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2025年菁优高考物理压轴训练6
一．选择题（共11小题）
1．（2024•开福区校级模拟）2024年5月，“嫦娥六号”月球探测器升空后，先在地球表面附近以速率
环绕地球飞行，再调整速度进入地月转移轨道，最后以速率 在月球表面附近环绕月球飞行。若认为
地球和月球都是质量分布均匀的球体，月球与地球的半径之比约为 ，密度之比约为 。则 和
之比约为
A． B． C． D．
2．（2024•海南模拟）2023年2月，我国成功发射的中星26号卫星是地球静止轨道卫星，其距离地面的
高度约为地球半径的6倍。已知地球自转的周期为 ，引力常量为 ，依据题中信息可估算出
A．地球的质量 B．卫星的质量
C．近地卫星的周期 D．该卫星绕行的线速度大小
3．（2024•阆中市校级一模）2023年10月，“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后与在轨
的“天宫”空间站核心舱对接，为之后空间科学实验和技术试验提供更多条件。已知“天宫”空间站在
轨高度约为 ，下列说法正确的是
A．神舟十七号飞船的发射速度一定大于地球的第二宇宙速度
B．空间站绕地球做圆周运动的速度大于
C．空间站绕地球运动的周期等于地球同步卫星的周期
D．空间站绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度
4．（2024•沈阳三模）我国首颗超百 容量的高通量地球静止轨道通信卫星——“中星26号”与某
一椭圆轨道侦察卫星的运动轨迹如图所示， 、 分别为侦察卫星的近地点和远地点。两卫星的运行周
1期相同， 点是两轨道交点， 连线过地心，下列说法正确的是
A．侦查卫星从 点运动到 点过程中机械能减小
B．侦查卫星从 点运动到 点过程中动能减小
C．“中星26号”和侦察卫星在 点的加速度相等
D． 、 两点间距离与“中星26号”卫星轨道半径相等
5．（2024•湖北）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，
如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站
获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则
A．空间站变轨前、后在 点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
6．（2024•龙岗区校级三模）神舟十六号是中国“神舟”系列飞船的第十六次任务，也是中国空间站运
营阶段的首次飞行任务。如图所示，神舟十六号载人飞船处于半径为 的圆轨道Ⅰ、空间站组合体处于半
径为 的圆轨道Ⅲ，两者都在其轨道上做匀速圆周运动。通过变轨操作后，飞船从 点沿椭圆轨道Ⅱ运
动到 点与空间站组合体对接，已知地球的半径为 、地球表面重力加速度为 。下列说法正确的是
2A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度大于地球的第一宇宙速度
B．飞船沿轨道Ⅱ运行的周期大于空间站组合体沿轨道Ⅲ运行的周期
C．飞船在轨道Ⅰ上 点的加速度小于在轨道Ⅱ上 点的加速度
D．空间站组合体在轨道Ⅲ运行的周期
7．（2024•罗湖区校级模拟）神舟十六号载人飞船返回过程中，在 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，
为轨道Ⅱ上的近地点，如图所示。关于神舟十六号飞船的运动，下列说法中正确的是
A．在轨道Ⅱ上经过 点的速度大于在轨道Ⅰ上的速度
B．在轨道Ⅱ上经过 的加速度小于在轨道 上经过 的加速度
C．在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能
D．在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
8．（2024•临沂二模）如图（a）所示，太阳系外行星 、 均绕恒星 做同向匀速圆周运动。由于
的遮挡，行星 被 照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中 为 绕 运动的公转周
期。则两行星 、 运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为
3A． B． C． D．
9．（2024•辽宁一模）中国科学院紫金山天文台于2022年7月发现两颗小行星 和 ，小行
星 预估直径约为 ，小行星 预估直径约为 ，若两小行星在同一平面内绕太阳做
同向的匀速圆周运动（仅考虑小行星与太阳之间的引力），测得两小行星之间的距离△ 随时间变化的关
系如图所示，已知小行星 距太阳的距离大于小行星 距太阳的距离，则以下说法正确的是
A． 运动的周期为
B． 运动的周期为
C． 与 圆周运动的半径之比为
D． 与 圆周运动的线速度之比为
10．（2024•青山湖区校级模拟）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样
的自转特征。如图所示，假设该星球绕 轴自转， 所在的赤道平面将星球分为南北半球， 连线
与赤道平面的夹角为 。经测定， 位置的重力加速度为 ， 位置的重力加速度为 ，则 位置的
向心加速度为
4A． B． C． D．
11．（2024•雨花区校级模拟）据统计，我国发射的卫星已近600颗，位居世界第二位，这些卫星以导航、
遥感、通信为主要类别，尤其是北斗导航卫星的发射使我国具备了全球精确导航定位、授时和短报文通
信等能力。如图， 、 、 为我国发射的3颗卫星，其轨道皆为圆形，其中卫星 、 的轨道在赤道
平面内，卫星 的轨道为极地轨道，轨道半径 ，下列说法正确的是
A．卫星 一定与地球自转同步
B．卫星 的动能比卫星 的动能大
C．卫星 的线速度大小可能为
D．卫星 的加速度比卫星 的加速度大
二．多选题（共6小题）
12．（2024•天津）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为 。卫星发射后在地球同步轨道
上做匀速圆周运动，轨道半径为 。则卫星未发射时和在轨道上运行时
A．角速度之比为
B．线速度之比为
C．向心加速度之比为
D．受到地球的万有引力之比为
13．（2024•福建）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约 的轨道上，其视
5场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约 的轨道上，若两望远镜绕地球近似做
匀速圆周运动，则“巡天号”
A．角速度大小比“哈勃”的小
B．线速度大小比“哈勃”的小
C．运行周期比“哈勃”的小
D．向心加速度大小比“哈勃”的大
14．（2024•河南一模）如图，某侦察卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测
发现，该卫星离我国北斗三号系统中的地球同步轨道卫星的最近距离为 ，最远距离为 。则下列判断
正确的是
A．该侦察卫星的轨道半径为
B．该侦察卫星的运行周期为
C．该侦察卫星和某地球同步卫星前后两次相距最近的时间间隔为
D．该侦察卫星与地心连线和地球同步卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为
15．（2024•河北）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任
务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为 的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点 距月心约为
，远月点 距月心约为 ， 为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是
6A．鹊桥二号从 经 到 的运动时间为
B．鹊桥二号在 、 两点的加速度大小之比约为
C．鹊桥二号在 、 两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于 且小于
16．（2024•揭阳二模）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原
的过程，在两颗中子星合并前约 时，它们间的距离为 ，绕两者连线上的某点每秒转动 圈，将两
颗中子星都看作质量均匀分布的球体，引力常量为 ，下列说法正确的是
A．两颗中子星转动的周期均为
B．两颗中子星转动时所需向心力之比等于它们的转动半径之比
C．两颗中子星的转动半径之比等于它们质量的反比
D．两颗中子星的质量之和为
17．（2024•天津模拟）2022年10月9日43分，我国在酒泉卫星发射中心成功将“夸父一号”卫星发射
升空，开启中国综合性太阳观测的新时代。该卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，距离地球表面约 720
千米，运行周期约99分钟，下列说法正确的是
A．“夸父一号”发射速度大于
B．若已知万有引力常量，利用题中数据可以估算出地球的质量
C．“夸父一号”绕地球运行的速度大于地球的同步卫星的速度
D．“夸父一号”的角速度小于地球自转的角速度
三．填空题（共3小题）
18．（2023•崇明区二模） 、 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的
距离△ 随时间变化的关系如图所示，不考虑 、 之间的万有引力，已知地球的半径为 ，卫星
7的线速度大于 的线速度，则图中的时间 的周期（选填“大于”、“等于”或“小于” ， 、
卫星的加速度之比为 。
19．（2023•杨浦区二模）如图，一长为 的圆筒一端 密封，其中央有一小孔，圆筒另一端 用半透明
纸密封。将圆筒 端对准太阳方向，在 端的半透明纸上可观察到太阳的像，其直径为 。已知日地距
离为 ，地球绕太阳公转周期为 ，引力常量为 。据此估算可得太阳半径约为 ，太阳密度约为
。
20．（2022秋•黄浦区期末）小程同学设想人类若想在月球定居，需要不断地把地球上相关物品搬运到月
球上。经过长时间搬运后，地球质量 逐渐减小，月球质量 逐渐增加，但 ，不计搬运过程
中质量的损失。假设地球与月球均可视为质量均匀球体，月球绕地球转动的轨道半径不变，它们之间的
万有引力将 ，月球的线速度将 。（均选填“变大”、“变小”或“不变”
四．解答题（共5小题）
21．（2024•四川一模）如图所示，圆心角 的竖直光滑圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆
弧 与水平面相切于底端 点，圆弧形槽的右方固定一竖直弹性挡板。锁定圆弧形槽后，将一光滑小球
（视为质点）从 点以大小 的初速度水平向右抛出，小球恰好从顶端 点沿切线方向进入圆弧
形槽。已知小球的质量 ，圆弧形槽的质量 ，小球运动到 点时对圆弧形槽上 点的
压力大小 ，小球与挡板碰撞前、后的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，取重力加速
度大小 ； ， 。
8（1）求 、 两点间的高度差 和水平距离 ；
（2）求圆弧形槽的半径 ；
（3）若其他情况不变，仅将圆弧形槽解锁，通过计算分析，小球是否会冲出圆弧形槽的 点。
22．（2024•南通模拟）1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其
中一颗卫星 做振幅为 、周期为 的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投
影。如图所示是卫星 运动的示意图，在 平面内，质量为 的卫星 绕坐标原点 做匀速圆周运动。
若认为木星位于坐标原点 ，求：
（1）卫星 做圆周运动的向心力大小；
（2）物体做简谐运动时，回复力应满足 。试证明：卫星 绕木星做匀速圆周运动在 轴上的投
影是简谐运动。
23．（2024•南通模拟）两颗相距较远的行星 、 的半径分别为 、 ，且 ，距行星中心
处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方 随 变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均
匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星 、 的密度之比 ；
（2）假设有相同的人形机器人在行星 、 表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相
同的情况下，求铅球射程的比值 。
924．（2024•浦东新区模拟）2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实
施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动。火星质量用 表示，“天问一号”探测器质量用 表示，万
有引力常量为 。
（1）将“天问一号”环绕火星的运动视作匀速圆周运动。
①“天问一号”处于 （选填： ．“平衡” ．“非平衡” 状态，运动过程中动能 （选填：
．“变化”、 ．“不变” ；
②当“天问一号”绕火星以半径为 做圆周运动时，其所受火星的万有引力大小为 ，线速度大小为
（用已知物理量的字母表示）。
（2）“祝融号”火星车承担着在火星表面的探测任务。车上有一个“ ”型支架如图所示，支架脚与水
平面夹角 。支架上放置了火星表面重力为 的设备，则每个支架脚所受压力为 ，若
增大，则每个支架脚所受压力 （选填： ．“变大” ．“变小” 。
（3）（计算）在距离火星表面 的位置将一小石块以 的初速度水平抛出，经 落到火星表
面，不计气体阻力和火星表面的高低起伏变化。求：
①火星表面该处的重力加速度 的大小；
②第 末小石块速度 的大小；
③石块水平抛出的同时，在其正上方 处静止释放一小物块，物块与石块落到火星表面上的时间差△ 。
（4）未来某年 乘坐速度为 为光速）的宇宙飞船跟随正前方的 ， 的飞行器速度为 ， 向
发出一束光进行联络。 观测到该光束的传播速度 。
．大于
．等于
．小于
1025．（2024•辽宁三模）中国探月工程 “嫦娥工程” 分为“绕”“落”“回”3个阶段，嫦娥五号月
球探测器已经成功实现采样返回，不久的将来中国宇航员将登上月球。已知引力常量为 。
（1）若探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，测得其环绕周期为 ，忽略探测器到月面的高度，
求月球的密度。
（2）忽略其他星球的影响，将地球和月球称为双星，他们受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上
的某一点 做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。已知地球和月球中心之间的距离为 ，地球质量 ，
月球质量 ，求月球的运动周期为 。
112025年菁优高考物理压轴训练6
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2024•开福区校级模拟）2024年5月，“嫦娥六号”月球探测器升空后，先在地球表面附近以速率
环绕地球飞行，再调整速度进入地月转移轨道，最后以速率 在月球表面附近环绕月球飞行。若认为
地球和月球都是质量分布均匀的球体，月球与地球的半径之比约为 ，密度之比约为 。则 和
之比约为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】卫星或行星运行参数的计算
【专题】模型建构能力；万有引力定律的应用专题；定量思想；模型法
【分析】根据万有引力提供向心力列方程，得到卫星绕行星表面附近运行的线速度，结合行星的质量表
达式得到线速度与行星的半径、密度的关系式，再求解 和 之比。
【解答】解：根据万有引力提供向心力得
可得卫星绕行星表面附近运行的线速度为
行星的质量为
联立解得
代入月球与地球的半径之比 ，密度之比 ，可得
，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】解决本题的关键要掌握万有引力提供向心力这个关系，求一个物理量，我们应该把这个物理量
先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较求解。
2．（2024•海南模拟）2023年2月，我国成功发射的中星26号卫星是地球静止轨道卫星，其距离地面的
12高度约为地球半径的6倍。已知地球自转的周期为 ，引力常量为 ，依据题中信息可估算出
A．地球的质量 B．卫星的质量
C．近地卫星的周期 D．该卫星绕行的线速度大小
【答案】
【考点】近地卫星与黄金代换；开普勒三大定律；万有引力与重力的关系（黄金代换）
【专题】方程法；人造卫星问题；定量思想；推理能力
【分析】根据万有引力提供向心力解得地球的质量表达式，由于不知道轨道半径大小，无法求解地球的
质量、卫星绕行的线速度大小；卫星的质量在计算中约去，无法求解；根据开普勒第三定律求解近地卫
星的周期。
【解答】解： 、地球静止轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 ，根据万有引力提供向心力，则
有： ，解得地球的质量为： ，由于不知道轨道半径大小，无法求解地球的质量，
故 错误；
、卫星的质量在计算中约去，无法求解，故 错误；
、设地球的半径为 ，地球同步卫星的轨道半径为 ，地球静止轨道卫星绕地球做匀速圆周运动
的周期为 ，近地卫星的轨道半径为 ，设周期为 ，根据开普勒第三定律可得 ，解得：
，故 正确；
、地球同步卫星的轨道半径为 ，不知道地球的半径 ，无法求解该卫星绕行的线速度大小，故
错误。
故选： 。
【点评】本题主要是考查万有引力定律及其应用，解答本题的关键是能够根据万有引力提供向心力结合
向心力公式进行分析，掌握开普勒第三定律的应用方法。
3．（2024•阆中市校级一模）2023年10月，“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后与在轨
的“天宫”空间站核心舱对接，为之后空间科学实验和技术试验提供更多条件。已知“天宫”空间站在
轨高度约为 ，下列说法正确的是
13A．神舟十七号飞船的发射速度一定大于地球的第二宇宙速度
B．空间站绕地球做圆周运动的速度大于
C．空间站绕地球运动的周期等于地球同步卫星的周期
D．空间站绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【答案】
【考点】第一、第二和第三宇宙速度的物理意义；近地卫星与黄金代换；万有引力与重力的关系（黄金
代换）
【专题】万有引力定律的应用专题；定量思想；推理能力；推理法
【分析】根据宇宙速度的意义分析神舟十七号飞船的发射速度；根据开万有引力提供向心力分析空间站
周期，从而分析是否相对地球静止；根据牛顿第二定律分析加速度大小。
【解答】解： 、第二宇宙速度为卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，根据地球宇宙速度的定义，
可知神舟十七号飞船的发射速度必须大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故 错误；
、 是第一宇宙速度，是卫星环绕的最大速度，所以空间站绕地球做圆周运动的速度小于
，故 错误；
、根据万有引力提供向心力有：
解得：
可知空间站的周期小于地球同步卫星的周期，故 错误；
、根据牛顿第二定律可得
解得
天和空间站的轨道半径大于地球的半径，加速度小于地球表面的重力加速度，故 正确。
故选： 。
【点评】本题主要是考查万有引力定律及其应用，解答本题的关键是能够根据万有引力提供向心力结合
向心力公式进行分析。
144．（2024•沈阳三模）我国首颗超百 容量的高通量地球静止轨道通信卫星——“中星26号”与某
一椭圆轨道侦察卫星的运动轨迹如图所示， 、 分别为侦察卫星的近地点和远地点。两卫星的运行周
期相同， 点是两轨道交点， 连线过地心，下列说法正确的是
A．侦查卫星从 点运动到 点过程中机械能减小
B．侦查卫星从 点运动到 点过程中动能减小
C．“中星26号”和侦察卫星在 点的加速度相等
D． 、 两点间距离与“中星26号”卫星轨道半径相等
【答案】
【考点】近地卫星与黄金代换；万有引力与重力的关系（黄金代换）
【专题】推理法；定量思想；人造卫星问题；推理能力
【分析】根据万有引力做功情况判断机械能的变化；根据万有引力做功情况判断动能的变化；根据万有
引力提供向心力分析加速度；根据开普勒第三定律分析轨道半径。
【解答】解： 侦查卫星从 点运动到 点过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，故 错误；
侦查卫星从 点运动到 点过程中，万有引力做正功，动能增加，故 错误；
根据万有引力提供向心力可得 ，解得 ，可知“中星26号”和侦察卫星在 点的加
速度相等，故 正确；
根据开普勒第三定律可知， 由于两卫星的运行周期相同，则 、 两点间距离等于“中星20
号”卫星轨道半径的2倍，故 错误。
故选： 。
【点评】本题考查了万有引力定律的应用，解题的关键是明确卫星的运动规律，知道万有引力提供向心
力，并能结合开普勒第三定律分析。
5．（2024•湖北）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，
如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站
15获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则
A．空间站变轨前、后在 点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】
【考点】牛顿第二定律求解向心力；开普勒三大定律；卫星的发射及变轨问题
【专题】信息给予题；定性思想；推理法；牛顿第二定律在圆周运动中的应用；万有引力定律的应用专
题；理解能力
【分析】 根据万有引力定律求加速度；
根据开普勒第三定律求解作答；
曲线运动的速度方向沿切线方向，根据运动的合成与分解求解作答；
空间站从2轨道进入3轨道做向心运动，据此分析 点变轨前后的速度大小；
空间站在1、3轨道做匀速圆周运动，根据线速度与轨道半径的关系 分析1、3轨道线速度的大
小关系，然后综合分析作答。
【解答】解： 根据万有引力定律
得
由于空间站变轨前、后在 点到地球中心的距离相等，因此空间站变轨前、后在 点的加速度相同，故
正确；
根据开普勒第三定律
变轨后的半长轴
16联立得
空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故 错误；
空间站变轨前后的运动情况如图所示：
根据运动的合成与分解，空间站在 点变轨前的速度小于变轨后的速度，即 ，故 错误；
空间站从2轨道进入3轨道做向心运动，因此
空间站在1、3轨道做匀速圆周运动，根据线速度与轨道半径的关系
由于 ，因此 ，即
综合分析得
空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故 错误。
故选： 。
【点评】本题主要考查了空间站的匀速圆周运动和变轨，掌握万有引力定律、开普勒第三定律、空间站
做匀速圆周运动上线速度与轨道半径的关系是解题的关键。
6．（2024•龙岗区校级三模）神舟十六号是中国“神舟”系列飞船的第十六次任务，也是中国空间站运
营阶段的首次飞行任务。如图所示，神舟十六号载人飞船处于半径为 的圆轨道Ⅰ、空间站组合体处于半
径为 的圆轨道Ⅲ，两者都在其轨道上做匀速圆周运动。通过变轨操作后，飞船从 点沿椭圆轨道Ⅱ运
动到 点与空间站组合体对接，已知地球的半径为 、地球表面重力加速度为 。下列说法正确的是
17A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度大于地球的第一宇宙速度
B．飞船沿轨道Ⅱ运行的周期大于空间站组合体沿轨道Ⅲ运行的周期
C．飞船在轨道Ⅰ上 点的加速度小于在轨道Ⅱ上 点的加速度
D．空间站组合体在轨道Ⅲ运行的周期
【答案】
【考点】开普勒三大定律；万有引力与重力的关系（黄金代换）；近地卫星
【专题】比较思想；模型法；万有引力定律的应用专题；分析综合能力
【分析】地球的第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力列式分析飞船在轨道
Ⅰ上的运行速度与地球的第一宇宙速度的关系。根据开普勒第三定律分析周期关系。根据牛顿第二定律
分析加速度关系。根据万有引力提供向心力以及万有引力等于重力相结合求解空间站组合体在轨道Ⅲ运
行的周期。
【解答】解： 、卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有
解得： ，可知卫星的轨道半径越大，速度越小。因为 ，所以飞船在轨道Ⅰ上的运行速度
小于近地卫星的速度，即小于地球的第一宇宙速度，故 错误；
、飞船在轨道Ⅱ上运动的半长轴小于在轨道Ⅲ上运动的轨道半径，根据开普勒第三定律 可知，
卫星在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故 错误；
、根据万有引力提供向心力，有 ，解得： ，可知飞船在轨道Ⅰ上 点的加速度等
于飞船在轨道Ⅱ上 点的加速度，故 错误；
、空间站组合体在轨道Ⅲ时，根据万有引力提供向心力，有
18且在地球表面上，有
联立解得： ，故 正确。
故选： 。
【点评】本题考查飞船的运动，要能够熟练运用万有引力提供向心力和开普勒第三定律解题，能通过列
式进行定量分析。
7．（2024•罗湖区校级模拟）神舟十六号载人飞船返回过程中，在 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，
为轨道Ⅱ上的近地点，如图所示。关于神舟十六号飞船的运动，下列说法中正确的是
A．在轨道Ⅱ上经过 点的速度大于在轨道Ⅰ上的速度
B．在轨道Ⅱ上经过 的加速度小于在轨道 上经过 的加速度
C．在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能
D．在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
【答案】
【考点】天体运动中机械能的变化；不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【专题】推理法；人造卫星问题；定量思想；推理论证能力
【分析】 根据万有引力提供向心力导出线速度表达式，结合变轨加减速运动判断速度的大小关系；
根据万有引力提供向心力导出加速度表达式，结合相应距离不变进行判断；
根据变轨时需要点火加减速运动判断机械能的大小；
根据开普勒第三定律进行分析判断。
【解答】解： ．飞船绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 ，可得 ，
可知飞船在 点绕地球做匀速圆周运动的线速度大于在轨道 上的速度，而飞船从 点圆轨道需要点火
加速才能变轨到轨道Ⅱ上，所以飞船在轨道Ⅱ上经过 点的速度大于在轨道 上的速度，故 正确；
．根据牛顿第二定律可得 ，可得 ，非常不论在哪个轨道上经过 点，卫星和地球
连线距离不变，可知飞船在轨道Ⅱ上经过 的加速度等于在轨道 上经过 的加速度，故 错误；
19．飞船从轨道Ⅱ变轨到轨道 ，需要在 点点火加速，所以飞船在轨道Ⅱ上的机械能小于在轨道 上的
机械能，故 错误；
．由于轨道Ⅱ的半长轴小于轨道 的半径，根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道Ⅱ上的运行周期小
于在轨道 上的运行周期，故 错误。
故选： 。
【点评】考查万有引力定律的应用以及开普勒关于行星的几个定律、卫星变轨等，会根据题意进行准确
分析和解答。
8．（2024•临沂二模）如图（a）所示，太阳系外行星 、 均绕恒星 做同向匀速圆周运动。由于
的遮挡，行星 被 照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中 为 绕 运动的公转周
期。则两行星 、 运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）；开普勒三大定律；向心力的表达式及影响向心力大小的
因素
【专题】推理能力；推理法；定量思想；万有引力定律的应用专题
【分析】根据遮挡时间解得 的周期，根据万有引力提供向心力计算轨道半径，从而解答。
【解答】解：设 的周期为 ， 和 两次相距最近的时间内 比 要多转一圈，则
根据遮挡时间可知
解得
根据万有引力提供向心力有
设 的公转半径为 ， 的公转半径为 ，则有
20两行星 、 运动过程中相距最近时的距离与相距最远时的距离之比为
故 错误， 正确；
故选： 。
【点评】本题考查万有引力提供向心力，解题关键掌握图像的理解，注意也可用开普勒第三定律计算轨
道半径关系。
9．（2024•辽宁一模）中国科学院紫金山天文台于2022年7月发现两颗小行星 和 ，小行
星 预估直径约为 ，小行星 预估直径约为 ，若两小行星在同一平面内绕太阳做
同向的匀速圆周运动（仅考虑小行星与太阳之间的引力），测得两小行星之间的距离△ 随时间变化的关
系如图所示，已知小行星 距太阳的距离大于小行星 距太阳的距离，则以下说法正确的是
A． 运动的周期为
B． 运动的周期为
C． 与 圆周运动的半径之比为
D． 与 圆周运动的线速度之比为
【答案】
【考点】向心力的表达式及影响向心力大小的因素；开普勒三大定律；万有引力与重力的关系（黄金代
换）
【专题】分析综合能力；比较思想；图析法；万有引力定律的应用专题
【分析】先根据题图求出 与 圆周运动的半径，并求出半径之比；两星再次相距最近时，
小行星 比小行星 多转一圈，由此列式，并由开普勒第三定律列式求解小行星 与
21小行星 绕太阳运动的周期；由 求出 与 圆周运动的角速度之比，由
求线速度之比。
【解答】解： 、因小行星 距太阳的距离大于小行星 距太阳的距离，可设小行星
距太阳的距离为 ，小行星 距太阳的距离为 。
根据图像可知：
联立解得： ，
则 与 圆周运动的半径之比为半径之比为 ，故 错误；
、因经过时间 两星再次相距最近，设小行星 与小行星 绕太阳运动的周期分别为 、
，则
根据开普勒第三定律可知
解得： ， ，故 错误；
、根据 ，可得小行星 与小行星 绕太阳运动的角速度分别为： ，
根据 可得线速度之比为 ，故 正确。
故选： 。
【点评】解答本题的关键要读懂图像的意义，由几何关系求两小行星的轨道半径，同时，要知道两星再
22次相距最近时，小行星 比小行星 多转一圈。
10．（2024•青山湖区校级模拟）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样
的自转特征。如图所示，假设该星球绕 轴自转， 所在的赤道平面将星球分为南北半球， 连线
与赤道平面的夹角为 。经测定， 位置的重力加速度为 ， 位置的重力加速度为 ，则 位置的
向心加速度为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】卫星或行星运行参数的计算
【专题】定量思想；分析综合能力；万有引力定律的应用专题；模型法
【分析】质量为 的物体在 处受到地球的万有引力等于物体的重力。在 位置物体受到的地球的万有
引力等于物体的重力与向心力的合力， 位置的向心加速度为 ，分别在 位置、 位置
根据万有引力和重力的关系列式进行解答。
【解答】解： 位置的重力加速度为 ，在 位置，根据万有引力等于重力，得
在 位置，物体受到的地球的万有引力等于物体的重力与向心力的合力，则得
位置的向心加速度为
23联立解得 ，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】解答本题的关键要明确重力与万有引力的关系，知道在地球的两极，物体受到的重力等于地球
对物体的万有引力。在赤道，物体受到的地球的万有引力等于物体的重力与向心力的合力。
11．（2024•雨花区校级模拟）据统计，我国发射的卫星已近600颗，位居世界第二位，这些卫星以导航、
遥感、通信为主要类别，尤其是北斗导航卫星的发射使我国具备了全球精确导航定位、授时和短报文通
信等能力。如图， 、 、 为我国发射的3颗卫星，其轨道皆为圆形，其中卫星 、 的轨道在赤道
平面内，卫星 的轨道为极地轨道，轨道半径 ，下列说法正确的是
A．卫星 一定与地球自转同步
B．卫星 的动能比卫星 的动能大
C．卫星 的线速度大小可能为
D．卫星 的加速度比卫星 的加速度大
【答案】
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）；同步卫星的特点及相关计算；近地卫星与黄金代换
【分析】根据地球同步轨道卫星的特点分析；
根据万有引力提供向心力解得线速度、加速度和周期与轨道半径大小之间的关系，根据半径大小判断速
度、加速度的大小，再根据动能公式比较卫星的动能；
根据第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度分析。
【解答】解： 、地球同步卫星的其中一种情况是轨道与赤道成零度角，距离地面的高度、线速度和角
速度的大小等参数都是固定的，而 不一定是同步卫星，故 错误；
、根据万有引力提供向心力有： ，可得卫星的动能为：
三颗卫星的质量大小关系不知道，无法比较动能的大小，故 错误；
、第一宇宙速度为 ，是卫星的最大轨道速度，卫星 的线速度大小一定小于 ，故
错误；
24．三颗卫星的轨道半径 ，根据万有引力产生加速度： ，所以加速度：
则由半径关系可知加速度关系为： ，故 正确。
故选： 。
【点评】本题考查了地球卫星轨道相关知识点，地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，圆心是地球的地心，
万有引力提供向心力，轨道的中心一定是地球的球心，注意理解同步卫星的特点。
二．多选题（共6小题）
12．（2024•天津）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为 。卫星发射后在地球同步轨道
上做匀速圆周运动，轨道半径为 。则卫星未发射时和在轨道上运行时
A．角速度之比为
B．线速度之比为
C．向心加速度之比为
D．受到地球的万有引力之比为
【答案】
【考点】万有引力的基本计算；不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【专题】定量思想；推理法；人造卫星问题；推理论证能力
【分析】根据未发射时卫星的角速度和发射后在同步轨道的角速度相等，结合线速度、向心加速度以及
万有引力定律列式分析判断。
【解答】解： 卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在
地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角
速度之比为 ，故 正确；
根据题意，由公式 可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为
轨道半径之比 ，故 错误；
根据题意，由公式 可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度
之比为轨道半径之比 ，故 正确；
根据题意，由公式 可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨
道半径的平方成反比，即 ，故 错误。
25故选： 。
【点评】考查万有引力定律的应用和人造卫星问题，关键是抓住地球自转周期和同步轨道的卫星周期相
等进行分析解答。
13．（2024•福建）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约 的轨道上，其视
场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约 的轨道上，若两望远镜绕地球近似做
匀速圆周运动，则“巡天号”
A．角速度大小比“哈勃”的小
B．线速度大小比“哈勃”的小
C．运行周期比“哈勃”的小
D．向心加速度大小比“哈勃”的大
【答案】
【考点】万有引力的基本计算；牛顿第二定律的简单应用
【专题】推理论证能力；推理法；定量思想；万有引力定律的应用专题
【分析】根据万有引力提供向心力导出线速度、角速度、周期和加速度的表达式，结合两卫星的轨道半
径大小进行比较判断。
【解答】解：根据万有引力提供向心力有 ，可得 ，
， ， 。“巡天号”的轨道半径比“哈勃”望远镜的小，故“巡天号”的角速
度更大、线速度更大、周期更小、向心加速度更大，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】考查万有引力定律的应用，会根据题意进行准确分析和解答。
14．（2024•河南一模）如图，某侦察卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测
发现，该卫星离我国北斗三号系统中的地球同步轨道卫星的最近距离为 ，最远距离为 。则下列判断
正确的是
26A．该侦察卫星的轨道半径为
B．该侦察卫星的运行周期为
C．该侦察卫星和某地球同步卫星前后两次相距最近的时间间隔为
D．该侦察卫星与地心连线和地球同步卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为
【答案】
【考点】近地卫星与黄金代换；万有引力与重力的关系（黄金代换）；同步卫星的特点及相关计算
【专题】定量思想；分析综合能力；万有引力定律在天体运动中的应用专题；推理法
【分析】由侦察卫星距同步卫星的最近、最远距离，求该侦察卫星的轨道半径；
根据开普勒第三定律求侦察卫星的运行周期；
由卫星之间的追及公式求两次相距最近的时间间隔；
由万有引力定律及开普勒第二定律列式求解。
【解答】解： ．设侦察卫星的轨道半径为 ，同步卫星的轨道半径为 ，根据题意
解得
故 正确；
．根据开普勒第三定律有
27解得
故 错误；
．根据题意有
解得
故 错误；
．由
解得
因此该侦察卫星与地心连线和某地球静止卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为 ，故 正
确。
故选： 。
【点评】本题考查了万有引力定律及其应用、人造卫星等知识点。关键点：熟练掌握解决天体（卫星）
运动问题的基本思路。
15．（2024•河北）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任
务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为 的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点 距月心约为
，远月点 距月心约为 ， 为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是
28A．鹊桥二号从 经 到 的运动时间为
B．鹊桥二号在 、 两点的加速度大小之比约为
C．鹊桥二号在 、 两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于 且小于
【答案】
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）；第一、第二和第三宇宙速度的物理意义；近地卫星
【专题】定量思想；推理法；万有引力定律的应用专题；推理论证能力
【分析】根据牛顿第二定律分析解答；根据万有引力提供向心力解得加速度的比；根据月球的在轨卫星
的运行速度和月球的第一宇宙速度的关系进行判断。
【解答】解： 鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从 做减速运动，
从 做加速运动，则从 的运动时间大于半个周期，即大于 ，故 错误；
鹊桥二号在 点根据牛顿第二定律有
同理在 点有
代入题中数据联立解得
故 正确；
由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在 、
两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故 错误；
由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号
的发射速度应大于地球的第一宇宙速度 ，小于地球的第二宇宙速度 ，故 正确。
故选： 。
【点评】考查万有引力定律的应用与第一宇宙速度的理解，会根据题意进行准确的分析和判断。
2916．（2024•揭阳二模）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原
的过程，在两颗中子星合并前约 时，它们间的距离为 ，绕两者连线上的某点每秒转动 圈，将两
颗中子星都看作质量均匀分布的球体，引力常量为 ，下列说法正确的是
A．两颗中子星转动的周期均为
B．两颗中子星转动时所需向心力之比等于它们的转动半径之比
C．两颗中子星的转动半径之比等于它们质量的反比
D．两颗中子星的质量之和为
【答案】
【考点】牛顿第二定律与向心力结合解决问题；中子星与黑洞
【专题】定量思想；推理法；万有引力定律的应用专题；推理论证能力
【分析】根据周期的定义，可求出周期；根据万有引力提供向心力可求出向心力大小，以及中子星的质
量比值，从而得出质量之和。
【解答】解： 两颗中子星转动过程中角速度相等，周期也相等，根据题意绕两者连线上的某点每秒转
动 圈，则周期 ，故 错误；
设两颗星的质量分别为 、 ，两颗中子星转动时所需的向心力由二者之间的万有引力提供，即向心
力大小均为 ，两颗中子星转动时所需向心力之比为 ，故 错误；
设 两 颗 星 的 轨 道 半 径 分 别 为 、 ， 相 距 ， 根 据 万 有 引 力 提 供 向 心 力 可 知
可知 ，即两颗中子星的转动半径与它们的质量成反比。
同时上述向心力公式化简可得 ，故 正确。
故选： 。
【点评】学生在解答本题时，应注意理解双星问题，特别注意万有引力表达式中的距离是两个天体间的
距离，不是其运动的半径。
17．（2024•天津模拟）2022年10月9日43分，我国在酒泉卫星发射中心成功将“夸父一号”卫星发射
30升空，开启中国综合性太阳观测的新时代。该卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，距离地球表面约 720
千米，运行周期约99分钟，下列说法正确的是
A．“夸父一号”发射速度大于
B．若已知万有引力常量，利用题中数据可以估算出地球的质量
C．“夸父一号”绕地球运行的速度大于地球的同步卫星的速度
D．“夸父一号”的角速度小于地球自转的角速度
【答案】
【考点】第一、第二和第三宇宙速度的物理意义；万有引力与重力的关系（黄金代换）；同步卫星的特
点及相关计算
【专题】推理法；万有引力定律在天体运动中的应用专题；定量思想；推理能力
【分析】根据第二宇宙速度概念分析；根据万有引力提供向心力推导质量、周期、线速度分析判断；根
据角速度定义式分析判断。
【解答】解： ．因为 是第二宇宙速度，是挣脱地球引力束缚的最小速度，由题意可知，“夸
父一号”并未脱离地球，仍靠地球引力提供向心力，所以发射速度不会大于 ，故 错误；
．根据公式
可得，地球的质量
若已知万有引力常量，利用题中数据可以估算出地球的质量，故 正确；
．“夸父一号”的周期为99分钟，地球的同步卫星周期为24小时，根据公式
可得
可知“夸父一号”的轨迹半径小，又根据 可得
可知，“夸父一号”的速度大，故 正确；
．“夸父一号”绕地球运行周期约99分钟，小于地球的自转周期 ，根据
31可知，其角速度大于地球自转的角速度，故 错误。
故选： 。
【点评】本题关键掌握利用万有引力提供向心力推导相关物理量。
三．填空题（共3小题）
18．（2023•崇明区二模） 、 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的
距离△ 随时间变化的关系如图所示，不考虑 、 之间的万有引力，已知地球的半径为 ，卫星
的线速度大于 的线速度，则图中的时间 大于 的周期（选填“大于”、“等于”或“小于” ，
、 卫星的加速度之比为 。
【答案】大于， 。
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）；近地卫星与黄金代换
【专题】定量思想；万有引力定律在天体运动中的应用专题；推理法；推理能力
【分析】根据△ 图像求半径，根据万有引力提供向心力，分析周期加速度，根据两卫星再一次相距
最近条件，比较周期关系。
【解答】解：设卫星 的轨道半径为 ，卫星 的轨道半径为 ，根据△ 图像 ，
解得 ，
设卫星 绕地球做匀速圆周的周期为 ，根据万有引力提供向心力则有
解得
设卫星 绕地球做匀速圆周的周期为 ，根据万有引力提供向心力则有
32解得
由图像可知每经过 ，两卫星再一次相距最近，满足条件
解得
则图中的时间 大于 的周期。
根据万有引力提供向心力 ，解得卫星的加速度
、 卫星的加速度之比为
故答案为：大于， 。
【点评】本题考查学生对万有引力提供向心力，两卫星再一次相距最近条件的掌握，是一道中等难度题。
19．（2023•杨浦区二模）如图，一长为 的圆筒一端 密封，其中央有一小孔，圆筒另一端 用半透明
纸密封。将圆筒 端对准太阳方向，在 端的半透明纸上可观察到太阳的像，其直径为 。已知日地距
离为 ，地球绕太阳公转周期为 ，引力常量为 。据此估算可得太阳半径约为 ，太阳密度约
为 。
【答案】 ， 。
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）；向心力的表达式及影响向心力大小的因素
【专题】万有引力定律在天体运动中的应用专题；运动学与力学（二 ；分析综合能力；定量思想；推理
法
【分析】根据三角形相似，结合万有引力提供向心力，可分析该题。
【解答】解：设太阳的半径为 ，由几何关系可知 ，解得太阳的半径
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为 ，地球质量为 ，则：
33地球的密度
联立解得太阳的密度
故答案为： ， 。
【点评】本题考查小孔成像原理，主要用到三角形相似和万有引力提供向心力等知识，属于基本题型。
20．（2022秋•黄浦区期末）小程同学设想人类若想在月球定居，需要不断地把地球上相关物品搬运到月
球上。经过长时间搬运后，地球质量 逐渐减小，月球质量 逐渐增加，但 ，不计搬运过程
中质量的损失。假设地球与月球均可视为质量均匀球体，月球绕地球转动的轨道半径不变，它们之间的
万有引力将 变大 ，月球的线速度将 。（均选填“变大”、“变小”或“不变”
【答案】变大，变小
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）
【专题】推理能力；定量思想；推理法；万有引力定律的应用专题
【分析】根据万有引力定律分析地球质量减小时地球与月球之间的万有引力变化；根据万有引力提供向
心力分析线速度变化。
【解答】解：令地球与月球质量和值为 ，根据
可知，当地球质量减小，而 ，地球与月球之间的万有引力将变大。
根据
解得
地球质量减小，则月球的线速度将变小。
故答案为：变大，变小
【点评】本题考查学生对根据万有引力提供组合体做圆周运动的向心力的掌握，是一道基础题。
四．解答题（共5小题）
21．（2024•四川一模）如图所示，圆心角 的竖直光滑圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆
34弧 与水平面相切于底端 点，圆弧形槽的右方固定一竖直弹性挡板。锁定圆弧形槽后，将一光滑小球
（视为质点）从 点以大小 的初速度水平向右抛出，小球恰好从顶端 点沿切线方向进入圆弧
形槽。已知小球的质量 ，圆弧形槽的质量 ，小球运动到 点时对圆弧形槽上 点的
压力大小 ，小球与挡板碰撞前、后的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，取重力加速
度大小 ； ， 。
（1）求 、 两点间的高度差 和水平距离 ；
（2）求圆弧形槽的半径 ；
（3）若其他情况不变，仅将圆弧形槽解锁，通过计算分析，小球是否会冲出圆弧形槽的 点。
【答案】（1） 、 两点间的高度差 为 水平距离 为 。
（2）圆弧形槽的半径 为 ；
（3）小球会冲出圆弧形槽的 点。
【考点】向心力的表达式及影响向心力大小的因素；平抛运动速度的计算；动量守恒定律在绳连接体问
题中的应用
【专题】动量定理应用专题；平抛运动专题；推理法；定量思想；分析综合能力
【分析】（1）小球做在从 点运动到 点的过程中做平抛运动，利用匀变速直线运动规律计算水平位移
和竖直高度；
（2）利用机械能守恒定律计算，再利用牛顿第三定律计算 ；
（3）在小球沿圆弧 运动的过程中，小球与圆弧形槽组成的系统水平方向动量守恒，先利用机械能守
恒定律计算速度大小，假设小球滑上圆弧形槽后能与圆弧形槽达到共同速度大小为 ，利用动量守恒定律
计算共速时的速度大小，再设小球与圆弧形槽达到相同的速度时距圆弧形槽底端的高度为 ，根据机械
能守恒定律有判断达到共速情况下需满足的下落高度，若符合实际情况，即假设成立，小球不会冲上
点，反之则相反。
【解答】解：（1）小球在从 点运动到 点的过程中做平抛运动，设该过程所用的时间为 ，竖直方向
有
35水平方向有
由于小球恰好从顶端 点沿切线方向进入圆弧形槽，由几何关系有
代入数据解得
（2）设小球通过 点时的速度大小为 ，根据机械能守恒定律有
设小球通过 点时所受圆弧形槽的支持力大小为
根据牛顿第三定律有：
解得：
代入数据解得
（3）在小球沿圆弧 运动的过程中，小球与圆弧形槽组成的系统水平方向动量守恒，以水平向右为正
方向，设当小球通过 点时，小球和圆弧形槽的速度分别为 、 ，有
规定向右为正方向，对该过程，根据机械能守恒定律有
代入数据解得
36比较速度大小， ，所以小球与挡板碰撞并反弹后会滑上圆弧形槽，假设小球滑上圆弧形槽后能与圆
弧形槽达到共同速度大小为 ，根据动量守恒定律有
其中圆弧形槽的速度大小
代入数据解得
设小球与圆弧形槽达到相同的速度时距圆弧形槽底端的高度为 ，根据机械能守恒定律有
代入数据解得
由于
假设不成立，即小球滑上圆弧形槽后会从 点冲出圆弧形槽。
答：（1） 、 两点间的高度差 为 水平距离 为 。
（2）圆弧形槽的半径 为 ；
（3）小球会冲出圆弧形槽的 点。
【点评】本题结合平抛运动考查学生对动量守恒定律、机械能守恒定律的理解和应用，其中掌握运动的
合成与分解方法，运用逆向思维反证为解决本题的关键。
22．（2024•南通模拟）1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其
中一颗卫星 做振幅为 、周期为 的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投
影。如图所示是卫星 运动的示意图，在 平面内，质量为 的卫星 绕坐标原点 做匀速圆周运动。
若认为木星位于坐标原点 ，求：
（1）卫星 做圆周运动的向心力大小；
（2）物体做简谐运动时，回复力应满足 。试证明：卫星 绕木星做匀速圆周运动在 轴上的投
影是简谐运动。
37【答案】（1）卫星 做圆周运动的向心力大小为 ；
（2）见解析。
【考点】向心力的表达式及影响向心力大小的因素；万有引力与重力的关系（黄金代换）
【专题】推理法；推理能力；万有引力定律的应用专题；定量思想
【分析】（1）根据振幅与圆周运动的半径关系结合牛顿第二定律可解答。
（2）根据简谐运动的回复力与位移关系证明。
【解答】解：（1）简谐运动是匀速圆周运动的投影，二者周期相同，简谐运动的振幅等于圆周运动的半
径。依据牛顿第二定律有
（2）设卫星 做匀速圆周运动如图中所示位置时，与 轴的夹角为 。
则向心力向 轴的投影
位移在 轴方向上的投影为
满足 ，其比例系数 ，这说明星 绕木星做匀速圆周运动向 轴的投影是简谐运动。
答：（1）卫星 做圆周运动的向心力大小为 ；
（2）见解析。
【点评】本题考查万有引力提供向心力，解题关键掌握简谐运动的特点，注意振幅与位移的关系。
23．（2024•南通模拟）两颗相距较远的行星 、 的半径分别为 、 ，且 ，距行星中心
38处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方 随 变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均
匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星 、 的密度之比 ；
（2）假设有相同的人形机器人在行星 、 表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相
同的情况下，求铅球射程的比值 。
【答案】（1）行星 、 的密度之比 为 ；
（2）在初速度相同的情况下，铅球射程的比值 为 。
【考点】万有引力与重力的关系（黄金代换）；向心力的表达式及影响向心力大小的因素
【专题】定量思想；推理法；分析综合能力；万有引力定律的应用专题
【分析】（1）根据万有引力提供向心力，以及密度公式，可求出密度比值；
（2）根据万有引力提供重力，结合平抛运动规律，可求出水平位移比值。
【解答】解：（1）设质量为 的卫星绕行星做圆周运动
整理得
由 ，结合图像得两行星的质量关系
密度
解得
（2）在每个行星表面
两行星表面的重力加速度之比
39铅球做平抛运动，竖直方向
水平方向
解得
答：（1）行星 、 的密度之比 为 ；
（2）在初速度相同的情况下，铅球射程的比值 为 。
【点评】本题考查万有引力定律的应用。解决问题的关键是理解 随 变化的关系，根据卫星绕行星做
圆周运动，万有引力提供向心力得出 随 变化的关系的表达式，利用在行星表面的平抛运动规律分析
计算。
24．（2024•浦东新区模拟）2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实
施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动。火星质量用 表示，“天问一号”探测器质量用 表示，万
有引力常量为 。
（1）将“天问一号”环绕火星的运动视作匀速圆周运动。
①“天问一号”处于 （选填： ．“平衡” ．“非平衡” 状态，运动过程中动能 （选
填： ．“变化”、 ．“不变” ；
②当“天问一号”绕火星以半径为 做圆周运动时，其所受火星的万有引力大小为 ，线速度大小为
（用已知物理量的字母表示）。
（2）“祝融号”火星车承担着在火星表面的探测任务。车上有一个“ ”型支架如图所示，支架脚与水
平面夹角 。支架上放置了火星表面重力为 的设备，则每个支架脚所受压力为 ，若
增大，则每个支架脚所受压力 （选填： ．“变大” ．“变小” 。
（3）（计算）在距离火星表面 的位置将一小石块以 的初速度水平抛出，经 落到火星表
面，不计气体阻力和火星表面的高低起伏变化。求：
①火星表面该处的重力加速度 的大小；
②第 末小石块速度 的大小；
③石块水平抛出的同时，在其正上方 处静止释放一小物块，物块与石块落到火星表面上的时间差△ 。
40（4）未来某年 乘坐速度为 为光速）的宇宙飞船跟随正前方的 ， 的飞行器速度为 ， 向
发出一束光进行联络。 观测到该光束的传播速度 。
．大于
．等于
．小于
【答案】（1）① 、 ；② 、 ；
（2）11.5、 ；
（3）①火星表面该处的重力加速度 的大小为 ；
②第 末小石块速度 的大小为 ；
③物块与石块落到火星表面上的时间差△ 为 。
（4） 。
【考点】向心力的表达式及影响向心力大小的因素；万有引力与重力的关系（黄金代换）
【专题】推理法；定量思想；平抛运动专题；理解能力
【分析】（1）匀速圆周运动是一种变速运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律分析解题各项；
（2）根据平衡条件和牛顿第三定律求压力大小并分析变化；
（3）根据平抛运动和自由落体的规律求表面加速度和时间差；
（4）根据爱因斯坦光速不变原理分析作答。
【解答】解：（1）①由题意知，“天问一号”环绕火星的运动视作匀速圆周运动，圆周运动是变速运动，
速度的方向时刻变化，而大小不变。是一种非平衡状态，动能是不变的，故选： 和 ；
②对“天问一号”环绕火星的运动，根据万有引力定律可得：
万有引力提供向心力有： 从而得到运动的速度：
（2）对重物进行受力分析由平衡条件有： ，代入数据得支持力：
再根据牛顿第三定律可知，压力
41由以上平衡式可知，当 增大时，压力 减小。
（3）①小石块的竖直方向的运动为自由落体运动，则有：
代入数据得：
②第 末小石块同时具有水平分速度和竖直分速度
水平方向为匀速直线运动，则有：
竖直方向为自由落体运动，则有：
第 末小石块的合速度
③物块做自由落体运动，根据
所以：
那么物块与石块落到火星表面上的时间差：△
（4）根据爱因斯坦光速不变原理，飞船中的观察者 和 观测到该光束的传播速度都是 。
故选： ；
答：（1）① 、 ；② 、 ；
（2）11.5、 ；
（3）①火星表面该处的重力加速度 的大小为 ；
②第 末小石块速度 的大小为 ；
③物块与石块落到火星表面上的时间差△ 为 。
（4） 。
【点评】本题考查万有引力、平抛运动、自由落体运动及相对论的应用，属基础知识的应用。抓住基本
规律和光速不变的原理可解决问题。
25．（2024•辽宁三模）中国探月工程 “嫦娥工程” 分为“绕”“落”“回”3个阶段，嫦娥五号月
球探测器已经成功实现采样返回，不久的将来中国宇航员将登上月球。已知引力常量为 。
（1）若探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，测得其环绕周期为 ，忽略探测器到月面的高度，
求月球的密度。
42（2）忽略其他星球的影响，将地球和月球称为双星，他们受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上
的某一点 做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。已知地球和月球中心之间的距离为 ，地球质量 ，
月球质量 ，求月球的运动周期为 。
【答案】（1）月球的密度为 。
（2）月球的运动周期为 。
【考点】向心力的表达式及影响向心力大小的因素；万有引力与重力的关系（黄金代换）；双星系统及
相关计算
【专题】万有引力定律的应用专题；定量思想；推理法；推理能力
【分析】（1）根据万有引力提供向心力求出月球的质量，结合月球的体积求出月球的密度；
（2）双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期。应用牛顿第二定律列方程求解即可。
【解答】解：（1）根据万有引力提供向心力有
则月球的密度为：
解得
（3）设地球轨道半径为 ，月球轨道半径为 ，则
据万有引力提供双星圆周运动向心力有
解得
43答：（1）月球的密度为 。
（2）月球的运动周期为 。
【点评】本题考查了万有引力定律的应用，由物体的运动解得重力加速度是解题的前提，应用运动学公
式、万有引力公式与牛顿第二定律即可解题。双星问题主要抓住万有引力提供圆周运动向心力，两颗星
圆周运动的角速度和周期相同的特点。
44考点卡片
1．牛顿第二定律的内容、表达式和物理意义
【知识点的认识】
1．内容：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方
向相同．
2．表达式：F合 ＝ma．该表达式只能在国际单位制中成立．因为F合 ＝k•ma，只有在国际单位制中才有k
＝1．力的单位的定义：使质量为1kg的物体，获得1m/s2的加速度的力，叫做1N，即1N＝1kg•m/s2．
3．适用范围：
（1）牛顿第二定律只适用于惯性参考系（相对地面静止或匀速直线运动的参考系）．
（2）牛顿第二定律只适用于宏观物体（相对于分子、原子）、低速运动（远小于光速）的情况．
4．对牛顿第二定律的进一步理解
牛顿第二定律是动力学的核心内容，我们要从不同的角度，多层次、系统化地理解其内涵：F量化了迫使
物体运动状态发生变化的外部作用，m量化了物体“不愿改变运动状态”的基本特性（惯性），而a则描
述了物体的运动状态（v）变化的快慢．明确了上述三个量的物理意义，就不难理解如下的关系了：
a∝F，a∝ ．
另外，牛顿第二定律给出的F、m、a三者之间的瞬时关系，也是由力的作用效果的瞬时性特征所决定的．
（1）矢量性：加速度a与合外力F合 都是矢量，且方向总是相同．
（2）瞬时性：加速度a与合外力F合 同时产生、同时变化、同时消失，是瞬时对应的．
（3）同体性：加速度a与合外力F合 是对同一物体而言的两个物理量．
（4）独立性：作用于物体上的每个力各自产生的加速度都遵循牛顿第二定律，而物体的合加速度则是每
个力产生的加速度的矢量和，合加速度总是与合外力相对应．
（5）相对性：物体的加速度是对相对地面静止或相对地面做匀速运动的物体而言的．
【命题方向】
下列对牛顿第二定律表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是（ ）
A、由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体的质量成正比，与物体的加速度成正比
B、由m＝ 可知，物体的质量与其所受合外力成正比，与其运动加速度成反比
C、由a＝ 可知，物体的加速度与其所受合外力成正比，与其质量成反比
D、由m＝ 可知，物体的质量决定于它的加速度和它受到的合外力
45分析：根据牛顿第二定律a＝ 可知，物体的加速度与其所受合外力成正比，与其质量成反比．物体的质
量与合外力以及加速度无关，由本身的性质决定．合外力与质量以及加速度无关．
解答：A、物体的合外力与物体的质量和加速度无关。故A错误。
BD、物体的质量与合外力以及加速度无关，由本身的性质决定。故BD错误。
C、根据牛顿第二定律a＝ 可知，物体的加速度与其所受合外力成正比，与其质量成反比。故C正确。
故选：C。
点评：解决本题的关键理解牛顿第二定律a＝ ，物体的加速度与其所受合外力成正比，与其质量成反比．
【解题思路点拨】
1.加速度的定义式为a＝ ，决定式为a＝ 。
2.根据牛顿第二定律F＝ma可以得到m＝ ，但要知道质量m是物体自身的性质，与物体的受力和加速
度无关。
3.物体受到的每个力都会产生加速度，物体总的加速度是各个力产生的加速度的矢量和。
2．牛顿第二定律的简单应用
【知识点的认识】
牛顿第二定律的表达式是F＝ma，已知物体的受力和质量，可以计算物体的加速度；已知物体的质量和
加速度，可以计算物体的合外力；已知物体的合外力和加速度，可以计算物体的质量。
【命题方向】
一质量为m的人站在电梯中，电梯加速上升，加速度大小为 g，g为重力加速度。人对电梯底部的压力
为（ ）
A、 B、2mg C、mg D、
分析：对人受力分析，受重力和电梯的支持力，加速度向上，根据牛顿第二定律列式求解即可。
解答：对人受力分析，受重力和电梯的支持力，加速度向上，根据牛顿第二定律
N﹣mg＝ma
故N＝mg+ma＝ mg
根据牛顿第三定律，人对电梯的压力等于电梯对人的支持力，故人对电梯的压力等于 mg；
46故选：A。
点评：本题关键对人受力分析，然后根据牛顿第二定律列式求解。
【解题方法点拨】
在应用牛顿第二定律解决简单问题时，要先明确物体的受力情况，然后列出牛顿第二定律的表达式，再
根据需要求出相关物理量。
3．相互作用力与平衡力的区别和联系
【知识点的认识】
比较作用力和反作用力与平衡力的异同点：
一对作用力与反作用力 一对平衡力
相 大小 相等 相等
同
方向 相反 相反
点
是否共线 共线 共线
不 性质 一定相同 不一定相同
同
作用时间 同时产生、同时消失 不一定同时产生、同时消失
点
作用对象 不同（异体） 相同（同体
作用效果 两个力在不同物体产生不同效果，不能抵消 两个力在同一物体上使物体达到平衡的效果
【命题方向】
如图所示，两个小球A和B，中间用弹簧连接，并用细绳悬于天花板下，下面四对力中，属于平衡力的
一对力是（ ）
A.绳对A的拉力和弹簧对A的拉力
B.弹簧对A的拉力和弹簧对B的拉力
C.弹簧对B的拉力和B对弹簧的拉力
D.B的重力和弹簧对B的拉力
分析：根据平衡力的条件，分析两个力之间的关系。物体之间的相互作用力是一对作用力与反作用力。
解答：A、由于小球有重力，绳对A的拉力大于弹簧对A的拉力，所以绳对A的拉力和弹簧对A的拉力
不是一对平衡力。故A错误。
B、弹簧对A的拉力和弹簧对B的拉力大小相等，但这两个力不是作用在同一物体上，不是一对平衡力。
故B错误。
C、弹簧对B的拉力和B对弹簧的拉力是一对作用力与反作用力，不是一对平衡力。故C错误。
47D、B受到重力和弹簧对B的拉力，B处于静止状态，则B的重力和弹簧对B的拉力是一对平衡力。故D
正确。
故选：D。
点评：一对平衡力与一对作用力与反作用力的区别主要有两点：
1、平衡力作用在同一物体上，而一对作用力与反作用力作用在两个不同物体上；
2、平衡力的性质不一定相同，而作用力与反作用力性质一定相同。
【解题思路点拨】
区分一对作用力和反作用力与一对平衡力的技巧
（1）看研究对象：一对作用力和反作用力作用在不同物体上，而一对平衡力作用在同一个物体上。
（2）看依存关系：一对作用力和反作用力同生同灭，相互依存，而一对平衡力则彼此没有依存关系。
4．牛顿第二定律与向心力结合解决问题
【知识点的认识】
圆周运动的过程符合牛顿第二定律，表达式F ＝ma ＝m 2r＝m ＝m 也是牛顿第二定律的变形，
n n
ω
因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。
【命题方向】
我国著名体操运动员童飞，首次在单杠项目中完成了“单臂大回环”：用一只手抓住单杠，以单杠为轴
做竖直面上的圆周运动．假设童飞的质量为55kg，为完成这一动作，童飞在通过最低点时的向心加速度
至少是4g，那么在完成“单臂大回环”的过程中，童飞的单臂至少要能够承受多大的力．
分析：运动员在最低点时处于超重状态，由单杠对人拉力与重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律
求解．
解答：运动员在最低点时处于超重状态，设运动员手臂的拉力为F，由牛顿第二定律可得：
F心 ＝ma心
则得：F心 ＝2200N
又 F心 ＝F﹣mg
得：F＝F心+mg＝2200+55×10＝2750N
答：童飞的单臂至少要能够承受2750N的力．
点评：解答本题的关键是分析向心力的来源，建立模型，运用牛顿第二定律求解．
【解题思路点拨】
48圆周运动中的动力学问题分析
（1）向心力的确定
①确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置．
②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力．
（2）向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个
力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力．
（3）解决圆周运动问题步骤
①审清题意，确定研究对象；
②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
5．开普勒三大定律
【知识点的认识】
开普勒行星运动三大定律基本内容：
1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个
焦点上。
2、开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的
面积。
3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
即： 。
在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
2．对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动；
3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即： 。
【命题方向】
（1）第一类常考题型是考查开普勒三个定律的基本认识：
关于行星绕太阳运动的下列说法正确的是（ ）
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
49C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
分析：开普勒第一定律是太阳系中的所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个
焦点上。在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。开普勒第三定律中的公
式 ，可知半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比。
解：A、开普勒第一定律可得，所有行星都绕太阳做椭圆运动，且太阳处在所有椭圆的一个焦点上。故A
错误；
B、开普勒第一定律可得，行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的一个焦点处，故B错误；
C、由公式 ，得离太阳越近的行星的运动周期越短，故C错误；
D、开普勒第三定律可得，所以行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故D正确；
故选：D。
点评：行星绕太阳虽然是椭圆运动，但我们可以当作圆来处理，同时值得注意是周期是公转周期。
（2）第二类常考题型是考查开普勒第三定律：
某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所
示。该行星与地球的公转半径比为（ ）
A．（ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
分析：由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长，其绕太阳转的慢。每过 N年，
该行星会运行到日地连线的延长线上，说明N年地球比行星多转1圈，即行星转了N﹣1圈，从而再次在
日地连线的延长线上，那么，可以求出行星的周期是 年，接着再由开普勒第三定律求解该行星与地
球的公转半径比。
解：A、B、C、D：由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长。每过N年，该行星
会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比
50行星多转圆周的N分之一，N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N﹣1圈，从而再次在日
地连线的延长线上。所以行星的周期是 年，根据开普勒第三定律有 ，即： ＝
＝ ，所以，选项A、C、D错误，选项B正确。
故选：B。
点评：解答此题的关键由题意分析得出每过N年地球比行星多围绕太阳转一圈，由此求出行星的周期，
再由开普勒第三定律求解即可。
【解题思路点拨】
（1）开普勒行星运动定律是对行星绕太阳运动规律的总结，它也适用于其他天体的运动。
（2）要注意开普勒第二定律描述的是同一行星离中心天体的距离不同时的运动快慢规律，开普勒第三定
律描述的是不同行星绕同一中心天体运动快慢的规律。
（3）应用开普勒第三定律可分析行星的周期、半径，应用时可按以下步骤分析：
①首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有两个行星是同一个中心天体时开普勒第三定律才成立。
②明确题中给出的周期关系或半径关系。
③根据开普勒第三定律列式求解。
6．万有引力定律的内容、推导及适用范围
【知识点的认识】
1.定义：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m
1
和m 的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即 。
2
2.对表达式 的说明
（1）引力常量G＝6.67×10﹣11N・m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是 1kg的质
点相距1m时的相互吸引力。
（2）公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两个球心间的距离。
3. 的适用条件
51（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可
用此公式近似计算两个物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用力，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体的球心到质点的距离。
4.万有引力的四个特性
【命题方向】
对于万有引力定律的表达式F＝G ，下列说法中正确的是（ ）
A.公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B.当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C.m 与m 受到的引力大小总是相等的，方向相反是一对平衡力
1 2
D.m 与m 受到的引力大小总是相等的，而与m 、m 是否相等无关
1 2 1 2
定义：利用万有引力定律解题时，要注意以下三点：（1）理解万有引力定律的内容和适用范围，（2）
知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律，（3）明确公式中各物理量的含义及公
式的使用方法。
解答：A、公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，故A正确；
52B、当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式 F＝G 已不再适
用于计算它们之间的万有引力，故B错误；
CD、m 与m 受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与 m 、m 是否相
1 2 1 2
等无关，故C错误，D正确。
故选：AD。
点评：本题考查万有引力的应用，注意r趋近于零时，物体不能再看作质点。
【解题思路点拨】
对有引力定律的两点说明：
（1）任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F＝
G 计算其大小。
（2）万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析
时可忽略。
7．万有引力的基本计算
【知识点的认识】
1.万有引力定律的内容和计算公式为：
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 和m 的乘
1 2
积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即
G＝6.67×10﹣11N・m2/kg2
2.如果已知两个物体（可视为质点）的质量和距离就可以计算他们之间的万有引力。
【命题方向】
如下图，两球的质量均匀分布，大小分别为M 与M ，则两球间万有引力大小为（ ）
1 2
53A、G B、G C、G D、G
分析：根据万有引力定律的内容，求出两球间的万有引力大小．
解答：两个球的半径分别为r 和r ，两球之间的距离为r，所以两球心间的距离为r +r +r，
1 2 1 2
根据万有引力定律得：
两球间的万有引力大小为F＝G
故选：D。
点评：对于质量均匀分布的球，公式中的r应该是两球心之间的距离．
【解题思路点拨】
计算万有引力的大小时要注意两个物体之间的距离r是指两个物体重心之间的距离。
8．万有引力与重力的关系（黄金代换）
【知识点的认识】
对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以
通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即
化简得到：GM＝gR2
其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，这个式子的应用非常广泛，被称
为黄金代换公式。
【命题方向】
火星探测器着陆器降落到火星表面上时，经过多次弹跳才停下．假设着陆器最后一次弹跳过程，在最高
点的速度方向是水平的，大小为v ，从最高点至着陆点之间的距离为s，下落的高度为h，如图所示，不
0
计一切阻力．
（1）求火星表面的重力加速度g ．
0
（2）已知万有引力恒量为G，火星可视为半径为R的均匀球体，忽略火星自转的影响，求火星的质量
M．
54分析：根据平抛运动规律求出星球表面重力加速度．运用黄金代换式GM＝gR2求出问题．
解答：（1）着陆器从最高点落至火星表面过程做平抛运动，由平抛规律得：
水平方向上，有x＝v t ①
0
竖直方向上，有h＝ g t2 ②
0
着陆点与最高点之间的距离s满足s2＝x2+h2 ③
由上3式解得火星表面的重力加速度g ＝ ④
0
（2）在火星表面的物体，重力等于火星对物体的万有引力，得mg ＝G ⑤
0
把④代入⑤解得火星的质量 M＝
答：（1）火星表面的重力加速度g 是 ．
0
（2）火星的质量M是 ．
点评：重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．把星球表面的物体运
动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．
【解题思路点拨】
1.黄金代换式不止适用于地球，也试用于其他一切天体，其中 g表示天体表面的重力加速度、R表示天体
半径、M表示天体质量。
2.应用黄金代换时要注意抓住如“忽略天体自转”、“万有引力近似等于重力”、“天体表面附近”等关
键字。
9．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
【知识点的认识】
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度（环绕速度）
（1）大小：7.9km/s．
（2）意义：
①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
55②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度．
2．第二宇宙速度
（1）大小：11.2 km/s
（2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度．
第二宇宙速度（脱离速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人
造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝11.2 km/s．
3．第三宇宙速度
（1）大小：16.7km/s
（2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度．
第三宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，
其大小为v＝16.7km/s．
三种宇宙速度比较
宇宙速度 数值（km/s） 意义
第一宇宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度
第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
【命题方向】
（1）第一类常考题型是考查对第一宇宙速度概念的理解：
关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度
B．它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度
C．它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度
D．它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度
分析：第一宇宙速度是在地面发射人造卫星所需的最小速度，也是圆行近地轨道的环绕速度，也是圆形
轨道上速度的最大值．
解：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度
v＝ ∝
因而第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度，A正确、B错误；
在近地面发射人造卫星时，若发射速度等于第一宇宙速度，重力恰好等于向心力，做匀速圆周运动，若
56发射速度大于第一宇宙速度，重力不足提供向心力，做离心运动，即会在椭圆轨道运动，因而 C正确、D
错误；
故选AC．
点评：要使平抛的物体成为绕地球做运动的卫星，其速度必须小于或等于第一宇宙速度，当取等号时为
圆轨道．
【解题思路点拨】
1.三个宇宙速度都有自身的物理意义，要准确记住其意义及具体的数值。
2.每个天体都有自己的宇宙速度，课本上介绍的只是地球的三大宇宙速度。
10．同步卫星的特点及相关计算
【知识点的认识】
同步卫星的特点
（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400 s．
（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同．
（4）高度一定：据 ，得r＝ ＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r﹣R≈6R（为
恒量）．
（5）速率一定：运动速度v＝ ＝3.08 km/s（为恒量）．
（6）绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
【命题方向】
地球同步卫星是与地球自转同步的人造卫星（ ）
A、它只能在赤道正上方，且离地心的距离是一定的
B、它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C、它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D、它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
分析：了解同步卫星的含义，即同步卫星的周期必须与地球自转周期相同．物体做匀速圆周运动，它所
受的合力提供向心力，也就是合力要指向轨道平面的中心．通过万有引力提供向心力，列出等式通过已
知量确定未知量．
解答：同步卫星若在除赤道所在平面外的任意点，假设实现了“同步”，那它的运动轨道所在平面与受
到地球的引力就不在一个平面上，这是不可能的，因此同步卫星相对地面静止不动，它只能在赤道的正
57上方。
根据万有引力提供向心力，列出等式： ＝m （R+h），其中R为地球半径，h为同步卫星
离地面的高度。由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：
同步卫星离地面的高度h也为一定值。故A正确，B、C、D错误
故选：A。
点评：地球质量一定、自转速度一定，同步卫星要与地球的自转实现同步，就必须要角速度与地球自转
角速度相等，这就决定了它的轨道高度和线速度大小．
【解题思路点拨】
同步卫星是相对地球静止的卫星，运行周期与地球自转周期一致，所以其轨道半径、线速度、角速度等
都是确定数值。
11．近地卫星
【知识点的认识】
1.近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。
2.因为脱离了地面，近地卫星受到的万有引力就完全等于重力，所以有G ＝mg，化简得GM＝gR2，即
近地卫星也满足黄金代换公式。
3.对于近地卫星而言，因为轨道半径近似等于地球半径，所以有
G ＝mg＝m ＝m 2R＝m
ω
【命题方向】
已知地球质量是月球质量的81倍，地球半径是月球半径的3.8倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期
为1.4小时，由此估算在月球上发射“近月卫星”的环绕周期约为（只考虑月球对卫星的引力）（ ）
A、1.0小时 B、1.6小时 C、2.1小时 D、3.0小时
分析：卫星绕地球和月球运行时，分别由地球和月球的万有引力提供向心力，列出等式表示出周期之比
即可求出“近月卫星”的环绕周期．
解答：卫星绕地球和月球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，
G ＝m ，
58得，T＝2 ，其中R为星球半径，M为星球质量。
则得到：“近月卫星”的环绕周期与近地卫星的周期为 T月 ：T地 ＝
代入解得，T月 ＝1.6h
故选：B。
点评：求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比．向心力的
公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
【解题思路点拨】
近地卫星最大的特点就是轨道半径可以近似等于地球半径，既可以应用普通卫星受到的万有引力完全提
供向心力的规律，也可以满足万有引力近似等于重力的黄金代换式，是联系“地”与“天”的桥梁。
12．卫星或行星运行参数的计算
【知识点的认识】
对于一般的人造卫星而言，万有引力提供其做圆周运动的向心力。于是有：
①G ＝m →v＝
②G ＝m 2r→ ＝
ω ω
③G ＝m →T＝
④G ＝ma→a＝G
在卫星运行的过程中，根据题目给出的参数，选择恰当的公式求解相关物理量。
【解题思路点拨】
2005年10月12日，我国成功地发射了“神舟”六号载人宇宙飞船，飞船进入轨道运行若干圈后成功实
施变轨进入圆轨道运行，经过了近5天的运行后，飞船的返回舱顺利降落在预定地点．设“神舟”六号
载人飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t，若地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）飞船的圆轨道离地面的高度；
59（2）飞船在圆轨道上运行的速率．
分析：研究“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力列出方
程，根据地球表面忽略地球自转时万有引力等于重力列出方程进行求解即可．
解答：（1）“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t，
①
研究“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力定律分别对地球表面物体
和飞船列出方程得：
②
根据地球表面忽略地球自转时万有引力等于重力列出方程得：
③
r＝R+h④
由①②③④解得：
②由线速度公式得：
∴
答：（1）飞船的圆轨道离地面的高度是 ；
（2）飞船在圆轨道上运行的速率是 ．
点评：本题要掌握万有引力的作用，天体运动中万有引力等于向心力，地球表面忽略地球自转时万有引
力等于重力，利用两个公式即可解决此问题．只是计算和公式变化易出现错误．
【解题思路点拨】
在高中阶段，一般把卫星的运行看作匀速圆周运动，万有引力完全充当圆周运动的向心力。但是计算的
公式比较多，需要根据题目给出的参数，选择恰当的公式进行计算。
6013．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【知识点的认识】
1.卫星运行的一般规律如下：
①G ＝m →v＝
②G ＝m 2r→ ＝
ω ω
③G ＝m →T＝
④G ＝ma→a＝G
由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度 减小，加速度a减小，周期T变大。
所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（ω“所有的速度”：线速度、角速度
加速度）较小、周期较大。
2.卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？
赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一
般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。
【命题方向】
据报道：北京时间4月25日23时35分，我国数据中继卫星“天链一号01星”在西昌卫星发射中心发射
升空，经过4次变轨控制后，成功定点于东经七十七度赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链
一号01星”下列说法正确的是（ ）
A、它运行的线速度等于第一宇宙速度
B、它运行的周期等于地球的自转周期
C、它运行的角速度小于地球的自转角速度
D、它的向心加速度等于静止在赤道上物体的向心加速度
分析：“天链一号01星”卫星为地球同步卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫
星，卫星距离地球的高度约为36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤
道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即 23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度
约为3.1公里/秒，其运行角速度等于地球自转的角速度．
解答：A．任何绕地球做圆周运动的卫星速度都小于第一宇宙速度，故A错误；
61B．“天链一号01星”卫星为地球同步卫星，周期等于地球的自转周期。故B正确；
C．“天链一号01星”卫星为地球同步卫星，角速度等于地球的自转角速度。故C错误；
D．根据 可知，随着半径R的增大，a在减小，故“天链一号01星”卫星的向心加速度比赤道
上物体的向心加速度小，故D错误。
故选：B。
点评：本题考查了地球卫星轨道相关知识点，地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，圆心是地球的地心，
万有引力提供向心力，轨道的中心一定是地球的球心；同步卫星有四个“定”：定轨道、定高度、定速
度、定周期．本题难度不大，属于基础题．
【解题思路点拨】
对于不同轨道上的卫星（或物体），要想比较他们的运行参数，一般遵循的原则是，“天比天，直接比
天比地，要帮忙”，即卫星与卫星之间可以通过万有引力提供向心力直接进行分析比较，而卫星与赤道
上物体的比较，则需要借助同步卫星进行分析。
14．卫星的发射及变轨问题
【知识点的认识】
1.卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。
2.一般来说卫星的发射包括以下步骤：
①发射地球卫星，如下图
a、先进入近地轨道Ⅲ
b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ
c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ
②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例）
62a、先进入近地轨道
b、加速进入椭圆轨道
c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道
d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道
e、在近地点减速减小远地点高度
f、进入环月轨道
【命题方向】
2022年我国航天事业发生多件大事，让世界瞩目。北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载
人飞船发射取得成功。北京时间2022年6月5日17时42分，成功对接于天和核心舱径向端口，整个对
接过程历时约7小时。北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十四号乘组迎来神舟十五号3名航天
员顺利进驻中国空间站，完成“太空会师”历史性大事件。2022年12月4日20时09分，神舟十四号载
人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。假设返回舱从工作轨道Ⅰ返回地面的运动轨迹如图，椭圆轨道Ⅱ
与圆轨道Ⅰ、Ⅲ分别相切于P、Q两点，返回舱从轨道Ⅲ上适当位置减速后进入大气层，最后在东风着陆
场着陆。下列说法正确的是（ ）
A、返回舱在Ⅰ轨道上P需要向运动方向的反方向喷气进入Ⅱ轨道
B、返回舱在Ⅱ轨道上运动的周期小于返回舱在Ⅲ轨道上运动的周期
C、返回舱在Ⅲ轨道上Q点的速度的大小大于Ⅱ轨道上P点速度的大小
D、返回舱在Ⅰ轨道上经过P点时的加速度等于在Ⅱ轨道上经过P点时的加速度
分析：A.根据变轨原理可知，在Ⅰ轨道上P点需要向运动方向的同方向喷气；
B.根据开普勒第三定律判断周期；
C.根据万有引力提供向心力判断速度；
63D.根据轨道的变化，结合万有引力提供加速度判断加速度。
解答：A．返回舱从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要减速，因此在Ⅰ轨道上P点需要向运动方向的同方向喷气，故
A错误；
B．根据开普勒第三定律有
返回舱在Ⅱ轨道上的半长轴大于返回舱在Ⅲ轨道上的轨道半径，所以在Ⅱ轨道上的运动的周期大于返回
舱在Ⅲ轨道上运动的周期，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力，有
解得
返回舱在Ⅰ轨道上的半径大于Ⅲ轨道的半径，则有
vⅢQ ＞vⅠP
又返回舱从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要减速，则有
vⅠP ＞vⅡP
所以有
vⅢQ ＞vⅠP ＞vⅡP
即返回舱在Ⅲ轨道上Q点的速度的大小大于Ⅱ轨道上P点速度的大小，故C正确；
D．根据牛顿第二定律有
解得
返回舱在Ⅰ轨道上P点时的半径等于返回舱在Ⅱ轨道上P点时的半径，所以返回舱在Ⅰ轨道上经过P点时
的加速度等于在Ⅱ轨道上经过P点时的加速度，故D正确。
故选：CD。
点评：本题主要是考查万有引力定律及其应用，解答本题的关键是能够根据万有引力提供向心力结合向
心力公式进行分析，掌握开普勒第三定律的应用方法。
【解题思路点拨】
1.对于卫星的变轨问题，常用的规律是“加速进高轨，减速进低轨”。意思就是如果卫星想要进入更高的
轨道，需要向后喷气做加速运动；如果想要进入更低的轨道，需要向前喷气做减速运动。
642.变轨的原理：离心作用。
①当向后喷气时，卫星速度变大，做圆周运动所需的向心力变大，万有引力不足以提供卫星所需的向心
力，卫星就要做离心运动进入更高的轨道运行。
②当向前喷气时，卫星速度变小，做圆周运动所需的向心力变小，万有引力大于卫星所需的向心力，卫
星就要做近心运动进入较低的轨道运行。
3.变轨前后的机械能变化：向后喷气时，相当于气体对卫星做了正功，卫星的机械能增大；向前喷气时，
相当于气体对卫星做了负功，卫星的机械能减小。
15．天体运动中机械能的变化
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。
2.卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。
3.加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的
机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对
卫星做负功，卫星的机械能减小。
【命题方向】
发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点
火，将卫星送入同步圆轨道3．（如图所示）．则卫星分别在1、3轨道上正常运行时，以下说法正确的
是（ ）
A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B、卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C、卫星在轨道3上具有的机械能大于它在轨道1上具有的机械能
D、卫星在轨道3上的向心加速度大于它在轨道1上的向心加速度
分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、周期和向心力的表达式进行讨
论即可．
解答：A、B、D、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为 m、轨
道半径为r、地球质量为M，有
65F＝F向
F＝G
F向 ＝m ＝m 2r＝m（ ）2r
ω
因而
G ＝m ＝m 2r＝m（ ）2r＝ma
ω
解得
v＝ ①
＝ ＝ ②
ω
a＝ ③
轨道3半径比轨道1半径大，根据①②④三式，卫星在轨道1上线速度较大，角速度也较大，向心加速
度同样较大，故A、B、D均错误；
C、卫星从轨道1到轨道3需要克服引力做较多的功，故在轨道3上机械能较大，故C正确；
故选：C。
点评：本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度和周期的表达式，再进行讨论。
【解题思路点拨】
1.卫星在变轨的时候需要经过精密的速度调控以进入精确的轨道，所以卫星有多个发动机，可以实现全方
位的加减速。
2.单独的比较物体在高轨和低轨的机械能是困难的，因为物体在低轨的势能小，动能大；在高轨的势能大，
动能小；而如果有特定的运动方式将两个轨道联系起来，就可以对物体在两个轨道的机械能进行比较了。
16．双星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点
共同转动，这样的两颗恒星称为双星。
662.模型特点
（1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
（3）两星的运动周期、角速度相同；
（4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r +r ＝L。
1 2
3.处理方法
（1）双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 。
（2）两个结论：
①运动半径：m r ＝m r ，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
1 1 2 2
②质量之和：由于 ，r +r ＝L，所以两恒星的质量之和为m +m ＝ 。
1 2 1 2
【命题方向】
2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星
合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量
均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（
）
A.质量之积
B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
分析：双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期
的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。
解答：AB、设两颗星的质量分别为m 、m ，轨道半径分别为r 、r ，相距L＝400km＝4×105m，
1 2 1 2
67根据万有引力提供向心力可知：
＝m r 2
1 1
ω
＝m r 2，
2 2
ω
整理可得： ＝ ，解得质量之和（m +m ）＝ ，其中周期
1 2
T＝ s，故A错误、B正确；
CD、由于T＝ s，则角速度为： ＝ ＝24 rad/s，这是公转角速度，不是自转角速度
根据v＝r 可知：v 1 ＝r 1 ，v 2 ＝r 2 ω π
解得：v
1
+ωv
2
＝（r
1
+r
2
） ω＝L ＝9ω.6 ×106m/s，故C正确，D错误。
故选：BC。 ω ω π
点评：本题实质是双星系统，解决本题的关键知道双星系统的特点，即周期相等、向心力大小相等，结
合牛顿第二定律分析求解。
【命题思路点拨】
解双星问题的两个关键点
（1）对于双星系统，要抓住三个相等，即向心力、角速度、周期相等。
（2）万有引力公式中L是两星球之间的距离，不是星球做圆周运动的轨道半径。
（3）对于多星问题（三星、四星），需要牢记任何一个天体运动的向心力是由其他天体的万有引力的合
力提供的。
17．中子星与黑洞
【知识点的认识】
本考点以中子星或黑洞为背景考查万有引力定律。
【命题方向】
中子星是一种密度很高的星体．已知某中子星的质量为M，它的半径为R，设万有引力常量为G．求：
①此中子星表面的自由落体加速度g′；
②贴近中子星表面，沿圆轨道运行的小卫星的运行周期T．
68分析：①根据万有引力等于重力 ，求出中子星表面的重力加速度．
②根据万有引力提供向心力．
解答：①中子星表面的物体所受重力近似等于它们之间的万有引力，即 ，
故中子星表面的重力加速度为 ．
②小卫星所受万有引力提供了其绕中子星圆周运动所需要的向心力： ，
得小卫星的周期 ．
点评：解决本题的关键掌握万有引力等于重力 ，以及万有引力提供向心力 ．
【解题思路点拨】
了解中子星和黑洞等天体现象，要熟悉并熟练掌握万有引力的规律和应用。
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