文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练14
一．选择题（共16小题）
1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 中．正四面体 的顶点 ， 分别在 轴，
轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点 ， 是它内切球球面上的两点， 为正四面体
表面上的动点，当线段 最长时， 的最大值为
A．2 B． C．3 D．
3．（2024•金安区校级模拟）正四面体 棱长为6， ，且 ，以
为球心且半径为1的球面上有两点 ， ， ，则 的最小值为
A．24 B．25 C．48 D．50
4．（2024•浦东新区校级模拟）设 ， ， ， 是空间中给定的 个不同的点，则使 成
立的点 的个数为
A．1 B．
C．无穷多个 D．前面的说法都有可能
5．（2024•皇姑区校级模拟）三棱锥 所有棱长都等于2，动点 在三棱锥 的外接球上，
且 的最大值为 ，最小值为 ，则
A．2 B． C． D．3
6．（2024•赣州模拟）已知球 内切于正四棱锥 ， ， 是球 的一条直径，点
为正四棱锥表面上的点，则 的取值范围为
1A． ， B． C． D．
7．（2024•重庆模拟）已知空间三点 ，2， ， ，1， ， ， ， ，则以 、 为邻
边的平行四边形的面积为
A．7 B． C． D．
8．（2024•南充模拟）已知正方形 的边长为1，则
A．0 B． C．2 D．
9．（2023•江西模拟）已知点 在棱长为2的正方体表面上运动， 是该正方体外接球的一条直径，则
的最小值为
A． B． C． D．0
10．（2023•德阳模拟）已知 ， ， 表示共面的三个单位向量， ，那么 的取值范
围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
11．（2024•朝阳区一模）在棱长为 1的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 ．则下列说法正确的是
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
2C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
12．（2024•安庆二模）如图，在长方体 中， ，点 是棱 上任意一
点（端点除外），则
A．不存在点 ，使得
B．空间中与三条直线 ， ， 都相交的直线有且只有1条
C．过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有且只有1条
D．过点 与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条
13．（2024•金东区校级模拟）已知矩形 ， ， ，沿对角线 将△ 折起，若二
面角 的余弦值为 ，则 与 之间距离为
A．1 B． C． D．
14．（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以 为直径，点 为圆心的半圆，其半径为4， 为
线段 的中点，其中 ， ， 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若
将该半圆围成一个以 为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是
3A． 为正三角形 B． 平面
C． 平面 D．点 到平面 的距离为
15．（2024•衡阳县校级模拟）已知在平行四边形 中， 且 ，把三角形
沿对角线 折叠，使得 ，得到三棱锥 ，如图所示，则下列说法中正确是
A．点 到平面 的距离为
B．直线 与直线 不垂直
C．直线 与平面 所成角的正弦值等于
D．三棱锥 外接球的表面积为
16．（2024•建邺区校级模拟）在长方体 中， ， ，则异面直线 与
的距离为
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
17 ． （ 2024• 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 边 长 为 2 ， 动 点 满 足
， ， ，则下列说法正确的是
4A．当 时，则直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．当 ， ， 时， 的取值范围为
D．当 ，且 时，则点 的轨迹长度为
18．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是
A．对空间任意一点 与不共线的三点 ， ， ，若 ，其中 ， ， 且
，则 ， ， ， 四点共面
B．已知 ， ， 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
C．若 ， 共线，则
D．若 ， 共线，则一定存在实数 使得
19．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量 ， ， 两两夹角均为 ， ，
，则下列说法中正确的是
A． 、 、 、 四点可以共面 B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
20．（2024•海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点 ， ， 和点 ， ， 两点之
间的“直角距离” ．若 和 两点之间的距离是 ，则 和 两点
之间的“直角距离”的取值范围是 ．
521．（2024•广州模拟）已知 ， ， 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则 的取值范
围是 ．
22．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体 的棱长为2，若球 与正四面体的每一条棱都相切，
点 为球面上的动点，且点 在正四面体面 的外部（含正四面体面 表面）运动，则 的
取值范围为 ．
23．（2024•拉萨一模）已知 ， ，空间向量 ．若 ，则 ．
四．解答题（共2小题）
24．（2024•安徽模拟）一般地， 元有序实数对 ， ， ， 称为 维向量．对于两个 维向量
， ， ， ， ， ，定义两向量的数量积为 ，向量 的模
，且 取最小值时， 称为 在 上的投影向量．
（1）求证： 在 上的投影向量为 ；
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力 、逻辑推理能力 、动手操作能力 进行测评，每
门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量 ， ， 而不同岗位对于各个能力需求的比重各
不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ， ， ， 将 在
上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
岗位 能力需求向量
会计
，2，
技工
，2，
推销员
，2，
售后维修员
，1，
6（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为 ，7， ，试分析小明最适合哪个岗位．
（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位 的适合度分别为 ， ， ， ，2， ．若能根据
这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位 的“能力需求向量”能作为空间中的一
组基底．
25．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，
， ， 分别为线段 ， 上的动点．
（1）若 为线段 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，试确定点 的位置．
72025年菁优高考数学压轴训练14
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 中．正四面体 的顶点 ， 分别在 轴，
轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】空间中的点的坐标
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体 的位置，则原点 在以 为直径的球面
上运动，
原点 到点 的最近距离等于 减去球的半径，最大距离是 加上球的半径．
【解答】解：
如图所示，若固定正四面体 的位置，则原点 在以 为直径的球面上运动，
设 的中点为 ，则 ；
所以原点 到点 的最近距离等于 减去球 的半径，
最大距离是 加上球 的半径；
所以 ，
即 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，
8是综合题．
2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点 ， 是它内切球球面上的两点， 为正四面体
表面上的动点，当线段 最长时， 的最大值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球
【分析】设四面体 的内切球球心为 ， 为 的中心， 为 的中点，连接 ， ，则
在 上，连接 ，根据题意求出内切球的半径，当 为内切球的直径时， 最长，再化简
可求得其最大值．
【解答】解：设正四面体 的内切球球心为 ， 为 的中心， 为 的中点，连接 ，
，则 在 上，连接 ，则 ．
因为正四面体的棱长为3，所以 ，
所以 ，设内切球的半径为 ，
则 ， ，解得 ，
当 为内切球的直径时 最长，此时 ， ，
，
因为 为正四面体表面上的动点，所以当 为正四体的顶点时， 最长， 的最大值为
，所以 的最大值为 ．
9故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于
中档题．
3．（2024•金安区校级模拟）正四面体 棱长为6， ，且 ，以
为球心且半径为1的球面上有两点 ， ， ，则 的最小值为
A．24 B．25 C．48 D．50
【答案】
【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】先由 ，再由 ，推出 ， ，
，再由向量的数量积的计算公式得到 ，结合基本不等式
即可求解结果．
【解答】解：法一：因为正四面体 的棱长为6，
所以 ，
同理可得 ， ，
又因为以 为球心且半径为1的球面上有两点 ， ， ，
所以 ，
由 ，
则 ，
10，
，
，
，
，
因为 ，所以 ，
当且仅当 取等号，
此时 ，
所以 ．
故 的最小值为50．
法二：由于 ，所以点 在平面 内，
所以 ，
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
当点 为点 在平面 内的射影时， 最小，
由于棱长为6，
所以 ， ，
，
所以 ．
故选： ．
11【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算
能力，属于中档题．
4．（2024•浦东新区校级模拟）设 ， ， ， 是空间中给定的 个不同的点，则使 成
立的点 的个数为
A．1 B．
C．无穷多个 D．前面的说法都有可能
【答案】
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算
【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点 的坐标，得到答案．
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以满足条件的点 的个数为1个．
故选： ．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．
5．（2024•皇姑区校级模拟）三棱锥 所有棱长都等于2，动点 在三棱锥 的外接球上，
且 的最大值为 ，最小值为 ，则
A．2 B． C． D．3
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用；转化思想；计算题；数学运算；综合法
12【分析】根据题意确定 点的轨迹，结合余弦定理求 的取值范围．
【解答】解：如图：
过 作 平面 于 ，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段 上，设为 ，
设内切球半径为 ，外接球半径为 ．则 ，
，而 ，
所以 ，
．因为 在 的外接球上，且 ，
13所以 在以 为直径的球面上，
取 中点为 ，则 在圆 上，圆 所在的平面与 垂直．
在 中， ，
，
，
过 作 于 ，则 为正 的中心，且 ，
所以在 中， ，所以 ．
设 ，则当点 ， ， ， 共面时， 取得最值，即 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理： ．
所以 ，
所以 ， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断及其应用等知识，属于中档题．
6．（2024•赣州模拟）已知球 内切于正四棱锥 ， ， 是球 的一条直径，点
为正四棱锥表面上的点，则 的取值范围为
A． ， B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】数学运算；综合法；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；逻辑推理；平面向量及应用
14【分析】根据给定条件，利用体积法求出球 半径，再利用向量数量积的运算律计算即得．
【解答】解：令 是正四棱锥 底面正方形中心，则 平面 ，而 ，
则 ，正四棱锥 的体积 ，
正四棱锥 的表面积 ，
显然球 的球心 在线段 上，设球半径为 ，则 ，即 ，
在 中， ，于是 ，又 是球 的一条直径，
因此 ，
显然 ，则 ， ，
所以 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：正四棱锥的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2024•重庆模拟）已知空间三点 ，2， ， ，1， ， ， ， ，则以 、 为邻
边的平行四边形的面积为
A．7 B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量的共线与共面
【专题】转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；解三角形；三角函数的求值；综合法
【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出 ，即可求出平行
15四边形面积为 ．
【解答】解：因为 ，2， ， ，1， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
平行四边形面积为 ，在 中由正弦定理有： ，设平行四边形的
面积为 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，三角形的面积公式，主要考查学生
的理解能力和计算能力，属于中档题．
8．（2024•南充模拟）已知正方形 的边长为1，则
A．0 B． C．2 D．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】综合法；平面向量及应用；计算题；转化思想；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用向量的线性运算和向量的模求出结果．
【解答】解：正方形 的边长为1，所以正方形的对角线长为 ，
，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属
于中档题．
169．（2023•江西模拟）已知点 在棱长为2的正方体表面上运动， 是该正方体外接球的一条直径，则
的最小值为
A． B． C． D．0
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用；球
【分析】首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积
运算求出结果．
【解答】解：由题意知：正方体的外接球的球心为 ，
正方体的外接球的直径 ，
则 为 的中点，
所以 ，
且 ，
故 ，
由于 ，
所以 的最小值 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的
理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
10．（2023•德阳模拟）已知 ， ， 表示共面的三个单位向量， ，那么 的取值范
围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量
【专题】计算题；平面向量及应用
17【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值
域，即可计算得到．
【解答】解：由 ，则 ，
又 ， 为单位向量，则 ，
则
，
由 ，
则 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查
运算能力，属于中档题．
11．（2024•朝阳区一模）在棱长为 1的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 ．则下列说法正确的是
A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
【答案】
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角
18【专题】立体几何；综合法；数学运算；整体思想
【分析】取 的中点 ，连接 ，可求得 ，可知不存在点 ，使得直线 与直线
相交，进而可判断 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立
空间直角坐标系，利用空间向量知识可判断 ，根据正方体的结构特征可判断 ．
【解答】解：连接 ， ，所以 ，取 的中点 ，连接 ，
所以 ，点 到线段 的最短距离大于1，所以不存在点 ，使得直线 与直线 相
交，
故 不正确；
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，0， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，1， ，
所以点 到平面 的距离为 ，而 ，所以不存在点 ，使得直线
平面 ，故 不正确；
因 为 ， 所 以 平 面 ， 连 接 交 于 点 ， 所 以 为 的 中 点 ，
，
19所以 为直线 与平面 所成角，
因为 ，在 中， ，
所以 ，因为 △ 与 全等，所以 ，故 正确；
延长 交 的延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接
， ， ，
则 ， ， ，平面 被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为 ，
所以截面面积为 ，故 不正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求直线与平面所成的角，考查了正方体的结
构特征，属于中档题．
12．（2024•安庆二模）如图，在长方体 中， ，点 是棱 上任意一
点（端点除外），则
20A．不存在点 ，使得
B．空间中与三条直线 ， ， 都相交的直线有且只有1条
C．过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有且只有1条
D．过点 与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条
【答案】
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角
【专题】逻辑推理；数形结合；综合法；立体几何
【分析】当 为 的中点时判断 ；作图判断 ；利用角平分面的特征判断 ；建立空间直角坐标系，
分析判断 ．
【解答】解：对于 ，当 为 的中点时，连接 ，则 ，即有 ，
而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，因此 平面 ，而 平面 ，则 ，
故 错误；
对于 ，连接 ， ， ，平面 与直线 交于 ，点 在线段 上，不含
端点，
则直线 与直线 相交，同理直线 与直线 相交，因此直线 、 分别与三条直线 ，
， 都相交，故 错误；
对于 ， 平面 ，而 平面 ，则 ，又 ，于是 是二面角
的平面角，且 ，
21显然 的平分线与平面 和平面 所成角都等于 ，过点 与此直线平行的直线符合要求，
这样的直线只有1条；
半平面 与半平面 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面 和平面 所成角都等
于 ，
在此角平分面内过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有2条，
因此过点 与平面 和平面 所成角都等于 的直线有3条，故 错误；
对于 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
直线 ， ， 的方向向量分别为 ，0， ， ，1， ， ，0， ，
设过点 的直线 方向向量为 ，由直线 分别与直线 ， ， 所成角都相等，
得 ，于是 ，
不妨令 ，有 ，1， 或 ，1， 或 ， ， 或 ，
显然使得 成立的向量 有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，
所以过点 与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条，故 正确．
故选： ．
22【点评】本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，直线与平面所成角，属于中档题．
13．（2024•金东区校级模拟）已知矩形 ， ， ，沿对角线 将△ 折起，若二
面角 的余弦值为 ，则 与 之间距离为
A．1 B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【专题】转化思想；向量法；转化法；空间位置关系与距离；数学运算
【分析】过 和 分别作 ， ，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即
可．
【解答】解：过 和 分别作 ， ，
， ，
，
，
，
则 ，即 ，
二面角 的余弦值为 ，
， ，
23，
，
，
则 ，
即 与 之间距离为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查空间两点间距离的计算，利用向量数量积与长度之间的关系进行转化求解是解决
本题的关键，是中档题．
14．（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以 为直径，点 为圆心的半圆，其半径为4， 为
线段 的中点，其中 ， ， 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若
将该半圆围成一个以 为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是
A． 为正三角形 B． 平面
C． 平面 D．点 到平面 的距离为
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【专题】数学运算；转化思想；综合法；立体几何
【分析】对于 ，作出图形，结合已知数据容易判断；对于 ，假设 平面 ，推出矛盾即可判断；
24对于 ，由线面平行的判定可以判断；对于 ，点 到直线 的距离即为 到平面 的距离，由此
容易判断选项．
【解答】解：选项 ，该半圆围成的圆锥，如图所示，
设圆锥底面半径为 ，则 ，
，
，
为 的中点， 为 的中点，
，且 ，
， 为等腰直角三角形，选项 错误；
选项 ，若 平面 ，则 ，直角 中， ，
，选项 错误；
选项 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，选项 正确；
选项 ， ， ，
平面 ，
平面 平面 ，
到直线 的距离即为 到平面 的距离，
又 ，
到直线 的距离等于 到直线 的距离，为 ，选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查线面垂直，线面平行以及点到平面的距离计算，考查空间想象能力以及运算求解能力，
属于中档题．
2515．（2024•衡阳县校级模拟）已知在平行四边形 中， 且 ，把三角形
沿对角线 折叠，使得 ，得到三棱锥 ，如图所示，则下列说法中正确是
A．点 到平面 的距离为
B．直线 与直线 不垂直
C．直线 与平面 所成角的正弦值等于
D．三棱锥 外接球的表面积为
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间位置关系与距离；直观想象；空间角
【分析】利用空间向量的数量积判断 的正误；利用面积法判断 的正误；通过数量积的求夹角，判断
的正误；求解球的半径，然后求解表面积，判断 的正误．
【解答】解：由题意知四边形 为菱形，△ ，△ 为正三角形，如图所示，
取 的中点 ，连接 ，则 ①，过 点做 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，连接 ，则 ，0， ， ，0， ， ，
在直角△ 中， ， ，
则 ， ， ，则 ，即 ，故 错；
， ②，由勾股定理得 ，
则 ，0， ， ，0， ， ，
在平面 内，过 点做 ，由①②知 平面 ， ，
26又 ，则 平面 ，即 为点 到平面 的距离，取 的中点 ，连接 ，
△ 为等腰三角形， ，
则 ， ，故 错；
， 为平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，故 错；
，0， ， ，0， ， ， ，
设三棱锥 外接球的球心为 ， ， ，则 ，
由空间两点间距离公式可得
，整理得 ，
解得 ，则 ， ， ，
又 ， ，
解得 ，则 ，
又 ， ，
解得 ，则 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，则 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 ，故 对．
27故选： ．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
16．（2024•建邺区校级模拟）在长方体 中， ， ，则异面直线 与
的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
【专题】综合法；向量法；数学运算；空间位置关系与距离；转化思想
【分析】建系，利用向量法，向量数量积的运算，即可求解．
【解答】解：根据题意可建系如图：
则 ，0， ， ，4， ， ，4， ， ，0， ，
， ， ，
28设与两异面直线 与 都垂直的向量为 ，
则 ，取 ，
异面直线 与 的距离为： ．
故选： ．
【点评】本题考查异面直线的距离的求解，向量法的应用，属中档题．
二．多选题（共3小题）
17 ． （ 2024• 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 边 长 为 2 ， 动 点 满 足
， ， ，则下列说法正确的是
A．当 时，则直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．当 ， ， 时， 的取值范围为
D．当 ，且 时，则点 的轨迹长度为
【答案】
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；数学运算；综合法
【分析】由 时，得到 为 的中点，可判定 错误；在 上取点 ，得到求得 点
在 上，将平面 与平面 沿着 展开到同一平面内，可判定 正确；证得 平面
，求得 的最大值与最小值，可判定 正确；求得点 的轨迹在△ 内，根据题意得到
点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，且 ，可判定 错误．
29【解答】解：对于 中，由于 时，则 ，此时 为
的中点，
在正方体 中，由 平面 ，所以直线 不会垂直平面 ，所以 错误；
对于 中，在 上取点 ，使 ，在 上取点 ，使 ，
因为 ，即 ，可得 点在 上，
将平面 与平面 沿着 展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，
连接 交 于 ，此时 ， ， 三点共线， 取到最小值即 的长，
由于 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
即此时 的最小值为 ，所以 正确；
对于 中，当 ， ， 时，可得点 的轨迹在平面 内（包括边界），
在正方形 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，又由 ，
所以 的取值范围为 ，所以 正确；
对于 中，当 时，可得点 的轨迹在△ 内（包括边界），
由于 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，可得 ，同理可证 ，
30又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
设 与平面 交于点 ，由于 ，
△ 为边长为 的正三角形，则点 到平面 的距离为 ，
若 ，则 ，即 点落在以 为圆心， 为半径的圆上，
此时 点到△ 三边的距离均为 ，
即 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
又由 ，其轨迹长度为3倍的弧长 ，所以 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：正方体的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是
A．对空间任意一点 与不共线的三点 ， ， ，若 ，其中 ， ， 且
，则 ， ， ， 四点共面
B．已知 ， ， 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
C．若 ， 共线，则
31D．若 ， 共线，则一定存在实数 使得
【答案】
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算
【专题】综合法；转化思想；计算题；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断 、 、 、 的结
论．
【 解 答 】 解 ： 对 于 ： 由 于 ， 其 中 ， ， 且 ， 则
，
整理得： ，故 ，所以 ， ， ， 四点共面，故
正确；
对于 ：由于 ， ， 与 的夹角为钝角，故 ，且 ，故 的取值范围为
， ， ，故 错误；
对于 ：若 ， 共线且方向相反时，则 ，故 错误；
对于 ：若 ， 共线，则一定存在实数 使得 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学
生的运算能力，属于中档题．
19．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量 ， ， 两两夹角均为 ， ，
，则下列说法中正确的是
A． 、 、 、 四点可以共面 B．
C． D．
【答案】
【考点】空间向量的共线与共面
32【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；逻辑推理；平面向量及应用
【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断 ，根据数量积的运算律即可求解 ，根据模长的
计算公式即可判断 ，根据夹角公式即可求解 ．
【解答】解：对于 ：单位向量 ， ， 两两夹角均为 ，
所以 ，
假设 、 、 、 四点可以共面，则 共面，
所以存在 ， ，使得 ，分别用 ， ， 与 数量积，
则 ，由于该方程组无解，
所以不存在 ， ，使得 共面，
故 、 、 、 四点不共面，故 错误；
对于 ， ，故 正确；
对于 ，由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
则 ，故
正确；
对于 ， ，
所以 ，
33故 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的理解能力
和计算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
20．（2024•海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点 ， ， 和点 ， ， 两点之
间的“直角距离” ．若 和 两点之间的距离是 ，则 和 两点
之间的“直角距离”的取值范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】空间两点间的距离公式
【专题】空间位置关系与距离；计算题；数学运算；转化思想；方程思想；综合法；立体几何
【分析】根据题意，求出 的表达式，结合三角代换法、辅助角公式对其变形，利用正弦型函数的最
值性质进行求解即可．
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 因 为 和 两 点 之 间 的 距 离 是 ， 即
，
所以设 ，
其中 ，
则有 ，
由于 ，所以 ，因此 ，
设 ，则 ， ，
于是有 ，
34因为 ，所以 ，
因此当 且 时，即当 且 时，
有最大值，其最大值为 ，
当 且 或 时， 取得最小值，
此时 ， ，
所以 的最小值 ，
综上， 和 两点之间的“直角距离”的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查合情推理的应用，涉及三角恒等变形的应用，关键是利用三角代换的方法、运用正弦
函数的最值的性质，属于中档题．
21．（2024•广州模拟）已知 ， ， 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则 的取值范
围是 ， ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间向量及应用
【分析】根据正方体的性质可得 ， ，结合夹角的定义可得 ，可得其最
大值；根据数量积的运算可知 ，可得其最小值．
【解答】解：正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长 ，
则 ， ，故 ， ，
而 ， ， ，故 ，
35建立如图所示空间直角坐标系，
取 ，0， ，当 ， 重合为 ，1， 时，
则 ，1， ，1， ，取得最大值3；
由对称性，设 在下底面， ， ， ， ，
由 在下底面知 ， ， ，
当且仅当 ， 也在下底面时取等，此时 ， ， 共面，
设 中点为 ，则 ，
，
当且仅当 ， 重合时取等，
又因为 ，可得 ，
例如 ， ，0， ， ，1， ，
则 ，
所以 ， 不重合时， 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查空间向量与立体几何的综合应用，属中档题．
22．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体 的棱长为2，若球 与正四面体的每一条棱都相切，
36点 为球面上的动点，且点 在正四面体面 的外部（含正四面体面 表面）运动，则 的
取值范围为 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法
【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球 为正方体的内切球，设 为 的中点，结合向量数量
积的运算律将 转化为 ，结合四面体以及正方体和球 的切接问题，求出 的最大值以
及最小值，即可求得答案．
【解答】解：由题意知正四面体 的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，
正方体棱长为 ，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，
由于球 与正四面体的每一条棱都相切，故球 为正方体的内切球，
球 的直径为正方体的棱长，则半径 ；
设 为 的中点，则 ，
则 ，
由于点 在正四面体面 的外部（含正四面体面 表面）运动，
故点 位于 的中点处时， 最大，即为正方体内切球直径，
37此时 取到最大值 ；
在正四面体 中，设 为 中点，连接 ， ，
则 ， ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ，则球 的球心 在平面 内，
则 的内切圆即为球 的一个小圆，设该圆与 的交点为 ，
则 点和 都位于球 的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧 所对弦长 最短，
即 点位于 点时， 最小；
设 内切圆圆心为 ，则内切圆半径为 ，
，则 ，
中， ， ，故 ，
在 中 ，则 ，
即 的最小值为 ，故 的最小值为 ，
故 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点评】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球 转化为正方体的内切球问题，
结合多面体和球的切接问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23．（2024•拉萨一模）已知 ， ，空间向量 ．若 ，则 1 ．
【答案】1．
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【专题】平面向量及应用；数学运算；转化思想；计算题；逻辑推理；综合法
38【分析】根据 ，从而可求出 ，即可求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，得 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查的知识要点：共线向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档
题．
四．解答题（共2小题）
24．（2024•安徽模拟）一般地， 元有序实数对 ， ， ， 称为 维向量．对于两个 维向量
， ， ， ， ， ，定义两向量的数量积为 ，向量 的模
，且 取最小值时， 称为 在 上的投影向量．
（1）求证： 在 上的投影向量为 ；
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力 、逻辑推理能力 、动手操作能力 进行测评，每
门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量 ， ， 而不同岗位对于各个能力需求的比重各
不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ， ， ， 将 在
上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
岗位 能力需求向量
会计
，2，
技工
，2，
推销员
，2，
售后维修员
，1，
（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为 ，7， ，试分析小明最适合哪个岗位．
39（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位 的适合度分别为 ， ， ， ，2， ．若能根据
这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位 的“能力需求向量”能作为空间中的一
组基底．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；
（2） 小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
证明过程见解答．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底
【专题】数学运算；综合法；转化思想；空间向量及应用
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 由 已 知 得 取 最 小 值 时 ， 为 在 上 的 投 影 向 量 ， 由 定 义 得
，根据二次函数最小值即可求得 ，进而证明；
（Ⅱ） 分别求得小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求量”上的投影向量的模，根据
定义即可求解；
设岗位 的“能力需求向量”为 ， ， ，小红的测评结果为 ， ， ，列出方程组，分
析方程组解的情况即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）证明： 取最小值时， 为 在 上的投影向量，
，
是关于 的二次函数，且二次项系数大于0，结合二次函数的性质，
当且仅当 时， 取最小值，
在 上的投影向量为 ．
（2） 设小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求向量”上的投影向量分别为 ， ，
40， ，
则 ，
，
，
，
小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
证明：由题意，设岗位 的“能力需求向量”为 ， ， ，
小红的测评结果为 ， ， ，
则 ，
则求出小红的测评结果的充分必要条件是这个关于 ， ， 的三元一次方程组有唯一解，
记 ， ， ，则 ，
设 ， ， ，
则方程组变形为 ，
② ①得 ，
则方程组化简为 ，
消去 ，化简得 ⑥，
若 ，
41则此时关于 的方程要么无解要么有无穷多解，与题意不符，
，
又方程有且仅有一解， ，即 ，
若 ，由向量的共线定理得 ，
使得 ，
则 ，与假设矛盾， 不成立，故 与 不共线，同理可知 与 不共线，
， ， 可以作为空间中的一组基底，
即会计、技工和岗位 的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
【点评】本题考查向量基本定理及空间向量的基底、投影向量、二次函数的性质等基础知识，考查运算
求解能力，是难题．
25．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，
， ， 分别为线段 ， 上的动点．
（1）若 为线段 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，试确定点 的位置．
【答案】（1）证明见解答；（2） 为 的三等分点处．
【考点】平面与平面垂直；空间向量运算的坐标表示
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；逻辑思维；运算求解
【分析】（1）可证 平面 ，从而 ， ， 平面 ，进而可证平面
平面 ；
（2）以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，求平面 与平面 的法向量，利用向量法求 的值，可知定点 的位置．
【解答】（1）证明：由 底面 ，可得 ，又在正方形 中， ，
42且 ，则 平面 ，有 ，
由 ， 为线段 的中点，可得 ，
又 ，则 平面 ，从而平面 平面 ；
（2）解：以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
由（1）可知 ，0， 为平面 的法向量，
由 ，可知 ，设 ， ，则 ，1， ， ，0， ，
可得 ， ， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
解得 或 ，即 为 的三等分点处．
【点评】本题考查面面垂直的证明，以及利用面面角确定点的位置，属中档题．
43考点卡片
1．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量 与 不平行时，那
么它们就会有一个夹角 ，并且还有这样的公式：cos ＝ ．通过这公式，我们就可以求出两向
θ θ
量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝ +i与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60 ° ．
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝cos60°+isin60°．
∴复数z＝ +i与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（ ，1）与向量（ ，﹣1）的夹
角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方
说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
2．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该
定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
44圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
45③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几
何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
46平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
3．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
4．空间中的点的坐标
【知识点的认识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3 、 已 知 空 间 两 点 P （ x ， y ， z ） ， P （ x ， y ， z ） 则 线 段 P P 的 中 点 坐 标 为 （
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
47）
5．空间两点间的距离公式
【知识点的认识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x ，y ，z ），Q（x ，y ，z ），
1 1 1 2 2 2
则两点的距离为 ，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为 ．
6．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为| |，| |
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作 ；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如 的相反向量记为﹣ ．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定 与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等
向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
48空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律： ．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数 与空间向量 的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
λ
①当 ＞0时， 与 的方向相同；
λ
②当 ＜0时， 与 的方向相反；
λ
③当 ＝0时， ＝ ．
λ
④| |＝| |•| |
λ λ
的长度是 的长度的| |倍．
λ
492．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（ + ） ＝ +
λ μ
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算．
7．空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或平行向量，记作 ． 与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量 、 （ ）， 的充要条件是存在实数 ，使得 ．
λ
（2）共面向量定理
如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，
50y），使得 ．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 ，使 成立，或充分利用空间向量的运算法则，
λ
结合具体图形，通过化简、计算得出 ，从而 ．
（2） 表示 与 所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，
解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使 ．满足这个
关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用
以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面 ，证明这些向量与平面 平行．
【命题方向】 α α
1，考查空间向量共线问题
例：若 ＝（2x，1，3）， ＝（1，﹣2y，9），如果 与 为共线向量，则（ ）
A．x＝1，y＝1 B．x＝ ，y＝﹣ C．x＝ ，y＝﹣ D．x＝﹣ ，y＝
分析：利用共线向量的条件 ，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵ ＝（2x，1，3）与 ＝（1，﹣2y，9）共线，
故有 ＝ ＝ ．
∴x＝ ，y＝﹣ ．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
512．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定
共面的是（ ）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理 ，说明M、A、B、C共面，判断选项的正
误．
解答：由共面向量定理 ，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
8．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量 、 ，在空间中任取一点O，作 ， ，则∠AOB叫做向量 与 的夹角，
记作＜ ， ＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 、 ，则| || |cos＜ ， ＞叫做向量 与 的数量积，记作 • ，即
• ＝| || |cos＜ ， ＞
（2）几何意义： 与 的数量积等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| |cos 的乘积，或 的长度|
θ
|与 在 的方向上的投影| |cos 的乘积．
θ
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律： ＝ （ ）＝ •（ ）
λ
52（2）分配律： ．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号 ，而不能用符号 ，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘
积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当 时，由 ＝0不能推出 一定是零向量，这是因为任一个与 垂直的非零向量 ，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点
的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的
模，利用公式| |＝ 求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断 时，须指明 ， ；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量
53， ， 的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任
何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2 + ＝（2，﹣4，1），且 ＝（0，2，﹣1），则 • ＝ ﹣ 7
分析：通过2 + ＝（2，﹣4，1），且 ＝（0，2，﹣1），求出向量 的坐标，然后进行向量的数量积
的坐标运算．
解答：∵2 + ＝（2，﹣4，1），且 ＝（0，2，﹣1），
∴ ＝（1，﹣3，1），
∴ • ＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
9．空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 ＝x
+y +z ．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底， ， ， 都叫做基向量．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共
面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数 、
λ μ
使得 ，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
54【命题方向】
﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．
10．空间向量单位正交基底及其表示空间向量
【知识点的认识】
1．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{ ，
， }表示．
2．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量 ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝ ，由空间向
量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 ＝ ．把x，y，z称作向量 在单位正
交基底 ， ， 下的坐标，记作 ＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
2．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律
进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是
看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
【命题方向】
﹣单位正交基底表示：考查如何使用单位正交基底表示空间中的向量．
5511．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量 ， ，则
（1）
（2）
（3）
（4） ．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x ，y ，z ），B（x ，y ，z ），则
1 1 1 2 2 2
＝（x ，y ，z ）﹣（x ，y ，z ）＝（x ﹣x ，y ﹣y ，z ﹣z ）
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1
3．空间向量平行的条件：
（1） ， R
⇔ λ∈
（2）若x y z ≠0，则
2 2 2
4．空间向量垂直的条件： ⇔
x x +y y +z z ＝0
1 2 1 2 1 2
⇔
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵
坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
56（1）若 ＝（x ，y ，z ）， ＝（x ，y ，z ），（ 为非零向量），则 ∥ （ R）．若
1 1 1 2 2 2
⇔ λ∈
时，必有 ∥ ，必要时应对 是否为 进行讨论．
（2） x x +y y +z z ＝0
1 2 1 2 1 2
⇔
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的
坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，
1），则第四个顶点D的坐标为
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得 ，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵ ， ＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得 ，∴ ，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
例：已知 ＝（3，3，2）， ＝（4，﹣3，7）， ＝（0，5，1），则（ + ）• ＝ ．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于 ＝（3，3，2）， ＝（4，﹣3，7），则 + ＝（7，0，9）
又由 ＝（0，5，1），则（ + ）• ＝（7，0，9）•（0，5，1）＝9
故答案为 9
57点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知 ， ，若 ∥ ，则 与 的值可以是（ ）
λ μ
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出 与 的值即可．
λ μ
解答：因为 ， ， ∥ ，
所以2 ﹣1＝0，解得 ＝ ， ，解得 ＝2或 ＝﹣3．
μ μ λ λ
所以 与 的值可以是： 或﹣3， ；
故选λA．μ
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
12．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量 平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量 ， （ ≠0）， ∥ 存在 R，使 ＝ ．
共面向量定理 若两个向量 ， 不共线，则向量 与向量 ，b⇔共面λ存∈在唯一的λ有序实数
对（x，y），使 ＝x +y ．
⇔
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量 、 、c不共面，那么对空间任一向量 ，存在
有序实数组{x，y，z}使得 ＝x +y +z ．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一
的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1） • ＝| || |cos＜ ， ＞；
（2） ⊥ • ＝0（ ， 为非零向量）；
⇔
（3）| |2＝ 2，| |＝ ．
582．向量的坐标运算
＝（a ，a ，a ）， ＝（b ，b ，b ）
1 2 3 1 2 3
向量和
+ ＝（a +b ，a +b ，a +b ）
1 1 2 2 3 3
向量差
﹣ ＝（a ﹣b ，a ﹣b ，a ﹣b ）
1 1 2 2 3 3
数量积
• ＝a b +a b +a b
1 1 2 2 3 3
共线
∥ a ＝ b ，a ＝ b ，a ＝ b （ R）
1 1 2 2 3 3
垂直 ⇒ λ⊥
a b
λ
+a b +a b
λ＝0 λ ∈
1 1 2 2 3 3
夹角 ⇔
公式
cos＜ ， ＞＝
13．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下
的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线
59是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什
么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平
面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的
大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为
θ
，则有sin ＝|cos |＝ ．
φ 14．空间向量θ 法求解φ直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，
θ φ
则有sin ＝|cos |＝ ．
θ φ
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．
15．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
α β α β α β
60（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角
记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
α β θ
（1）当0≤＜ ， ＞≤ ， ＝＜ ， ＞，
θ
此时cos ＝cos＜ ， ＞＝ ．
θ
（2）当 ＜＜ ， ＞＜ 时， ＝ ﹣＜ ， ＞，
π θ π
cos ＝﹣cos＜ ， ＞＝﹣ ．
θ
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
16．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
616217．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离
【知识点的认识】﹣点到直线的距离：点P到直线l的距离为：
其中 是点P到直线上的点A的向量， 是直线的方向向量．
﹣两平行直线间的距离：两平行直线的距离是它们之间任意一点到另一条直线的距离．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用点到直线的距离公式和两平行直线的距离计算公式．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算空间中点到直线的距离以及两平行直线之间的距离．
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