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第 2 课时 图形面积问题
1．掌握列出一元二次方程解图形问题，
并能根据具体问题的实际意义，检验结果的
合理性；(重点，难点) 解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面
2．学会从数学的角度提出问题、理解问 的宽为x米．
题，并能运用所学的知识解决问题． 根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝
60×40×，解得x＝10，x＝30.
1 2
检验：如果硬化路面宽为 30 米，则
2×30＝60＞40，所以x ＝30不符合题意，
2
舍去，故x＝10.
一、情境导入 答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽 为10米．
21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例 易错提醒：在应用题中，未知数的允许
相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占 值往往有一定的限制，因此除了检验未知数
面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽， 的值是否满足所列方程外，还必须检验它在
左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 实际问题中是否有意义．在求出方程的解为
(精确到0.1cm)． 10或30时，如果不进行验根，就会误以为本
题有两个答案，而题目中明确有“荒地
ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这
个已知条件，显然x＝30不符合题意．
【类型二】 动点问题
如图所示，在△ABC中，∠C＝
90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发
沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q
二、合作探究 从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度
探究点：利用一元二次方程解决图形问 移动．
题
【类型一】 面积问题
要对一块长60米，宽40m的矩形
荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图
所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路
面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等， (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使
并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD的面 △PCQ的面积为8平方厘米？
积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的 (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某
宽． 一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的
面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不
存在，说明理由．
解析：这是一道动点问题，可设出未知
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数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建
立方程求解．
解：因为∠C＝90°，所以 AB＝＝＝
10(cm)．
(1)设 xs 后，可使△PCQ 的面积为
8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝
2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得
x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x＝2，x＝4.
1 2
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使
△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积
等于△ABC面积的一半．
则根据题意，得·(6－x)·2x＝××6×8.
整理，得x2－6x＋12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使
△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．
方法总结：解决动态几何问题的关键是
寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，
寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先
假设出点的位置，根据面积关系列出方程，
如果方程的根符合题目的要求，就说明假设
成立，否则，假设不成立．
三、板书设计
利用一元二次方程解决图形问题eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(面积问题
经历分析具体问题中的数量关系，建立
方程模型解决问题的过程，认识方程模型的
重要性.通过列方程解应用题，观察、思考、
交流，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、
解决问题的能力.经历探索过程，培养合作
学习的意识.体会数学与实际生活的联系，
进一步感知方程的应用价值.
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