径和月地距离外，还需要的是月球公转的 周期以及地球的重力加速度；地球自转的周期不需要用到。 故选D。 【变式1】假设某行星围绕太阳做圆周运动，下列说法中正确的是（ ） A．行星受到万有引力和向心力作用 B．行星与太阳之间的一对吸引力是平衡力 C．行星与太阳之间的一对吸引力，其力的性质是不相同的 D．太阳对行星的引力是行星围绕太阳运动的向心力 【答案】D 【解析】AD．某行星围绕太阳做圆周运动，行星受到太阳的万有引力作用，太阳对行星的引力提供向心力 ，故A错误，D正确； BC．行星与太阳之间的一对吸引力是相互作用力，其力的性质是相同的，故BC错误。 故选D。 【变式2】（多选）为了验证地球对月球的引力F 与地球对表面物体的引力F 遵循相同的规律，牛顿进行 1 2 了著名的“月地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球 半径为R，忽略地球自转影响。关于“月地检验”，下列说法中正确的是（ ） A．计算a需要测量引力常量G B．“月地检验”需要测量F、F 的大小 1 2C．g可以通过自由落体实验测量得出 a R2 D．若计算得  ，则验证了F、F 遵循相同的规律 g r2 1 2 【答案】CD 2p 【解析】A．计算a是根据a( )2r（T是月球绕地球的公转周期，r是月地距离）计算的，不需要测量 T 引力常量G，选项A错误； Mm BCD．因在地球表面的物体受到的引力G mg R2 Mm' g可以通过自由落体实验测量得出；月球绕地球有m'aG r2 a R2 若计算得  g r2 则验证了F、F 遵循相同的规律，不需要测量F、F 的大小，则B错误，CD正确。 1 2 1 2 故选CD。 【变式3】（多选）万有引力定律的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学” 的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。牛顿在发现万有引力定律的过程中做出了 一系列假设，其中包括下列选项中的（ ） A．行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力 B．太阳吸引行星，行星也同样吸引太阳，也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全 相当 C．地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力 D．可以使用卡文迪什扭秤用实验测得引力常数 【答案】ABC 【解析】A．牛顿基于开普勒定律提出行星运动所需的向心力来自太阳引力，即行星沿圆或椭圆运动，需 要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力，故A正确； B．牛顿认为引力是相互的，符合第三定律，故B正确；C．牛顿通过月地检验证实地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力，故 C正确； D．卡文迪什测量G的实验在牛顿之后，牛顿未假设此方法，故D错误。 故选ABC。 知识点 2：万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 和m 的乘积 1 2 成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。 m m 1 2 2．公式 F＝G 其中G=6.67×10-11N·m2/kg2 ，为引力常量，由卡文迪什测得。 r2 3．适用条件：适用于计算两质点间的相互作用；质量分布均匀的球体间的相互作用，此时r为两球心间的 距离。 4．性质： （1）普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都 存在着这种相互吸引的力。 （2）相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相 反，作用在两个物体上。 （3）宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天 体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 【典例2】两个质量相等的匀质球，球心相距r，它们之间的万有引力为F。若将两球心的距离增大到原来 的2倍，它们之间的万有引力变为（ ） 1 F A． F B． C．2F D．4F 4 2 【答案】A Gm2 【解析】设两个质量相等的匀质球质量为m，根据万有引力定律，则初始时万有引力为F  r2 Gm2 Gm2 1 将两球心的距离增大到原来的2倍，它们之间的万有引力变为F¢   F 2r2 4r2 4 故选A。1 1 【变式1】火星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球半径的 ，则同一物体在火星表面与在地球表面 10 2 受到的引力的比值约为（ ） A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 【答案】B 【解析】设物体质量为m，则在火星表面有 M m F G 1 = 1 R2 1 在地球表面有 M m F G 2 = 2 R2 2 由题意知有 M 1 1 = M 10 2 R 1 1  R 2 2 故联立以上公式可得 F M R2 1 4 1  1 2  ´ 0.4 F M R2 10 1 2 2 1 故选B。 1 【变式2】要使两质点间的万有引力减小到原来的 ，下列说法正确的是（ ） 4 A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 1 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 4 1 C．使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离变为原来的2倍 4 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 【答案】DMm 【解析】A．根据F G 可知，使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有 r2 1 引力减小到原来的 ，故A错误； 16 Mm 1 B．根据F G 可知，使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 ，则两质点间的万有引力不 r2 4 变，故B错误； Mm 1 C．根据F G 可知，使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离变为原来的2倍，则两质点间的万 r2 4 1 有引力减小到原来的 ，故C错误； 16 Mm D．根据F G 可知，使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍，则两质点间的万 r2 1 有引力减小到原来的 ，故D正确。 4 故选D。 mm 【变式3】（多选）关于万有引力定律的表达式F G 1 2 ，下列说法正确的是（ ） r2 A．公式中G为引力常量，它是由卡文迪许通过实验测得，其大小与单位制的选择有关 B．当r趋近于零时，万有引力定律不再适用，两物体间不存在相互作用的引力 C．万有引力大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体间距离成反比 D．m 对m 的引力与m 对m 的引力是一对作用力与反作用力 1 2 2 1 【答案】AD 【解析】A．公式中G为引力常量，它是由卡文迪许通过实验测得，其大小与单位制的选择有关，故A正 确； B．当两物体间的距离r趋向零时，两物体不能看成质点，万有引力定律不再适用，但两物体间存在相互 作用的引力，故B错误； C．两物体间的万有引力与质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，故C错误； D．m 对m 的引力与m 对m 的引力是一对作用力与反作用力，故D正确。 1 2 2 1 故选AD。【典例3】有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m 的质点 0 。现从m中挖去半径为0.5R的球体，如图所示，则剩余部分对m 的万有引力大小为（ ） 0 Gmm 7Gmm 7Gmm Gmm A． 0 B． 0 C． 0 D． 0 4R2 32R2 36R2 18R2 【答案】C GMm 【解析】根据题意，由万有引力公式F  可得，未挖去之前，球体和质点间的引力为 r2 Gm m Gm m F  0  0 1 2R2 4R2 挖去部分球体和质点间的引力为 GM¢m 4GM¢m F  0  0 2 æR ö 2 9R2 ç +R÷ è 2 ø 4 由公式M rV 及V  pr3可得 3 1 M'  m 8 则有 Gm m F  0 2 18R2 则剩余部分对m 的万有引力为 0 7Gm m F F -F  0 1 2 36R2 故选C。【变式1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中 R 央挖去半径为r的一部分球体，且r= ，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为（ ） 2 1 1 7 1 A． F B． F C． F D． F 4 8 8 6 【答案】C 【解析】设原球体的质量为M，质点P的质量为m ，球心与质点P的距离为L。根据 0 4 m= ρπr3 3 知挖去部分的小球的质量 1 m= M 8 未挖时，原球体对质点P的引力 Mm F=G 0 L2 挖去的部分对质点P的引力 Gmm 1 F'= 0  F L2 8 则剩余部分对质点P的引力 7 F″=F-F'= F 8 故选C。 【变式2】如图所示，空间有一半径为R质量分布均匀的球体，球的右侧有一质量为m的可视为质点的物 体，物体距离球体球心O之间的距离为2R，O与物体的连线在同一水平线上，球对物体的引力大小为F 1R 。现从球中挖走两个半径为 的小球，小球的球心O、O 与O点的连线在同一竖直线上。则剩余部分对 2 1 2 物体的引力大小为F 。则F :F 为（ ） 2 1 2   A．34 17:16 B．34 17: 34 17-16   C．17 17:16 D．17 17: 17 17-16 【答案】D 【解析】假设大球的质量为M，则该球对物体的引力大小为 GMm GMm F   1 2R2 4R2 挖走的小球质量为 4 æRö 3 rç ÷ 3 è 2ø M M¢ M  4 8 rR3 3 挖走的球与物体之间的距离为 r æ ç Rö ÷ 2 +2R2  17 R è 2ø 4 挖走的一个小球与物体之间的引力大小为 GM¢m F  r2 整理得 GMm F  34R2设O与物体的连线与水平方向的夹角为q，则挖走的两个小球与物体之间的引力为 1 GMm 2R 4GMm F 2Fcosq2´ ´  0 34R2 17 17 17R2 R 4 解得 F :F 17 17:16 1 0 F F -F 2 1 0 得   F :F 17 17: 17 17-16 1 2 故选D。 R 【变式3】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为 的小球体 2 ，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布 均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( ) Mm A．G B．0 R2 Mm Mm C．4G D．G R2 2R2 【答案】D 【解析】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与 挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的 R 1 万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为 的球，易知其质量为 2 8 M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力， 根据万有引力定律1 mM 8 Mm F＝G ＝G æRö 2 2R2 ç ÷ è 2ø Mm A．G ，与结论不相符，选项A错误； R2 B．0，与结论不相符，选项B错误； Mm C．4G ，与结论不相符，选项C错误； R2 Mm D．G ，与结论相符，选项D正确； 2R2 故选D． 【方法技巧】 方法技巧 用“填补法”计算万有引力 对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常 用“填补法”。对非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律 进行求解的方法。常见的类型是把从均匀球体上挖去的部分补上，使其成为半径为R的完整球体，再根据 万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可 得到球体剩余部分所受的万有引力。 【巩固训练】 1．如图所示，两个质量分布均匀的实心球，半径分别为r 、r ，质量分别为m 、m ，两球间距离为r，则 1 2 1 2 两球间相互引力的大小为（ ） mm mm mm mm A．G 1 2 B．G 1 2 C．G 1 2 D．G 1 2 r2 r r +r +r2 r +r +r 1 2 1 2 【答案】C 【解析】根据万有引力的公式可知两球间相互引力的大小为mm 1 2 F= r +r +r2 1 2 故选C。 2.关于万有引力定律，下列说法中正确的是（ ） A．牛顿最早测出G值 B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律 Mm C．由F＝G 可知两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，距离r趋于零时，万有引力无限 r2 大 D．引力常量G值大小与中心天体选择有关 【答案】B 【解析】A．卡文迪许最早测出G值，选项A错误； B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，选项B正确； Mm C．由F＝G 可知两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，距离r趋于零时，万有引力定律不再 r2 适用，选项C错误； D．引力常量G值大小与中心天体选择无关，选项D错误。 故选B。 3.如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上a、b、c、d四个位置中，该行 星受太阳引力最大的是（ ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【解析】根据万有引力定律可知Mm F G r2 相同条件下，两个物体间的距离越小，它们之间的万有引力就越大，由于“南大仙林星”在a点离太阳最近 ，故该行星在a点受到太阳的引力最大。 故选A。 4.（多选）在万有引力定律得出的过程中，物理学家进行了著名的“月—地”检测。已知月心到地心的距离r 、月球的公转周期T，地球的半径R、质量M，地球表面的重力加速度g，地面上物体所受重力F ，地球 1 吸引月球的力F 。下列关于“月—地”检测的说法中正确的是（ ） 2 A．“月—地”检测的目的是验证F 、F 是同一性质的力 1 2 B．“月—地”检测的目的是测定万有引力常量G C．用r、R、M和g正确推导就能完成“月—地”检测 D．用r、R、T和g正确推导就能完成“月—地”检测 【答案】AD 【解析】AB．“月—地”检测的目的是验证地球对月球的引力与地球对地面物体的引力是否为同一种性质的 力，并验证这种力是否遵循平方反比规律。故A正确，B错误； Mm 4p2r CD．对月球G m r2 T2 Mm 对地面上的物体G mg R2 4p2r 若计算得到R2 T2 就可以完成“月—地”检测。因此需要用到的物理量是r、R、T和g。故C错误，D正  r2 g 确。 故选AD。 5.如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、m¢ 间的引力大小成正比。现将小球m¢的质量增加为原来的两倍，m、m¢间的距离减小为原来的一半，则反射 光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的（ ）1 A．8倍 B．4倍 C．2倍 D． 倍 2 【答案】A Gmm¢ 【解析】设两小球之间的距离为r，则有F  r2 现将小球m¢的质量增加为原来的两倍，m、m¢间的距离减小为原来的一半，则有 Gm(2m¢) Gmm¢ F¢ 8 8F r r2 ( )2 2 因此反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的8倍。 故选A。 6.2025年5月29日凌晨1时31分，长征三号乙运载火箭点火起飞，飞行约18分钟后，将天问二号探测 器送入地球至小行星2016H03转移轨道。在探测器“奔向”小行星2016H03的过程中，用h表示探测器与地 球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h变化关系的图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】C GMm 【解析】根据万有引力定律可得F  (R+h)2 可知h越大，F越小，且F与h不是线性关系。故选C。 mm 7.（多选）关于万有引力公式 F G 1 2 的理解，以下说法中正确的是（ ） r2 mm A．公式 F G 1 2 只能计算两个质点之间的万有引力 r2 1 B．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的 2 1 C．两个质点质量不变，距离变为原来的 ，则它们之间的万有引力将变为原来的4倍 2 D．“月——地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律 【答案】CD mm 【解析】A．公式 F G 1 2 适用于两质点间或两质量分布均匀的球体之间的引力计算，故A错误； r2 1 B．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的 ，故B错误； 4 1 C．两个质点质量不变，距离变为原来的 ，则它们之间的万有引力将变为原来的4倍，故C正确； 2 D．“月——地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故D正确。 故选CD。 1 8.有一半径为R的匀质球体，距离球心2R处有一质点P。现从球体中心挖去半径为 R的球体，如图所示 2 。则挖去前后质点P受到万有引力的比值为（ ） 4 3 8 7 A． B． C． D． 3 4 7 8 【答案】C M 4 æ1 ö 3 7M 【解析】令匀质球体总质量为M 0 ，则球体中心挖去后剩余部分的质量 M 1 M 0 - 4 pR 0 3 × 3 p×ç è2 R÷ ø  8 0 3M m M m 挖去前后质点P受到万有引力F 0 G 2R 0 2 ，F 1 G 2R 1 2 F 8 解得 0  F 7 1 故选C。 9.已知自由落体加速度为g，月球与地球中心的距离为r，月球的公转周期为T，不考虑地球自转的影响， 要完成“月一地检验”还需要已知（ ） A．引力常量G B．地球的半径R C．地球的质量M D．月球的质量m 【答案】B 【解析】月—地检验的核心是验证地球对月球的引力与地球表面重力遵循相同的平方反比规律。已知条件 4p2r 为：地表重力加速度g、地月距离r、月球公转周期T。需验证月球公转向心加速度a 是否等于按 T2 R2 平方反比推算的加速度g¢g× ，其中R为地球半径。 r2 A．月—地检验通过比例关系验证，无需具体计算地球质量或引力常量G，故A不符合题意。 B．计算g¢时需已知R以确定地表重力与月球轨道处的比例关系，故B符合题意。 C．可通过T和r间接推导，地球的质量M 是非必要已知量，故C不符合题意。 D．月球的质量m在向心力公式中消去，无需已知，故D不符合题意。 结论：需已知地球半径R以完成比例验证。 故选B。 10.有一质量为M 、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从 1 M 中挖去半径为 R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力为（ ） 2GMm 14GMm GMm 7GMm A． B． C． D． 4R2 63R2 18R2 36R2 【答案】D GMm 【解析】根据题意，由万有引力公式F  可得，未挖去之前，球体和质点间的引力为 r2 GMm GMm F   1 (2R)2 4R2 GM¢m 4GM¢m F   挖去部分球体和质点间的引力为 2 1 9R2 ( R+R)2 2 4 1 由公式M rV 及V  pR3可得M¢ M 3 8 GMm 则有F  2 18R2 7GMm 剩余部分对的万有引力为F F -F  1 2 36R2 故选D。 11.2025年4月27日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将天链二号05星发射升 空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若卫星的质量为m，卫星在圆轨道上运行时所受地 球的万有引力大小为F ，地球的质量为M ，地球的半径为R，引力常量为G，则卫星运行时距地球表面 的高度为（ ） F GMm A． B． GMm F F GMm C． -R D． -R GMm F 【答案】D GMm GMm 【解析】由万有引力定律公式F  可得轨道半径r r2 F GMm 因此卫星高度为hr-R -R F 故选D。