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2021-2022学年河南省平顶山市汝州市八年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）若 取1.442，计算 ﹣3 ﹣98 的结果是（ ）
A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，
以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（2，0）
C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）
3．（3分）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择
什么样的包装最合适（ ）
A．2kg/包 B．3kg/包 C．4kg/包 D．5kg/包
4．（3分）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子
的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
第1页（共31页）5．（3分）解方程组 的下列解法中，不正确的是（ ）
A．代入法消去a，由②得a＝b+2
B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3
D．加减法消去b，①+②得3a＝9
6．（3分）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最
短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其
底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
7．（3分）对于一次函数y＝﹣x+5，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A（1，y ），B（3，y ）在该函数图象上，则y ＜y
1 2 1 2
8．（3分）已知 ， 都是关于x，y的方程y＝﹣3x+c的一个解，则下列对于a，b的关
系判断正确的是（ ）
A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3． C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3
9．（3分）定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．下面给出该定理的两种
证法．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图， 证法2：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180（三角形内角和定 ∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°
理）， （量角器测量所得），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， 又∵135°＝76°+59°（计算所得），
第2页（共31页）∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代 ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法1用严谨的推理证明了该定理
10．（3分）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x 、x 、x 、…、x 中，
1 2 3 n
各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝ （|x ﹣x|+|x ﹣x|+…+|x ﹣x|）叫
1 2 n
做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说
明数据的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的
是（ ）
甲 12 13 11 15 13 14
乙 10 16 10 18 17 7
A．甲、乙两组数据的平均数相同
B．乙组数据的平均差为4
C．甲组数据的平均差是2
D．甲组数据更加稳定
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝
6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是 cm．
第3页（共31页）12．（3分）在我国新冠疫情虽然得到了有效的控制，但防范意识仍不能松懈，小丽去药店购
买口罩和酒精消毒湿巾，若买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买
200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元．设一只一次性医用口罩x元，一包酒
精消毒湿巾y元，根据题意可列二元一次方程组： ．
13．（3分）一次考试中，某题的得分情况如下表所示，则该题的平均分是 ．
得分 0 1 2 3 4
百分率 15% 10% 25% 40% 10%
14．（3分）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图
所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚得 元．
15．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持
不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少 度．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算与化简：（ ）（ ）+6 ﹣（ ﹣2）2．
（2）解方程组： ．
17．（9分）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h
（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈ ，其中R是地球半径，
通常取6400km．
（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚
露出海平面，求此时d的值．
第4页（共31页）（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看
到大海．
18．（9分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确
信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图
形，把一个角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作
BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，并且∠BAE＝∠BEA，∠EBF＝∠EFB，请你证明
∠FAN＝ ∠MAN．
19．（9分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的
同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个
班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为
四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百
分比
第5页（共31页）七年级 1.3 1.1 a 0.26 40%
八年级 1.3 b 1.0 0.23 m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说
明理由（写出一条理由即可）．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝x，直线l 的解析式为y＝﹣
1 2
x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，
若不存在，请说明理由．
21．（9分）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧
面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少
第6页（共31页）个，恰好能将购进的纸板全部用完？
（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a
张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜310．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有
可能值．
22．（10分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以
3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在
1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平
飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]
23．（10分）已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．
（1）探究发现：（填空）
填空：如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1＝ °（ ）
∵AB∥CD（已知）
∴PQ∥CD（ ）
第7页（共31页）∴∠C+∠2＝180°
结论：∠A+∠C+∠APC＝ °；
（2）解决问题：
①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样
的数量关系并说明理由；
②如图3，若∠APC＝100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，
则∠M的度数为 （直接写出结果）．
第8页（共31页）2021-2022学年河南省平顶山市汝州市八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）若 取1.442，计算 ﹣3 ﹣98 的结果是（ ）
A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442
【分析】根据实数的运算法则进行计算可得答案．
【解答】解：∵ 取1.442，
∴原式＝ ×（1﹣3﹣98）
≈1.442×（﹣100）
＝﹣144.2．
故选：B．
【点评】此题考查的是实数的运算，掌握其概念是解决此题的关键．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，
以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（2，0）
C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）
【分析】根据题意求出AB的长，以A为圆心作圆，与x轴交于C，C′，求出C的坐标即可．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
第9页（共31页）∴AB＝ ＝5，
∴AC′＝5，AC＝5，
∴C′点坐标为（2，0）；C点坐标为（﹣8，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质，作出辅助圆是解题的关键．
3．（3分）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择
什么样的包装最合适（ ）
A．2kg/包 B．3kg/包 C．4kg/包 D．5kg/包
【分析】最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的
众数，取所得范围的组中值即可．
【解答】解：由图知这组数据的众数为1.5kg～2.5kg，取其组中值2kg，
故选：A．
【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买
最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．
4．（3分）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子
的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
第10页（共31页）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【分析】先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把x＝38代入求出y即可．
【解答】解：∵鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，
∴设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
由题意知，x＝22时，y＝16，x＝44时，y＝27，
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为：y＝ x+5，
当x＝38时，y＝ ×38+5＝24（cm），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键．
5．（3分）解方程组 的下列解法中，不正确的是（ ）
A．代入法消去a，由②得a＝b+2
B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3
D．加减法消去b，①+②得3a＝9
【分析】利用加减消元法判断即可．
【解答】解：A、代入法消去a，由②得a＝b+2，选项正确，不符合题意；
B、代入法消去b，由①得b＝7﹣2a，选项正确，不符合题意；
C、加减法消去a，①﹣②×2得3b＝3，选项错误，符合题意；
D、加减法消去b，①+②得3a＝9，选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
6．（3分）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最
短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其
底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
第11页（共31页）A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
【分析】先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可
得出结论．
【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC＝ ＝ ＝1.3（m）．
∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．
故选：C．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答
此题的关键．
7．（3分）对于一次函数y＝﹣x+5，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A（1，y ），B（3，y ）在该函数图象上，则y ＜y
1 2 1 2
【分析】根据一次函数的性质、平移的规律，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判
断．
【解答】解：A、∵k＝﹣1，b＝5，
第12页（共31页）∴函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确，符合题意；
B、当y＝0时，则﹣x+5＝0，解得x＝5，故函数的图象与x轴的交点坐标是（5，0），B选项
不正确，不符合题意；
C、一次函数y＝﹣x+5的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣x+1的图象，故C选项错误，
不符合题意；
D、两点A（1，y ），B（3，y ）在该函数图象上，由1＜3，则y ＞y ，故D选项错误，不符合题
1 2 1 2
意．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的
图象与系数的关系是解答此题的关键．
8．（3分）已知 ， 都是关于x，y的方程y＝﹣3x+c的一个解，则下列对于a，b的关
系判断正确的是（ ）
A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3． C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3
【分析】将两对解代入方程得到 ，①﹣②即可求得a﹣b＝3．
【解答】解：将 ， 代入方程y＝﹣3x+c，得 ，
①﹣②得：a﹣b＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
9．（3分）定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．下面给出该定理的两种
证法．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图， 证法2：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180（三角形内角和定 ∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°
理）， （量角器测量所得），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， 又∵135°＝76°+59°（计算所得），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代 ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
下列说法正确的是（ ）
第13页（共31页）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法1用严谨的推理证明了该定理
【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．
【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结
论的正确，具有一般性质，不需要再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴B的说法不正确，不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，
∴D的说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明
的一般步骤分析解答是解题的关键．
10．（3分）描述一组数据的离散程度，我们还可以用“平均差”．在一组数x 、x 、x 、…、x 中，
1 2 3 n
各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即T＝ （|x ﹣x|+|x ﹣x|+…+|x ﹣x|）叫
1 2 n
做这组数据的“平均差”．“平均差”也能描述一组数据的离散程度，“平均差”越大说
明数据的离散程度越大，稳定性越小．现有甲、乙两组数据，如表所示，则下列说法错误的
是（ ）
甲 12 13 11 15 13 14
乙 10 16 10 18 17 7
A．甲、乙两组数据的平均数相同
第14页（共31页）B．乙组数据的平均差为4
C．甲组数据的平均差是2
D．甲组数据更加稳定
【分析】根据平均差的定义列出算式，求出平均差，再比较即可．
【解答】解：∵甲组数据的平均数是（12+13+11+15+13+14）÷6＝13，
乙组数据的平均数是（10+16+10+18+17+7）÷5＝13，
∴T甲 ＝ ×（1+0+2+2+0+1）＝1；
T乙 ＝ ×（3+3+3+5+4+6）＝4，
乙的平均差较大，因此样本乙的稳定性小，甲的稳定性大；
∵S2
甲
＝ ×（[ 12﹣13）2+（13﹣13）2+（11﹣13）2+（15﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2]＝ ，
S2
乙
＝ ×[（10﹣13）2+（16﹣13）2+（10﹣13）2+（18﹣13）2+（17﹣13）2+（7﹣13）2]＝ ，
∴乙的方差较大，
∴样本乙的波动较大．甲组数据更加稳定．
故选：C．
【点评】本题考查方差和平均差的定义与意义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为
1 2 n
，则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方
1 2 n
差越大，波动性越大，反之也成立．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝
6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是 8 cm．
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，利用AAS证明△BCG≌△CDH得到BG
＝CH，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出BG＝4，
再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
第15页（共31页）【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，
∴∠BGC＝∠DHC＝90°，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCG+∠DCH＝90°，
∴∠CBG＝∠DCH，
在△BCG和△CDH中，
，
∴△BCG≌△CDH（AAS），
∴BG＝CH，
∵AB＝BC，BG⊥AC，AC＝6，
∴CG＝ AC＝3，
∴BM＝CN，
在Rt△BCG中，
由勾股定理得：BG＝ ＝ ＝4，
∴CH＝4，
∵CD＝DE，DH⊥CE，
∴CH＝EH，
∴CE＝CH+EH＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得
△BCM≌△CDN是解决问题的关键．
12．（3分）在我国新冠疫情虽然得到了有效的控制，但防范意识仍不能松懈，小丽去药店购
第16页（共31页）买口罩和酒精消毒湿巾，若买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买
200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元．设一只一次性医用口罩x元，一包酒
精消毒湿巾y元，根据题意可列二元一次方程组： ．
【分析】根据“买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买200只一次性
口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得
解．
【解答】解：依题意得： ，
故答案是： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
13．（3分）一次考试中，某题的得分情况如下表所示，则该题的平均分是 2. 2 ．
得分 0 1 2 3 4
百分率 15% 10% 25% 40% 10%
【分析】得分乘以百分率的和可求出平均数．
【解答】解：该题的平均得分：0×15%+1×10%+2×25%+3×40%+4×10%＝2.2．
故答案为2.2．
【点评】本题重点考查加权平均数的概念及求法．解题的关键是在计算时要认真仔细．
14．（3分）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图
所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚得 660 0 元．
【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解．
【解答】解：设卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式为y＝mx+n，
，
第17页（共31页）解得 ，
∴y＝﹣600x+7000，
x＝8时，y＝﹣600×8+7000＝2200，
∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）×2200＝6600（元），
故答案为：6600．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，能够得出卖出的苹果数量y与售价x之间的函
数关系式是解题关键．
15．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持
不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少 1 0 度．
【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可
得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角
形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
第18页（共31页）故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理
是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算与化简：（ ）（ ）+6 ﹣（ ﹣2）2．
（2）解方程组： ．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式以及二次根式的乘法运算、加减运算法则即
可求出答案．
（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+2 ﹣（3﹣4 +4）
＝1+2 ﹣（7﹣4 ）
＝1+2 ﹣7+4
＝﹣6+6 ．
（2）
①﹣②得：x﹣2y﹣x﹣3y＝1﹣6
﹣5y＝﹣5，
y＝1，
将y＝1代入①得：x﹣2＝1，
x＝3，
∴方程组的解为 ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运
用二次根式的运算法则以及二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
17．（9分）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h
（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈ ，其中R是地球半径，
通常取6400km．
（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚
露出海平面，求此时d的值．
（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；
第19页（共31页）泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看
到大海．
【分析】（1）根据d≈ ，由R＝6400km，h＝0.02km，求出即可；
（2）站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，求得d2＝2×1.5×6400＝19200，
2302＝52900，比较即可得到结论．
【解答】解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，
得d＝ ＝ ＝16（km），
答：此时d的值为16km；
（2）说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，
则d2＝2×1.5×6400＝19200，
2302＝52900，
∵19200＜52900，
∴d＜230，
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入求出
是解题关键．
18．（9分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确
信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图
形，把一个角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作
BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，并且∠BAE＝∠BEA，∠EBF＝∠EFB，请你证明
∠FAN＝ ∠MAN．
第20页（共31页）【分析】根据作图过程即可完成证明．
【解答】证明：∵BC⊥AN，BC⊥BF，
∴∠ACB＝∠CBF＝90°，
∴BF∥AN，
∴∠FAN＝∠F，
∵∠EBF＝∠F，
∴∠FAN＝∠EBF，
∴∠AEB＝∠EBF+∠F＝2∠FAN，
∵∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝2∠FAN，
∴∠MAN＝∠BAE+∠FAN
＝2∠FAN+∠FAN
3∠FAN，
∴∠FAN＝ MAN．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，垂线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
19．（9分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的
同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个
班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为
四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百
分比
七年级 1.3 1.1 a 0.26 40%
第21页（共31页）八年级 1.3 b 1.0 0.23 m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值；
（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说
明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解．
（2）用抽测的百分比乘八年级总班级数即可求解．
（3）从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
【解答】解：（1）由题可知：a＝0.8，b＝1.0，m＝20．
（2）∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．
∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6
（个）．
答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的
20%．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
“①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1．
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26，更稳
定．”
【点评】本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识
第22页（共31页）的意义进行分析即可．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝x，直线l 的解析式为y＝﹣
1 2
x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据坐标轴点的特征求解即可．
（2）联立式y＝x，y＝﹣ x+3得点C（2，2），根据三角形的面积公式即可求解．
（3）分PC＝OC、CP＝OP、OC＝OP三种情况，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）对于直线l 的解析式为y＝﹣ x+3，令x＝0，得到y＝3，
2
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）联立y＝x，y＝﹣ x+3并解得：x＝2，
∴点C（2，2），
∴S△COB ＝ OB•x
C
＝ ×3×2＝3；
（3）存在．
第23页（共31页）∵点C（2，2），
∴OC＝ ＝2 ，∠AOC＝45°，
设P（x，0），
①当PC＝OC＝2 时，如图，
∵点C（2，2），
∴PC2＝22+（x﹣2）2，
∴（2 ）2＝22+（x﹣2）2，
∴x＝0或4，
∵x＝0时，与点O重合，故舍去，
∴点P（4，0）；
②当CP＝OP时，如图，
∵CP＝OP，∠AOC＝45°，
∴∠OCP＝45°，
∴∠OPC＝90°，
∴点C（2，2），
∴OP＝2，
∴点P（2，0）；
③当OC＝OP＝2 时，如图，
第24页（共31页）点P（2 ，0）或（﹣2 ，0），
综上所述：点P坐标为（4，0）或（2，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾
股定理、三角形面积的计算等知识，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
21．（9分）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧
面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 5 张，长方形纸板 1 0 张．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少
个，恰好能将购进的纸板全部用完？
（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a
张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜310．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有
可能值．
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板及一个横式无盖
纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需
长方形及正方形纸板数量；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用
162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工 个，根据所用长方形纸板数＝4×竖式无
盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，可得出a关于m的函数关系式，结合a，m为正整数及290
第25页（共31页）＜a＜310，可找出a的所有可能值．
【解答】解：（1）1+2×2＝5（张），4+3×2＝10（张）．
故答案为：5；10．
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，
依题意，得： ，
解得： ．
答：竖式纸盒加工38个、横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工 个，
依题意，得：4m+3× ＝a，
∴a＝ m+243．
∵290＜a＜310，且a，m均为正整数，
∴m可能为20，22，24，26，
∴a可能为293，298，303，308．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，解题的关键是：（1）观察图
形，找出每个横式及竖式纸盒所需长、正方形纸板数；（2）找准等量关系，正确列出二元一
次方程组；（3）利用所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，找出a
关于m的函数关系式．
22．（10分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以
3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在
1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平
飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]
第26页（共31页）【分析】（1）由爬升角度为45°，可知OA上的点的横纵坐标相同，由此得到点A坐标，用待
定系数法OA解析式可求；利用2号试飞机一直保持在1号机的正下方，可知它们的飞行
的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度；
（2）设BC的解析式为h＝ms+n，由题意将B，C坐标代入即可求得；令h＝0．求得s，即可
得到结论；
（3）PQ不超过3km，得到5﹣h≤3，利用（1）（2）中的解析式得出关于s的不等式组，确定s
的取值范围，得出了两机距离PQ不超过3km的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行
速度，结论可得．
【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，
∴OA上的点的横纵坐标相同．
∴A（4，4）．
设OA的解析式为：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，
∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．
∵2号机在爬升到A处时水平方向上移动了4km，飞行的距离为4 km，
又1号机的飞行速度为3km/min，
∴2号机的爬升速度为：4 ÷ ＝3 km/min．
（2）设BC的解析式为h＝ms+n，
第27页（共31页）由题意：B（7，4），
∴ ，
解得： ．
∴BC的解析式为h＝ ．
令h＝0，则s＝19．
∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．
（3）解法一：∵PQ不超过3km，
∴5﹣h≤3．
∴PQ＝ ，
解得：2≤s≤13．
∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝ （min）．
解法二：当PQ＝3km时，h＝5﹣3＝2（km），
∵h＝s，
∴s＝2．
由2＝ 得：s＝13，
∴两机距离PQ不超过3km的时长为： （min）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的仰角问题，待定系数法求函数的解析式，解不等
式组，一次函数的应用．待定系数法是确定解析式的重要方法，也是解题的关键．
23．（10分）已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．
（1）探究发现：（填空）
填空：如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1＝ 18 0 °（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵AB∥CD（已知）
第28页（共31页）∴PQ∥CD（ 平行公理的推论 ）
∴∠C+∠2＝180°
结论：∠A+∠C+∠APC＝ 36 0 °；
（2）解决问题：
①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样
的数量关系并说明理由；
②如图3，若∠APC＝100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，
则∠M的度数为 140 ° （直接写出结果）．
【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠A+∠1＝180°，
∠C+∠2＝180°，进而得到结论：∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）先根据AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，得出∠BAF＝ ∠BAP，∠DCF＝ ∠DCE，
再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠F＝ （∠BAP+∠DCP﹣180°）再
根据∠BAP+∠DCP＝360°﹣∠P，即可得出∠F＝ （360°﹣∠P﹣180°）＝90°﹣ ∠P；
（3）延长线段CD，延长BA交CP的延长线于G，设∠BAP＝ ，∠G＝∠GCF＝∠CDN＝
，由（1）可得，∠M+∠BAM+∠EDM＝360°，即可得到∠Mα＝360°﹣∠BAM﹣∠EDM＝
β
100°+ （ ﹣ ），再根据∠BAP是△APG的外角，∠APC＝100°，即可得出 ﹣ ＝80°，代
α β α β
入后可得∠M＝100°+ （ ﹣ ）＝100°+ ×80°＝140°．
α β
【解答】解：（1）探究发现：
如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
第29页（共31页）∵AB∥CD（已知）
∴PQ∥CD（平行公理的推论）
∴∠C+∠2＝180°
结论：∠A+∠C+∠APC＝360°；
故答案为：180°，两直线平行，同旁内角互补，平行公理的推论，360；
（2）2∠F+∠P＝180°．
理由：如图2，∵AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝ ∠BAP，∠DCF＝ ∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DQF，
∵∠DQF是△CFQ的外角，
∴∠F＝∠DQF﹣∠DCF
＝∠BAF﹣∠DCF
＝ ∠BAP﹣ ∠DCE
＝ （∠BAP﹣∠DCE）
＝ [∠BAP﹣（180°﹣∠DCP）]
＝ （∠BAP+∠DCP﹣180°）
由（1）可得，∠P+∠BAP+∠DCP＝360°，
∴∠BAP+∠DCP＝360°﹣∠P，
∴∠F＝ （360°﹣∠P﹣180°）＝90°﹣ ∠P，
即2∠F+∠P＝180°；
（3）如图3，延长线段CD，延长BA交CP的延长线于G，
∵BN∥AP，DN∥PC，AB∥CD，
∴可设∠BAP＝ ，∠G＝∠GCF＝∠CDN＝ ，
∵AM、DM分别α平分∠PAB，∠CDN， β
第30页（共31页）∴∠BAM＝ ∠BAP＝ ，∠MDN＝ ∠CDN＝ ，
α β
由（1）可得，∠APC+∠BAP+∠DCP＝360°，
∴∠PCD＝360°﹣∠APC﹣∠BAP＝260°﹣ ，
∴∠NDE＝260°﹣ ， α
由（1）可得，∠Mα+∠BAM+∠EDM＝360°，
∴∠M＝360°﹣∠BAM﹣∠EDM
＝360°﹣ ﹣（ +260°﹣ ）
α β α
＝100°+ （ ﹣ ），
α β
又∵∠BAP是△APG的外角，∠APC＝100°，
∴∠BAP﹣∠G＝∠APG＝80°，
∴ ﹣ ＝80°，
α β
∴∠M＝100°+ （ ﹣ ）＝100°+ ×80°＝140°．
α β
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线
平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线，构造内错角
以及同位角，依据三角形外角性质进行计算求解．
第31页（共31页）
