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第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·河南洛阳·九年级期末）若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式 ，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出实数 的取值
范围．
【详解】
解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有实数根”是解题的关键．
2．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有实数
根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】【分析】
先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 及一元二次方程的定义．当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3．（2022·河北石家庄·九年级期末）方程 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根名
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
原方程变形为， ，
即 ，
则 ， ， ，
即 ；
故原方程没有实数根．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是找准方程的各系数．
4．（2022·吉林长春·九年级期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ）
A．17 B．1 C．－1 D．－17
【答案】A
【解析】
【分析】
找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可．
【详解】
解：一元二次方程x2-3x-2=0，
∵a=1，b=-3，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．
故选：A．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
5．（2022·四川绵阳·九年级期末）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
k的值为（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3
【答案】C
【解析】
【分析】
求出根的判别式： ，当 =0时，原一元二次方程有两个相等的实数根，求出k值即可．
【详解】
a=k-1，b=4，c=k-1
（k-3）（k+1）=0
k=3或k=-1
∵k-1≠0
∴k≠1故k=3或k=-1
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根的情况求参数，当 >0时，原方程有两个不相等的实数根；当 =0时，原方
程有两个相等的实数根；当 =0时，原方程无实数根．熟练的掌握并运用根的判别式求解是解题的
关键．
6．（2022·江苏宿迁·九年级期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
【答案】D
【解析】
【分析】
利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．
【详解】
解：根据题意得Δ=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程
有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二、填空题
7．（2022·北京延庆·八年级期末）关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的
取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根有两个不相等的实数根时，判别式 ，代入计算即可得出答案．
【详解】
解：由题可知，，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式 的符号与一元二次方程根的关系是本题
的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）若一元二次方程 无实数根，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△＜0，然后解不等式即可．
【详解】
解：一元二次方程x²-4x+k=0无实数根，
∴(―4)2-4k<0，
解得k>4，
故答案为：k>4．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0时方程有
两个不相等的实数根；（2）△=0时方程有两个相等的实数根；（3）△<0时方程没有实数根．
9．（2020·辽宁·抚顺市顺城区长春学校九年级期中）若关于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0的根的判别式
△=5，则m=_______．
【答案】
【解析】
【分析】
确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项；再分别代入根的判别式 中，得到一个
关于m的方程，求出m即可．
【详解】
a=1，b=-（m+2），c=m
=
△∵△=5
∴ =5
m=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确地找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项
是解题的关键，注意确定系数时带上它前面的符号．
10．（2022·全国·九年级课时练习）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则这两个
相等的根是x＝x＝__________________．
1 2
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程 有两个相等的实数根，即 ，即 ，求出k的值，再代入
原方程解出即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ，
原方程可化为 ，
解得 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，即是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·北京延庆·八年级期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）运用配方法解一元二次方程即可；
（2）运用公式法解一元二次方程即可．
（1）解： 所以，原方程的解为 ，
（2）解： ， ， ∴ ∴
原方程的解为 ， ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，灵活选用方法和准确计算是本题的关键．
12．（2022·辽宁大连·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 ，求证：不论 为什么
实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义计算证明即可．
【详解】证明： = ，
△
∵ ，
∴ ，即 >0，
△
∴不论 为什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：①当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
提升篇
一、填空题
1．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于x的一元二次方程 （a是常数）有实根，那
么a的取值范围是___．
【答案】 且
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得 ，根据一元二次方程根的判别式大于等于0即可求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 （a是常数）有实根，
∴ 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．注意掌握一元
二次方程有两个实数根，即可得Δ=b2−4ac≥0．
2．（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，且 ，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式 ，可计算 ，再结合 可知 ，
进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式
即可得出结果．
【详解】
解：根据题意，关于x的方程 有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式 ，即 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，
∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学
知识解决问题．
3．（2022·全国·九年级专题练习）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于 的一元二次方程
的两个根，则 的值为_______．
【答案】12或16
【解析】
【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别
式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当6为等腰三角形的腰长时，则
关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x=6
1
代入方程得，36-48+m=0
解得m=12
则方程为 x2−8x+12=0
解方程，得另一个根为x=2
2
∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；
（2）当6为等腰三角形的底边长时，则
关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根
∴根的判别式
解得，m=16
则方程为x2−8x+16=0
解方程，得 x=x=4
1 2
∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．
综上，m的值为12或16．
故答案为：12或16．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知识点．正
确分两种情况讨论是解题关键．
4．（2022·江苏·九年级）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的
最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论．【详解】
解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2＝ ，
∵（m﹣2）2≥0，
∴ ≥0，
解得： ，
∴c的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
5．（2022·安徽·模拟预测）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式得出△=0，即b2＝4a，将该式代入 后进一步变形即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，
把b2＝4a代入得：
原式＝
=＝4
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式的实际运用，熟练掌握一元二次方程根的判别式 ，是
解题关键．
二、解答题
6．（2022·湖南永州·二模）设m为整数，且 ，方程 有两个不
相等的整数根，求m的值及方程的根．
【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27
【解析】
【分析】
方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使 为完全平方数且大于0的m的值，求得后
再代入方程检验即可． △
【详解】
解：解方程
得
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴ 为完全平方数，
又∵m为整数，且3
