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*2.3 垂径定理
＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重
合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于
E，OF⊥PB于F，求EF的长．
解析：运用垂径定理先证出 EF 是
1．进一步认识圆是轴对称图形； △ABP的中位线，然后运用三角形中位线性
2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归 质把要求的EF与AB建立关系，从而解决
纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论， 问题．
并能应用它解决一些简单的计算、证明和作 解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，
图问题；(重点) ∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位
3．认识垂径定理及推论在实际中的应 线，∴EF＝AB＝×10＝5(cm)．
用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但
点) 也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来
解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在
解决问题时才能得心应手．
一、情境导入 【类型二】 动点问题
你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”， 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB
位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代 ＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的
石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业 长度范围．
年间(公元605～618年)由著名将师李春建 解析：当点P处于弦AB的端点时，OP
造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶． 最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，
它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米， OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得
桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是 此时OP的长．
当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩 解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，
石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径 由垂径定理，得 AD＝DB＝AB＝4cm.又
是多少吗？ ∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝
二、合作探究 5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝
探究点一：垂径定理 ＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长
【类型一】 利用垂径定理求边 度范围是3cm≤OP≤5cm.
方法总结：解题的关键是明确OP最长、
最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容
易出错的地方是不能确定最值时的情况．
探究点二：垂径定理的实际应用
如图，点A、B是⊙O上两点，AB
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如图，一条公路的转弯处是一段
圆弧(图中的AB)，点O是这段弧的圆心，C
是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝
300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是
________m.
解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，
AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为Rm，根
据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，
解得R＝250.故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，
再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知
识进行解答．
三、板书设计
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆
的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，
可考虑垂径定理的应用．
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