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2025年菁优高考数学压轴训练13
一．选择题（共10小题）
1．（2024•四川模拟）如图所示，在棱长为2的正方体 中，直线 平面 ，
， 是 的中点， 是线段 上的动点，则直线 与侧面 的交点 的轨迹长为
A． B． C． D．
2．（2024•莆田三模）若制作一个容积为 的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最
省，则该圆锥的高是
A． B．2 C． D．4
3．（2024•张家口模拟）已知一个底面内口直径为 的圆柱体玻璃杯中盛有高为 的水，向该杯
中放入一个半径为 的实心冰球和一个半径为 的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球
恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计
则实心钢球的表面积为
A． B． C． D．
4．（2024•永春县校级模拟）已知圆台 存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），
若圆台 的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为 ，设圆台 与球 的体积分别为 ， ，
1则
A． B． C． D．
5．（2024•怀柔区校级模拟）如图，已知正方体 中， 为线段 的中点， 为线段
上的动点，则下列四个结论正确的是
A．存在点 ，使 平面
B．三棱锥 的体积随动点 变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点 ，使 平面
6．（2024•菏泽二模）如图，在正方体 中， ， ，则下列结
论中正确的是
A． 平面
B．平面 平面
C． 平面
2D．平面 内存在与 平行的直线
7．（2024•宝鸡模拟）△ 与△ 都是边长为2的正三角形，沿公共边 折叠成三棱锥且 长
为 ，若点 ， ， ， 在同一球 的球面上，则球 的表面积为
A． B． C． D．
8．（2024•东兴区校级模拟）如图，四边形 是一个角为 且边长为2的菱形，把 沿 折
起，得到三棱锥 ．若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
9．（2024•闵行区校级三模）空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线
A．不一定存在 B．有且只有1条
C．有1条或不存在 D．有无数条
10．（2024•天津模拟）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双
双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如
图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三
个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九
个球的表面积和为
3A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•郴州模拟）如图，在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的上底面
内（不含边界）的动点，点 是棱 的中点，则以下命题正确的是
A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点 ，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则 的轨迹的长度为
12．（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．点 为正方形 内一点，当 平面 时， 的最大值为
4C．过点 ， ， 的平面截正方体 所得的截面周长为
D．当三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上时，球 的表面积为
13．（2024•保定三模）如图，在正方体 中， ， ， ， 分别为棱 ， ，
， 的中点，点 是面 的中心，则下列结论正确的是
A． ， ， ， 四点共面
B．平面 被正方体截得的截面是等腰梯形
C． 平面
D．平面 平面
14．（2024•江苏模拟）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 满足
，则
A．当 时， 平面
B．任意 ， ，三棱锥 的体积是定值
C．存在 ， ，使得 与平面 所成的角为
5D．当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为
15．（2024•江西一模）已知正方体 的棱长为1， 是棱 的中点， 是平面
上的动点（如图），则下列说法正确的是
A．若点 在线段 上，则 平面
B．平面 平面
C．若 ，则动点 的轨迹为抛物线
D．以 的一边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，旋转过程中，三棱锥 体积
的取值范围为
三．填空题（共5小题）
16．（2024•黄浦区二模）在四面体 中， ， ， ，
设四面体 与四面体 的体积分别为 、 ，则 的值为 ．
17．（2024•灌云县校级模拟）正方体 棱长为2， ， 分别是棱 ， 的中点，
是正方体的表面上一动点，当四面体 的体积最大时，四面体 的外接球的表面积为 ．
18．（2024•西城区模拟）如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直．点 在正方形
及其内部运动，点 在矩形 及其内部运动．设 ， ，给出下列四个结论：
6①存在点 ， ，使 ；
②存在点 ， ，使 ；
③到直线 和 的距离相等的点 有无数个；
④若 ，则四面体 体积的最大值为 ；
其中所有正确结论的序号是 ．
19．（2024•安徽模拟）已知正方体 的体积为 8，且 ，则当
取得最小值时，三棱锥 的外接球体积为 ．
20．（2024•辽宁模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 ， 距离之比为常数
且 的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面
的问题：
如图，在长方体 中， ，点 在棱 上， ，动点 满足
．若点 在平面 内运动，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ；若点 在长方体
内部运动， 为棱 的中点， 为 的中点，则三棱锥 的体积的最小值
为 ．
7四．解答题（共5小题）
21．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
， ， ， 分别为线段 ， 上一点， ．
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
22．（2024•河南模拟）如图所示，在△ 中，点 在边 上，且 ， 为边 的中点．
是平面 外一点，且 ．
（1）证明： ；
（2）已知 ， ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
求△ 的面积；
求三棱锥 的体积．
23．（2024•重庆模拟）正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正
多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体．可以验证一共只有五种多面
体．令 ， ， ， ， 均为正整数），我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以
和另一个正多面体的一些顶点重合，例如正 面体的所有顶点可以与正 面体的某些顶点重合，正 面体
的所有顶点可以与正 面体的所有顶点重合，等等．（1）当正 面体的所有顶点可以与正 面体的某些
顶点重合时，求正 面体的棱与正 面体的面所成线面角的最大值；
（2）当正 面体在棱长为1的正 面体内，且正 面体的所有顶点均为正 面体各面的中心时，求正 面
8体某一面所在平面截正 面体所得截面面积；
（3）已知正 面体的每个面均为正五边形，正 面体的每个面均为正三角形．考生可在以下2问中选做1
问．
（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）
第一问：求棱长为1的正 面体的表面积；
第二问：求棱长为1的正 面体的体积．
24．（2024•湖北模拟）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， 是边长
为2的正三角形， ， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为 ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）设点 在直线 上，直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，求当
为何值时， ．
25．（2024•垫江县校级模拟）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为正方形，
平面 平面 ，点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2） 为平面 内一动点， 为线段 上一点；
①求证： ；
②当 最小时，求 的值．
92025年菁优高考数学压轴训练13
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•四川模拟）如图所示，在棱长为2的正方体 中，直线 平面 ，
， 是 的中点， 是线段 上的动点，则直线 与侧面 的交点 的轨迹长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】棱柱的结构特征
【专题】数学运算；向量法；转化思想；空间位置关系与距离；逻辑推理
【分析】先建立空间直角坐标系，设出点 的坐标，保证 ， ， ， 四点共面，从而得到向量
与平面 的法向量垂直，进而分析得出的方程表示的轨迹是什么，求解即可．
【解答】解：在棱长为2的正方体 中，直线 平面 ， ， 是 的中
点， 是线段 上的动点，
分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图，
10则 ，2， ， ，2， ，
直线 平面 ， ，设 ，如图，
在矩形 中， ， △ ， ，
点 满足 ， ，
设平面 的法向量为 ，
且 ， ，
可得 ，即 ，不妨取 ，
由于直线 与侧面 的交点 ，设点 ，0， ，
可得 ， ， ， 四点共面，
且 ，显然 ，
得方程 ，显然方程 在平面 内表示一条直线，
当 时，点 ，0， ，此时两点 ， 重合，
11当 时， ，点 ，0， ，设线段 的中点为 ，此时两点 ， 重合，
直线 与侧面 的交点 的轨迹为线段 ，且 ．
故选： ．
【点评】本题考查正方体结构特征、三角形相似、四点共面、点的轨迹等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
2．（2024•莆田三模）若制作一个容积为 的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最
省，则该圆锥的高是
A． B．2 C． D．4
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【专题】转化思想；计算题；导数的概念及应用；数学运算；综合法；立体几何
【分析】根据题意，设圆锥的高与半径，利用体积公式得出高与半径的关系，再消元转化得出侧面积，
利用导数计算单调性与最值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为 ，底面圆的半径为 ，
则 ，从而 ，变形可得 ，
该圆锥的侧面积 ．
令 ，
易知 时， ， ， 单调递减，
时， ， ， 单调递增，
则当 时， 取得最小值；
所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2．
故选： ．
【点评】本题考查圆锥的体积、表面积计算，涉及导数与函数单调性的关系，属于中档题．
3．（2024•张家口模拟）已知一个底面内口直径为 的圆柱体玻璃杯中盛有高为 的水，向该杯
12中放入一个半径为 的实心冰球和一个半径为 的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球
恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计
则实心钢球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】球的表面积
【专题】立体几何；数学运算；转化思想；转化法
【分析】根据实心冰球融化前后总体积不变列出等式融化前水的体积 实心冰球的体积 实心钢球的体积
融化后水的总体积，由题钢球恰好淹没在水中得到 此时水面高为 ，列出等式
，解出 的值，再算出钢球的表面积即可．
【解答】解：由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，
则有 ，
化简有 ，
即 ，
解得 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查几何体的体积问题，属于中档题．
4．（2024•永春县校级模拟）已知圆台 存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），
若圆台 的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为 ，设圆台 与球 的体积分别为 ， ，
则
13A． B． C． D．
【答案】
【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】综合法；立体几何；数学运算；计算题；整体思想
【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线
的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得．
【解答】解：设圆台 的上、下底面半径分别为 ， ，母线长为 ，高为 ，内切球 的
半径为 ，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则 ， ，
由 ，整理得 ，而 ，解得 ， ，
因此圆台的高 ， ，
则圆台 的体积 ，
内切球 的体积 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了圆台和球的体积计算，属于中档题．
5．（2024•怀柔区校级模拟）如图，已知正方体 中， 为线段 的中点， 为线段
上的动点，则下列四个结论正确的是
14A．存在点 ，使 平面
B．三棱锥 的体积随动点 变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点 ，使 平面
【答案】
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线
与平面垂直；直线与平面平行
【专题】转化思想；数学运算；立体几何；综合法；逻辑推理
【分析】对 选项，根据反证法，线面平行的判定定理与性质定理，即可判断；对 选项，根据三棱锥
的体积公式，即可判断；对 选项，将两条直线平移成相交直线，即可判断；对 选项，根据正方体性
质易得 平面 ，从而再根据三角形中位线性质，即可判断．
【解答】解：对 选项， ，
易得 平面 ，又 平面 ，设平面 平面 ，
则 ，
假设存在点 ，使 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
，又 ， ，这显然与已知条件相矛盾， 假设不成立，
不存在点 ，使 平面 ， 选项错误；
对 选项， 到平面 的距离为定值，又 的面积也为定值，
三棱锥 的体积为定值， 选项错误；
15对 选项，易知 ，
直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
又易知△ 为正三角形，又 为 的中点， 为线段 上的动点，
直线 与 所成的角 的范围为 ， 选项错误；
对 选项，在正方体 中，易得 平面 ，
当 为 的中点时，又 为线段 的中点，
，又 平面 ，
平面 ， 选项正确．
故选： ．
【点评】本题考查正方体中点的轨迹问题，线面平行的判定定理与性质定理的应用，三棱锥的体积问题，
线线角的求解，线面垂直的判定，反证法的应用，属中档题．
6．（2024•菏泽二模）如图，在正方体 中， ， ，则下列结
论中正确的是
A． 平面
B．平面 平面
C． 平面
D．平面 内存在与 平行的直线
【答案】
16【考点】直线与平面垂直；直线与平面平行；平面与平面垂直
【专题】向量法；转化思想；数学运算；立体几何
【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定
计算即可．
【解答】解：因为 为正方体，设正方体棱长为2，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
，1， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ．
则 ，令 ，则 ，1， ，
又 ，
所以 ，故 不正确；
，故 不正确；
又因为 ， ， ，
17所以 ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 平面 ，故 正确；
易知平面 的一个法向量为 ，
因为 ，故 不正确．
故选： ．
【点评】本题考查线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档题．
7．（2024•宝鸡模拟）△ 与△ 都是边长为2的正三角形，沿公共边 折叠成三棱锥且 长
为 ，若点 ， ， ， 在同一球 的球面上，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】根据外接球球心的性质确定球心 的位置为过正△ 与正△ 的中心的垂线上，再构造直
角三角形求解球 的半径即可．
【解答】解：由题，设 的中点为 ，正△ 与正△ 的中心分别为 ， ，如图，
根据正三角形的性质有 ， 分别在 ， 上， 平面 ， 平面 ，
因为△ 与△ 都是边长为2的正三角形，则 ，又 ，
则△ 是正三角形，
18故 ，易得 △ △ ，
故 ，
故 ，又 ，故球 的半径 ，
故球 的表面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了几何体外接球的相关问题，属于中档题．
8．（2024•东兴区校级模拟）如图，四边形 是一个角为 且边长为2的菱形，把 沿 折
起，得到三棱锥 ．若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】球的表面积；球内接多面体
【专题】转化法；转化思想；数学运算；立体几何
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，证明 平面 ，设 为 的重心，过 作
平面 ，且 点为三棱锥 的外接球球心，外接球半径为 ，过 作 ，交 于 ，
连接 ， ，在 中， ，在 中， ，列式即可求解外接
球的半径．
【解答】解：取 中点 ，连接 ， ，
因为四边形 是一个角为 且边长为2的菱形，
所以 ，
所以△ ， 为等边三角形，故 ， ，
19又因为 ，即 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ．
设 为 的重心，过 作 平面 ，
且 点为三棱锥 的外接球球心，外接球半径为 ，
过 作 ，交 于 ，连接 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以四边形 为矩形，
所以 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
解得 ， ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查锥体外接球表面积的计算，属于中档题．
9．（2024•闵行区校级三模）空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线
20A．不一定存在 B．有且只有1条
C．有1条或不存在 D．有无数条
【答案】
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【专题】综合法；转化思想；空间位置关系与距离；逻辑推理
【分析】利用平行平面确定有都垂直的直线，再利用垂直平面说明有与两条异面直线都垂直且相交的直
线，然后用反证法说明这样的直线只有一条．
【解答】解：如图， ， 是异面直线，过 上一点 作直线 ，则 ， 相交，
设 ， 确定的平面为 ，当直线 与平面 垂直时，则直线 与 ， 都垂直，从而 也与 垂直，
因此有与异面直线 ， 都垂直的直线，
过 与直线 平行的平面 是唯一的，
设 是 在平面 内的射影， ， 在平面 内（即 ， ， 是过 点的直线，因此 ，
从而 与 相交，直线 是与 ， 既垂直又相交的直线，
若与 ， 既垂直又相交的直线有两条为 ， ， ， 不可能平行（否则 ， 共面），
若 ， 不相交，过 与 的交点 作直线 ， ， 相交，
由 ， 确定的平面为 （若 ， 相交，则平面 就是由 ， 确定的平面），
可得 ， 与平面 都是垂直，从而 ，这是不可能的，
21与 ， 既垂直又相交的直线只有一条，
故选： ．
【点评】本题考查平行平面、垂直平面、异面直线、反证法等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
10．（2024•天津模拟）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双
双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如
图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三
个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九
个球的表面积和为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【专题】球；对应思想；整体思想；数学运算；综合法
【分析】先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到
答案．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，
22过点 作 底面 ，垂足在 上，且 ，
所以 ，
故 ，
点 为最大球的球心，连接 并延长，交 于点 ，
则 ，
设最大球的半径为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
即 ，
则 ，
故 ，
设最小球的球心为 ，中间球的球心为 ，则两球均与直线 相切，设切点分别为 ， ，
连接 ， ，则 ， 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为 ， ，
则 ， ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 ，故 ，解得 ，
所以 ，
模型中九个球的表面积和为 ．
故选： ．
23【点评】本题考查了正四面体的内切球，球的表面积公式，难点是求出最大球、中等球及最小球的半径，
属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•郴州模拟）如图，在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的上底面
内（不含边界）的动点，点 是棱 的中点，则以下命题正确的是
A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点 ，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则 的轨迹的长度为
【答案】
【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【专题】转化法；立体几何；数学运算；转化思想
【分析】对于 ：利用等体积转换即可求得体积为定值；
对于 ：建立空间直角坐标系，设 ， ， ，得出 ， ，利用向量夹
24角公式即可求解；
对于 ：求出平面 的法向量为 ，0， ，利用向量夹角公式即可求解；
对于 ：由 可得 ，即可求解．
【解答】解：对于 ， （定值），故 正确；
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，1， ，设 ， ， ， ，
则 ，
对于 ， ，
与 的夹角 满足 ，故 错误；
对于 ，平面 的法向量为 ，0， ，
直线 与平面 所成的角 的正弦值为 ，故 正确；
对于 ， ，2， ， ，
由 可得 ，
化简可得 ，
在 平面内，令 ，得 ，
25令 ，得 ，
所以 的轨迹的长度为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查等体积法求体积以及空间向量的应用，属于中档题．
12．（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．点 为正方形 内一点，当 平面 时， 的最大值为
C．过点 ， ， 的平面截正方体 所得的截面周长为
D．当三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上时，球 的表面积为
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；异面直线及其所成的角；球的体积和表面积
【专题】立体几何；数学运算；空间角；对应思想；向量法
【分析】对于 ：根据正方体的性质得出在 △ 中 即为异面直线 与 所成的角，即
可判定；对于 ：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，得到 ，
，即可证明面 面 ，则根据已知得出 轨迹为线段 ，则过 作 ，此
时 取得最小值，即可判定；对于 ：过点 、 、 的平面截正方体 所得的截面图
形为五边形 ，得出 ， ，设 ， ，以 为原点，分别以
方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系 ，得出 ， ， ，
26的坐标，则可根据 ， 列式得出 ， ，即可得出 ， ，在 △
中得出 ，同理得出 ，在 中得出 ，同理得出 ，在 中得出 ，
即可得出五边形 的周长，即过点 、 、 的平面截正方体 所得的截面周长，
即可判定；对于 ：取 的中点 ，则 ，过 作 ，且使得 ，
则 为三棱锥 的外接球的球心，则 为外接球的半径，计算得出半径即可求出球 的表面积，
即可判定．
【解答】解：对于 选项， ，
在 △ 中 即为异面直线 与 所成的角，
，
异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．故 正确；
对于 选项，过点 、 、 的平面截正方体 ，
平面 平面 ，则过点 、 、 的平面必与 与 交于两点，
设过点 、 、 的平面必与 与 分别交于 、 ，
过点 、 、 的平面与平面 和平面 分别交于 与 ， ，同理可得
27，
如图过点 、 、 的平面截正方体 所得的截面图形为五边形 ，
如图以 为原点，分别以 方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
设 ， ，
则 ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ， ，0， ，
， ， ， ，
， ，
，解得 ，
， ， ， ，
在 △ 中， ， ， ，同理： ，
在 中， ， ， ，同理：
在 中， ， ，
，
28即过点 、 、 的平面截正方体 所得的截面周长为 ．故 正确；
对于 选项，取 的中点 ， 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ，
， ，
四边形 为平行四边形， ， ， ，
同理可得 ，
又 面 ， 面 ， 面 ， 面 ，
面 ， 面 ，
又 ， ， 面 ，
面 面 ，
又 面 ， 面 ，
轨迹为线段 ，
在 中，过 作 ，此时 取得最小值，
在 △ 中， ， ， ，
在 △ 中， ， ， ，
在 △ 中， ， ， ，
如图，在 中， ，
29即 的最小值为 ，而 的最大值为 ．故 错误；
对于 选项，如图所示，取 的中点 ，则 ，过 作 ，
且使得 ，则 为三棱锥 的外接球的球心，
所以 为外接球的半径，
在 中， ，
，
．故 项正确，
故选： ．
【点评】本题考查线面角以及利用空间向量法解决球体相关问题，属于中档题．
13．（2024•保定三模）如图，在正方体 中， ， ， ， 分别为棱 ， ，
， 的中点，点 是面 的中心，则下列结论正确的是
30A． ， ， ， 四点共面
B．平面 被正方体截得的截面是等腰梯形
C． 平面
D．平面 平面
【答案】
【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关
系
【专题】立体几何；综合法；转化思想；逻辑推理
【分析】由题意可得过 ， ， 三点的平面为一个正六边形，判断出 的真假；分别连接 ， 和
， ，截面 是等腰梯形，判断出 的真假；分别取 ， 的中点 ， ，易证 显然不
平行平面 ，可判断出 的真假； 平面 ，可判断出 的真假．
【解答】解：对于 ：如图经过 ， ， 三点的平面为一个正六边形 ，点 在平面外，
所以 ， ， ， 四点不共面，所以选项 错误；
对于 ：分别连接 ， 和 ， ，则平面 即平面 ，截面 是等腰梯形，所以选项
正确；
对于 ：分别取 ， 的中点 ， ，则平面 即为平面 ，
31由正六边形 ，可知 ，所以 不平行于 ，
又 ， 平面 ，所以 ，
所以 平面 ，
所以 不平行于平面 ，故选项 错误；
对于 ：因为 ， 是等腰三角形，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， 是 ， 的中点，易证 ，
由正方体可得 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，故选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查直线与平面平行的证法及平面与平面垂直的证法，属于中档题．
14．（2024•江苏模拟）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 满足
，则
A．当 时， 平面
B．任意 ， ，三棱锥 的体积是定值
C．存在 ， ，使得 与平面 所成的角为
32D．当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为
【答案】
【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；直线与平面垂直
【专题】立体几何；综合法；数学运算；转化思想；逻辑推理
【分析】根据三垂线定理及线面垂直的判定定理，三棱锥的体积公式，线面角的求法，坐标法求点面距，
即可分别求解．
【解答】解：对 选项，当 时， 与 重合，
根据三垂线定理易证 ， ，
从而可得 平面 ，即 平面 ， 选项正确；
对 选项， 与 相交， 到平面 的距离不是定值，又 的面积为定值，
对任意 ， ，三棱锥 的体积不是定值， 选项错误；
对 选项，当 时， 与 重合，此时易知 平面 ，
当 时， 与 重合，
如图，设 ，连接 ， ，
易知 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，且平面 平面 ，
在平面 的射影为 ，
与平面 所成角为 ，
33又易知 ，
存在 ， ，使得 与平面 所成的角为 ， 选项正确；
对 选项， 正方体的外接球的球心 为正方体的体心，
且外接球的直径 为正方体的体对角线，
， ，
当 时， 为靠近 的三等分点，建系如图，
则 ，0， ， ，2， ， ， ， ， ，1， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
球心 到平面 的距离 ，
平面 截该正方体的外接球所得截面小圆半径 ，
平面 截该正方体的外接球所得截面小圆的面积为 ， 选项正确．
故选： ．
【点评】本题考查线面垂直的证明，三棱锥的体积变化问题，线面角的变化问题，球的截面面积的求解，
34三垂线定理的应用，坐标法的应用，化归转化思想，属难题．
15．（2024•江西一模）已知正方体 的棱长为1， 是棱 的中点， 是平面
上的动点（如图），则下列说法正确的是
A．若点 在线段 上，则 平面
B．平面 平面
C．若 ，则动点 的轨迹为抛物线
D．以 的一边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，旋转过程中，三棱锥 体积
的取值范围为
【答案】
【考点】棱柱的结构特征；平面与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行；命题的真假
判断与应用
【专题】运动思想；数形结合；数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；综合法
【分析】证明面面平行，可得线面平行判定 ；由直线与平面垂直可得平面与平面垂直判断 ；由双曲
线的定义求出点 的轨迹判定 ；由运动思想求得三棱锥 体积的取值范围判断 ．
【解答】解：在正方体 中，由 ，且 ，
可得四边形 为平行四边形，则 ，同理可得 ，
由面面平行的判定可得平面 平面 ，
35若点 在线段 上，则 平面 ，得 平面 ，故 正确；
由正方体的结构特征可得 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ，故 正
确；
为定值， 满足 的点 在以 为顶点， 为轴的圆锥的侧面上，
又 在平面 上，且 平面 ， 点的运动轨迹是双曲线，故 错误；
设 ， 的中点分别为 ， ，则点 的运动轨迹是平面 内以 为圆心， 为半径的圆，
， ， 平面 ，则平面 平面 ，
设 与圆的交点分别为 ， （点 位于点 ， 之间），
可知当点 分别位于点 ， 时，点 到平面 的距离分别取到最小值和最大值，
且距离的最小值 ，
距离的最大值 ．
的面积 ，
36，
．
三棱锥 体积的取值范围为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查正方体的结构特征，考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能
力与思维能力，训练了多面体体积的求法，综合性强，难度较大．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•黄浦区二模）在四面体 中， ， ， ，
设四面体 与四面体 的体积分别为 、 ，则 的值为 ．
【答案】 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】立体几何；综合法；转化思想；数学运算
【分析】根据题意易得 ， ， ，再作出底面图形，根据向量共线定理，三棱
锥的体积公式，化归转化，即可求解．
【解答】解： ， ， ，
， ， ，
， ， ，
作出底面图形，延长 ， 交于点 ，如图所示：
37由 ，可得 ，设 ，又 ，
，又 ， ， 三点共线，
， ， ，又 ，
， ，
又 ，且 ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查四面体的体积问题，向量的线性运算，向量共线定理的应用，化归转化思想，属中档
题．
17．（2024•灌云县校级模拟）正方体 棱长为2， ， 分别是棱 ， 的中点，
是正方体的表面上一动点，当四面体 的体积最大时，四面体 的外接球的表面积为
．
【答案】 ．
【考点】球的体积和表面积
【专题】综合法；立体几何；数学运算；转化思想
【分析】根据题意只需 点离平面 最远即可，构建空间直角坐标系，应用向量法求各点到面
38距离得到 与 重合，再将△ 置于如下直角坐标系中求△ 外接圆圆心，进而确定空间
坐标系中外接球球心 坐标，即可求球的表面积．
【解答】解：如下图， ，即 ， ， ， 四点共面，要使四面体 的体积最大，
只需 点离平面 最远即可，显然点 、线段 上点到平面 距离都相等，
构建下图空间直角坐标系 ，
则 ，1， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ，
，2， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
所以 到平面 距离为 ， 到平面 距离为 ，
到平面 距离为 ， 到平面 距离为 ，
综上，正方体的表面上 到面 距离最远，故四面体 的体积最大， 与 重合，
首先确定△ 外接圆圆心 坐标，将△ 置于如下直角坐标系中，
39则 ， ， ，则 是直线 与 的垂直平分线 的交点，
由 ，则 ，且 中点为 ，故 ，即 ，
联立 ，即 对应到空间直角坐标系的坐标为 ，
由四面体 的外接球球心 在过 垂直于面 的直线上，设 ，
由 ，即 ，所以 ，
故外接球半径为 ，故外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查四面体的外接球问题，属中档题．
18．（2024•西城区模拟）如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直．点 在正方形
及其内部运动，点 在矩形 及其内部运动．设 ， ，给出下列四个结论：
①存在点 ， ，使 ；
②存在点 ， ，使 ；
③到直线 和 的距离相等的点 有无数个；
④若 ，则四面体 体积的最大值为 ；
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
40【答案】①③④．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；向量法；立体几何；数学运算
【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合轨迹方程、三棱锥体积公式逐
项判断即可．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ，
，0， ， ，2， ，
设 ， ， ， ， ， ，其中 ， ， ， ，
对于①， ， ， ，则 ，当 ， ， 时，有 ，
故①正确；
对于②， ， ， ， ， ， ，
若 ，则有 ，由 ， ， ， ，得 ， ，
此时 与 重合， 与 重合，不符合题意，故②错误；
对于③，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ， ， ， ， ，
故其轨迹为双曲线的一部分，即点 有无数个，③正确；
对于④， ， ， ， ， ， ，又由 ，
则 ，即 ， ，
又 ，
41故 ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】考查向量法、向量坐标运算法则、向量平行的性质、轨迹方程、体积公式等基础知识，考查运
算求解能力，是中档题．
19．（2024•安徽模拟）已知正方体 的体积为 8，且 ，则当
取得最小值时，三棱锥 的外接球体积为 ．
【答案】 ．
【考点】球的体积和表面积
【专题】数学运算；立体几何；综合法；转化思想
【分析】将平面 与平面 展开铺平，即可求 的最值；建系求球心坐标，从而得球的
半径，从而可求球的体积．
【解答】解：由题意得可知 ，如图，将平面 与平面 展开铺平，
当点 ， ， 共线时，此时 最小，
在展开图中作 ，垂足为 ， ，解得 ，
建系如上图，则 ，2， ， ，
42连接 ，易得 平面 ，且经过△ 的中心，
所以三棱锥 外接球的球心在 上，
设球心 ， ， ，则 ，
即 ，解得 ，
所以外接球 ，
所以三棱锥 的外接球体积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查空间中距离的最值问题，三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
20．（2024•辽宁模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 ， 距离之比为常数
且 的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面
的问题：
如图，在长方体 中， ，点 在棱 上， ，动点 满足
．若点 在平面 内运动，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ；若点 在长方
体 内部运动， 为棱 的中点， 为 的中点，则三棱锥 的体积的最小
值为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算
43【分析】①若点 在平面 内运动时，如图以 为原点建立平面直角坐标系，可得 ， ．
设 ，由 可得 ．即 ， ．即可
②若点 在长方体 内部运动，由①可得点 在半径为 ，球心为 球上．如图建立空
间直角坐标系，求得 到面 的距离为 ，求得 到面 的距离的最小值 ，又 到面 的距
离的最小值为 ，利用体积公式即可求解．
【解答】解：①若点 在平面 内运动时，
如图以 为原点建立平面直角坐标系，可得 ， ．
设 ，由 可得 ．
即 ， ．
则点 所形成的阿氏圆的半径为 ，圆心为 ，
44②若点 在长方体 内部运动，由①可得点 在半径为 ，球心为 球上．
如图建立空间直角坐标系，可得 ，0， ， ，3， ， ，6， ， ，6，
则 ，
设面 的法向量为 ，
，可得 ．
到面 的距离为 ．
则 到面 的距离的最小值为 ，
为 的中点， 到面 的距离的最小值为 ．
则三棱锥 的体积的最小值为 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了空间动点轨迹问题，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
， ， ， 分别为线段 ， 上一点， ．
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
45（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解答；
（2） ．
【考点】直线与平面平行；空间向量法求解直线与平面所成的角
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，先证四边形 为平行四边形，有 ，再由
线面平行的判定定理，得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【解答】 解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
由已知及 得 ，
为 的中点，
， ，
又 ，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ，建立如图所示的空间坐标系 ，
则 ，
不妨设 ，
则 ，
46，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则
，
故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2024•河南模拟）如图所示，在△ 中，点 在边 上，且 ， 为边 的中点．
是平面 外一点，且 ．
（1）证明： ；
（2）已知 ， ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
求△ 的面积；
47求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解答；（2） ； ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解
【分析】（1）利用 ，得出 ，再根据 ，得出 ，进而得出 平
面 ，即可得证；
（2） 在△ 中， ， ， ，由余弦定理得出 ，进而求出 ，
利用三角形面积公式即可求解；
利用等体积转换法求三棱锥体积即可．
【解答】解：（1）证明：因为 为边 的中点，所以 ，
又 ，故 ，即 ，
如图，
设线段 的中点为 ，连接 ，又 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
48所以 ；
（2） 在△ 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
故△ 的面积为 ；
设直线 与平面 所成角为 ，
由题意可知 ，则 ，
故 ，
又因为 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ，
于是 ，所以 ，
如图，
连接 ，则三棱锥 的体积为 ，
设△ ，△ 的面积分别为 ， ，点 到平面 的距离为 ，
因为 为边 的中点， ，
所以由平面几何知识易得 ，
则三棱锥 的体积为 ．
【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，考查等体积法求三棱锥体积，属于中档题．
23．（2024•重庆模拟）正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正
49多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体．可以验证一共只有五种多面
体．令 ， ， ， ， 均为正整数），我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以
和另一个正多面体的一些顶点重合，例如正 面体的所有顶点可以与正 面体的某些顶点重合，正 面体
的所有顶点可以与正 面体的所有顶点重合，等等．（1）当正 面体的所有顶点可以与正 面体的某些
顶点重合时，求正 面体的棱与正 面体的面所成线面角的最大值；
（2）当正 面体在棱长为1的正 面体内，且正 面体的所有顶点均为正 面体各面的中心时，求正 面
体某一面所在平面截正 面体所得截面面积；
（3）已知正 面体的每个面均为正五边形，正 面体的每个面均为正三角形．考生可在以下2问中选做1
问．
（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）
第一问：求棱长为1的正 面体的表面积；
第二问：求棱长为1的正 面体的体积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）第一问： ；第二问： ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）根据正面体特点求出 ， ， ， ， ，由此能求出结果；
（2）推导出截面为边长为2的正三角形，能求出结果；
（3）第一问：根据正二十面体各面为正三角形即可求解；
第二问：图形可分为得到一个棱长相等的平行六面体和六个相同的立体图形，由此能求出结果．
【解答】解：（1）设正面体每个顶点出去的棱数相等为 ，每个面的边的数量相等为 ，端点数量为 ，
面的数量为 ，棱的数量为 ，
每个棱有两个端点， ，
每两个相邻的面共用一条棱， ，
50， ，
代表多边形的边数， ， 要得到立体图形， 必须有 ，
由题意易得 ， ， ，
满足条件的只有5组解，
① ， ， ，即正四面体；
② ， ， ，即正六面体；
③ ， ， ，即正十二面体；
④ ， ， ，即正八面体；
⑤ ， ， ，即正二十面体．
， ， ， ， ，
为了满足题意，只需找到正六面体的四个端点，端点距离全部相等，
满足题意的仅有一种，如图，
51由题意得线面角只有 或 ，
当正 面体的所有顶点可以与正 面体的某些顶点重合时，
正 面体的棱与正 面体的面所成线面角的最大值为 ；
（2）当正 面体在棱长为1的正 面体内，且正 面体的所有顶点均为正 面体各面的中心时，
、 、 代表正六面体的中心， 、 、 代表截面三角形，
由题意得截面为边长为 的正三角形，
正 面体某一面所在平面截正 面体所得截面面积面积为 ；
（3）第一问：正二十面体各面为正三角形，表面积为 ；
第二问：正十二面体各面为正五边形，图形如下：
按照图示带箭头的虚线分割，得到一个棱长相等的平行六面体和六个相同的立体图形，
如图， 、 长度为1，且 ，
52由 ，知 ，即正六面体边长为 ，
正六面体边长为 ，则 ，
沿着顶棱的两个端点，分别作关于顶棱垂直的切面，立体图形可以拆成两个四面体，一个三棱柱，
先算出绿色边的长度，再用勾股定理易得立体图形高为 ，
，
总体积为 ．
【点评】本题考查正多面体的性质、欧拉公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
24．（2024•湖北模拟）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， 是边长
为2的正三角形， ， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为 ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）设点 在直线 上，直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，求当
为何值时， ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当 时， ．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直
53【专题】空间角；计算题；转化思想；综合法；数学运算
【分析】（1）利用中位线，直线平面的平行问题得出 ，根据直线平面的垂直问题得出 平面
，即可得出直线 平面 ．
（2）建立坐标系得出平面 的法向量， ， ， ， ，直线平面，直线的夹
角的关系求解即可， ， ， ．
【解答】（1）证明： ， 分别为 ， 中点，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，平面 平面 ，
．
，
，
，
，
，平面 平面 ，
平面 ，
直线 平面 ，
（2）如图建立坐标系得出： ，0， ， ，0， ，
，0， ， ，2， ， ，0， ， ， ，
，0， 为平面 的法向量， ，2， ， ， ，
， ， ， ，
设直线 分别与平面 、直线 所成的角分别为 ， ， ，
54， ， ，
即 ，求解 ， ， ，0， ，
存在 ，1， 或 ， ， ，
即当 时， ．
【点评】本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数
方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．
25．（2024•垫江县校级模拟）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为正方形，
平面 平面 ，点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2） 为平面 内一动点， 为线段 上一点；
①求证： ；
②当 最小时，求 的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①证明见解答；② ．
【考点】直线与平面垂直；直线与平面平行
55【专题】逻辑推理；数形结合；立体几何；综合法
【分析】（1）由题设条件及线面平行的判定定理即可证明；
（2）①由题设证明 平面 ，即可证明 ；
②首先求得当 为 中点时， ，此时 最小，再根据相似三角形，求得比值即可．
【解答】（1）证明： ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）①证明：由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，
由（1）知， ，故 ，
又 是 的中点，则 是 中点， 为正三角形，
故 ，又 ，
所以 平面 ，故 ，
②解：由 ， ，
当 为 与平面 的交点时， 取得最小值 ，
故当 最小时， 取得最小值，此时 ，
由 ，可得 ，
同理 ，
故 时， 为 中点，取 中点 ，连接 ，如图所示，
56则有 且 ，
则有 ， ．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查空间距离的最值问题，属中档题．
57考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
2．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
58根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱
柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则
称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱 ＝S×h．
3．球内接多面体
【知识点的认识】
1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也
叫做多面体外接球．
球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体
也叫做多面体内切球
592、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）球心与多面体中心的位置关系；
（2）球的半径与多面体的棱长的关系；
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
（4）能否做出轴截面．
3、球与多面体的接、切中有关量的分析：
（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：
①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；
②正方体的四个顶点都在球面上；
③轴截面就是正方体的对角面；
④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形；
⑤球半径和正方体棱长的关系：r＝ a．＝
4．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱 ＝sh， V锥 ＝ Sh．
5．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该
定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
60②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
61与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几
何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
62．
6．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于
定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体 ＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体 ＝4 R2．
【命题方π向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目
所给条件得出球体半径是解题关键．
7．球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为 ．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为 ．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
【命题方向】
﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．
8．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
632．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个
公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
9．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
64求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
10．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
11．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a
⊂α
65直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩ ＝A
α
直线和平面平行 无 a∥
α
12．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a ，b ，a∥b，则a∥ ．
2⊄、α直线⊂与α平面平行的判定α定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直
线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥ ，a ， ∩ ＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性α质定⊂理β 的α实质β 是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平
行． ⇒
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论⇒是：a∥ ，若b ，则b与a的关系是：异面或平行．即平面 内的直线分成两大类，一类与
a平行有无数条，另α一类与⊂aα异面，也有无数条． α
13．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ ，
其中l叫做平面 的垂线，平α面 叫做直线l的垂面． α α
直线与平面垂直α的判定： α
（1）定义法：对于直线l和平面 ，l⊥ l垂直于 内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直α线中的α⇔一条垂直于α一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
66（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥ ，b⊥ a∥b
②由定义可知：a⊥ ，b a⊥b． α α⇒
14．平面与平面垂直α ⊂α⇒
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
15．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下
的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
67与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线
是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什
么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平
面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的
大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为
θ
，则有sin ＝|cos |＝ ．
φ 16．空间向量θ 法求解φ直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，
θ φ
则有sin ＝|cos |＝ ．
θ φ
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．
17．点、线、面间的距离计算
68【知识点的认识】
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