文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练11
一．选择题（共10小题）
1．（2024•长沙模拟）在△ 中， 为边 上一点， ， ， ，且△
的面积为 ，则
A． B． C． D．
2．（2024•和平区二模）平面四边形 中， ， ， ， ，则
的最小值为
A． B． C． D．
3．（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆 的圆心为正六边形的中心，若点
在正六边形的边上运动，动点 ， 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（2024•新郑市校级一模）如图，为了测量某湿地 ， 两点之间的距离，观察者找到在同一条直线
上的三点 ， ， ．从 点测得 ，从 点测得 ， ，从 点测得
．若测得 ， （单位：百米），则 ， 两点之间的距离为
1A． B．3 C． D．
5．（2024•重庆模拟）已知 ， ， ， ， ，则
的最大值为
A． B．4 C． D．
6．（2024•唐山二模）已知圆 过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于 ，
两点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
7．（2024•贵阳模拟）在钝角 中， ， ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
8．（2024•启东市校级模拟）已知点 在圆 上，点 的坐标为 为原点，则
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．（2024•湖北模拟）已知向量 ， ，满足 ，则
A． B． C． D．
210．（2024•河北模拟）在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
的平分线 的长为 ，则 边上的高线 的长等于
A． B． C．2 D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•湖北模拟）在 中， ， ， 所对的边为 ， ， ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
12．（2024•兰陵县模拟）定义运算 ．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，若 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是
A．
B．
C．角 的最大值为
D．若 ，则 为钝角三角形
13．（2024•鲤城区校级模拟）如图，某旅游部门计划在湖中心 处建一游览亭，打造一条三角形
游览路线．已知 ， 是扇岸上的两条甬路， ， ， ，
（观光亭 视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则
3A．
B．当 时，
C． 面积的最大值为
D．游览路线 最长为
14．（2024•城厢区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， 是线段
上的动点，点 与点 关于直线 对称．则下列结论正确的是
A．当 时，点 的坐标为
B． 的最大值为4
C．当点 在直线 上时，直线 的方程为
D． 正弦的最大值为
15．（2024•香河县校级模拟）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 上
的一点，且 ，则下列说法正确的是
4A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
16 ． （ 2024• 泰 安 四 模 ） 在 中 ， ， ， 分 别 为 内 角 ， ， 的 对 边 ， 若
，且 ，则 的面积为 ．
17．（2024•九龙坡区模拟）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其面积为 ，已知
， ．则 ； 的最大值为 ．
18．（2024•和平区校级一模）如图，在 中， ， ， ， 是边 上一点，
且 ．若 ，记 ，则 ；若点 满足 与 共
线， ，则 的值为 ．
19．（2024•浙江模拟）已知平面向量 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， ， 和 在 上
的投影为 ， ，则 的取值范围是 ．
20．（2024•东城区模拟）已知平面内点集 ， ， ， 中任意两个不同点之间的距离
都不相等．设集合 ，2， ， ， ， ，2， ， ，
5， ，2， ， ．给出以下四个结论：
①若 ，则 ；
②若 为奇数，则 ；
③若 为偶数，则 ；
④若 ， ， ， ，则 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•长安区一模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
22．（2024•一模拟）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 是 边上的高．
．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ．
23．（2024•江西一模）在 中，已知内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为
，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
24．（2024•曲靖模拟）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）线段 上一点 满足 ，求 的长度．
25．（2024•回忆版）记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
6（2）若 ， ，求△ 周长．
72025年菁优高考数学压轴训练11
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•长沙模拟）在△ 中， 为边 上一点， ， ， ，且△
的面积为 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形
【分析】由已知，解得 ，得△ 为等腰三角形，在△ 中，由正弦定理得 ，
从而得 ，再由两角差的正弦公式即可求得结论．
【解答】解：由题意，
，解得 ，
所以△ 为等腰三角形，
则 ，故 ，
在△ 中，由正弦定理得 ，
即 ，得 ，
因为 ，所以 为锐角，
故 ，
8故
．
故选： ．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题．
2．（2024•和平区二模）平面四边形 中， ， ， ， ，则
的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用
【分析】由已知，得 ， ， ， 四点共圆，从而判断点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的劣
弧（不含 ， 两点），根据数量积的几何意义，得出结论．
【解答】解：由 ， ， ，
可得 ，故 ，
又 ，所以 ，
以 为直径作圆，则 ， ， ， 四点共圆，
如图所示，故点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的劣弧（不含 ， 两点），
则 ，
又 表示 在 上的投影数量，
由图可知， ， ，
故 （此时点 在劣弧 的中点位置），
即 的最小值为 ．
9故选： ．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
3．（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆 的圆心为正六边形的中心，若点
在正六边形的边上运动，动点 ， 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；整体思想；平面向量及应用；综合法
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得 ，再由 的范围，即可
得到结果．
【解答】解：由题意可得：
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
当点 运动到正六边形的顶点时， ，
10所以 ，
则 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
4．（2024•新郑市校级一模）如图，为了测量某湿地 ， 两点之间的距离，观察者找到在同一条直线
上的三点 ， ， ．从 点测得 ，从 点测得 ， ，从 点测得
．若测得 ， （单位：百米），则 ， 两点之间的距离为
A． B．3 C． D．
【答案】
【考点】解三角形
【专题】解三角形；转化法；数学运算；转化思想
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解．
【解答】解：在△ 中， ， ， ，
则 ， ，
在△ 中， ， ， ，
则 ，
，
，
11在△ 中， ， ， ，
则 ，解得 ，
故 ， 两点之间的距离为3百米．
故选： ．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
5．（2024•重庆模拟）已知 ， ， ， ， ，则
的最大值为
A． B．4 C． D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】由题意首先得出 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转
换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可．
【解答】解：如图所示：
不妨设 ，
满足 ， ， ，
12又 ，即 ，
由椭圆的定义可知点 在以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为 ，
而 ，即 ，即 ，
这表明了点 在圆 上面运动，其中点 为圆心， 为半径，
又 ，等号成立当且仅当 ， ， 三点共线，
故只需求 的最大值即可，
因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设 ，
所以 ，
所以当 且 ， ， 三点共线时，
有最大值 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
6．（2024•唐山二模）已知圆 过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于 ，
两点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】方程思想；直线与圆；分类讨论；数学运算；综合法
【分析】当直线 斜率不存在时，求出点 ， 、 的坐标，直接计算即可；当 斜率存在时，设
13，设 ， 、 ， ，联立直线与圆的方程，结合韦达定理表示出 关
于 的表达式，由函数的性质即可求解其范围．
【解答】解：设 ， 、 ， ， 圆 ， ．
①当直线 斜率不存在时，则 ，
时， ， ， ，
设 ， ， ， 、 ，
与 轴交于 ， ，
、 、 ，
；
②当 斜率存在时，设 ，
时， 与 轴无交点， 不符题意．
时， 时， ， ，
联立 ，消去 得 ，
， ，
， ， ， ，
14，
， ， ， ，
，
综上 或 ，
．
则 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，考查了直线与圆的位置关系，考查了方程思想及分类讨论思想，
属于中档题．
7．（2024•贵阳模拟）在钝角 中， ， ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】解三角形；正弦定理
【专题】解三角形；整体思想；综合法；数学运算
【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可．
【解答】解：由正弦定理得 ，
所以 ，
因为钝角 中， ，
15当 为锐角时， ，得 ，则 ，
则 ，所以 ；
当 为钝角时， ，得 ，则 ，
则 ，所以 ；
综上： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
8．（2024•启东市校级模拟）已知点 在圆 上，点 的坐标为 为原点，则
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；转化法；数学运算；平面向量及应用；直线与圆；数学建模
【分析】设 ，利用平面数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可求得 的取值范围．
【解答】解：设 ，由图可知， 与 夹角为锐角，故 ，
又 ， ，
则 ，
令 ，则 为点 到直线 的距离，
16圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，故 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量数量积，考查直线和圆的位置关系，属中档题．
9．（2024•湖北模拟）已知向量 ， ，满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量的数量积运算
【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；平面向量及应用；转化思想；计算题
【分析】根据已知条件可得向量 的夹角为 ， ，再利用数量积运算可得解．
【解答】解：由 ，可得向量 的夹角为 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中
档题．
10．（2024•河北模拟）在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
的平分线 的长为 ，则 边上的高线 的长等于
17A． B． C．2 D．
【答案】
【考点】三角形中的几何计算；余弦定理
【专题】数学运算；综合法；解三角形；转化思想；计算题
【分析】由 可得 的值，进而可求得 、 的值，结合余弦定理可得 ，
由等面积法 可求得 ．
【解答】解：由题意知，设 ，
则 ，如图所示，
由 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
18由 ，可得 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化
思想，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•湖北模拟）在 中， ， ， 所对的边为 ， ， ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
【答案】
【考点】正弦定理
【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法
【分析】对于 ，由余弦定理可求 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
对于 ，由已知利用基本不等式可求得 ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
对于 ，由题意可得 ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解．
对于 ，利用基本不等式可求得 ，利用余弦定理可求 ，结合范围 ，利用余弦函
数的性质即可求解．
【解答】解：对于 ，若 ， ， ，
由余弦定理 ，可得 ，可得 ，
所以 的面积为 ，故 正确；
对于 ，因为 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，可得
，
19所以 的面积为 ，故 正确；
对于 ，因为 边上的中点为 ，可得 ，
所以两边平方，可得 ，
可 得 ， 解 得
，故 正确；
对于 ，因为 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
因为 ，可得 ， ，
所以 的最大值为 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦
函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12．（2024•兰陵县模拟）定义运算 ．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，若 ， ， 满足 ，则下列结论正确的是
A．
B．
C．角 的最大值为
20D．若 ，则 为钝角三角形
【答案】
【考点】行列式；正弦定理；解三角形
【专题】解三角形；整体思想；数学运算；综合法
【分析】由新定义运算得 ，对于选项 ：由正弦定理边化角后知 正确；对
于选项 ：可举反例进行判断；对于选项 ：结合余弦定理及基本不等式，可求得 ，可知 正
确；对于选项 ：结合条件可得 ，计算 即可判断出 为钝角．
【解答】解：由 可知 ，
整理可知 ，
由正弦定理可知： ，
即选项 正确；
因为 满足 ，
但不满足 ，
即选项 不正确；
由 （当且仅当 时取“ ” ，
又 ，
所以 的最大值为 ，
即选项 正确；
由 可得 ，
解得 ，
又 ，
从而可得 为最大边，
则 ，
21即角 为钝角，
即选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题．
13．（2024•鲤城区校级模拟）如图，某旅游部门计划在湖中心 处建一游览亭，打造一条三角形
游览路线．已知 ， 是扇岸上的两条甬路， ， ， ，
（观光亭 视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则
A．
B．当 时，
C． 面积的最大值为
D．游览路线 最长为
【答案】
【考点】正弦定理；解三角形；三角形中的几何计算
【专题】综合法；数学运算；转化思想；解三角形
【分析】 中，在 中，由余弦定理可得 的值，判断出 的真假； 中，由正弦定理可得 的
值，判断出 的真假； 中，在 中，由余弦定理及基本不等式可得 的最大值，进而求出
的面积的最大值，判断出 的真假； 中， 中，由余弦定理可得 的最大值，判断
出 的真假．
【解答】解： 中，在 中， ， ， ，
22由余弦定理可得 ，所以
正确；
中，因为 ， ，若 时，
由正弦定理可得 ，即 ，所以 不正确；
中，在 中，由余弦定理可得 ，当且仅当
时取等号，
所以 ，
所以 ，所以 正确；
中，在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
14．（2024•城厢区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， 是线段
上的动点，点 与点 关于直线 对称．则下列结论正确的是
A．当 时，点 的坐标为
23B． 的最大值为4
C．当点 在直线 上时，直线 的方程为
D． 正弦的最大值为
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】平面向量及应用；对应思想；数学运算；综合法
【分析】由题可得点 在以 为圆心，半径为1的圆上，设 ，则 ，可依
次判断 ， ， 选项，对 ，当直线 与圆 相切时， 正弦的最大，列式计算可求解判断．
【解答】解：如图，
由题意可得点 在以 为圆心，半径为1的圆上，
设 ， ，则 ，
对于 ，当 时，可得 ，
， ，此时点 的坐标为 ，故 正确；
对于 ， ，当且仅当 时等号成立，故 正确；
对于 ，当点 在直线 上时，可得 ，此时点 的坐标为 ，
直线 与圆 相切，所以 ，所以直线 的方程为 ，故
正确；
对于 ，当直线 与圆 相切时， 正弦的最大，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为
，
24有 ，解得 ，即 ，从而可得 ，
所以 正弦的最大值为 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
15．（2024•香河县校级模拟）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 上
的一点，且 ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；转化思想；平面向量及应用；向量法
【分析】利用向量加法法则运算判断 ，先用加法法则求得 ，再利用数量积的定义及
运算律求解判断 ．
【解答】解：由题意， ，故 正确， 错误；
因为 ，
所以
，故 错误， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
三．填空题（共5小题）
16 ． （ 2024• 泰 安 四 模 ） 在 中 ， ， ， 分 别 为 内 角 ， ， 的 对 边 ， 若
，且 ，则 的面积为 1 ．
25【答案】1．
【考点】余弦定理；解三角形；正弦定理
【专题】数学运算；综合法；转化思想；解三角形
【分析】由题意及正弦定理可得 的值，再由题意可得角 为锐角，可得 的值，再由余弦定理
可得 的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积．
【解答】解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
在三角形中 ，可得 ，
又因为 ，由余弦定理可得 ，
所以，则 ，则 为锐角，
可得 ， ，
所以 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
17．（2024•九龙坡区模拟）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其面积为 ，已知
， ．则 ； 的最大值为 ．
【答案】 ．
【考点】解三角形；正弦定理
【专题】数学运算；综合法；对应思想；解三角形
【分析】由正弦定理结合三角函数相关知识即可求解第一空；
由余弦定理结合基本不等式及三角形面积公式即可求解第二空．
【解答】解：因为 ，所以由正弦定理得 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
26所以 ，即 ；
由余弦定理得 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正余弦定理及基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题．
18．（2024•和平区校级一模）如图，在 中， ， ， ， 是边 上一点，
且 ．若 ，记 ，则 ；若点 满足 与
共线， ，则 的值为 ．
【答案】 ； 或 ．
【考点】平面向量的基本定理
【专题】转化法；对应思想；平面向量及应用；数学运算
【分析】由已知把 用 线性表示，即可求得 ；设 ，再把 用
线性表示，结合数量积的运算列关于 的方程求解．
【解答】解：由已知图形可知，
27．
又 ，则 ， ．
；
若点 满足 与 共线，设 ，
，
．
由 ，得
， ， ，
代入整理得： ，
解得： 或 ．
的值为 或 ．
故答案为： ； 或 ．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查平面向量基本定理的应用，考查运算求解能力，
是中档题．
2819．（2024•浙江模拟）已知平面向量 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， ， 和 在 上
的投影为 ， ，则 的取值范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】根据题意易知 与 的夹角为 ，从而根据正弦定理可得 ，再根据斜率投影
的定义函数模型，最后通过函数思想，即可求解．
【解答】解： 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，
与 的夹角为 ，
根据正弦定理可得 ，又 ，
， ，
又 ， ， ，
在 上的投影 ，
在 上的投影 ，
，
29又 ， ， ，
当 时， 取得最小值，
且最小值为 ；
当 时， 取得最大值，且最大值为 ，
的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查平面向量的综合应用，向量投影的概念，函数建模，函数思想的应用，属难题．
20．（2024•东城区模拟）已知平面内点集 ， ， ， 中任意两个不同点之间的距离
都不相等．设集合 ，2， ， ， ， ，2， ， ，
， ，2， ， ．给出以下四个结论：
①若 ，则 ；
②若 为奇数，则 ；
③若 为偶数，则 ；
④若 ， ， ， ，则 ．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【考点】平面向量的概念与平面向量的模
【专题】数学运算；综合法；平面向量及应用；转化思想；逻辑推理
【分析】先证明 ，得到①③正确，②错误；然后在 ， ， ， 和 的情况下
推导出矛盾，从而得到 ，即④正确．
【解答】解： 中任意两个不同点之间的距离都不相等，
30所有 个向量 两两不相等，
这表明对任意的 ， ， ，当且仅当 ，2， ， ，有 ，
将其转换为更通俗的语言就是：
对于点 ， ， ，当且仅当 是集合 里除了 以外的点中到 的距离，
对每个 ，存在另一个到 距离取得最小值的点 ，
此时 ，从而 ， ，
故①③正确，②错误；
对于④，假设 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ， 两两不同，且对每个 ，2， ， ，点 都是 中除 到 距离最短的
点，
特别地， 都是 ， ， 各自的距离最短（不包括其本身）的点，
不妨设 ， ， ， ， ， ，2，3，4，5， ，并记 为点 ，
则 是到 ， ， ， 各自的距离最短（不包括其本身）的点，
对两不同点 ， ，记直线 的倾斜角为 ， ，
假设存在 ， ，使得 ，
不妨设 ，
则 ，
这与 是到 的距离最短（不包括 本身， 的点矛盾，
， ， ， 两两不相等，不妨设 ，
， ，
31， ，
，
，同理 ， ， ， ， ， ，
而对 ，2，3，4，5，有 或 ，
， ，矛盾，
假设不成立， ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查向量的运算、向量的模、两点间距离、反证法等基础知识，考查运算求解能力，是难
题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•长安区一模） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
【考点】基本不等式及其应用；解三角形
【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；转化法；解三角形；不等式
【分析】（1）先利用边角互化将 转化为关于 的方程，求出 ．
（2）因为 已知，所以求面积的最小值即为求 的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
【解答】解：（1）因为 ．
由正弦定理得 ．
显然 ，所以 ．
所以 ， ．
所以 ， ．
32（2）依题意 ， ．
所以 时取等号．
又由余弦定理得 ． ．
当且仅当 时取等号．
所以 的周长最小值为 ．
【点评】本题主要考查解三角形、基本不等式等知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学
核心素养，属于中档题．
22．（2024•一模拟）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 是 边上的高．
．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1） ；
（2）6．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】解三角形；综合法；数学运算；计算题；转化思想
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得 ，利用余弦定理可得 ，结合
，即可求解 的值；
（2）由题意利用三角函数恒等变换可求 ，设 ， ， ，可得
， ，由题意可得 ，又 ，解得： ， ，利用三角函数恒等
变换的应用即可求解．
33【解答】解：（1）因为 ，
利用正弦定理可得 ，可得 ，
利用余弦定理 ，
由于 ，
所以 ；
（2）因为 ，可得 ①，
又 ，可得 ②，
由①②得： ， ，
所以 ，可得 ，即 ③，
在 中， ，设 ， ， ，
则 ，
，
所以由③可得 ，整理得： ，
由于： ，
解得： ， ，
由于： ，
34所以： ，可得 ，整理可得 ，
解得： 或 （舍去），即 ．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的
运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23．（2024•江西一模）在 中，已知内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为
，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理
【专题】数学运算；综合法；解三角形；整体思想
【分析】（1）由 得 ，再结合余弦定理从而可求解．
（2）由 利用向量可得 ，并结合 得 ，再由
，从而可求解．
35【解答】解：（1）由题可得： ，故 ，
又 ，即 ，
，即 ，
在 中，根据余弦定理得 ，
即 ，
，即 ；
（2） ， ，
，即 ，
又 ， ①，
又 ②，
由①②得： ，
．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属
于中档题．
24．（2024•曲靖模拟）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）线段 上一点 满足 ，求 的长度．
【考点】正弦定理；解三角形
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）由余弦边角关系及已知得 ，再由余弦定理即可求 ； （2）由题设得
36，且 ， ， ，在 ， 应用正弦定理得 ，
， ，即可求 的长度．
【解答】解：（1）由题设及余弦定理知： ，
所以 ，又 ， ，
所以 ；
（2）由题设 ，且 ， ， ，
在 中，由正弦定理得， ，
则 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ，
则 ，
综上，可得 ， ，
则 ，
故 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
25．（2024•回忆版）记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
37（1）求 ；
（2）若 ， ，求△ 周长．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解
【分析】（1）由辅助角公式及角 的范围，可得角 的大小；
（2）由正弦定理可得 的值，再由角 的范围，可得角 的大小，进而可得角 的大小，再由正弦
定理可得 ， 的值，进而求出△ 的周长．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，即 ，
由 为三角形内角，得 ，
即 ；
（2）因为 ，
，由正弦定理可得： ，
可得 ，
又因为 ，所以 ， ，
在△ 中，由正弦定理得 ，
所以 ， ，
所以△ 的周长为 ．
综上，△ 的周长为 ．
【点评】本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．
38考点卡片
1．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
39综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
404、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
41例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
42技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
2．平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做
数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用
表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如 、 ，…字母表示，用小写字母 、 ，…表示．有向
向量的长度为模，表示为| |、| |，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是 的长度（或称模），记作| |．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 共线的单位向量是 ）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3．平面向量的数量积运算
43平面向量的数量积运算
4．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
44①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
45即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
5．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e 、e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 ，有且仅有一对实数 、 ，使
1 2 1 2
λ λ
．
2、基底：不共线的e 、e 叫做平面内表示所有向量的一组基底．
1 2
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
6．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
46内容 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accosB，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
形式 cosA＝ ，
②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cosB＝ ，
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosC＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角 两角
形的
问题
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
2．S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
3．S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
47三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
7．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
形的
问题
48【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
8．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
492、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
②S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
③S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图
形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sin ≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tan ＞0．α
②当角度在90°～180°间变化时， α
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sin ≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cαos ≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tan ＜0． α
9．解三角形 α
【知识点的认识】
501．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝ 求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理π求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后
利用A+B+C＝ ，求另一角．
3．已知两边和π其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝ 求C，再由正弦定理
或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． π
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝ ，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向π作为起始方向旋转到目标的方向线所成的
角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中
OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB；
③S△ABC ＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC ＝ ；
⑤S△ABC ＝ ，（s＝ （a+b+c））；
⑥S△ABC ＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝
+ ＝ ﹣ ，2A+2B＝2 ﹣2C
π
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA π
b2＝a2+c2﹣2accosB cosA＝
51c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosB＝
cosC＝
正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
＝2R
R为△ABC的外接圆半径 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△ ＝ ah
a
＝ bh
b
＝ ch
c sinA＝
sinB＝
②S△ ＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA
③S△ ＝
④S△ ＝ ，（s＝
sinC＝
（a+b+c））；
⑤S△ ＝ （a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
10．与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的认识】
﹣对称直线：
﹣点对称：直线l关于点（x ，y ）的对称直线方程为：
0 0
﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．
【解题方法点拨】
﹣求对称直线方程：
1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程．
2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程．
【命题方向】
﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程．
5211．行列式
【知识点的认识】
二阶行列式与方程组的解：
对于关于x，y的二元一次方程组 我们把 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值
（或多项式），记为det（A）═ ＝ad﹣bc．
若将方程组中行列式 记为 D， 记为 D ， 记为 D ，则当 D≠0时，方程组的解为
x y
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:25:59；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
53
