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2.3 一元二次方程根的判别式
本资料来源于《七彩教育网
教学目标：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
教学过程：
精典例题：
【例1】当 取什么值时，关于 的方程 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1） ；（2） ；（3）
【例2】求证：无论 取何值，方程 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当 为什么值时，关于 的方程 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 ＝0和 ≠0
两种情形讨论。
略解：当 ＝0即 时， ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当 ≠0即
时，方程有根的条件是：
△＝ ≥0，解得 ≥
∴当 ≥ 且 时，方程有实根。
综上所述：当 ≥ 时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，问是否存在
实数 ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由。
略解： 化简得
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成
一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价
格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若
不能完成，请说明理由。
A C F B
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问题二图优秀领先 飞翔梦
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略解：设CF＝DE＝ ，则CD＝EF＝
修建总费用为： ＝ 条件是：10＜ ≤25
（1） ＝12 ∴能完成
（2）
∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
跟踪训练：
一、填空题：
1、下列方程① ；② ；③ ；④ 中，无实根的方程是 。
2、已知关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是 。
3、如果二次三项式 在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则 的取值范围是
。
4、在一元二次方程 中 ，若系数 、 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方
程的个数是 。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实根，则 的取值范围是（
）
A、 B、 ≤ C、 且 ≠2 D、 ≥ 且 ≠2
3、在方程 （ ≠0）中，若 与 异号，则方程（ ）
A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定
三、试证：关于 的方程 必有实根。
四、已知关于 的方程 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求 、 的值。
五、已知关于 的方程 有两个不等实根，试判断直线
能否通过A（－2，4），并说明理由。
六、已知关于 的方程 ，问：是否存在实数 ，使方程的两个实数根的平方和等
于56？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。
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七、已知 ＞0，关于 的方程 有两个相等的正实根，求 的值。
参考答案
一、填空题： 1、①；2、 ；3、 ≤ ；4、10 二、选择题：CCAA
三、分两种情况讨论：（1）当 时， ；（2）当 时， 所以方程必有实根。 四、
＝2， ＝3
五、不能。由 直线不通过第二象限
六、存在。 七、
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