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2025年菁优高考数学压轴训练12
一．选择题（共10小题）
1．（2024•九龙坡区校级模拟）已知 ，则 在复平面上对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024•下陆区校级三模）已知复数 ，且 ， ，则
A． B． C． D．
3．（2024•新郑市校级一模）复数 满足 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（2024•安庆模拟）复数 满足 ，则
A． B． C． D．
5．（2024•泰州模拟）若复数 满足 ，则 的最小值为
A． B． C．1 D．
6．（2024•张家口模拟）已知复数 ， ，下列说法正确的有
A．若 ，则
B．若 是关于 的方程 的一个根，则
C．若 ，则
D．若 ，则 或
7．（2024•西充县模拟）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
18．（2024•宁波二模）已知复数 的实部大于等于1，则 的最小值为
A． B． C． D．
9．（2024•辽宁模拟）已知复数 满足 且有 ，则
A． B． C． D．
10．（2023•镇安县校级模拟）已知 为虚数单位，则
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•南通模拟）已知 ， 都是复数，下列正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
12．（2024•船营区校级模拟）已知复数 ， 满足： 为纯虚数， ，则下列结论正确
的是
A． B．
C． 的最小值为3 D． 的最小值为3
13．（2024•重庆模拟）已知复数 ， 均不为0，则
A． B． C． D．
14．（2024•庐阳区校级模拟）已知复数 ， ， ，下列结论正确的有
A．若复数 满足 ，则
2B．若 ， 满足 ，则
C．若 ，则
D．若复数 满足 ，则 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
15．（2024•琼海模拟）设 ， 为复数，则下列结论中正确的是
A．若 为虚数，则 也为虚数
B．若 ，则 的最大值为
C．
D．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•荆州区校级模拟）棣莫弗定理：若 为正整数，则 ，
其中 为虚数单位，已知复数 ，则 ， 的实部为 ．
17．（2024•贵州模拟）如果复数 ， ， ， 在复平面内对应的点
分别为 ， ， ， ，复数 满足 ，且 ，则
的最大值为 ．
18．（2023•福建学业考试）已知 是虚数单位，则 ．
19．（2022•苏州三模）任何一个复数 （其中 、 ， 为虚数单位）都可以表示成：
的 形 式 ， 通 常 称 之 为 复 数 的 三 角 形 式 ． 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 发 现 ：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
3， 时，则 ；对于 ， ， ．
20 ． （ 2022• 重 庆 模 拟 ） 任 何 一 个 复 数 为 虚 数 单 位 ， ， 都 可 以 表 示 为
， 的形式，通常称之为复数 的三角形式．瑞士著名数学家欧拉首先发现
为自然对数的底数），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复
数集，建立了三角函数和指数函数的关系．因此可得 ．由复数相等
可知对 ，存在一个关于 的 次多项式 ， ， ， 使
得 ，这样的多项式被称为“切比雪夫多项式”，由 知 ，
则 ；运用探求切比雪夫多项式的方法可得 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数： 与 ，我们把它们互称为
共轭复数， 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1）
（2） （当 时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5） ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、
商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设 ， ．求证： 是实数；
4（2）已知 ， ， ，求 的值；
（3）设 ，其中 ， 是实数，当 时，求 的最大值和最小值．
22．（2024•大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 对应复平面内的点
，设 ， ，则任何一个复数 都可以表示成： 的形式，这种
形式叫做复数三角形式，其中 是复数 的模， 称为复数 的辐角，若 ，则 称为复数 的辐
角主值，记为 ．复数有以下三角形式的运算法则：若 ， ，2， ，则：
， 特 别 地 ， 如 果
，那么 ，这个结论叫做棣莫弗定理．
请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 ， 的模 和辐角主值 （用 表示）；
（2）设 ， ，若存在 满足 ，那么这样的 有多少个？
（3）求和： ．
23．（2024•西山区模拟）我们把 （其中 ， 称为一元 次多项式
方程．
代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ， ， 为实数）在复数集内
至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有 个复数根
（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化
为 个一元一次多项式的积．
即 ，其中 ， ， ， ，
5， ， 为方程 的根．
进 一 步 可 以 推 出 ： 在 实 系 数 范 围 内 （ 即 ， ， ， ， 为 实 数 ） ， 方 程
的有实数根，则多项式 必可分解因式．例如：观察
可 知 ， 是 方 程 的 一 个 根 ， 则 一 定 是 多 项 式 的 一 个 因 式 ， 即
，由待定系数法可知， ．
（1）解方程： ；
（2）设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
分解因式： ；
记点 ， 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
24．（2022•上海模拟）设复数 ， ，其中 ， ．
（1）若复数 为实数，求 的值；
（2）求 的取值范围．
25．（2022•宝山区校级二模）已知虚数 ，其中 ， ， 为虚数单位．
①若对任意 ，均有 ，求实数 的取值范围；
②若 ， 恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求 ， 的值．
62025年菁优高考数学压轴训练12
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•九龙坡区校级模拟）已知 ，则 在复平面上对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据题意，利用复数的四则运算求出 ，结合复数的几何意义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，因为 ，
所以它在复平面上对应的点为 ，该点位于第四象限．
故选： ．
【点评】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，属于基础题．
2．（2024•下陆区校级三模）已知复数 ，且 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的运算；共轭复数
【分析】由已知结合复数的四则运算及复数相等的条件即可求解．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
因为
7，
则 ， ，
当 ， 时， ，
当当 ， 时， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，属于中档题．
3．（2024•新郑市校级一模）复数 满足 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】复数的模
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件可得，复数 对应的点的轨迹是以 ， 为焦点，两条坐标轴为对称轴，
长轴长为4的椭圆，再结合椭圆的性质，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： 复数 满足 ，
复数 对应的点的轨迹是以 ， 为焦点，两条坐标轴为对称轴，长轴长为4的椭圆，即
，解得 ，
该椭圆的短轴长 ，
表示椭圆上的点到原点的距离，
则 的最大值为椭圆的长半轴 ，最小值为短半轴 ，
故 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于中档题．
84．（2024•安庆模拟）复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】综合法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】利用复数的运算性质以及模的求解公式即可求解．
【解答】解：由已知可得 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算性质以及模的求解，属于基础题．
5．（2024•泰州模拟）若复数 满足 ，则 的最小值为
A． B． C．1 D．
【答案】
【考点】复数的模
【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法
【分析】根据已知条件得出 所对应的点的轨迹方程，进而可求 的最小值．
【解答】解：设 ，则 ，整理得 ，即 所对应的点
在直线 上，
则 的最小值为点 到 的距离： ．
故选： ．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题．
6．（2024•张家口模拟）已知复数 ， ，下列说法正确的有
A．若 ，则
9B．若 是关于 的方程 的一个根，则
C．若 ，则
D．若 ，则 或
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】综合法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】对于 ，令 ， 即可判断；对于 ，令 即可判断；对于 ，由韦
达定理即可验算；对于 ，由共轭复数以及模的运算公式即可判断．
【解答】解：对于 ，令 ， ，显然 ，但 ， 都不等于0，故 错误；
对于 ，由于一元二次方程的虚根是以共轭复数的形式成对出现的，
所以若 是关于 的方程 的一个根，
则 也是关于 的方程 的一个根，
从而由韦达定理有 ，故 错误；
对于 ，设 ，
而 ，所以 ，故
正确；
对于 ，取 ，显然有 ，但不满足 且 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的乘法运算，共轭复数的定义，是基础题．
7．（2024•西充县模拟）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算
10【专题】定义法；数学运算；方程思想；数系的扩充和复数
【分析】设 ，代入 ，整理后利用复数相等的条件列式求解 与 的值，则答案
可求．
【解答】解：设 ，
代入 ，得 ，
，则 ，
则复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养，是基础题．
8．（2024•宁波二模）已知复数 的实部大于等于1，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数据分析；数形结合法；数系的扩充和复数；转化思想
【分析】根据实部大于等于1，得出 ， 的取值范围，从而转化为距离的最小值．
【解答】解：由题意，设 ， ，
则 ，且 ，
即 ，
则 ，
最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的运算法则与复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
119．（2024•辽宁模拟）已知复数 满足 且有 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】定义法；方程思想；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】设 为虚数单位），由棣莫佛公式可知 ，根据平方关系求出
，从而求出 ，即可得解．
【解答】解：设 为虚数单位），由棣莫佛公式可知 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
10．（2023•镇安县校级模拟）已知 为虚数单位，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；转化思想；数学运算；综合法
【分析】由复数的四则运算法则计算可得．
12【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•南通模拟）已知 ， 都是复数，下列正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】
【考点】复数的运算；复数的模；共轭复数
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】结合复数的基本概念及复数的四则运算及复数的运算性质检验各选项即可判断．
【解答】解：若 ，则 ， 正确；
当 ， 满足 ， 显然错误；
当 ， 时，满足 ，但 ， ， 显然错误；
设 ， ， ， ， 都为实数），
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的运算性质的综合应用，考查了分析问题的能力，属于
中档题．
12．（2024•船营区校级模拟）已知复数 ， 满足： 为纯虚数， ，则下列结论正确
的是
13A． B．
C． 的最小值为3 D． 的最小值为3
【答案】
【考点】复数的模；纯虚数；复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；整体思想；数学运算；综合法
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得 ；借助复数的几何意义计算可得 ；借助圆与直线的距
离可得 、 ．
【解答】解： 为纯虚数， 可设 ， ， 选项 正确；
对 ：设 ， ，
则 ，即 ，
则 所对应点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
， 选项 正确；
对 为纯虚数， 对应点在 轴上（除去原点），
所对应点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为 ， 无最小值，选项 错误；
对 ，
表示点 到以 为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0， 在 轴上（除去点 ，
当 时 取得最小值3， 选项 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模长公式，复数的几何意义的应用，属于中档题．
13．（2024•重庆模拟）已知复数 ， 均不为0，则
14A． B． C． D．
【答案】
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；数学运算；转化思想；综合法
【分析】利用复数的运算性质对四个选项逐一判断可得答案．
【解答】解： 复数 ， 均不为0，
对于 ，不妨令 ，则 ， ， ， 错误；
对于 ， ， 正确；
对于 ，由复数的运算性质，可得 ， 正确；
对于 ， ，
故 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
14．（2024•庐阳区校级模拟）已知复数 ， ， ，下列结论正确的有
A．若复数 满足 ，则
B．若 ， 满足 ，则
C．若 ，则
D．若复数 满足 ，则 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
【答案】
【考点】复数的模；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义
【专题】数学运算；逻辑推理；转化思想；方程思想；定义法；数系的扩充和复数
【分析】设 ，由 ，得出 ，判断选项 即可；
15设 ， ， ， ，计算 ， ，由 ，得出 ，判断选项
即可；
由 ，利用模长公式，计算即可得出 不一定为0，判断选项 即可；
设复数 在复平面内对应点 ，由 ，结合椭圆的定义，即可判断选项 ．
【解答】解：设 ，由 ，得 ，所以 ，选项 正确；
设 ， ， ， ，
则 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ， 至少有一个不为零，
不妨设 ，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，即 ， ，选项 正确；
由 ， 可 得 ， 所 以
，
而 ，不一定为0，选项 错误；
设复数 在复平面内对应点 ，记 ， ，
由 ，得 ，这符合椭圆定义，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
15．（2024•琼海模拟）设 ， 为复数，则下列结论中正确的是
16A．若 为虚数，则 也为虚数
B．若 ，则 的最大值为
C．
D．
【答案】
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；定义法；数系的扩充和复数；对应思想
【分析】对于 ，由 为虚数，得 为虚数，从而可判断 ，对于 ，由 进行判断，对
于 ，设 ， ， ， ， ，然后分别求解 进行判断，对于 ，根据
复数的向量表示及向量的不等式分析判断．
【解答】解：对于 ，因为 为虚数， 为实数，所以 为虚数，所以 也为虚数，所以
正确，
对于 ，当 时，满足 ，此时 ，所以 错误，
对于 ，设 ， ， ， ， ，则
，
，
所以 ，
，
所以 ，所以 正确，
对于 ，设 ， 确定的向量分别为 ，则由向量不等式得 ，
17所以 恒成立，所以 正确，
故选： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•荆州区校级模拟）棣莫弗定理：若 为正整数，则 ，
其中 为虚数单位，已知复数 ，则 98 5 ， 的实部为 ．
【答案】985； ．
【考点】共轭复数；复数的运算；复数的三角表示
【专题】整体思想；数学运算；数系的扩充和复数；综合法
【分析】化解复数 ，由棣莫弗定理可得， ，根据复数模及
共轭复数定义即可求解．
【解答】解：因为复数 ，
所以由棣莫弗定理可得，
，
所以 ．
所以 ，
所以 的实部为 ．
故答案为：985； ．
【点评】本题主要考查了复数的三角表示的应用，属于中档题．
17．（2024•贵州模拟）如果复数 ， ， ， 在复平面内对应的点
18分别为 ， ， ， ，复数 满足 ，且 ，则
的最大值为 ．
【答案】 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模
【专题】综合法；转化思想；逻辑推理；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件 进行变形，
得到 ，由此可以证明 ，再利用向量的坐标运算将 表示为关于 ， 的表达式，
利用 ，即可证明 ，再举例说明能求出 的最大值．
【解答】解： 复数 ， ， ， 在复平面内对应的点分别为 ，
， ，
， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
条件 即为 ，展开得到 ，
再化简得 ， ，
，
，
， ， ， ， ，
， ， ，
19，
经验证，当 ， 时，条件满足，此时 ，
的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数的几何意义、距离公式、向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是中
档题．
18．（2023•福建学业考试）已知 是虚数单位，则 2 ．
【考点】 ：复数的运算
【专题】 ：数系的扩充和复数
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解： ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（2022•苏州三模）任何一个复数 （其中 、 ， 为虚数单位）都可以表示成：
的 形 式 ， 通 常 称 之 为 复 数 的 三 角 形 式 ． 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 发 现 ：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
， 时，则 ；对于 ， ， ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】数列与三角函数的综合
【专题】对应思想；转化法；推理和证明；逻辑推理；数学运算
20【分析】利用给定定理直接计算即得 ；令 ，求出等比数列 前 项的
和，再利用复数相等求解作答．
【 解 答 】 解 ： 当 ， 时 ， ， 所 以
；
，令 ，则 ，
， ， ，
而 ， 则 ，
，
所以， ．
故答案为： ； ．
【点评】涉及复数 的 次幂 的求和问题，可把 视为等比数列 的第 项，再借助数列问题求解．
20 ． （ 2022• 重 庆 模 拟 ） 任 何 一 个 复 数 为 虚 数 单 位 ， ， 都 可 以 表 示 为
， 的形式，通常称之为复数 的三角形式．瑞士著名数学家欧拉首先发现
为自然对数的底数），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复
数集，建立了三角函数和指数函数的关系．因此可得 ．由复数相等
21可知对 ，存在一个关于 的 次多项式 ， ， ， 使
得 ，这样的多项式被称为“切比雪夫多项式”，由 知 ，
则 ；运用探求切比雪夫多项式的方法可得 ．
【答案】 ；
【考点】复数的三角表示；类比推理
【专题】数学运算；计算题；转化思想；分析法；数系的扩充和复数
【 分 析 】 根 据 以 及 “ 切 比 雪 夫 多 项 式 ” 即 可 求 解 出 ； 利 用
，代入 即可求解．
【解答】解：
，
所以 ，
取 ，则 ，
所以 ，
所 以 ， 则 且 ， 解 得 ：
．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查欧拉公式的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数： 与 ，我们把它们互称为
22共轭复数， 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1）
（2） （当 时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5） ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、
商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设 ， ．求证： 是实数；
（2）已知 ， ， ，求 的值；
（3）设 ，其中 ， 是实数，当 时，求 的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解答；
（2） ；
（3） ， ．
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】（1）设 ，利用 ， ，可证得 是实数；
（2）设 ，结合题意，可得关于 ， 的方程组，解之即可；
（3）设 ， ，依题意，可得 ，从而可求得 的最大值
和最小值．
【解答】解：（1）证明：设 ， ， ，
， ，
23是实数；
（2）设 ，
则 ，
， ， ，
①；
又 ，
②；
联立①②，解得 ， ，
；
（3） ，设 ， ，
则 ，
，
，
， ．
【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用，考查转化与化归思想及方程思想的综合运用，属于中档
题．
22．（2024•大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 对应复平面内的点
，设 ， ，则任何一个复数 都可以表示成： 的形式，这种
24形式叫做复数三角形式，其中 是复数 的模， 称为复数 的辐角，若 ，则 称为复数 的辐
角主值，记为 ．复数有以下三角形式的运算法则：若 ， ，2， ，则：
， 特 别 地 ， 如 果
，那么 ，这个结论叫做棣莫弗定理．
请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 ， 的模 和辐角主值 （用 表示）；
（2）设 ， ，若存在 满足 ，那么这样的 有多少个？
（3）求和： ．
【答案】（1） ； ．
（2）506．
（3）1017．
【考点】复数的相等
【专题】综合法；转化思想；数学运算；逻辑推理；数系的扩充和复数
【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得．
（2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即可．
（3）令 ，利用等比数列及错位相减法求出 ，
再利用复数相等即可得解．
【解答】解：（1）由复数 ， ， ， ，
得 ，
， ， ， ，
， ， ， ．
25（2）由 ，
，
，
， ，解得 ，
， ， ， ， ，
符合条件的 有506个，
这样的 有506个．
（3）令 ，而 ，则 ，
令 ，
则 ，
两边同乘 ，得：
，
，
，
，
．
【点评】本题考查复数模、辐角主值的定义、三角变换、诱导公式、正余弦函数的周期性、等比数列、
错位相减法、复数相等等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
23．（2024•西山区模拟）我们把 （其中 ， 称为一元 次多项式
26方程．
代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ， ， 为实数）在复数集内
至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有 个复数根
（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化
为 个一元一次多项式的积．
即 ，其中 ， ， ， ，
， ， 为方程 的根．
进 一 步 可 以 推 出 ： 在 实 系 数 范 围 内 （ 即 ， ， ， ， 为 实 数 ） ， 方 程
的有实数根，则多项式 必可分解因式．例如：观察
可 知 ， 是 方 程 的 一 个 根 ， 则 一 定 是 多 项 式 的 一 个 因 式 ， 即
，由待定系数法可知， ．
（1）解方程： ；
（2）设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
分解因式： ；
记点 ， 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
【答案】（1） ， ， ；
（2） ；
27证明过程见解析．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化
【分析】（1）观察可知 是方程 的一个根，所以设 ，对
照可得 ， ， ，得到 ，即可求出方程的根；
（ 2 ） 是 方 程 的 一 个 根 ， 所 以 设
， 对 照 可 得 ，
， ，从而可得出答案；
令 ， 故 是 方 程 的 最 小 正 实 根 ， 由 知
，设 ，根据 开口方
向，结合 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为 ，结合 时，
（1） ，故 ，得到 ．
【解答】解：（1）观察可知： 是方程 的一个根； 分
所以： ，
由待定系数法可知， ， ， ；
所以 ，即 或 ，
则方程的根为 ， ， ； 分
（2） 由 可知： 是方程 的一个根，
所以： ，
28由待定系数法可知， ， ， ，
所 以 ；
分
令 ，即 ，
点 ， 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 是方程 的最小正实根； 分
由 知： 是方程 的一个正实根，
且 ， 分
设 ，由 ， ， ， 可知 为开口向上的二次函数，
又因为 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为 ，
又 ，可得 ，
所以 （1） ，
当 时， （1） ，
由 二 次 函 数 单 调 性 可 知 ， 即 是 方 程 的 最 小 正 实 根 ．
分
【点评】本题考查三次函数，解题关键是需要求解出三次函数的零点，可以先求出一个零点后将三次函
数转化为二次函数再进行解题．
24．（2022•上海模拟）设复数 ， ，其中 ， ．
（1）若复数 为实数，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1） ．（2） ．
29【考点】复数的运算；共轭复数
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘除法法则，即可求解．
（2）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：（1） 复数 ，
，
，
复数 为实数，
，即 ，
， ，
．
（2） ， ，
，
，
， ，
，即 ，
的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．
25．（2022•宝山区校级二模）已知虚数 ，其中 ， ， 为虚数单位．
①若对任意 ，均有 ，求实数 的取值范围；
②若 ， 恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求 ， 的值．
30【答案】① ， ；
②当 时， ；当 时， ．
【考点】复数的模
【专题】方程思想；函数的性质及应用；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】①依题意，得 ，再利用 ，可求得实数 的取值范围；
②由 ， 恰好是某实系数一元二次方程的两个解，可得 ，解之即可求得 ， 的
值．
【解答】解： ，
①若对任意 ，均有 ，即 ，即 ，
，
，
，即 ， ；
② ，
，
， 恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
， 且
，
即 ，
解 得 ，或 ，此时 ；
当 时，代入 ，得 ，
31，或 ，此时 或 ．
综上所述，当 时， ；
当 时， ．
【点评】本题考查复数的概念性质及综合应用，考查转化与化归思想及方程思想的运用，考运算求解能
力，属于难题．
32考点卡片
1．数列与三角函数的综合
【知识点的认识】
函数、数列、解析几何作为高中数学的主要躯干，蕴含着诸多的数学思想和方法（数形结合、函数与方
程、转化和归纳等），因而一直是高考的重点．尤其是它们互相之间及和其他数学知识（如复数、向量
等）之间的互相渗透、互相联系，更为高考命题带来广阔的空间．而传统的章节复习法使学生分散地学
习知识，对各个章节的联系和渗透考虑较少，从而造成对一些综合题心存胆怯．近几年高考中常见的函
数﹣数列﹣解析几何综合题就是其中的典型．
【解题方法点拨】
事实上，无论是函数、数列还是解析几何中的曲线（包括复数、向量），都表现出数和形两种状态，数
列是一个特殊的函数；函数的图象（解析式）则可看作解析几何中一种特殊的形（方程）；而复数、向
量的坐标顺理成章地使它们与函数、数列及解析几何发生联系．解函数﹣数列﹣解析几何综合题首先是
建立在对数学基本概念理解的基础上，然后抓住概念间内在的联系，将问题转化为较熟悉的数学问题予
以解决，当然这也离不开对各章节内部的扎实基本功．
2．纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解∈ 为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数
为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数∈ 中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的
一个真子集．
【命题方向】
纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点
考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四
则运算；（4）复数在复平面内对应的点．
3．复数的相等
【知识点的认识】
复数z ＝a +b i和z ＝a +b i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a ＝a 和b ＝b ．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
33【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
【命题方向】
﹣复数相等的判定：考查如何根据复数的实部和虚部判断复数的相等．
﹣复数方程的应用：如何在复数方程中应用复数相等的性质．
4．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单
位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→
复平面内的点z（a，b）→平面向量 ．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z |表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
0
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi R b＝0（a，b R）；②z R ＝z．
∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b R）；
⇔ ∈
②b≠0时，z﹣ ＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z+ ＝0且z≠0．
⇔
5．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单
位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→
复平面内的点z（a，b）→平面向量 ．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
34（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z |表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
0
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
6．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如 2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语
言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数 ＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
； ； ；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共
轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复
数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
7．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi
为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；∈若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d R）．
3、共轭复数：a+bi与c+d⇔i共轭 a＝c，b+d＝0（a，∈b，c，d R）．
⇔ ∈
4、复数的模： 的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝ ．
8．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
359．复数的三角表示
【知识点的认识】
在复平面中，我们设 ， 是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在射线为终边的角，
θ
则a＝rcos ，b＝rsin ，z＝a+bi＝r（cos +isin ），
θ θ θ θ
我们把r（cos +isin ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模， 是复数的辐
角． θ θ
【解题方法点拨】
（1）复数的三角形式Z＝r（cos +isin ）满足以下条件：
①r≥0； θ θ
②加号连接；
③cos在前，sin在后；
④ 前后一致，可为任意值．
（2）θ 代数式化三角式的步骤：
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角；
④求出复数三角式．
注意：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角
36不一定要主值．
【命题方向】
教材上明确标注*，说明不作考试要求．至今未曾在高考题中出现过本考点．
10．复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（cos +isin ），其中r为模， 为辐角．两种形式可以通过公式互
相转换． θ θ θ
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模 和辐角 ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcos 和b＝rsin 转换θ．
θ θ
【命题方向】
﹣形式互化的应用：考查如何在实际问题中将复数的代数形式与三角形式互相转换．
﹣三角形式的应用：如何利用三角形式进行复数运算和问题求解．
复数﹣1+ i的三角形式是_____．
解：﹣1+ i＝2（﹣ + i）＝2（cos +isin ）．
11．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或
相似的推理形式．
2．类比推理的形式：
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一
般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
37解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
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