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2.4 一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1.了解一元二次方程根与系数的关系
2.经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力.
重点难点
重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用．
难点：一元二次方程根与系数的关系的推导.
【预习导学】
学生自主预习教材P -P ，完成下列各题.
41 48
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,在b2-4ac≥0的条件下，它的为 ，这个
式子叫作一元二次方程的求根公式.
2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,当 时，方程有两个 的
实数根；当 时，方程有两个 的实数根；当 时，
方程 实数根.
【探究展示】
(一)合作探究
问题：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a、b、c来决定，
除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
做一做：
（1）先解方程，再填表：
方 程 X X X+ X X. X
1 2 1 2 1 2
X2-2x=0 0 2 2 0
X2+3X-4=0
X2-5X-6=0
由上表猜测：若方程X2+bx+c=0的两个根为X、X，则X+ X= , X. X= .
1 2 1 2 1 2
（2）方程X2-5X+6=0的两个根为X= , X= ,则X2-5X+6= ，当一
1 2
元二次方程二次项的系数为 1时，两根之和等于 ，两根之积等于
，那么二次项的系数不为1时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？
动脑筋：
对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0时，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为X、X，则
1 2
ax2+bx+c=a（X-X）（X-X）
1 2
=a [ X2-（X+ X）X+ X. X]，
1 2 1 2
又 ax2+bx+c=a（X2+ ）
于是 X2+ =a [ X2-（X+ X）X+ X. X]，
1 2 1 2
因此 =-（X+ X）， = X. X，
1 2 1 2
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即 X+ X=- ，X. X=
1 2 1 2
归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于 ，两根的积等于
，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的.
（二）展示提升
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根X、X 的和与积：
1 2
（1）2X2-3X+1=0； （2）X2-3X+2=10；
（3）7X2-5=X+8；
2.已知关于X的方程X2+3X+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。
【知识梳理】
以“本节课我们学到了什么？”发启学生谈谈本节课的收获.
【当堂检测】
1.（1）设方程X2-4X-1=0的两个根为X 与 X，则X. X= ；
1 2 1 2
（2）设方程X2+5X+6=0的两个根为X 与 X，则X+ X= ；
1 2 1 2
2. 设X. X 是方程3X2+2X-3=0的两个根，求下列各式的值：
1 2
（1）X+ X； （2）X. X.
1 2 1 2
3.已知关于X的一元二次方程X2+mX+3=0的一个根为-1，它的另一个根及m的值.
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？
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