文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练15
一．选择题（共10小题）
1．（2024•利通区校级模拟）某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球
嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积
为 ，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024•濮阳模拟）如图，将绘有函数 部分图像的纸片沿 轴折
成直二面角，此时 ， 之间的距离为 ，则
A． B． C． D．
3．（2024•浦东新区校级模拟）如图，三棱柱 满足棱长都相等且 平面 ， 是棱
的中点， 是棱 上的动点．设 ，随着 增大，平面 与底面 所成锐二面角的平面
角是
1A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大
4．（2024•日照模拟）如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 ．四
面体 以 所在的直线为轴旋转 弧度，且四面体 始终在水平放置的平面 的上方．如果将
四面体 在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ，则函数 的最小正周期与 取
得最小值时平面 与平面 所成角分别为
A． ，0 B． C． D．
5．（2024•榆林三模）已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，则三棱锥 的侧棱
与底面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
6．（2024•广东模拟）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体
就是一个半正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面为等
边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面 与平面 之间的距离为
2A． B． C． D．
7．（2024•辽宁二模）已知二面角 的平面角为 ，
与平面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
8．（2024•临沂二模）已知正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A．直线 与 所成角的余弦值为
B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点 ，使得
D．在 上存在点 ，使得 平面
9．（2024•河南模拟）如图是棱长均为2的柏拉图多面体 ，已知该多面体为正八面体，四边形
为正方形， 、 分别为 、 的中点，则点 到平面 的距离为
3A． B．1 C． D．
10．（2024•荆州区校级模拟）已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的
侧棱与底面所成角的正切值为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•故城县校级模拟）如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， ，
分别为上、下底面的直径， ， 为圆台的母线， 为弧 的中点，则
A．圆台的侧面积为
B．直线 与下底面所成的角的大小为
C．圆台的体积为
D．异面直线 和 所成的角的大小为
12．（2024•全国模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A． 与 是异面直线
4B．存在点 ，使得 ，且 平面
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
13．（2024•中山市校级模拟）四棱锥 的底面为正方形， 与底面垂直， ， ，
动点 在线段 上，则
A．不存在点 ，使得
B． 的最小值为
C．四棱锥 的外接球表面积为
D．点 到直线 的距离的最小值为
14．（2024•辽宁模拟）如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ，
的动点，则下列结论正确的是
A． 与底面所成角为
B．圆锥 的表面积为
5C． 的取值范围是
D．若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为
15．（2024•青羊区校级模拟）已知正三棱柱 的各棱长都为1， 为 的中点，则
A．直线 与直线 为异面直线
B． 平面
C．二面角 的正弦值为
D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
三．填空题（共5小题）
16．（2024•南昌模拟）如图，在长方体 中， ， ，点 为 的中点，
则点 到平面 的距离为 ．
17．（2024•通州区模拟）如图，几何体是以正方形 的一边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转
形成的面所围成的几何体，点 是圆弧 的中点，点 是圆弧 上的动点， ，给出下列四
个结论：
①不存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③不存在点 ，使得点 到平面 的距离大于 ；
④存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．其中所有正确结论的序号是 ．
618．（2024•博白县模拟）如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得从 ，
到库底与水坝的交线 的距离分别为 ， ．又测得 的长为 ， 的长为
，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 ．
19．（2024•洪山区校级模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
为线段 上的一点，且二面角 的正切值为3，则三棱锥 的外接球的体积为 ．
20．（2024•长沙三模）如图所示，直角三角形 所在平面垂直于平面 ，一条直角边 在平面 内，
另一条直角边 长为 且 ，若平面 上存在点 ，使得△ 的面积为 ，则线段
长度的最小值为 ．
7四．解答题（共5小题）
21．（2024•王益区校级模拟）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ，点 是棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
22．（2024•天心区校级模拟）如图，圆柱的轴截面 是正方形，点 在底面圆周上， ，
为垂足．
（1）求证： ．
（2）当直线 与平面 所成角的正切值为2时．
①求平面 与平面 夹角的余弦值；
②求点 到平面 的距离．
23．（2024•东莞市校级三模）如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使
点 到达点 的位置，点 在平面 的射影 落在边 上．
（1）求 的长度；
（2）若 是边 上的一个动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若
存在，求 的长度；若不存在，说明理由．
24．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
8， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
25．（2024•开州区校级模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面
，点 在 上，且 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
92025年菁优高考数学压轴训练15
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•利通区校级模拟）某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球
嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积
为 ，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算
【分析】设球的半径为 ，由球的体积求出 ，求出正三棱柱底面正三角形的内切圆半径 ，设球心为
，正三角形的内切圆圆心为 ，取 的中点 ，并将这三点顺次连接，由球的几何性质求出 ，
即可得到答案．
【解答】解：设球的半径为 ，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为 ，
因为球的体积为 ，则 ，解得 ，
因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，
所以底面正三角形的内切圆半径为 ，正三棱柱的高为4，
设球心为 ，正三角形的内切圆圆心为 ，
10取 的中点 ，并将这三点顺次连接，
则由球的几何知识可得△ 为直角三角形，
所以 ，
于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了空间中点到平面的距离问题，球的体积公式的应用，球的几何性质的应用，正棱柱
几何性质的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
2．（2024•濮阳模拟）如图，将绘有函数 部分图像的纸片沿 轴折
成直二面角，此时 ， 之间的距离为 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正弦函数的图象；几何法求解二面角及两平面的夹角
【专题】转化思想；转化法；数学运算；立体几何
【分析】根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可．
11【解答】解：如图，因为 的周期为 ，
所以 ，
，
所以折成直二面角时， ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 或 ，
又因为函数 在 轴右侧附近单调递减，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数图象应用，考查二面角的计算，属于中档题．
3．（2024•浦东新区校级模拟）如图，三棱柱 满足棱长都相等且 平面 ， 是棱
的中点， 是棱 上的动点．设 ，随着 增大，平面 与底面 所成锐二面角的平面
12角是
A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大
【考点】 ：二面角的平面角及求法
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法； ：空间角；63：数学建模
【分析】以 为原点，在平面 中过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出平面 与底面 所成锐二面角的平面角随着 增大而增大．
【解答】解：以 为原点，在平面 中过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间
直角坐标系，
设正三棱柱 中所在棱长都是2，
则 ，1， ， ，2， ， ，0， ，
，1， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
平面 的法向量 ，0， ，
设平面 与底面 所成锐二面角的平面角为 ，
，
13随着 增大而先增大后减小，
随着 增大而先减小后增大．
故选： ．
【点评】本题考查二面角的平面角的变化趋势的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
4．（2024•日照模拟）如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 ．四
面体 以 所在的直线为轴旋转 弧度，且四面体 始终在水平放置的平面 的上方．如果将
四面体 在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ，则函数 的最小正周期与 取
得最小值时平面 与平面 所成角分别为
A． ，0 B． C． D．
【答案】
【考点】直线与平面所成的角
【专题】转化法；转化思想；数学运算；立体几何
【分析】根据对称性得出 的周期；取 中点 ，可得 ， 到 的距离为 ，且直线
14与平面 所成的角为 ， 面 ，面 面 ，设 在平面 的投影为 ，可得
，讨论一个周期内的情形，当 ， 时， ，则 ；当 ，
时， ，求出 及此时 与 的关系，即可求出此时平面 与平面 所
成角．
【解答】解：设过 且平行于平面 的平面为 ，
由题意知，四面体 在平面 的上方时和下方时完全对称，故函数 的周期为 ，
取 中点 ，连接 、 ，如图，
， ， ， ，
， ， ， ，
则 ，而 ，故 ， ，
到 的距离为 ．
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ，
则 为直线 与平面 所成的角，又 ，
直线 与平面 所成的角为 ，
， ， 为 中点，
15， ，又 ， ， 在平面内，则 面 ，
又 面 ，则 ，
， ， ， ， 在平面内，则 面 ，
又 面 ，则面 面 ，
设 在平面 的投影为 ，可得 ，
下面讨论一个周期内的情形：
当 时，如图，
，
， ，
则 ，
故 ，
当 时，如图，
16到 的距离为 ， ，当 时等号成立，
，即 ，
综上所述， ，
此时 ，又直线 与平面 所成的角为 ，
平面 与平面 所成的角为 ．
故选： ．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，属于难题．
5．（2024•榆林三模）已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，则三棱锥 的侧棱
与底面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算
【分析】根据三棱锥 的侧棱与底面所成角为 ，即可求解．
【解答】解：如图， 为等边三角形， 为 中点， 面 ，
设 ，则 ， ， ，
所以 ，
则三棱锥 的侧棱与底面所成角为 ，
则 ．
故选： ．
17【点评】本题考查线面角的求法，属于中档题．
6．（2024•广东模拟）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体
就是一个半正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面为等
边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面 与平面 之间的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离
【专题】计算题；数学运算；转化思想；空间位置关系与距离；综合法
【分析】分别取 ， 的中点 ， ，作出截面 ，结合几何体的性质，确定梯形 的高
即为平面 与平面 之间的距离，由此即可求得答案．
【解答】解：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ，
根据半正多面体的性质可知，四边形 为等腰梯形；
根据题意可知 ， ，
18而 ， ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，
故平面 平面 ，则平面 平面 ，
作 ，垂足为 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，
则梯形 的高即为平面 与平面 之间的距离；
，
故 ，
即平面 与平面 之间的距离为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了空间想象能力，解答的关键是根据几何体的结构特征，作出其截面图，确定梯形
的高即为平面 与平面 之间的距离，即可求得答案，属中档题．
7．（2024•辽宁二模）已知二面角 的平面角为 ，
与平面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角
【专题】对应思想；数学运算；综合法；立体几何
【分析】作出二面角的平面角以及 与平面 所成角，并表示出 ，结合三角形面积公式
以及正弦定理表示出 ，结合 范围确定 范围，即可求得答案．
【解答】解：作 ，垂足为 ，连接 ，
19，即 ， ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，又 ，故平面 ，平面 ，
为 在 内的射影，则 为 与平面 所成角，即 ，
， ，
为二面角 的平面角，即 ，
，
在 中，由正弦定理有：
，
，
，又 ，
， ，又 ，
，即 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了二面角的平面角及线面角的作法，然后将三角形面积比转化为边之比来解决问题，
属于中档题．
8．（2024•临沂二模）已知正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
20A．直线 与 所成角的余弦值为
B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点 ，使得
D．在 上存在点 ，使得 平面
【答案】
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【专题】数形结合；向量法；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算
【分析】以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，由空间向量计算异面直线所成角，
二面角和线线垂直可判断 ， ， ；由 ， ， ， 四点共面，而 平面 可判断 ．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1，
， ，1， ， ，
对于 ，因为 ， ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，故 错误；
对于 ，因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，令 ，可得 ， ，所以 ，
21因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，令 ，可得 ， ，所以 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为：
，故 错误；
对于 ，因为 在 上，设 ，1， ，所以 ， ，
则 ，所以 ， ，
所以 ，1， ， ，
所以 ，解得： ．
故 上存在点 ，使得 ，故 正确；
对于 ，因为 ，所以 ， ， ， 四点共面，
而 平面 ，所以 上不存在点 ，使得 平面 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间中点、直线、平面的位置关系与空间角的求法，属于中档题．
229．（2024•河南模拟）如图是棱长均为2的柏拉图多面体 ，已知该多面体为正八面体，四边形
为正方形， 、 分别为 、 的中点，则点 到平面 的距离为
A． B．1 C． D．
【答案】
【考点】空间中点到平面的距离
【专题】数学运算；等体积法；空间位置关系与距离；转化思想
【分析】由三棱锥等体积法，可得 ，运算得解．
【解答】解：连接 ， ，
由已知得 为 的中位线，所以 ，
又 为正三角形 的中线，所以 ，又 ，
所以 ，所以 为直角三角形，
所以 ，
23因为 ，所以 到平面 的距离为 ，
设 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查利用等体积法求点到平面的距离，属中档题．
10．（2024•荆州区校级模拟）已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的
侧棱与底面所成角的正切值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】立体几何；数学运算；转化法；转化思想
【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解．
【解答】解：如图所示，作 于点 ，
则 ，即 ，
，
24则 ，
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为 与底面 所成角，
设其为 ，则 ，即 ，
故选： ．
【点评】本题考查棱台的体积公式以及线面角的计算，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•故城县校级模拟）如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， ，
分别为上、下底面的直径， ， 为圆台的母线， 为弧 的中点，则
A．圆台的侧面积为
B．直线 与下底面所成的角的大小为
C．圆台的体积为
D．异面直线 和 所成的角的大小为
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；旋转体（圆柱、圆
锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【专题】空间位置关系与距离；逻辑推理；转化思想；数学运算；综合法
【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式可判断 ；由线面角的定义可判断 ；由异面直线所成角的
定义可判断 ．
【解答】解：由题意可得上底面半径为 ，下底面圆半径为 ，母线 ，
则圆台的侧面积为 ，故 正确；
作圆台的轴截面如图所示，作 ， ，
25则直线 与下底面所成角为 ，且 ，
则 ，且 ，
则 ， ，故 正确；
上底面圆的面积 ， ，圆台的高 ，
则圆台的体积为 ，故 错误；
取 中点 ，连接 ， ， ，由 为弧 的中点，可得 ，
过点 ，作 ，连接 ，
则 ，且 ， ，
则四边形 为平行四边形， ，
异面直线 和 所成角 即为 与 所成角，
， ，
，
在 中， ， ，
为直角三角形，则 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查圆台侧面积、体积、线面角定义、异面直线所成角定义等基础知识，考查运算求解能
力，是中等题．
12．（2024•全国模拟）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
26A． 与 是异面直线
B．存在点 ，使得 ，且 平面
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【专题】转化思想；数学运算；空间向量及应用；综合法
【分析】建立空间直角坐标系，通过向量的关系逐项判断各个选项．
【解答】解： 选项，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ，
，0， ， ，0， ， ，2， ，
则 ， ，由于 ，故 与 平行， 错误；
选项，设 ， ， ，因为 ，所以 ， ， ， ， ，即 ，
解得 ， ， ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，则 ，因为 ，故 ，
平面 ，故存在点 ，使得 ，且 平面 ， 正确；
27选项，平面 的法向量为 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 与平面 所成角的余弦值为 ， 正确；
选项，设平面 的法向量为 ，则 ，令
，则 ， ，故 ，
则点 到平面 的距离为 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查点到面的距离，考查线面的位置关系，属于中档题．
13．（2024•中山市校级模拟）四棱锥 的底面为正方形， 与底面垂直， ， ，
动点 在线段 上，则
28A．不存在点 ，使得
B． 的最小值为
C．四棱锥 的外接球表面积为
D．点 到直线 的距离的最小值为
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；球的体积和表面积
【专题】整体思想；数学运算；计算题；空间位置关系与距离；综合法
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理可判断 选项，根据平面知识两点间距离最短，把几何图
形展开成平面图形可判断 选项，易知四棱锥 的外接球的直径为 可判断 选项，把点线距
转化为线线距，由线面平行的判定定理，把线线距转化为点面距可判断 选项．
【解答】解：对于 ：连接 ，且 ，如图所示，当 在 中点时，
因为点 为 的中点，所以 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
因为 为正方形，所以 ．
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 错误；
对于 ：将 和 所在的平面沿着 展开在一个平面上，如图所示，
29则 的最小值为 ，直角 斜边 上高为 ，即 ，直角 斜边 上高也为
，所以 的最小值为 ，所以 正确；
对于 ：易知四棱锥 的外接球直径为 ，半径 ，表面积
，所以 正确；
对于 ：点 到直线 的距离的最小值即为异面直线 与 的距离，
因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 ，
因为 平面 ，所以 ，又 ，且 ，
故 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离，
即为 的长，如图所示，
在 中， ， ，可得 ，
30所以由等面积得 ，即直线 到平面 的距离等于 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查球的表面积和点，线，面的距离，属于中档题．
14．（2024•辽宁模拟）如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ，
的动点，则下列结论正确的是
A． 与底面所成角为
B．圆锥 的表面积为
C． 的取值范围是
D．若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；二面角的平面角及求法
【专题】数学运算；综合法；立体几何；数形结合
【分析】由线面角定义，可得 即为 与底面所成角，求其大小即可判定 ；由圆锥的表面积公式
即可判断 ；求出 的范围，再利用 ，求范围即可判断 ；取 的中点 ，证
得 面 ，则 为二面角 的平面角，求解可判断 ．
【解答】解：如图，在 中， ，半径 ，
对于 ，由线面角定义， 即为 与底面所成角，
满足 ，即 ，故 正确；
对于 ，圆锥 的侧面积为： ，底面积为 ，
故圆锥表面积为 ，故 错误；
31对于 ，当点 与点 重合时， 为最小角，
当点 与点 重合时， ，达到最大值，
又因为 与 ， 不重合，则 ，
又 ，可得 ，故 正确；
对于 ，取 的中点 ，连接 ， ，
又 为 的中点，则 ，
， ，
面 ， 面 ， ，
， 面 ，
面 ， ，故 为二面角 的平面角，
点 为弧 的中点， ， ，
则 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查线面角，二面角，空间几何体表面积等知识，属难题．
15．（2024•青羊区校级模拟）已知正三棱柱 的各棱长都为1， 为 的中点，则
A．直线 与直线 为异面直线
B． 平面
C．二面角 的正弦值为
D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
【答案】
32【考点】异面直线的判定；二面角的平面角及求法；球的体积和表面积；直线与平面平行
【专题】综合法；立体几何；数学运算；转化思想；逻辑推理
【分析】利用异面直线的判定定理即可判断 ；连接 与 交于点 ，连接 ，易证 ，
继而可证得 平面 ，从而判定 ；易证 平面 ，利用线面垂直的性质可得 ，
，则 为二面角 的平面角，再利用 求解即可判定 ；将上下底
面 与 的外心连接，其中点即为外接球球心，继而利用 以及球的表面积公
式即可求解判断 ．
【解答】解：对于 ，因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，
所以直线 与直线 为异面直线，故 正确；
对于 ，连接 与 交于点 ，连接 ，
正三棱柱 的各棱长都为1，
则 为正方形，则点 为 中点，
又 为 中点，所以 ，
33又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故 正确；
对于 ，正三棱柱 中， 底面 ，
又 底面 ，所以 ，
又正三棱柱 的各棱长都为1，
则 为正三角形， 为 中点，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以 为二面角 的平面角，
又 ， ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ，故 错误；
对于 ，将上下底面 与 的外心连接，其中点即为外接球球心，
设球的半径为 ，则 ，
则该球的表面积为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查异面直线的判定，考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查二面角，
考查球，属难题．
三．填空题（共5小题）
3416．（2024•南昌模拟）如图，在长方体 中， ， ，点 为 的中点，
则点 到平面 的距离为 ．
【考点】点、线、面间的距离计算
【专题】计算题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离
【分析】以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 到平面 的距离．
【解答】解： 在长方体 中， ， ，
点 为 的中点，
以 为原点，建立空间直角坐标系，如图
，2， ， ，2， ，1， ，
，0， ，
，1， ， ，1， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，
取 ，得 ，1， ，
点 到平面 的距离：
．
35故答案为： ．
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
17．（2024•通州区模拟）如图，几何体是以正方形 的一边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转
形成的面所围成的几何体，点 是圆弧 的中点，点 是圆弧 上的动点， ，给出下列四
个结论：
①不存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③不存在点 ，使得点 到平面 的距离大于 ；
④存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【答案】②③④．
【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【专题】综合法；直观想象；空间向量及应用；整体思想
【分析】将图形补全为一个正方体 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分
别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误
【解答】解：由题意可将图形补全为一个正方体 ，如图所示：
以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ，0， 、 ，0， 、 ，0， 、 ，0， 、 ，2， 、 ，2， ，
36，
设点 ， ， ，其中 ，
对于①， ， ，设 ， ， 平面 ，
则 ，
取 ，则 ， ，可得 ， ， ，
设 为平面 的法向量，
， ，
则 ，
取 ，则 ， ，可得 ， ， ，
若平面 平面 ，则 ，解得 ，
所以存在 ，使得平面 平面 ，故①错误；
对于②， ， ， ，若 平面 ，则 ，
即 ，即 ， ，故 ，0， ，故存在点 ，使得 平面
，故②正确；
对于③， ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
37所以 ，
所以不存在点 ，使得点 到平面 的距离大于 ，故③正确；
对于④， ， ， ， ，则直线 与平面 的所成角为 ，
所以
， ，
整理可得 ，
因 为 函 数 在 时 的 图 象 是 连 续 的 ， 且 ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以存在点 ，使得直线 与平面 的所成角的余弦值为 ，④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了空间向量在平行及垂直关系的应用，还考查了空间向量在空间角及空间距离求
解中的应用，属于中档题．
18．（2024•博白县模拟）如图，甲站在水库底面上的点 处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得从 ，
到库底与水坝的交线 的距离分别为 ， ．又测得 的长为 ， 的长为
38，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 ．
【答案】 ．
【考点】二面角的平面角及求法
【专题】立体几何；转化思想；数学运算；转化法
【分析】作 且 ，连接 ，可得 是所求二面角的平面角，进而求得 ， ，
再利用余弦定理可求得 ，可求得 ．
【解答】解：如图，作 且 ，连接 ，又 ，则四边形 是矩形，
．又 ，所以 是所求二面角的平面角，
因为 ， ，则 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
由题可知 ，
则 ，
又 是三角形的内角，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查二面角的计算，属于中档题．
3919．（2024•洪山区校级模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
为线段 上的一点，且二面角 的正切值为3，则三棱锥 的外接球的体积为
．
【答案】 ．
【考点】球的体积和表面积；二面角的平面角及求法
【专题】空间角；空间位置关系与距离；直观想象；转化思想；综合法；计算题；数学运算
【分析】根据题意，由条件可得 是二面角 的平面角，再将三棱锥 补为长方体，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果．
【解答】解：如图，作 ，交 于 ，则 ，
过 作 交 于点 ，连接 ．
因为 为直三棱柱，则 平面 ，且 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ， ．
40可把三棱锥 补成棱长为 ， ，3的长方体，
则三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查球的体积计算问题，涉及二面角的求法，是中档题．
20．（2024•长沙三模）如图所示，直角三角形 所在平面垂直于平面 ，一条直角边 在平面 内，
另一条直角边 长为 且 ，若平面 上存在点 ，使得△ 的面积为 ，则线段
长度的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】点、线、面间的距离计算
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算
【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得 平面 ，利用线面垂直的性质可得 ，进而
41，由三角形的面积公式可得 ，即可求解．
【解答】解：在 △ 中， ， ，则 ，
又平面 ，平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
连接 ， ，所以 ，
得 ，
设 ，
则 ，
即 ，
得 ，
当 ，即 ，即 时， 取到最小值1，
此时 取到最小值 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查勾股定理和三角形面积公式在立体几何中的应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•王益区校级模拟）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ，点 是棱 的中点．
42（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【考点】直线与平面平行；空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【专题】立体几何；数学运算；转化思想；转化法
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，根据 是 的中点，得到 ， ，从
而四边形 是平行四边形，得到 ，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，求
得平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，设平面 与平面
所成锐二面角的大小为 ，由 求解．
【解答】解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，又 ， ，所以 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所
示，
43则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，2， ，所以 ，1， ，
设平面 的一个法向量 ，又 ， ，
所以
令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面 的一个法向量 ，又 ， ，
所以
令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
所以 ．
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【点评】本题考查线面平行的判定，以及二面角的计算，属于中档题．
22．（2024•天心区校级模拟）如图，圆柱的轴截面 是正方形，点 在底面圆周上， ，
为垂足．
（1）求证： ．
（2）当直线 与平面 所成角的正切值为2时．
44①求平面 与平面 夹角的余弦值；
②求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解答；（2）① ；② ．
【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【专题】向量法；空间向量及应用；数形结合；数学运算；立体几何；计算题
【分析】（1）先证明 平面 ，证明 ，进而证明 平面 ，根据线面垂直的性质
定理可证明结论；
（2）①建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出相关向量的坐标，求出平面 的法向量，
利用空间向量的夹角公式即可求出答案；②利用空间向量的距离公式求出答案即可．
【解答】解：（1）证明：由题意可知 底面 ， 平面 ，故 ，
又 ， ， ， 平面 ，
故 平面 ，
由 平面 ，得 ，
又 ， ， ， 平面 ，
故 平面 ，由 平面 ，可得 ；
（2）①由题意，以 为原点，
分别以 ， 所在直线为 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
并设 的长度为2，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
因为 平面 ，所以 就是直线 与平面 所成的角，
45所以 ，所以 ，
所以
由以上可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，
取 ，得 ，
又 ，0， 是平面 的一个法向量，设平面 与平面 夹角的大小为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
②因为 ，
所以点 到平面 的距离 ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，考查了二面角以及点到面距离的求法，属于中档题．
23．（2024•东莞市校级三模）如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使
点 到达点 的位置，点 在平面 的射影 落在边 上．
（1）求 的长度；
（2）若 是边 上的一个动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若
存在，求 的长度；若不存在，说明理由．
46【答案】（1）1；
（2） ．
【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算
【专题】数学运算；综合法；向量法；数形结合；立体几何
【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得 ，再利用三角形相似可求得 ；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，并根据坐标分别求得平面 与平面 的法向
量，由两平面夹角的余弦值列方程解得 ，可得 ．
【解答】解：（1）作 ，垂足为 ，连接 ，如图所示：
由点 在平面 的射影 落在边 上可得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 为矩形， ，可得 ，
由 ， 可得 ，
所以 ， ；
由 可得 ，即 ；
即 的长度为1．
（2）根据题意，以点 为坐标原点，以过点 且平行于 的直线为 轴，分别以 ， 所在直线
为 ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
47则 ，
所以 ，设 ，
则 ，所以 ；
易知 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
所以 ，
解得 ，取 ，则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
所以 ，
解得 ，取 ，则 ，所以 ，
因此可得 ，整理可得 ，
解得 （舍 或 ；
因此 ，即可得 ．
所以 的长度为 ．
【点评】本题考查空间中两点间的距离，二面角的求法，属于中档题．
24．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
， 为 的中点．
48（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】 证明过程请见解答；（Ⅱ） ．
【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法
【专题】空间位置关系与距离；逻辑推理；向量法；空间角；转化思想；数学运算
【分析】 连接 ，设 ，连接 ，由中位线的性质知 ，再由线面平行的判定
定理，即可得证；
（Ⅱ）先证 ， ， 两两相互垂直，再以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面
角，即可得解．
【解答】 证明：连接 ，设 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
49（Ⅱ）解：因为 ， ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，
所以 ， ， 两两相互垂直，
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，2， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，所以 ，1， ，
因为 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
所以 ，
50由题意知，二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定、性质定理，
以及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
25．（2024•开州区校级模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面
，点 在 上，且 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解答；（2） ．
【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法
【专题】数形结合；向量法；逻辑推理；数学运算；立体几何；综合法
【分析】（1）由余弦定理和勾股定理的逆定理可证 ，再由面面垂直的性质定理可证 平面
，再由线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法求夹角即可．
【解答】解：（1）证明：不妨设 ，因为 ， ，
所以 ， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中， ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
51又因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）在平面 内，过点 作 的垂线，垂足为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为四边形 是菱形， ，所以 ，
所以 ， 均为等边三角形，
以点 为坐标原点， ， 所在直线及过点 平行于 的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角
坐标系（如图），
则 ，0， ， ， ，0， ， ，
所以 ， ，
由（1） 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，
令 ，可得 ，
所以 ， ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
52【点评】本题考查线面垂直的证明，平面与平面所成角的求解，属于中档题．
53考点卡片
1．正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
（2k ﹣ ，2k ）
（2k ﹣ ，2k + ） （k Z）； （k ﹣ ，k + ）
π π π
π
（k Z）；
π 递减区间： π
（k Z）
π
∈
递减 ∈ 区间： （2k ，2k + ） ∈
（k Z）
π π π
（2k + ，2k + ）
∈
（k Z）
π π
最 值 ∈ x＝2k （k Z）时，y max ＝ 无最值
x＝2k + （k Z）时，y 1；
max
π ∈
＝1；
x＝2k + （k Z） 时，
π ∈
y ＝﹣1
π πmin ∈
x＝2k ﹣ （k Z）时，
y ＝﹣1
π min ∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0）
（k Z） 对称中心：（k + ，0） 对称中心：（ ，0）
π
（k Z） （k Z）
∈ π
对称轴：x＝k + ，k Z 对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
∈ ∈
周期 2 π ∈ 2 π ∈
2．棱柱、棱锥、棱台的侧面π积和表面积 π π
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就
54是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表 ＝2 r（r+l），S圆锥表 ＝ r（r+l），S圆台表 ＝ （r2+rl+Rl+R2）
3．棱柱、π棱锥、棱台的体积 π π
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱 ＝sh， V锥 ＝ Sh．
4．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该
定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
55圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
563．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几
何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
5．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于
定长的点的集合为球面．
572．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体 ＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体 ＝4 R2．
【命题方π向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目
所给条件得出球体半径是解题关键．
6．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
7．异面直线的判定
【知识点的认识】
58（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
8．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a ，b ，a∥b，则a∥ ．
2⊄、α直线⊂与α平面平行的判定α定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直
线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥ ，a ， ∩ ＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性α质定⊂理β 的α实质β 是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平
行． ⇒
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论⇒是：a∥ ，若b ，则b与a的关系是：异面或平行．即平面 内的直线分成两大类，一类与
a平行有无数条，另α一类与⊂aα异面，也有无数条． α
9．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面 互相垂直，记作l⊥ ，
其中l叫做平面 的垂线，平α面 叫做直线l的垂面． α α
直线与平面垂直α的判定： α
（1）定义法：对于直线l和平面 ，l⊥ l垂直于 内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直α线中的α⇔一条垂直于α一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥ ，b⊥ a∥b
②由定义可知：a⊥ ，b a⊥b． α α⇒
α ⊂α⇒
5910．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下
的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线
是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什
么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平
面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的
大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，
是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为
θ
60，则有sin ＝|cos |＝ ．
φ 11．几何法求θ 解直线φ与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．
【解题方法点拨】
具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线
与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角．
12．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
61记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂
直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位
于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面
的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
α β θ
（1）当0≤＜ ， ＞≤ ， ＝＜ ， ＞，
θ
此时cos ＝cos＜ ， ＞＝ ．
θ
（2）当 ＜＜ ， ＞＜ 时， ＝ ﹣＜ ， ＞，
π θ π
62cos ＝﹣cos＜ ， ＞＝﹣ ．
13．θ几何法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
【解题方法点拨】
求二面角的平面角：在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂
直于棱l的射线OA和OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． α β
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角．
14．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
α β α β α β
63（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角
记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
α β θ
（1）当0≤＜ ， ＞≤ ， ＝＜ ， ＞，
θ
此时cos ＝cos＜ ， ＞＝ ．
θ
（2）当 ＜＜ ， ＞＜ 时， ＝ ﹣＜ ， ＞，
π θ π
cos ＝﹣cos＜ ， ＞＝﹣ ．
θ
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
15．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
646516．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x ，y ，z ）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离
1 1 1
为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
17．空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离
【知识点的认识】
﹣两平行平面间的距离：若两平面方程为Ax+By+Cz+D ＝0和Ax+By+Cz+D ＝0，它们之间的距离为：
1 2
﹣平行于平面的直线到平面的距离：计算直线到平面的距离与计算点到平面的距离相同．
66【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用平面间距离公式计算结果．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算空间中两平面之间的距离以及平行于平面的直线到平面的距离．
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