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专题 14 三角函数与解三角形大题训练
题型一、正、余弦定理判定三角形形状
1．（2023年浙江省模拟）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若 ，判断 的形状．
【答案】(1) ；(2) ；(3)正三角形．
【分析】（1）根据三角形中角的范围可以确定 的大小；
（2）代入余弦定理的公式既可以求得；
（3）根据余弦定理和已知条件可以确定 ，在结合第一问求得的角的大小来确定三角形的形状.
【详解】（1）因为在三角形中， ， ，所以 ；
（2）根据余弦定理， ， ， ，解得 ；
（3）因为 ， ，
化简得 ，则 ，
又由(1)可知， ，所以 为正三角形.
2．（2023年广东省模拟）在 中， 是角 所对的边，且满足
(1)求角 的大小；
(2)设向量 ，向量 ，且向量 共线，判断 的形状.
【答案】(1) ；(2)直角三角形.
【分析】（1）利用余弦定理可求 ，结合三角形性质可得角 的大小；
（2）根据向量共线得出角 ，进而可以判断三角形的形状.
【详解】（1）因为 ，所以 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1因为 ，所以 ；
（2）因为 ， 共线，所以 ，
所以 或 （舍）；
当 时， ，所以 为直角三角形.
3．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 ，且 为锐角.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，证明： 是直角三角形.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得 ，再由 为锐角即可求解（2）利用正弦定理边化角之
后再消元，可得 ，再结合 的范围即可得证
【详解】（1）由正弦定理可知， ，
又在 中， ，即 ，
为锐角， .
（2）
所以由正弦定理得： ，
又 ，
即 ，
，
故可得 ，
即 为直角三角形.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，试判断 的形状.
【答案】(1)1；(2)等边三角形.
【分析】（1）先求出角B，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A，进而可得角C，从而可得答案；
（2）利用余弦定理，结合已知条件可得 ，则有 ，从而即可判断 的形状.
a=c
【详解】（1）解：在 中，由 ， ，得 ，
因为 ， ，
所以由正弦定理，可得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，又由余弦定理有 .
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 是等边三角形.
5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
【答案】(1) ；(2)等边三角形.
【分析】（1）由条件结合诱导公式和正弦定理可得 ，从而得到 ，得出答
案.
（2）由条件可得 ，结合余弦定理可得 ，从而得到 ，结合 可判断出三角
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3形的形状.
【详解】（1）因为 ，由诱导公式得
由正弦定理得
∵ ，∴ ，即∴
∵ ，∴
b,a,c
（2）∵ 成等比数列，则∴
又因为
即 ，所以 ，即∴
又∵ ，△ABC为等边三角形
题型二、证明三角形中的恒等或不等式
1．在 中， .
(1)求 的大小；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出
tanB即可求出B；
(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．
【详解】（1）在 中，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ．
由余弦定理得 ①，
∵ ，∴ ②，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4将②代入①，得 ，
整理得 ，∴ ．
2．如图，在 中，点D在边AB上，BD＝2AD，∠ACD＝45°，∠BCD＝90°．
（1）求证： ；
（2）若 ，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由已知及正弦定理可得 AC=√2AD⋅sin∠ADC ，在ΔBCD中，由∠BCD=90°．可得
BC=BD⋅sin∠BDC，由∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，即可代入证明．
（2）在ΔABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°， BC=√2AC ，由余弦定理即可解得BC的值．
【详解】解：（1）在
中，∠ACD=45°，
由正弦定理可得： ＝ ，
AD⋅sin∠ADC AD⋅sin∠ADC
AC= = =√2AD⋅sin∠ADC
可得： sin∠ACD √2 ，
2
在 中，∠BCD=90°．
则BC=BD⋅sin∠BDC，
由于：∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，
所以：
BC=BD⋅sin∠BDC=2AD⋅sin∠ADC=√2AC
，
即：BC=√2AC．
（2）在ΔABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°， BC=√2AC ，
由余弦定理AB2 =AC2 +BC2 −2AC⋅BCcos∠ACB，
√2
即：5=AC2 +(√2AC) 2 −2AC√2AC×(− )=5AC2
，
2
因为AC>0，所以：AC=1， BC=√2.
3．（2023年广东省衡水大联考数学试题）在 中，角 的对边分别为a，b，c，且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5．
(1)求B；
(2)若 外接圆的半径为 ，点D为 边的中点，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）对式子先用倍角公式和半角公式换为关于角 的等式，再将 提出后，括号内的用
两角和的正弦公式，最后用三角形中角之间的关系及诱导公式进行化简求值即可；
（2）根据（1）的结论和正弦定理即可得 ，根据D为 边的中点，可得三角形中长度关系，根据
，即 在两个小三角形中分别用余弦定理建立等式即可解得 .
【详解】（1）解：因为 ，
即 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，且 ，
所以等式可化为 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ；
（2）解：由（1）知 ，因为 外接圆的半径为 ，
所以 中，由正弦定理知： ，
即 ，解得 ，因为点 为 边的中点，
b=3 D
所以 ，因为 ，
所以 ，
在 分别由余弦定理可得：
，
代入 中可得：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6，
即 ，
即 ，即 ，
故 ，得证.
4．（2023年湖南省模拟）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
(1)求角A的大小；
(2)若 是 角平分线，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（2）根据角平分线性质可得 ，利用 展开化简即可证明结论.
【详解】（1）由 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，可得 .
（2）因为 是 角平分线，且 ，所以 ，
所以 ，
可得 ，
可得 ，
所以 ，所以 ，
即 .
5．（2023年河北省模拟）已知 分别为 的三个内角 的对边， .
(1)求A；
(2)若 ，证明： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，可得 ，利用余弦定理即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角，化简 ，可得 ，结合辅助角公式化简可求得角B
以及角C，利用直角三角形性质即可证明结论.
【详解】（1）由题意 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
故 ，
而 ，故 .
（2）证明：因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ,
所以 ，即 ，
因为 ，则 ，
故 ，
故在 中， .
6．（2023年湖北省模拟）在 中，角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 ，且 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明： ;
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据 ， ，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得 .
（2）根据（1） ，然后结合余弦定理证明即可；
【详解】（1）依题意， ，所以 ，即 ，
由正弦定理可知， ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8从而 ，
A为三角形内角，故 .
（2）由（1）可知， ，由余弦定理可得： ，即 ，
则 ，又 ，故 ，从而 .
题型三、求三角形中的边长或周长的最值
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， .
(1)求角C；
(2)求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ， .
【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角C；
（2）由正弦定理得出 ，由正弦定理的边化角公式得出 ，结合三角函
数的性质得出ΔABC
的周长的取值范围.
【详解】（1）由题，因为
所以由正弦定理可得
即
在ΔABC中， ，且 ，B，
又 ，所以 ，则
（2）由正弦定理得 ，所以
由（1）知 ， ，
所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9因为 ，所以
则
即△ABC的周长的取值范围为
2．（2023年宁夏月考数学（理科）试题）在 中， 、 、 分别是角A、B、C的对边，
.
(1)求B的大小；
(2)若 ，求 的周长 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由已知等式化简可得 ，结合余弦定理即可求得B的大小；
（2）由正弦定理及三角恒等变换即可得周长 ，再根据正弦型函数的性质即可得 的取
值范围.
【详解】（1）由 得：
整理得 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）由正弦定理得 ，所以 ，
则 的周长
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以周长 的取值范围为 .
3．（2023届湖南省新高考适应性考试数学试题）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，
c，已知 ．
(1)求角B的值；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理求出 ；
（2）根据正弦定理得到 ，从而得到 ，求出
，得到 ， ，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1） ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ；
（2）锐角 中， ， ，
由正弦定理得： ，
故 ，
则 ，
因为锐角 中， ，则 ， ，
解得： ，故 ， ，
则 ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，
或与角度有关的范围问题，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
4．在 中， .
ΔABC
(1)求A；
(2)若ΔABC
的内切圆半径 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法 及余弦
定理得出含有 和 的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得 的最小值.
【详解】（1）在 中, ，
整理得 ，即
，于是
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .所以 .
（2）令 ，（1）知 .
由 ，得
，即 ，
由余弦定理及（1）知 ，得
，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12即 ，于是
，当且仅当 时取等号
所以 ，
或
又 的内切圆半径 ， ， ，
， 的最小值为 .
5．在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得 ，由此可得 ；
（2）利用正弦定理可将 化为 ，利用两角和差公式和辅助角公式
可化简得到 ；根据正弦型函数值域求法，结合 的范围可得结果.
【详解】（1）由正弦定理得： ，
，
， ， ， .
（2）由正弦定理得： ， ， ，
；
为锐角三角形， ，即 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13， ， ，
即 的取值范围为 .
6．（2023届山东省模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；
(2)利用正弦定理得到 ， ，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由 可得： ，
由余弦定理知， ，
又 因此 .
（2）在 中，由 ，得 ，
在 中，由 ，可得 ，
所以 ；
在 中，由 ，得 ，
解得 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14因此 的最小值为 .
题型四、几何图形中的计算
1．（2020年江苏省高考数学试题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 .
（2）方法一：根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得
的值，进而求得 的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作 ，垂足为E．在 中，由 ，可得 ，又 ，所以
．
在 中， ，因此 ．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由 ，可得 ，从而
．
又由（1）可得 ，所以 ．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得 ．
在 中， ，
所以 ．
在 中，由正弦定理可得 ，
由此可得 ．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作 ，垂足为E，作 ，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16由 ，可得 ．
在 中， ．
由（1）知 ，所以在 中， ，从而
．
在 中， ．
所以 ．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得 ，然后使用正弦定理求得 ；方法二：抓住45°
角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使
用两角和的正弦公式求得 的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式
求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得 的正弦值，进而
得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有 的直角三角形，进而求解，也是很优美
的方法.
2．如图，已知在 中，M为BC上一点， ， 且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若AM为 的平分线，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由 求得 ，由 可得 ，结合 得
，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得 ，根据角平分线性质定理可求得 ，再求得 ，由三角形面积公式
可得答案.
【详解】（1）因为 ， ,所以 ，
因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17所以由正弦定理知 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
在 中， ．
（2）由题意知 ，设 ，
由余弦定理得 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ，
因为AM为 的平分线，
所以 （h为底边BC的高）
所以 ，故 ，
而由（1）知 ，
所以 ．
3．如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求BC．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据 求得 ，再结合 求
解即可
（2）设 ，再在 中利用正弦定理得出关于 的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即
可
【详解】（1）由 可得 ，又 故 ，
故
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18（2）设 ，则 ， ，在 中，由正弦定理可得 ，即
，交叉相乘化简得 ，即
，利用降幂公式有 ，利用辅助角公
式有 ，故 ，利用诱导公式可得
，故 ，又
，解得 ，又由正弦定理有 ，故
.
4．如图，在圆内接四边形ABCD中， ， ， ， 的面积为 .
(1)求AC；
(2)求 .
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据面积公式可得 ，再根据余弦定理求解可得 ；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为 的面积为 ，所以 .
又因为 ， ，所以 .
由余弦定理得， ，
，所以 .
ABCD
（2）因为 为圆内接四边形，且 ，
所以 .又 ，由正弦定理可得， ，
故 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19因为 ，
所以 ，所以 .
5．如图，在梯形 中， ， ， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；(2) ．
BC BC
【分析】(1) 中，利用含 的余弦定理表达式建立 的方程，求出 而得 面积，再利
用面积关系求 的面积得解；
(2)由题设中角的信息用 表示出 与 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立
两个方程，联立整理得 的方程，解之即得.
【详解】(1)设 ，在 中，由余弦定理 得：
，即 ，而 ，解得 ，
x>0 x=4
所以 ，则 的面积 ，
梯形 中， ， 与 等高，且 ，
所以 的面积 ，
则梯形 的面积 ；
(2)在梯形 中，设 ，而 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理 得： ，
在 中，由正弦定理 得： ，
两式相除得： ，
整理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20即
解得 或 ，
因为 ，则 ，即 ．
【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；
(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
6．（2023年广东省模拟数学试题）如图，在平面四边形 中， ， ．
(1)若 平分 ，证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）利用 可构造方程求得 ，利用余弦定理可求得 ，由
此可得结论；
（2）在 中，利用余弦定理可构造方程求得 ，利用三角形面积公式化简
为 ，结合二次函数性质可得最大值.
【详解】（1） 平分 ， ，则 ，
由余弦定理得： ，
即 ，解得： ；
，
，
，又 ， ，
（2） ，
，整理可得： ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21，
， 当 时， 取得最大值，最大值为 .
7．（2023年浙江省名校联盟联考数学试题）如图，平面四边形ABCD中， ， ，
． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理和余弦定理求得 ，进而得到 ， ， ，
A B C
D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得： ，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦
函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在 中， ，
所以 ，由正弦定理， ，可得 ，
再由余弦定理， ，又 ，所以 .因为 ，
所以 ，所以A，B，C，D四点共圆，
ABCD
则四边形 的外接圆半径就等于 外接圆的半径.
又 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，则 . ，
则 .
在 中，由正弦定理，
，所以 ， ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22，
又 ，所以 ，所以 ， ，所以 .
题型五、求三角形面积的最值或范围
类型一：用基本不等式求面积最值
1． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得 ，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据正弦定理及 ，
得 .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
（2）由（1）知 ，又 ，
由余弦定理得 ，即 ，
∵ ，∴ ，即 ，当且仅当 时取等号.
∴ .
∴ 的最大值为 .
2．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23(2)若M为 的中点， ，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将 用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得 ，两边平方化简后可得 ，再结合基
本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设 ，再分别在 ， 和 中用余弦定理，结合
可得 ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
【详解】（1）解法一：因为 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
解法二：因为 ，由余弦定理得： ，
整理得 ，即 ，
又由余弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）解法一：因为 为 的中点，所以 ，
M
所以 ，即 ，
即 ，而 ，
所以 即 ，当且仅当 时等号成立
所以 的面积为 ．
即 的面积的最大值为 ．
解法二：设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24所以①+②式得 ．③
在 中，由余弦定理得 ，
而 ，所以 ，④
联立③④得： ，即 ，
而 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
所以 的面积为 ．
即 的面积的最大值为 ．
3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案；
（2）由 可得 ，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）由正弦定理，得 ，
得 ，
得 ，
因为 ，所以 ，即 .
（2）因为 ，
所以 .
因为 ，即bc≥36（当且仅当b=c=6时，等号成立），
所以 ．故 面积的最小值为 .
ΔABC
三角函数+基本不等式
4．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出 ，即可求得
的值；
（2）分析可知 、 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出 ，求出 的
最小值，即可求得 的最小值.
【详解】（1）解： ，
.
由正弦定理得 .
.
因为 ，则 ，
， ，
则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
，即 .
（2）解：由（1）得 .
若 ，则 、 均为钝角，则 ，矛盾，
所以， ， ，此时 、 均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当 时，等号成立，且 为钝角.
，则 ，且 为锐角，
由 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26， .
因此， 面积的最小值为 .
类型二：转化为正切函数求面积取值范围
1．（2023届河北省教学质量检测数学试题）已知 内角 所对的边长分别为
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用余弦定理可得 ，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得 ，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得 即可得范围；
法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
（2）法一： 为锐角三角形， ，则 ，
所以 ，可得 ，
又 ，则 ，故
由 ，即 而 ，
所以 ，故 面积的取值范围为 .
法二：由 ，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点 落在线段 （端点 除外）上，
当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27当 时， ，
.
2．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边
分别为a，b，c，且满足 ， .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）先根据条件化简得出 ，然后化简目标式，结合导数求解范围；
（2）先利用正弦定理表示出 ，结合面积公式得出 ，利用 的范围及单调性进行
求解.
【详解】（1）因为 ，且 都为锐角，所以 ，
，
所以 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，即有 ，
所以 ，即 ，所以 .
在锐角三角形中， ,且 ，所以 ；
令 ，则 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 为增函数，
又 ，所以 ，即 的取值范围是 .
（2）由（1）得 .
因为 ，由 ，得 ；
设三角形ABC的面积为 ,则
，
因为 ，所以 ，
设 ， ， ， ， 为减函数，
所以 ，所以 .
3．（2022年黑龙江省期末考试数学试题）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ．
(1)求角B；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答.
（2）利用正弦定理将a表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）在锐角 中，由正弦定理及 得： ，
而 ，则 ，又 ， ，因此 ，即 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29（2）在锐角 中，由（1）知， ，有 ，令 ，则 ， ，
由正弦定理得 ， 的面积
，
由 得 ， ，于是得 ，
所以 面积的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：求三角形面积的最大值或范围，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求解，二是
利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.
类型三：转化为正弦函数求面积取值范围
1．已知 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若 ， ， 为角C的平分线，求 的长；
(3)若 ，求锐角 面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出 ，即可得解；
（2）设 ，根据 及面积公式得到方程，解得即可；
（3）首先利用正弦定理求出 ，再由正弦定理得到 ， ，再根据 转化
为关于 的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围；
【详解】（1）解：由 及正弦定理得
所以 ，∴ ，∴
∵ ，∴
（2）解：设 由 得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30解得 ，即角平分线 的长度为
（3）解：设 外接圆半径为R，由
，即 ，即 ，∴
所以 的面积
∵ ，∴ ，
∴
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
2．（2023年黑龙江省八校联合模拟试题）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若 ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得 ，进而即得；
（2）设 ，利用正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换可得 ，
然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）∵ ，由正弦定理可得, ，
整理可得： ,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31即 ，即： ,
又因为锐角 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ；
（2）由题意可知 ，设 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以
即 面积的取值范围为 .
3．已知 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积为S，且满足 ，
．
(1)求A和a的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积S的取值范围．
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；
（2）由锐角三角形得 ，根据正弦定理有 ， ，最后利用三角形面积
公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32所以 ，所以 ，
因为 中 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，由余弦定理得： ，解得 ，
综上， ， ．
（2）由（1）知： ， ，
由正弦定理得： ， ．
因为 为锐角三角形，故 ，得 ．
从而 的面积
，
又 ， ，
所以 ，从而 的面积的取值范围为 ．
4．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求A；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）(解法一)因为 ，
所以
则 ，即
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33因为 ，所以 ，因为 所以 .
(解法二)由全弦定理 ，
得
整理得 .
所以 ，
因为 所以 .
（2）因为 ，所以 ， .
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以 解得 .
所以 ，
所以 .
题型六、正余弦定理与三角函数性质的结合
1．已知函数
(1)求函数 的最小正周期；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34(2)在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，试判断 的形
状．
【答案】(1) ；(2) 是正三角形.
【分析】（1）运用三角恒等变换公式化简函数 ，利用正弦函数的周期公式可求得答案；
（2）由（1）求得 ，再运用余弦定理求得 ，由此可判断 的形状．
(1)解：函数
， ．
∴函数的最小正周期为 ．
(2)解： ，
，所以解得 ．
又 ，
，即 ．
是正三角形．
2．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求
面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数 在区间
， 上的值域；
（Ⅱ）先求出 ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得 面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35，
π π π π 2π
由 ≤x≤ ，有 ≤2x− ≤ ，所以
4 2 6 3 3
函数 的值域为 ．
（Ⅱ）由 ，有 ，
为锐角， ， ．
， 由余弦定理得： ，
， ．
，
当 ，即 为正三角形时， 的面积有最大值 ．
3．（2022年江西省重点名校联合考试数学（文）试题）已知向量 ， ，
.
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，求 的面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用数量积坐标运算得到 ，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由 ，解得 ，再利用余弦定理结合基本不等式得到 ，然后
利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解： ，
，
则其最小正周期 ；
（2）由 ，且 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的面积 ，
所以该三角形面积的最大值为 .
4．已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范
围.
【答案】(1) ； (2) .
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得 的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得 ，结合三角函数值域的求法求得 的取值范围.
【详解】（1）
令 ，则
所以，单调减区间是 .
（2）由 得： ，即 ，
由于 ，所以 .在 中， ， ，
于是 ，则 ， ，
，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 375．设函数f (x)=m⃗⋅⃗n，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，
求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得 ，再
由正弦函数性质求最小值.
（2）由题设可得 ，应用三角形面积公式有 ，由余弦定理可得 ，最后由正弦定理
，即可求目标式的值.
【详解】（1）由题设， ，
所以，当 时 的最小值为 .
（2）由 ，得： ，则 ，又 ，
所以 ，故 ，则 .
由 ，可得： .
在△ 中，由余弦定理得： ，
所以 .
由 ，则 .
6．（2023年湖南省名校考前演练试题）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
【答案】(1) ； ; / (2) .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38【分析】（1）先化简 ，然后利用真数大于0可得 ，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得 ，结合锐角三角形可得 ，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答
案
【详解】（1） ，
所以要使 有意义，
只需 ，即 ，
所以 ，解得
所以函数 的定义域为 ，
由于 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ；
（2）由于 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 即 ，
由锐角 可得 ，所以 ，
由正弦定理可得
，
因为 ，所以 所以 ，
所以 的最大值为2.
7．（2021年北京市模拟数学试题）已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为 ；单调递减区间为 ；
（2） ．
【分析】（1）整理得 ，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由 ，可
得 ，设 边上的高为 ，所以有 ，由余弦定理可知：
，得出 ，最后可得 最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为： ；
当 时，
即当 时，函数 单调递减，
所以函数 单调递减区间为： ；
（2）因为 ，所以
， ，
， ．
设 边上的高为 ，所以有 ，
由余弦定理可知： ，
， ，
（当用仅当 时，取等号），所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40因此 边上的高的最大值 .
题型七、正、余弦定理求代数式的取值范围问题
类型一：求角的三角函数值的代数式的取值范围
1．（2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题）已知 的内角 的对边分别为 ， 为
钝角．若 的面积为 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得 ，再利用诱导公式及三角函数的性质可
证明结论；
（2）利用（1）的结论及三角公式，将 转化为关于 的二次函数，然后配方可以求最值.
【详解】（1）由余弦定理 得 ，
，
，
，
为钝角，则 均为锐角，
，即 ；
（2） ，
令 ， 为钝角，则 ，
，
当 ，即 时， 取最大值，且为 .
2．（2021年辽宁省联合模拟考试文科数学试题）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得 ，进而得解；
（2）根据正弦定理边角互化可得 ，结合锐角三角形的范围可得解.
【详解】（1）由 ，得 ，得 ，得 ，
在 ， ，由余弦定理 ，
得 ，
即 ，解得 或 .
当 时， 即 为钝角（舍），
故 符合.
（2）由（1）得 ，所以 ，
，
为锐角三角形， ， ，
， ，
故 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的
范围是解题的关键.
3．已知锐角 中， .
（1）求 ；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42【分析】（1）由正弦定理的角化边公式以及余弦定理求出 ；
（2）由内角和定理结合诱导公式、两角和的余弦公式、辅助角公式化简 为 ，再
π
由
B−
的范围结合正弦函数的性质得出所求范围.
6
【详解】解：（1）由正弦定理和已知条件得 ①
由余弦定理知 ②
联立①②得 .
又 ，所以 .
（2）
.
因为 为锐角三角形，所以 ，且
所以 ，所以
故 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用正弦定理的角化边公式得出 ，再由余弦定
理求出 .
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ．
(1)若 ，且 ，求△ABC的面积；
(2)求 的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由余弦定理及已知可得 ，再应用三角形面积公式求面积即可.
（2）由题设有 ，根据已知及余弦定理有 ，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得
，即可得 ，进而求 最值.
【详解】（1）由 ，故 ，而 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43所以 ，故 .
（2）由 ，故 ，即 ，
由余弦定理知： ，即 ，
所以 ，即 ，又 ，
故 ，
由 ，则 或 （舍），
所以 ，则 ，即 ，
，而 ，
所以，当 时 有最大值为 .
【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到 ，再根据三角形内
角的性质、三角恒等变换得到 的关系及角的范围，进而求最值.
5．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
a2 +b2 −c2
【详解】（1） 及
cosC=
，
2ab
，化简得 ，
，又 ， .
（2）由（1）可得
为锐角三角形，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44且 ， ，
.
， ，
故 的取值范围为 .
6．（2023年河南省质量检测（理科）数学试题）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c．已知 ．
(1)求A；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角 得大小；
根据锐角三角形得角 得范围，然后将 转化为关于角 的正弦型三角函数，根据正弦型函数性
质从而可得取值范围.
【详解】（1）解：因为 ，由正弦定理 得： ，
又因为锐角 中， ，所以 ，
则 ，即 ，故 ；
（2）解：由（1）得， ，所以 ，
又因为锐角 中得： ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45类型二：求边的代数式的取值范围
1．（2023年江苏省模拟试题）在 中，角A，B，C成等差数列，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c．
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 不是钝角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1) 为直角三角形；(2) .
【分析】（1）由已知得 ，再利用余弦定理及正弦定理可求得 ，进而判断三角形形状；
（2）先求出 ，再利用正弦定理边化角，结合三角函数性质求最值即可.
【详解】（1）因为角A，B，C成等差数列，
又 ， ，即
， ，
由余弦定理得：
，
由正弦定理得： ，即
， ，即
又 ，
所以 为直角三角形.
（2） ，则
由 不是钝角三角形，知 ，
由正弦定理知
当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46当 时， ， ， ， ，
，
综上可知， 的取值范围时
2．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且
．
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积；
（3）求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出 ，即可求解；
（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；
（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
，
，
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，
∵ ， ；
（2）∵ ， ，∴ ，
∴ ；
（3）由正弦定理可得： ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47其中 ， ， ， 为锐角，
因为 为锐角三角形，则 ，
从而 ，得 ，
，
所以 ， ，
所以 ，从而 的取值范围为
3．在 中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用 角的余弦定理代入 得到 ，结合 的范围求出
B B
答案；
（2）利用正弦定理边化角得到 ，接着根据题意求出 角的范围，继而求出答案
A
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
从而 ，即 ，
因为 ，所以
所以 ，即 ；
（2）因为 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48所以 ，
因为 ， 是钝角， 为锐角，所以 ，即 ，
C B
解得 ，
所以 ，于是 ，从而 ，
因此 的取值范围是
4．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（五））记△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于 的对勾函数，研
究其值域即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
又 ，即 ，∴ ，
又∵ ，∴ .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49（2）由（1）知 ，
①当 时，因为 ，所以 ，即 ，与△ABC为锐角三角形矛盾，
所以不成立；
②当 时，因为 ，所以 ，
所以 ．
由 ，得 ．
所以 ，
故
．
因为 ，所以 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
5．（2023年陕西省模拟数学试题）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得 的值，进而即可求解 ；
（2）结合（1），先根据正弦定理得 ， ，再根据余弦定理得 ，从而可得
到 ，结合题意可得到 的取值范围，从而确定 的取值范围，再结合正
弦型函数的性质即可求解．
【详解】（1）根据题意，由正弦定理得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50，
又在 中，有 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
（2）结合（1）可得 ， ，
由 ，则根据正弦定理有 ，得 ， ，
根据余弦定理有 ，得 ，
所以
，
又 为锐角三角形，则有 ， ，得 ，
所以 ，所以 ，
故 ．
【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求 的范围转化为求正弦型函数
的值域，结合题意得到 的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问（2）
的关键．
6．（2023年湖南省部分市大联考数学试题）已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到 ，再由正弦定理将边化角，即可求出
，从而得解；
（2）利用正弦定理得到 ， ，即可得到 ，由三角形为锐角三角
形得到 的取值范围，即可得到 的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51【详解】（1）解：因为 ，
可得 ，
则 ，
所以 ，
即 ，由正弦定理得 ，
显然 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）解：因为 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为锐角三角形且 ，所以 ，所以 ，
即 ，
令 ， ，
根据对勾函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
7．（2023年广东省模拟数学试题）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求证： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得 ，结合角度范围即可证明；
(2)结合正弦定理及三角恒等变换 ，结合 角范围即可求解.
B
【详解】（1）在 中，
由 及正弦定理得：
又∵ ，
∴
即
，
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
（2）得： 得 ，
∴ ，∴ ，
由题意 ， 及正弦定理得：
∵ ，∴ ，即
故 的取值范围为
方法二：由正弦定理得：
∵ ，∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53由（1）得： ，故
由（1）得： 得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
故 的取值范围为 .
题型八、正、余弦定理中的结构不良问题
1．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且满足
____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，且 .
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1) ， ；(2)答案见解析.
【分析】（1）先对 解析式进行化简，再对正弦型三角函数求单调递增区间即可；
（2）由题干可知 ， .选①时， 的面积由 计算；选②③时 的面积由
计算.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54【详解】（1） ，
由 ，得 ， ，
∴函数 的单调递增区间为 ， ；
（2）由 ，得 ，
又 中 ， ，可知 ；
若选① ：
由 ，可知 ，可化为 ，
又 ，则 ，
又 中 ，故 ，所以 ，
则 ，故 ；
若选②： 为 的中线，且
在 中， ， ，则有 ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，
则
则 ，又知 ，故 ；
故 ；
若选③： 为 的角平分线，且 .
由题意知， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55即 ，整理得
又在 中， ， ，则有 ，
故
解之得， ，故 .
2．在 中， 分别为角 所对的边.在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角 的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积的取值范围.
【答案】条件选择见解析；（1） ；（2） .
【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得
，根据三角形内角性质得出 且 ，即可求出角 的值；选择条件②，根
据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出 ，即可求出角 的值；选择条件③，
根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出 ，从而可求出角 的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出 ， ，再根据三角形面积公式化简得出
，由 为锐角三角形，求出角 的范围，从而得出 的面积的取值范围.
【详解】解：（1）选① ，
由正弦定理得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
选② ，
∴ ，
∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 56∵ ，∴ ，则 ，
∴ ；
选③ ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
（2）已知 为锐角三角形，且 ，
由正弦定理得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为锐角三角形，
∴ ，
π π 5π
∴ <2A− < ，∴ .
6 6 6
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的
应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角
形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
3．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角
的内角 的对边分别为 ，且______.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角
；
选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将 代入，最后根据恒等变换
化简即可求出角 ；
选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出 ，即可求出角 .
（2）首先将 代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性
质求解取值范围即可.
【详解】（1）选①
，所以 ，
所以 ，
整理得 .
因为 ，所以 .因为 ，所以 .
选②
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 .
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
选③
因为 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
（2）因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 .
4．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答.
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，作 ，使得四边形 满足
， ， 求 的取值范围.
【答案】 .
【分析】根据题意，选择①②③求得 ，设 ，则
，在 中，由正弦定理求得 ，在 中，由正弦定理
求得可得 ，结合 和三角函数的性质，即可求解.
【详解】若选①：由 ，根据正弦定理可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ，因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59可得
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
选②：由 ，根据正弦定理可得 ，
可得 ，即 ，
又由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 60，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
若选③：由 ，可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
题型九、正、余弦定理的实际应用
1.（2023年江苏省模拟数学试题）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距 海里的B处有一艘
走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 海里 小时的速度
沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即
改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 海里 小时的速度沿着直线追击
(1) 当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里.
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船.
【答案】(1)两船相距 海里.
(2)巡逻艇应该北偏东 方向去追，才能最快追上走私船.
【分析】（1）在 中，解三角形得 ， ， 在 中，由余弦定理求得 .
（2）在 中，解三角形得 ， ，得到 ，在 中，由正弦定理
求得 ，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时
，
由题意知
在 中，
由余弦定理得
所以
在 中， 由正弦定理得 ，即
所以 （ 舍去）
所在
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 62又
在 中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距 海里.
（2）当巡逻艇经过 小时经 方向在 处追上走私船，
则
在 中，由正弦定理得：
则
所以 ，
在 中，由正弦定理得：
则 ，故 （ 舍）
故巡逻艇应该北偏东 方向去追，才能最快追上走私船.
2．如图，一架飞机从 地飞往 地，两地相距 .飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞
以后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到 地，再沿与原来的飞行方向成 角的方向继续
飞行 到达终点.
(1)求 、 两地之间的距离；
(2)求 .
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用余弦定理可直接求得 的长；
（2）利用余弦定理求出 的值，结合同角三角函数的基本关系可求得 的值.
【详解】（1）解：由余弦定理可得
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63所以， .
（2）解：由余弦定理可得 ，
所以， ，则 为锐角，
故 ，
因此， .
3．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民
生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位
的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前
“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地 进行改
造．如图所示，平行四边形 区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧 上，
点M和点N分别在线段 和线段 上，且 米， ．记 ．
(1)当 时，求 ；
(2)请写出顾客的休息区域 的面积 关于 的函数关系式，并求当 为何值时， 取得最大值．
【答案】(1) ；
(2) ， ；当 时， 取得最大值.
【分析】（1）在△ 中由正弦定理求得 ，即可由数量积的定义求得结果；
（2）在△ 中由正弦定理用 表示 ，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函
数的性质，即可求得取得最大值时对应的 .
【详解】（1）根据题意，在△ 中， ，又 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 64故由正弦定理 可得：
解得 ， ，
故 .
即 .
（2）由题可知，在△ 中， ，
则由正弦定理 ，
可得 ，
故可得 ，
故
.
即 .
当 时， ，此时 取得最大值.
4．（2023年云南省教学质量检测数学试题）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．
“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。
有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三
角形木块，三角形顶点 都在圆周上，角 的对边分别为 ， ， ，满足
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 65(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长
【答案】(1) ；(2) cm.
【分析】（1）根据题意可求圆的直径 ，再结合正弦定理运算求解；
（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.
【详解】（1）设 的外接圆半径为 ，则 （cm），
由正弦定理 ，可得 .
（2）∵ ，则 ，故 为锐角，
∴ ，
由面积公式 ，即 ，可得 ，
由余弦定理 ，即 ，
可得 ，解得 （cm），
故 的周长为 （cm）.
5．如图，在海岸边 点的观测站发现南偏西30°方向上，距离 点20海里的 处有一艘走私船，立刻通
知了停在 的正东方向上，且距离 点 海里的 处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以 海里/时的
速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从 处沿南偏东15°方向逃窜.
(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 66(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
【答案】(1) 海里，西南方向；(2) 小时.
【分析】（1）在三角形中分别利用余弦定理、正弦定理求解即可；
（2）作出图形，设 小时后缉私艇在 处追上走私船，利用正弦定理求出 即可求解.
【详解】（1）由题意可知 ， ， .
在 中，由余弦定理可得 .
由正弦定理得 ，解得 ，所以 .
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇 海里，在缉私艇的西南方向上.
（2）如图，
设 小时后缉私艇在 处追上走私船，则 ， .
.
在 中，由正弦定理得 ，
解得 ，则 ，所以 是等腰三角形.
，即 .
故缉私艇至少需要 小时追上走私船.
6．（2023年福建省模拟数学试题）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平
原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已
知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测
得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 67(1)求出山高BE（结果保留整数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼
睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端
A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？
参考数据: .
【答案】(1) ；(2) ，∠ACB最大.
【分析】（1）在 中，利用正弦定理求出 ，再在 中，求出 即可；
（2）易得 ，分别在在 和在 中，求出 ，再根据两角和的
正切公式结合基本不等式求出 取得最大值时， 的值，再根据正切函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由题意可知， ，
在 中， ，
所以 ，
在 中， ，
所以出山高 ；
（2）由题意知 ，且 ，
则 ，
在 中， ，
在 中， ，
则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 68，
当且仅当 ，
即 时，取等号，
所以 取得最大值时， ，
又因为 ，
所以此时 最大，
所以当 时， 最大.
7．文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆
除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的
两个测量基点C和D． 测得 ，在点 C测得塔顶A仰角为 ，已知
， ，且CD＝56米．
(1)求 ；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【答案】(1) ；(2)47.
【分析】（1）利用平方关系求出 ，再根据 利用两角和的正弦公式即可得
解；
（2）在 中，利用正弦定理求出 ，再解 即可得解.
【详解】（1）解：在 中，因为 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 69则 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则 ；
（2）解：在 中，因为 ，
所以 米，
则 中， 米，
所以塔高AB为47米.
题型十、重点训练第一问
1．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知 ．
求角B的值；
【答案】60°；﹒
【分析】根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出cosB及B；
【详解】∵ ，
∴由正弦定理得 ，即 ，即 ，
即 ，
由余弦定理得 ，∵ ，∴ ；
2．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
求角 的大小；
【答案】 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 70【分析】利用正弦定理化边为角结合三角恒等变换可得 ，再根据 的范围进而即得 的大
小；
【详解】由正弦定理及 ，得
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，故 .
3． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 .
求角 ；
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
所以由正弦定理得， .
又 ，所以 .因为 ，所以 .
方法二：因为 ，
可化为
即
即
即 ，因为 ，所以 .又因为 ，所以 .
4． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
证明： ；
【详解】证明：由正弦定理及 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ,所以 或 ，
因为 ，所以 ，即 .
5．在平面四边形 中， ， ， ， ．
求 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71【详解】在 中，由正弦定理得 ．
由题设知， ，所以 ．
由题设知， ，所以 ．
6．在 中，内角A， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
求 ；
【详解】由 结合正弦定理边化角可得，可得 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 或 .
7．已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
求 的值；
【详解】因为 ，所以由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 .
8． 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且
若 ， ，求 内切圆的半径长；
【详解】因为 ，所以 ，
由 得 ，由 ，解得 ，
∴ ，设 内切圆的半径长为 ，
则 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 72
