文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练16
一．选择题（共10小题）
1．（2024•葫芦岛模拟）光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过圆 上的
点 ，则该光线从点 到点 的路线长的最小值是
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2024•吉林模拟）过点 与圆 相切的两条直线夹角为 ，则
A． B． C． D．
3．（2024•下陆区校级三模）已知在等腰直角三角形 中， ，点 在以 为圆心、2为
半径的圆上，则 的最小值为
A． B． C． D．
4．（2024•襄城区校级模拟）已知点 是直线 和 的交点，
， ，且点 满足 恒成立．若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
5．（2024•西乡塘区校级模拟）已知坐标原点在直线 上的射影为点 ， ，则为 ，
必然满足的关系是
A． B．
C． D．
6．（2024•爱民区校级模拟）在直角坐标系 中，已知点 ， ， ，动点 满足线
1段 的中点在曲线 上，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024•青羊区校级模拟）在同一平面直角坐标系中， ， 分别是函数 和函数
图象上的动点，若对任意 ，则 最小值为
A． B． C． D．
8．（2024•赤峰模拟）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，
， 边上的中线 ， 相交于点 ，则直线 ， 的夹角为
A． B． C． D．
9．（2024•普陀区模拟）直线 经过定点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴分别相交于 ， 两点，
为坐标原点，动圆 在 的外部，且与直线 及两坐标轴的正半轴均相切，则 周长的最小
值是
A．3 B．5 C．10 D．12
10．（2023•平湖市模拟）已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存在点
，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•辽宁一模）设直线系 （其中 ， ， 均为参数， ， ，
， ，则下列命题中是真命题的是
A．当 ， 时，存在一个圆与直线系 中所有直线都相切
2B．存在 ， ，使直线系 中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C．当 时，坐标原点 到直线系 中所有直线的距离最大值为1，最小值为
D．当 ， 时，若存在一点 ，使其到直线系 中所有直线的距离不小于1，则
12．（2024•回忆版）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 的一部分，已知 过坐标
原点 ，且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则
A．
B．点 ， 在 上
C． 在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点 ， 在 上时，
13．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线 使这两组点
分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的距离的最
小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网
购文具的费用 （单位：百元）和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将 ， ，
和 为第Ⅰ组点．将 ， 和 归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直
线，记为 ．给出下列四个结论：
3①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300元，则小明的这两项网购花销的费用所对
应的点与第Ⅱ组点位于 的同侧；
④如果从第1组点中去掉点 ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
其中所有正确结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
14．（2023•深圳模拟）设直线系 ，下列命题中的真命题有
A． 中所有直线均经过一个定点
B．存在定点 不在 中的任一条直线上
C．对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D． 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
15．（2023•梅河口市校级三模）已知 ， ，点 满足 ，则
A．点 在以 为直径的圆上 B． 面积的最大值为
C．存在点 使得 D． 的最小值为
三．填空题（共6小题）
16．（2024•铜川一模）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边
塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强
的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．
诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边
4饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所
在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
“将军饮马” 的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
17．（2024•天河区校级模拟）直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 不与直线 垂直，且直线
和直线 夹角的角平分线的斜率为 ，则 的取值范围是 ．
18．（2024•新县校级模拟）已知动点 ， 分别在圆 和曲线 上，则
的最小值为 ．
19．（2024•沧州三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对
介质1的折射率．如图，一个折射率为 的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以 的入
射角从空气中射入点 ，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 ．
20．（2024•曲靖模拟）设 ， 是同一平面上的两个区域，点 ，点 ， ， 两点间距离
的最小值叫做区域 ， 间的距离，记作 ．若 ， ，
，则 ．
21．（2024•东阳市模拟）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到直线 距离的最小值
为 ．
四．解答题（共4小题）
522．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个
点 ， 和 ， ，记 ，称 为点 与点 之间的“
距离”，其中 ， 表示 ， 中较大者．
（1）计算点 和点 之间的“ 距离”；
（2）设 ， 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集
合叫做以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”，求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积；
（3）证明：对任意点 ， ， ， ， ， ， ．
23．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，
那么称 为 ， 两点间的曼哈顿距离．
（1）已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
（2）已知点 是直线 上的动点，点 与点 的曼哈顿距离 的最
小值记为 ，求 的最大值；
（3）已知点 ， ，点 ， ， ， ， 是自然对数的底），当 时， 的最
大值为 ，求 的最小值．
24．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系 中，定义 ， ， ， 两点间的“直角距离”
为 ．
（Ⅰ）填空：（直接写出结论）
6①若 ， ，则 ，B）＝_____；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_____；
③记到 ， 两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线 ，则曲线 所围成的封闭
图形的面积的值为_____；
（Ⅱ）设点 ，点 是直线 上的动点，求 的最小值及取得最小值时点 的坐
标；
（Ⅲ）对平面上给定的两个不同的点 ， ， ， ，是否存在点 ，同时满足下列两个条
件：
① ， ， ， ；
② ， ， ．
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．
25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别是 、
，点 是线段 上的动点．
（1）求 所在直线的一般式方程；
（2）当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程．
72025年菁优高考数学压轴训练16
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•葫芦岛模拟）光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过圆 上的
点 ，则该光线从点 到点 的路线长的最小值是
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】直线与圆；计算题；综合法；转化思想；数学运算
【分析】求出点 关于 轴的对称点 ，则最短路径的长为 减去圆的半径，计算求得结果．
【解答】解：由题意可得圆心 ，半径 ，
点 关于 轴的对称点 ，
所以 ，
该光线从点 到点 的路线长的最小值为 ．
故选： ．
8【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024•吉林模拟）过点 与圆 相切的两条直线夹角为 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题
【专题】直线与圆；对应思想；数学运算；综合法
【分析】先求圆心和半径，然后设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程，再根
据两直线的夹角公式即可求出．
【解答】解：如图，
化为标准方程为 ，圆心为 ，半径为1，
过点 与圆 相切的两条直线夹角为 ，设切线为 ，
则圆心 到切线 的距离 ，解得 或 ，
故切线为 或 ，即一条切线为 轴，如图，
所以 ，且易知 一定为第一象限角，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系及直线的斜率问题，属于中档题．
3．（2024•下陆区校级三模）已知在等腰直角三角形 中， ，点 在以 为圆心、2为
9半径的圆上，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两点间的距离公式
【专题】转化思想；数学运算；直线与圆；综合法
【分析】利用 ，得出 ，将 转化为 ，再利用三点共线时距
离最短解决．
【解答】解：如图所示，设圆 与 相交于点 ，取 的中点为 ，连接 ，则 ，
又 ， ， ， ，
则 ，即 、 、 三点共线时 最小，
又 ，
故选： ．
【点评】本题考查圆的有关性质，以及距离和最小问题，属于中档题．
4．（2024•襄城区校级模拟）已知点 是直线 和 的交点，
， ，且点 满足 恒成立．若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两点间的距离公式
【专题】综合法；转化思想；数学运算；直线与圆
10【分析】由 恒成立，结合 ，可得 ，再利用点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：设 ．由题可知直线 过定点 ， 过定点 ，且 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，
结合 ，可得 ，
即 ，
由题可知 ，
直线 的方程为 ，
所以坐标原点到直线 的距离为 ，
所以在直线 上存在两个点 ， 满足 ， ， 或 ， ， 共线，
所以 ，
即 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查轨迹方程及直线与圆的相关性质，属于中档题．
5．（2024•西乡塘区校级模拟）已知坐标原点在直线 上的射影为点 ， ，则为 ，
必然满足的关系是
A． B．
C． D．
【答案】
11【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【专题】综合法；直线与圆；计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理
【分析】首先求出直线所经过的定点 ，由射影的意义可得点 在以 为直径的圆上，进一步求出结果．
【解答】解：直线 ，故在该直线经过点 ，
由原点 到直线 上的射影点 得到： ，
则点 在以 为直径的圆上，
该圆的圆心为 ，半径为 ，
所以 ， 所满足的关系式为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：定点直线系，圆的方程，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2024•爱民区校级模拟）在直角坐标系 中，已知点 ， ， ，动点 满足线
段 的中点在曲线 上，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【考点】两点间的距离公式
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；计算题；数学运算；综合法
【分析】设 ，由题意求出 的轨迹方程，继而结合抛物线定义将 的最小值转化为
到直线 的距离，即可求得答案．
【解答】解：设 ，则 的中点坐标为 ，代入 ，可得 ，
故动点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
由于 ，故 在抛物线 内部，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，（抛物线的定义），
12故当且仅当 ， ， 三点共线时， 最小，即 最小，
最小值为点 到直线 的距离，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，属中档题．
7．（2024•青羊区校级模拟）在同一平面直角坐标系中， ， 分别是函数 和函数
图象上的动点，若对任意 ，则 最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两点间的距离公式
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；直线与圆
【分析】画出函数的图象，根据图象可知， 最小值为圆心到直线 的距离减去半径．
【解答】解：由 ，整理得 ，
即 在圆心 ，半径为1的半圆上．
13，
当且仅当 时，等号成立，
所以曲线 的一条切线为 ，
数形结合可知，当 ， 分别为对应切点，且 与两切线垂直时 取得最小值，
即 的最小值为圆心到直线 的距离减去半径，
即 的最小值为 ．
过圆心 与 垂直的直线方程 ，
与直线 平行的函数 的切线方程为 ，
，所以，当且仅当 即 时， 取到最小值．
综上所述， ．
故选： ．
【点评】本题考查了利用数形结合法求最值，考查了数形结合思想，属中档题．
148．（2024•赤峰模拟）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，
， 边上的中线 ， 相交于点 ，则直线 ， 的夹角为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】余弦定理；两直线的夹角与到角问题
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；解三角形
【分析】结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，利用向量的数量积公式，求解即可．
【解答】解： ， ，
，
即 ，
，
，
，
，
，
所以 与 夹角为 ．
故选： ．
【点评】本题考查解三角形，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于
中档题．
159．（2024•普陀区模拟）直线 经过定点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴分别相交于 ， 两点，
为坐标原点，动圆 在 的外部，且与直线 及两坐标轴的正半轴均相切，则 周长的最小
值是
A．3 B．5 C．10 D．12
【答案】
【考点】直线的截距式方程
【专题】数学运算；综合法；整体思想；直线与圆
【分析】先设动圆 的圆心 坐标为 ， ， ，结合直线与圆相切的性质可得
，当圆 与直线 相切于点 处时，圆 半径最小，结合两点间距离公式
即可求解．
【解答】解：设动圆 的圆心 坐标为 ，
即圆 半径 ，由题意 ，
设 ， ，圆 与直线 相切于点 ，则 ， ，
所以 ，即 的周长为 ，
所以 的周长最小即为圆 半径 最小，因为直线 过定点 ，
所以当圆 与直线 相切于点 处时，圆 半径最小，
此时 ，化简得 ，
则 或5，
当 时，圆心 在 内，不合题意；
当 时，即圆 半径的最小值为5， 周长的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，直线方程的应用，属于中档题．
10．（2023•平湖市模拟）已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存在点
16，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】两点间的距离公式
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算
【分析】利用直线和圆的位置关系建立不等量关系，进一步求出 的取值范围．
【解答】解：设点 ，由于 ，
所以 ，
整理得 ，
利用圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生
的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•辽宁一模）设直线系 （其中 ， ， 均为参数， ， ，
， ，则下列命题中是真命题的是
A．当 ， 时，存在一个圆与直线系 中所有直线都相切
B．存在 ， ，使直线系 中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C．当 时，坐标原点 到直线系 中所有直线的距离最大值为1，最小值为
D．当 ， 时，若存在一点 ，使其到直线系 中所有直线的距离不小于1，则
17【答案】
【考点】点到直线的距离公式；恒过定点的直线
【专题】数学运算；综合法；直线与圆；转化思想；计算题；逻辑推理
【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的位置以及恒成立问题的应用判断 、 、 、 的结论．
【解答】解：对于 ，当 ， 时，直线系方程为 ，原点到直线的距离
，此时圆 与直线系 中所有直线都相切，故 正确；
对于 ，当 时，直线系方程为 ，直线经过定点 ，当 ， ，
时，直线方程化为 ，显然不过第三象限，当 或 或 ，直线 ，也
不过第三象限，
所以直线不过第三象限，故 正确；
对于 ，当 时，直线系 为 ，原点到直线系 中所有直线的距离
，当 时，则直线系 为 ，则原点到直线的距离
，故 错误；
对于 ，当 ， 时，直线系 为 ，设 ， ，
故点 ，则点 到直线系 中所有直线的距离 ，
设 ，
故 ，解得 ，故 ，故 正确
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：点到直线的距离公式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能
18力，属于中档题．
12．（2024•回忆版）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 的一部分，已知 过坐标
原点 ，且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则
A．
B．点 ， 在 上
C． 在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点 ， 在 上时，
【答案】
【考点】点到直线的距离公式
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆
【分析】结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．
【解答】解： 对，因为 在曲线上，所以 到 的距离为 ，而 ，所以有 ，
，那么曲线的方程为 ，
对，因为代入 知满足方程；
错，因为 ，求导得 ，那么有 （2） ，
，
于是在 的左侧必存在一小区间 ， 可以取无限小的数）上满足 ，因此最大值一定大
于1；
19对，曲线的方程为 ，
可化为 ，
即 ，
因为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了点的轨迹方程，新定义问题，是中档题．
13．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系 中的两组点，如果存在一条直线 使这两组点
分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线 ，记所有的点到 的距离的最
小值为 ，约定： 越大，分类直线 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网
购文具的费用 （单位：百元）和网购图书的费用 （单位：百元）的情况如图所示，现将 ， ，
和 为第Ⅰ组点．将 ， 和 归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直
线，记为 ．给出下列四个结论：
①直线 比直线 的分类效果好；
②分类直线 的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300元，则小明的这两项网购花销的费用所对
应的点与第Ⅱ组点位于 的同侧；
④如果从第1组点中去掉点 ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 ．
20其中所有正确结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【考点】直线的一般式方程与直线的性质
【专题】直线与圆；定义法；转化思想；数学运算；逻辑推理；新定义
【分析】由图象写出对应点的坐标，结合题意，对题目中的命题真假性进行分析、判断正误即可．
【解答】解：由图象知， ， ， ， ， ， ， ；
对于①，当直线 为分类直线时， ，
当直线 为分类直线时， ，
所以直线 分类效果好，①错误；
对于②，由图知定位 的位置由 ， ， 确定，
所以直线 过点 ， ， 的外心，
设直线方程为 ，则由 ，解得 ，②正确；
对于③，当 到直线 的距离与 到 的距离相等时为 的临界值，此时点 在 的右侧，③正确；
对于④，去掉点 后，由 ，解得 ，这与原来 不同，所以④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了直线方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
14．（2023•深圳模拟）设直线系 ，下列命题中的真命题有
A． 中所有直线均经过一个定点
B．存在定点 不在 中的任一条直线上
C．对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D． 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
21【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；恒过定点的直线
【专题】综合法；直线与圆；数学抽象；方程思想
【分析】由点到直线的距离公式说明 的集合判断 ；举例说明 正确；由任意正 边形都有内切圆判
断 ；画图说明 错误．
【解答】解：点 到 中每条直线 的距离 ，
即 为圆 的全体切线组成的集合，则 中存在两条平行直线，故 错误；
点 不适合直线 ， 存在定点 不在 中的任一条直线上，故 正确；
对任意 、存在正 边形使其内切圆为圆 ，故 正确；
如图：
中边能组成两个大小不同的正三角形 和 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查恒过定点的直线，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．
15．（2023•梅河口市校级三模）已知 ， ，点 满足 ，则
A．点 在以 为直径的圆上 B． 面积的最大值为
C．存在点 使得 D． 的最小值为
【答案】
【考点】两点间的距离公式
【专题】转化思想；方程思想；数学运算；计算题；综合法；直线与圆
【分析】设 ，根据题意能求出点 的轨迹方程为 ，再求出以 为直径的圆
的圆心和半径，能判断 ；根据题意求出直线 的方程，再验证圆 的圆心在直线 的方程上，从而
得到点 到直线 的距离为圆 的半径时， 的面积最大，进而求解即可判断 ；根据
22，结合在直角三角形中， 角对应的直角边是斜边的一半，从而即可判断 ；设 ，
则 ，再结合余弦定理可得 ，从而能判断 ．
【解答】解：设 ，则 ， ，
， ，
化简得 ，
点 的轨迹方程是 ，
对于 ，以 为直径的圆的圆心为 ， ，半径为 ，故 错误；
对于 ，依题意可得直线 的方程为 ，即 ，
圆 的圆心 在直线 的方程上，
点 到直线 的距离为圆 的半径时， 的面积最大，
面积的最大值为 ，故 正确；
对于 ，由 ，在直角三角形中， 角对应的直角边是斜边的一半，
又 ，则点 在圆 内，
存在点 使得 ，此时 ，故 正确；
23对于 ，设 ，则 ，
由余弦定理有 ，
，
当 ，即 时，有 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查点的轨迹方程、圆、直线与圆的位置关系、余弦定理、两点间距离公式等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共6小题）
16．（2024•铜川一模）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边
塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强
的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．
诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边
饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所
在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
24“将军饮马” 的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】整体思想；直线与圆；综合法；数学运算
【分析】由题可知 ， 在 的同侧，设点 关于直线 的对称点为 ，然后
结合对称性可求．
【解答】解：由题可知 ， 在 的同侧，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，
解得 ， ，即 ，
将军从出发点到河边的路线所在直线即为 ，又 ，
所以直线 的方程为 ，
设将军在河边饮马的地点为 ，则 即为 与 的交点，
联立 ，解得 ， ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了点关于直线的对称性的应用，属于中档题．
17．（2024•天河区校级模拟）直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 不与直线 垂直，且直线
和直线 夹角的角平分线的斜率为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【考点】两直线的夹角与到角问题；直线的斜率
【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；直线与圆
25【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为 ，得到 中的三线合一，
即可求得 的取值范围．
【解答】解：由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点，
设 ， 分别交 于 ， ，角平分线交 于点 ，
所以 ， ，又因为直线 和直线 夹角的角平分线的斜率为 ，
所以直线 的斜率 ，
所以 ，则 ，
所以 为 中点．由三线合一可得 为以 为底边的等腰三角形，且 ，所以 ，
因为 ， 不垂直，所以 不是直角．
当 为锐角时，则 ， 夹角为 ，所以 ；
当 为钝角时，则 ， 夹角为 的补角， ， 夹角的角平分线为 轴，斜率不存在，故不符
合题意．
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了直线的斜率，直线的夹角问题，是中档题．
18．（2024•新县校级模拟）已知动点 ， 分别在圆 和曲线 上，则
的最小值为 ．
26【答案】 ．
【考点】两点间的距离公式
【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆
【分析】设 ，则 ，得出圆心轨迹为 ，由函数 与函数 的图象关于直线
对称，结合导数的几何意义可得 的最小值为 ，进而确定 的最小值．
【解答】解：因为圆 ，
设 ，则 ，
所以 ，
即圆心 在曲线 上运动，
易知，函数 与函数的图象 关于直线 对称，
而曲线 与直线 相切于点 ，曲线 与直线 相切于点 ，
所以 的最小值为 ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查切线的应用，属于中档题．
19．（2024•沧州三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对
介质1的折射率．如图，一个折射率为 的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以 的入
射 角 从 空 气 中 射 入 点 ， 该 光 线 再 次 返 回 空 气 中 时 ， 其 所 在 直 线 的 方 程 为
．
27【答案】 ．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【专题】综合法；直线与圆；计算题；转化思想；数学运算
【分析】根据折射定律求解折射角的正弦，进而求得直线斜率和经过的点 ，得到直线方程．
【解答】解：如图，入射角 ，
，
，
．
易知 ， ．
该光线再次返回空气中时，其所在直线的斜率为 ．
直线的方程为 ，
整理得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要是考查了光的折射，解答此类题目的关键是弄清楚光的传播情况，画出光路图，通过
光路图根据几何关系、折射定律进行分析，是中档题．
20．（2024•曲靖模拟）设 ， 是同一平面上的两个区域，点 ，点 ， ， 两点间距离
的最小值叫做区域 ， 间的距离，记作 ．若 ， ，
28，则 ．
【答案】 ．
【考点】两点间的距离公式
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】方法一： 表示函数 图象上的动点 与函数 图象上动点 的
距离的最小值，利用互为反函数和点到直线的距离和构造函数的最小值，即 ．
方法二：函数 与 互为反函数，函数 图象上任意点与 图象上任意点之间的最小值
恰好等于点 与 之间的距离，再平移后求解最小值．
【解答】解：方法一： 表示函数 图象上的动点 与函数 图象上动点
的距离的最小值，即 ．
由 ，得 ，所以 ，互换 ， 得 ，
因此 与 互为反函数，
它们的图象关于直线 对称，
则 恰好等于函数 图象上的动点 到直线 的距离的最小值的2倍．
点 到直线 的距离 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
29所以 ，所以 ．
方法二：函数 与 互为反函数，
函数 图象上任意点与 图象上任意点之间的最小值恰好等于点 与 之间的距离，
图象向上平移2024个单位得到 的图象，
图象向右平移2024个单位得到 的图象．
从而 就等于点 与点 的距离，故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了新定义题的解法与应用问题，是中档题．
21．（2024•东阳市模拟）已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到直线 距离的最小值
为 1 ．
【答案】1．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式
【专题】计算题；数学运算；综合法；逻辑推理；转化思想；直线与圆
【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可．
【解答】解：由题意知，半径为1的圆经过点 ，所以圆心的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，
到直线 的距离为 ，
所以圆心到直线 距离的最小值为 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查的知识点：圆的方程，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
22．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个
点 ， 和 ， ，记 ，称 为点 与点 之间的“
30距离”，其中 ， 表示 ， 中较大者．
（1）计算点 和点 之间的“ 距离”；
（2）设 ， 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集
合叫做以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”，求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积；
（3）证明：对任意点 ， ， ， ， ， ， ．
【答案】（1） ；
（2） 圆的面积为4；
（3）证明见解析．
【考点】两点间的距离公式
【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想
【分析】（1）直接根据“ 距离”的定义代入数据求解即可；
（2）根据“ 距离”，“ 圆”的定义，求出圆的半径，即可求得圆的面积；
（3）根据“ 距离”的定义，代入化简，结合绝对值不等式证明即可．
【解答】解：（1）由题中“ 距离”的定义可得 ，
（2）设 是以原点 为圆心，以 为半径的 圆上任一点，则 ，
若 ，则 ， ；
若 ，则有 ， ，
作出图像如下：
31以原点 为圆心，以 为半径的 圆为一个正方形，边长为2，面积为4；
（3）证明：考虑函数 ，
求导可得 ，
所以函数 在区间 ， 上单调递增．
又 由 绝 对 值 不 等 式 ， 可 得
，
当且仅当 时，不等式取等，
同理有 ，不妨设 ，
则 ， ，
，
故不等式成立．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，新定义问题，绝对值不等式，是中档题．
23．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，
那么称 为 ， 两点间的曼哈顿距离．
32（1）已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
（2）已知点 是直线 上的动点，点 与点 的曼哈顿距离 的最
小值记为 ，求 的最大值；
（3）已知点 ， ，点 ， ， ， ， 是自然对数的底），当 时， 的最
大值为 ，求 的最小值．
【答案】（1） 的最小值为2， 的最小值为1；
（2）5；
（3） ．
【考点】两点间的距离公式
【专题】计算题；数学运算；综合法；函数的性质及应用；整体思想
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到 ，从而得到 的最大值；
（3）根据题意，令 ，然后分别构造函数 ， ， ， 即可得
到 ，从而得到结果．
【解答】解：（1） ，
则 ，即 的最小值为2；
33，
则 ，即 的最小值为1；
（2）当 时， ，
点 为直线 上一动点，
则当 时， ，
即 ；
当 时， ，
即 ；
所以 ，又当 时， ，
当 时， ，
所以 的最大值为5；
（3）令 ，则 ， ，
， ，
令 ， ，则 在区间 ， 内成立，
则 在区间 ， 内单调递增，则 ，
令 ， ，则 在区间 ， 内成立，
则 在区间 ， 内单调递减，则 （e） （1） ，
34所以 ，
所以 ，
当 且 时，取最小值，
的最小值 ．
【点评】本题考查了新概念问题，属于难题．
24．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系 中，定义 ， ， ， 两点间的“直角距离”
为 ．
（Ⅰ）填空：（直接写出结论）
①若 ， ，则 ，B）＝_____；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_____；
③记到 ， 两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线 ，则曲线 所围成的封闭
图形的面积的值为_____；
（Ⅱ）设点 ，点 是直线 上的动点，求 的最小值及取得最小值时点 的坐
标；
（Ⅲ）对平面上给定的两个不同的点 ， ， ， ，是否存在点 ，同时满足下列两个条
件：
① ， ， ， ；
② ， ， ．
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．
【答案】见解答．
【考点】两点间的距离公式
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；分类讨论
35【分析】（Ⅰ）对于①②③利用 ，代入即可，再结合方程画出图像求面积；
（Ⅱ）设 点的坐标，代入 ．利用绝对值性质求最值．（Ⅲ）分三种情况结
合绝对值性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）填空：① ； ② 即 ；
③因为 ， 所以 ，
如图：
即封闭图形的面积时一个正方形与两个全等的三角形面积之和，即 ；
（Ⅱ）因为点 为直线 上的动点，
故可设点 的坐标为 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 此时点 的坐标为 ，
因为点 为直线 上的动点，故可设点 的坐标为 ，则 ，
①当 时， 当且仅当 时取得等号；
②当 ． ，当且仅当 时取得等
号；
③当 时 ，当且仅当 时取得等
36号；
综上，当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 此时点 的坐标为 ．
（Ⅲ）注意到点 ， 与点 ， 不同，下面分三种情况讨论：
（1）若 ，则 ，由条件②得 ，
即 所以 ，
由条件①得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因此，所求的点 为 ；
（2）若 则 类似于前证，可得符合条件的点 为 ；
（3）若 且 时，不妨设 ，
由条件①得 ， ，
，
当且仅当 与 同时成立时取等号，
即当且仅当 与 同时成立时条件①成立， 若 时，则由上述证明
可知，要使条件①成立，则有 ，
从而由条件②得 ，
因此所求点 的集合为 ，
若 时，类似地由条件①可得 且 ，
37从而由条件②得 ，
因此所求点 的集合为 ．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别是 、
，点 是线段 上的动点．
（1）求 所在直线的一般式方程；
（2）当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；与直线有关的动点轨迹方程
【专题】计算题；转化思想
【分析】（1）求出 所在直线的向量，然后求出 所在的直线方程；
（2）设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ，利用平行四边形，推出 与 坐标关系，利用
当 在线段 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程．
【解答】（本小题满分10分）
解：（1） ， 所在直线的斜率为： ．
所在直线方程是 ，即 ．
（2）：设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ，
由平行四边形的性质得点 的坐标是 ，
是线段 的中点， ， ，
38于是有 ， ，
点 在线段 上运动，
， ，
即 ， ．
【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．
39考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
2．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角
40形的 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
问题
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
3．直线的斜率
【知识点的认识】
1．定义：当直线倾斜角 ≠ 时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝
tan ． α
2．α斜率的求法
（1）定义：k＝tan （ ≠ ）
α α
41（2）斜率公式：k＝ ．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0， ），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而π斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当 ≠ 时，k＝tan ；当 ＝ 时，斜率不存在；
α α α
②根据正切函数k＝tan 的单调性：当 [0， ）时，k＞0且随 的增大而增大，当 （ ， ）时，
k＜0且随 的增大而增大α． α∈ α α∈ π
【解题方法α点拨】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线
倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现
是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
4．直线的截距式方程
【知识点的认识】
直线的截距式方程：
若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截
距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式： 可推得直线的斜截距方程为： ．
#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．
5．直线的一般式方程与直线的性质
【知识点的认识】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的
一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l 、l ，其斜率分别为k 、k ，有：
1 2 1 2
（1）l ∥l k ＝k ；（2）l ⊥l k •k ＝﹣1．
1 2 1 2 1 2 1 2
⇔ ⇔
422、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式
方程y＝﹣ x﹣ ，表示斜率为﹣ ，y轴上截距为﹣ 的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C ＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直
1
线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C ＝0．
1
（3）已知直线l ，l 的方程分别是：l ：A x+B y+C ＝0（A ，B 不同时为0），l ：A x+B y+C ＝0（A ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
2
①l ⊥l A A +B B ＝0；
1 2 1 2 1 2
②l
1
∥l 2⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
≠0；
③l
1
与l⇔2 重合 A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
＝0；
④l
1
与l
2
相交⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
≠0．
⇔
如果A B C ≠0时，则l ∥l ；l 与l 重合 ；l 与l 相交 ．
2 2 2 1 2 1 2 1 2
6．直线的一般式方程与直线⇔的垂直关系 ⇔ ⇔
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l 、l ，其斜率分别为k 、k ，有：
1 2 1 2
（1）l ∥l k ＝k ；（2）l ∥l k •k ＝﹣1．
1 2 1 2 1 2 1 2
2、直线的一⇔般式方程： ⇔
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式
方程y＝﹣ x﹣ ，表示斜率为﹣ ，y轴上截距为﹣ 的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C ＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直
1
线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C ＝0．
1
（3）已知直线l ，l 的方程分别是：l ：A x+B y+C ＝0（A ，B 不同时为0），l ：A x+B y+C ＝0（A ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
2
①l ⊥l A A +B B ＝0；
1 2 1 2 1 2
②l
1
∥l 2⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
≠0；
③l
1
与l⇔2 重合 A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
＝0；
④l
1
与l
2
相交⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
≠0．
⇔
43如果A B C ≠0时，则l ∥l ；l 与l 重合 ；l 与l 相交 ．
2 2 2 1 2 1 2 1 2
7．恒过定点的直线 ⇔ ⇔ ⇔
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x ，y ）的方程形式为：
1 1
a（x﹣x ）+b（y﹣y ）＝0
1 1
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x ，y ）代入直线方程．
1 1
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x ）+b（y﹣y ）＝0
1 1
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
8．与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的认识】
﹣对称直线：
﹣点对称：直线l关于点（x ，y ）的对称直线方程为：
0 0
﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．
【解题方法点拨】
﹣求对称直线方程：
1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程．
2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程．
【命题方向】
﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程．
9．两点间的距离公式
44【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x ，y ）和（x ，y ）之间的距离由公式：
1 1 2 2
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
【命题方向】
﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现．
10．点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x ，y ）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
0 0
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．
2．计算绝对值：计算Ax +By +C的绝对值．
0 0
3．计算模：计算法向量的模 ．
4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．
11．两直线的夹角与到角问题
【知识点的认识】
﹣夹角：两条直线的夹角 可以由斜率k 和k 计算：
1 2
θ
45﹣斜率k的计算方法是将直线方程Ax+By+C＝0转换为y＝kx+b的形式．
【解题方法点拨】
﹣计算夹角：
1．求斜率：从直线方程中提取斜率．
2．应用夹角公式：计算斜率差和斜率积，求出夹角的正切值．
3．计算夹角：用反正切函数得到角度．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何利用直线方程计算两直线间的夹角，可能涉及角度转换和三角函数应用．
12．与直线有关的动点轨迹方程
【知识点的认识】
﹣动点轨迹：动点P（x，y）满足一定条件（如到定点距离等于常数）的轨迹方程．常见轨迹包括直线、
圆等．
【解题方法点拨】
﹣求轨迹方程：
1．分析条件：将动点的条件转化为方程．
2．转换方程：将几何条件转化为坐标方程，如点到直线的距离或点到点的距离等于常数．
3．求解方程：通过代数方法或几何方法得到轨迹方程．
【命题方向】
﹣动点轨迹：考查如何从动点条件推导出轨迹方程，常涉及几何图形的方程构建．
13．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切
线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，
继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交
46点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【解题方法点拨】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r＝ ．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1 ，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝ ＝ ，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照
着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即 ＝2，
解得：k＝ ，
此时切线的方程为y﹣5＝ （x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以
后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【命题方向】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
14．直线与圆的位置关系
47【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由 消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:33:51；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
48
