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2．3 等腰三角形
第1课时 等腰(边)三角形的性质
方法总结：求角的度数时，①在等腰三
角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②
1．掌握等腰三角形的性质定理；(重点) 有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线
2．掌握等边三角形的性质定理；(重点) 平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互
3．能运用等腰(边)三角形的性质进行 补；③两条相交直线中，对顶角相等，两个邻
有关的证明或计算．(重点，难点) 补角之和等于180°.
【类型二】 分类讨论在等腰三角形求角
度中的运用
等腰三角形的一个角等于30°，
求它的顶角的度数．
一、情境导入 解析：本题可根据等腰三角形的性质和
我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中 三角形内角和定理求解，由于本题中没有明
的三角形是什么样的特殊三角形？这样的 确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
三角形我们是怎样定义的，有什么性质？ 解：①当底角是30°时，顶角的度数为
180°－2×30°＝120°；
②顶角即为30°.
因此等腰三角形的顶角度数为 30°或
120°.
方法总结：本题考查了等腰三角形的性
二、合作探究 质和三角形内角和定理．注意：已知的一个
探究点一：等腰三角形的性质 锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底
【类型一】 运用 “ 等边对等角 ” 求角的 角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分
度数 类讨论是正确解答本题的关键．
如图，AB＝AC，∠A＝100°， 【类型三】 利用等腰三角形 “ 三线合
AB∥CD，求∠BCD的度数． 一 ” 进行计算
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC
边上的中点，∠B＝30°.求∠ADC和∠CAD
的度数．
解析：根据等腰三角形的性质，可推出
∠B＝∠ACB＝(180°－∠A)，依据已知条件
可知∠BCD＝∠B.
解：∵∠A＝100°，∴∠B＋∠ACB＝ 解析：由已知AB＝AC，D是BC边上的中
180°－∠A＝180°－100°＝80°. 点，根据等腰三角形“三线合一”可得AD
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°. 为三角形的高及顶角的平分线，从而可求解
∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝40°. 各个角的大小．
1解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，DA平分∠BAC.
∴∠ADC＝90°.
又∠B＝30°，∴∠BAD＝180°－90°
－30°＝60°.
∵DA平分∠BAC.∴∠CAD＝∠BAD＝ 探究点二：等边三角形的性质
60°. 如图，△ABC为等边三角形，∠1
∴∠ADC＝90°，∠CAD＝60°. ＝∠2＝∠3，求∠BEC的度数．
方法总结：利用等腰三角形“三线合 解析：求∠BEC的度数，可利用180°减
一”的性质进行计算，有两种类型：一是求 去∠BEC的外角进行求解，只要求得∠BEF
边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上 即可，利用三角形的外角的性质可得结
的中线与其他两线互相重合；二是求角度的 果．
大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角 解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝
的平分线或底边上的高与其他两线互相重 60°.
合． ∴∠3＋∠BCE＝60°.
【类型四】 利用等腰三角形 “ 三线合 ∵∠2＝∠3，∴∠BEF＝∠2＋∠BCE＝
一 ” 进行证明 60°.
如图△ABC中，AB＝AC，D为AC上 ∴∠BEC＝180°－∠BEF＝180°－
任意一点，延长BA到E使得AE＝AD连接 60°＝120°.
DE，求证：DE⊥BC. 方法总结：等边三角形各个角都相等，
解析：作AF∥DE，交BC于点F.利用等 并且每个角都等于60°.在与等边三角形有
边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝ 关的计算中，往往要结合三角形外角的性质．
∠FAC.在△ABC中由“三线合一”得 三、板书设计
AF⊥BC.再结合AF∥DE可得结论． 等腰三角形的性质
证明：作AF∥DE，交BC于点F.
∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.
等腰三角形的性质是几何中的一个重
要内容．在等腰三角形的边和角的有关计算
∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝ 中，要注意分情况讨论．在求边长时，还要注
∠ADE. 意与三角形的三边关系相结合．在学习中要
∴∠BAF＝∠FAC. 注意能运用等腰三角形性质的总的前提条
又AB＝AC，∴AF⊥BC. 件是一个三角形中有两条边相等(即这个三
∵AF∥DE，∴DE⊥BC. 角形是等腰三角形)．
方法总结：利用等腰三角形“三线合
一”得出结论时，先必须已知一个条件，这
个条件可以是等腰三角形的底边上的高，可
以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．
解题时，一般是用到其中的两条线互相重合．
如本题中应用“等腰三角形底边上的高与
顶角的平分线互相重合”．
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