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2025年菁优高考数学压轴训练17
一．选择题（共10小题）
1．（2024•西城区校级模拟）已知直线 ，圆 ，若直线 上存在两点
， ，圆 上存在点 ，使得 ，且 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2024•达州模拟）如图， 与 轴交于点 ， ， 是 上第一象限内的点， ，
分别在射线 ， 上， 交 轴于点 ．若直线 的方程为 ， 是线段 中点，则直线
的方程为
A． B． C． D．
3．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两
点距离的比为常数 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 ， ，
动点 满足 ，若点 的轨迹与圆 有且仅有三条公切线，
则
A． B．1 C．2 D．3
4．（2024•青原区校级模拟）已知圆 及点 ，则下列说法正确的是
1A．直线 与圆 始终有两个交点
B．若 是圆 上任一点，则 的取值范围为
C．若点 在圆 上，则直线 的斜率为
D．圆 与 轴相切
5．（2024•山东模拟）已知直线 和曲线 有公共点，则实数 的取
值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（2024•庐阳区校级模拟）已知两个不同的圆 ， 均过定点 ，且圆 ， 均与 轴、 轴
相切，则圆 与圆 的半径之积为
A． B． C． D．
7．（2024•怀仁市校级四模）已知点 为直线 与直线
的交点，点 为圆 上的动点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
8．（2024•中山市校级模拟）过直线 上一点 作 的两条切线，切点
分别为 ， ，若使得 的点 有两个，则实数 的取值范围为
A． B． C． 或 D． 或
9．（2024•乐山三模）已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过
作圆 的切线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为
2A． B． C． D．
10．（2024•东莞市校级一模）若直线 与圆 及圆 共有3个公共
点，则所有符合条件的 的和为
A．0 B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•禅城区校级模拟）如图， ， ， ， ，弧 是以 为直径的圆上
的一段圆弧，弧 是以 为直径的圆上的一段圆弧，弧 是以 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧
构成曲线 ，则下述正确的是
A．曲线 与 轴围成的图形的面积等于
B．曲线 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧 所在圆的方程为
D．弧 与弧 的公切线方程为
12．（2024•金安区校级模拟）已知圆 ，点 是圆 上的一点，则下列说法正
确的是
A．圆 关于直线 对称
B．已知 ， ，则 的最小值为
3C． 的最小值为
D． 的最大值为
13 ． （ 2024• 靖 远 县 校 级 模 拟 ） 如 图 ， 有 一 组 圆 都 内 切 于 点 ， 圆
，设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，若 ，则下列
结论正确的是
A．圆 的圆心都在直线 上
B．圆 的方程为
C．若圆 与 轴有交点，则
D．设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，则
14．（2024•江西模拟）设圆 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作
圆 的两条切线 、 ，切点为 、 ， 、 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有
A． 的取值范围为 ，
B．四边形 面积的最大值为
C．满足 的点 有两个
D． 的面积最大值为
415．（2024•日照模拟）已知 ， ， ， 是曲线 上不同的
两点， 为坐标原点，则
A． 的最小值为3
B．
C．若直线 与曲线 有公共点，则
D．对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直
三．填空题（共5小题）
16．（2024•和平区模拟）已知圆 以点 为圆心，且与直线 相切，则满足以上
条件的圆 的半径最大时，圆 的标准方程为 ．
17．（2024•天津模拟）设直线 和圆 相交于 ， 两点，
若 ，则实数 ．
18．（2024•保定二模）已知点 为圆 上位于第一象限内的点，过点 作圆
的两条切线 ， ，切点分别为 、 ，直线 ， 分
别交 轴于 ， 两点，则 ， ．
19．（2024•洪山区校级模拟）已知点 ， ，点 是坐标原点，点 是圆
上的动点，则 的最大值为 ．
20．（2024•龙岗区校级模拟）已知点 为圆 上的动点，过圆心作直线 垂直于
轴交点为 ，点 为 关于 轴的对称点，动点 满足到 点与到 的距离始终相等，记动点 到 轴
5距离为 ，则 的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•黑龙江模拟）已知圆 ， ．
（1）证明：圆 过定点；
（2）当 时，点 为直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求四
边形 面积最小值，并写出此时直线 的方程．
22．（2024•自贡二模）已知圆 与直线 相交于点 ， ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）设 是直线 上，圆 外的任意一点，过 点作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求证：经
过 ， 两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．
23．（2024•苏州三模）已知圆 ，直线 ，直线 和圆交于 ， 两点，过
， 分别作直线 的垂线，垂足为 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求四边形 的面积取最大值时，对应实数 的值；
（3）若直线 和直线 交于点 ，问是否存在实数 ，使得点 在一条平行于 轴的直线上？若存
在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
24．（2024•徐州模拟）将圆 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），
所得曲线为 ．记 ， ，过点 的直线与 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 分
别交于点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当 时：
求 的值；
若 有最大值，求 的取值范围．
625．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线 与圆 交于 ， 两点，
过点 的直线 与圆 交于 ， 两点．
（1）若直线 垂直平分弦 ，求实数 的值；
（2）已知点 ，在直线 上 为圆心），存在定点 （异于点 ，满足：对于圆 上任一点
，都有 为同一常数，试求所有满足条件的点 的坐标及该常数．
72025年菁优高考数学压轴训练17
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•西城区校级模拟）已知直线 ，圆 ，若直线 上存在两点
， ，圆 上存在点 ，使得 ，且 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】直线与圆；数形结合；转化思想；综合法；数学运算
【分析】判断求解 的最小值，利用数形结合，转化求解即可．
【解答】解：圆 ，圆心为： ，半径为 ，
直线 上存在两点 ， ，圆 上存在点 ，使得 ，且 ，则 在以 为直径的圆上．
如图：
也在圆 上，圆 到直线距离的最小值为2，此时，如图红色的圆的半径为1，即 的最小
值为1，
的取值范围是： ， ．
故选： ．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题．
82．（2024•达州模拟）如图， 与 轴交于点 ， ， 是 上第一象限内的点， ，
分别在射线 ， 上， 交 轴于点 ．若直线 的方程为 ， 是线段 中点，则直线
的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的性质
【专题】综合法；数学运算；直线与圆；转化思想；计算题
【分析】先设出点 ，求出直线 ， 的方程，与直线 ，联立解出 ， 两点，再根据
是线段 中点，即可解出 ， ，得到 点坐标，即可求出直线 的方程．
【解答】解：由题意可得， 与 轴交于点 ， ，
设 ， ，则 ，
直线 的方程为 ，令 ，的 ，即 ，
直线 的方程为 ，令 ，的 ，即 ，
交 轴于点 ．直线 的方程为 ，可得 ，
又 是线段 中点，可得 ， ，解得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， ，
9所以 的直线方程为 ，
即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题，是中档题．
3．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两
点距离的比为常数 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 ， ，
动点 满足 ，若点 的轨迹与圆 有且仅有三条公切线，
则
A． B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算
【分析】设 ，应用两点距离公式和已知条件求得动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
再由公切线的条数判断位置关系，结合圆心距与半径的关系即可．
【解答】解：设 ，则 ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
而圆 可化为 的圆心为 ，半径为 ，
点 的轨迹与圆 有且仅有三条公切线，
点 的轨迹与圆 外切，
由于 和 的距离 ，
10则 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
4．（2024•青原区校级模拟）已知圆 及点 ，则下列说法正确的是
A．直线 与圆 始终有两个交点
B．若 是圆 上任一点，则 的取值范围为
C．若点 在圆 上，则直线 的斜率为
D．圆 与 轴相切
【答案】
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
【专题】综合法；转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；直线与圆
【分析】根据题意分别求出圆心 ，半径 ，由直线 过定点 可对 判断；
利用圆外一点到圆上距离知识可对 判断；由 在圆上可求得 ，即可对 判断；根据圆心
到 轴的距离从而可对 判断．
【解答】解：依题意，圆 ：圆 ，
整理得： ，
故圆心 ，半径 ，
对于 ，直线 ，整理得： ，故该直线恒过定点 ，
而点 在圆 外，
则过点 的直线与圆 可能相离，故 不正确；
对于 ， ，点 在圆 外，由 得： ，故 正确．
11对于 ，点 在圆 上，则 ，解得 ，而点 ，
则直线 的斜率为 ，故 不正确；
对于 ，点 到 轴距离为7，大于圆 的半径，则圆 与 轴相离，即圆 与 轴不相切，故
不正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：点和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考
查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5．（2024•山东模拟）已知直线 和曲线 有公共点，则实数 的取
值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】将曲线 化为 ，若直线与曲线有交点，则由图
可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可．
【解答】解：因为 ，所以直线 恒过定点 ，
曲线 化简即为 ，如图所示：
由图可知，若直线 与曲线 有交点，则直线介于 与 之间即可，
12由圆心 到直线 的距离等于半径得 ，
整理得： ，解得 或 （舍 ，
同理，由圆心 到直线 的距离等于半径得 ，
整理得 ，解得 （舍 或 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
6．（2024•庐阳区校级模拟）已知两个不同的圆 ， 均过定点 ，且圆 ， 均与 轴、 轴
相切，则圆 与圆 的半径之积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用
【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想；方程思想
【分析】根据题意，按点 的位置分2种情况讨论，分析 的值，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①点 不在坐标轴上，即点 在某个象限内；
若点 在第一象限时，圆 ， 的方程为 的形式，
代入点 的坐标，可得关于 的方程 ，
此时圆 ， 的半径 ， 是该方程的两个不同实根，所以 ，
同理，当点 在第二、三、四象限时也可得 ；
②点 在坐标轴上；
当点 在 轴上时， ，此时圆 ， 的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在
13点处相切，且 ，满足 ，
同理，当点 在 轴上时， ，同样满足 ，
综合可得： ．
故选： ．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆与圆的位置关系，属于中档题．
7．（2024•怀仁市校级四模）已知点 为直线 与直线
的交点，点 为圆 上的动点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解
【分析】先求出点 的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出 的取值范围．
【解答】解：因为点 为直线 与直线 的交点，
所以由 可得 ，且 过定点 ， 过定点 ，
所以点 的轨迹是以点 与点 为直径端点的圆，
圆心为 ，半径 ，
所以圆 且 ．
而圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两个圆心的距离 ，且 ，所以两圆相离，
所以 的最大值为： ， 的最小值为： （取不到），
所以 的取值范围是 ， ．
14故选： ．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，是中档题．
8．（2024•中山市校级模拟）过直线 上一点 作 的两条切线，切点
分别为 ， ，若使得 的点 有两个，则实数 的取值范围为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆
【分析】由题意结合点到直线的距离公式列式求解 的取值范围．
【解答】解：由 ， ， ，
当 时，
，
使得 的点 有两个
则以 为圆心， 为半径的圆与直线 有两个交点，
则 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查切线长定理和点到直线的距离公式的运用，考查化简运算
能力，属于中档题．
9．（2024•乐山三模）已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过
作圆 的切线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
15【考点】圆上的点到定点的距离及其最值
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；直线与圆
【分析】设动点 ，利用三角形相似求出点 的坐标，然后代入直线 的方程，得到点 的轨迹方
程为圆，转化为圆上的点到定点距离的最值进行求解即可．
【解答】解：设 ，
解：设 ，由 ，可得 ，
故 ，所以点 ， ，
将点 的坐标代入直线 ，
化简可得 ， 不同时为 ，
故点 的轨迹是以 为圆心， 为直径的圆，所以 的最小值即为点到圆心的距离减去半径，
故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：
直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
10．（2024•东莞市校级一模）若直线 与圆 及圆 共有3个公共
点，则所有符合条件的 的和为
16A．0 B． C． D．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；直线与圆；数学运算；计算题；转化思想
【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点．
【解答】解：由 ，可得圆心 ，半径
由 ，可得 ，圆心 ，半径 ，
所以 ， ，故两圆相交，
直线 与圆 及圆 共有3个公共点，
情形一，与圆 在下方相切时，则 ，得 ，
情形二，与圆 在上方相切时，则 ，得 ，
情形三，过两圆的交点时，
两圆相减得 ，代入圆 得： ，
则两交点分别为 ，代入直线 ，
得 ，或
则所有符合条件的 的和为 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
二．多选题（共5小题）
1711．（2024•禅城区校级模拟）如图， ， ， ， ，弧 是以 为直径的圆上
的一段圆弧，弧 是以 为直径的圆上的一段圆弧，弧 是以 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧
构成曲线 ，则下述正确的是
A．曲线 与 轴围成的图形的面积等于
B．曲线 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧 所在圆的方程为
D．弧 与弧 的公切线方程为
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆；运算求解
【分析】分别求得以 、 和 为直径的圆的圆心和半径，结合图形和圆的面积、矩形的面积公式
可判断 ；求得曲线上的整点可判断 ；由图求得方程可判断 ，设 与 的公切线方程为
，由直线和圆相切的条件： ，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求方程，
可判断 ．
【解答】解：可设以 为直径的圆的圆心为 ，半径为1；以 为直径的圆的圆心为 ，半径为1；
以 为直径的圆的圆心为 ，半径为1；
对于 ：曲线 与 轴围成的图形为以 为直径的半圆和 2个 的圆弧 和圆弧 ，加上矩形
，
其面积为 ，故 错误；
18对于 ：曲线 上的整点为 ， ， ， ， ，共5个，故 正确；
对于 所在圆的方程 ，故 正确；
对于 ， 所在圆的方程 ，与 所在圆的方程 ，设 与 的公切线
方程为 ，
由直线和圆相切的条件可得 ，解得 ， 舍去），
则其公切线方程为 ，即 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆相切的条件，考查点到直线的距离公式的应用，考查
数形结合思想和方程思想、运算能力，属于中档题．
12．（2024•金安区校级模拟）已知圆 ，点 是圆 上的一点，则下列说法正
确的是
A．圆 关于直线 对称
B．已知 ， ，则 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最大值为
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
19【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；直线与圆
【分析】利用圆心在直线上，即可判断选项 ，利用三角代换即可判断选项 ， ，利用圆上点与定点
连线的斜率的几何意义，即可判断选项 ．
【解答】解：圆 ，可化为 ，圆心 ，半径3，
．显然直线 过点 ，其为圆 的圆心，因此圆 关于直线 对称，因此选
项 正确．
．点 是圆 上的一点，有 ，设 ， ．
， ，则
，因此选项 正确．
，因此选项 错误．
． ， 理解成点 与点 连线的斜率，
取最大时，即为过点 的直线与圆 相切时，直线的斜率，
故设过点 的直线为 ，即 ，
圆心到 的距离 ，解得 或 （舍去），
即 的最大值为 ，因此选项 正确．
故选： ．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与圆位置关系的应用，与圆有关的最值问题，点到
直线距离公式的理解与应用，圆的方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档
题．
13 ． （ 2024• 靖 远 县 校 级 模 拟 ） 如 图 ， 有 一 组 圆 都 内 切 于 点 ， 圆
，设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，若 ，则下列
20结论正确的是
A．圆 的圆心都在直线 上
B．圆 的方程为
C．若圆 与 轴有交点，则
D．设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，则
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【专题】直线与圆；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】求出连心线所在直线方程判断 ；求出圆 的方程判断 ；求出圆 的圆心到 轴的距离，结
合直线与圆相交判断 ；求出点 的纵坐标判断 ．
【解答】解：圆 的圆心 ，直线 的方程为 ，即 ，
由两圆内切连心线必过切点，得圆 的圆心都在直线 上，
即圆 的圆心都在直线 上， 正确；
显然 ，设点 ， ，
则 ，而 ，解得 ， ，
因此圆 的圆心 ， ，半径为 ，
21圆 的方程为 ，
则圆 的方程为 ， 正确；
圆 的圆心到 轴距离为 ，若圆 与 轴有交点，
则 ，解得 ，而 ，因此 ， 错误；
在 中，令 ，得点 的纵坐标为 ，
因此 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
14．（2024•江西模拟）设圆 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作
圆 的两条切线 、 ，切点为 、 ， 、 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有
A． 的取值范围为 ，
B．四边形 面积的最大值为
C．满足 的点 有两个
D． 的面积最大值为
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题
【分析】根据切线长公式即可求解 ， ， ，根据三角形的面积公式可求解 ．
【解答】解：圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，因为圆的半径为 ，
根据切线长公式可得 ，
22当 时取得等号，所以 的取值范围为 ， ，故 正确；
因为 ，所以四边形 的面积等于 ，
四边形 的最小值为 ，故 错误；
因为 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，所以 ，
设 ，因为 ，
整理得 ，
则有△ ，所以满足条件的点 有两个，故 正确；
因为 ，
所以当 ，即 ，面积有最大值为 ，
此时四边形 为正方形，则 ，满足要求，故 错误，
故选： ．
【点评】本题考查切线长定理，考查三角形的面积，考查两点间的距离公式，属中档题．
15．（2024•日照模拟）已知 ， ， ， 是曲线 上不同的
两点， 为坐标原点，则
A． 的最小值为3
B．
C．若直线 与曲线 有公共点，则
D．对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直
【答案】
23【考点】直线与圆的位置关系
【专题】解题思想；能力层次；综合题；解题方法；高考数学专题；数学运算；方程思想
【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定 ，根据几何意义判断 ，根据直线
与椭圆的位置关系判断 ，根据图形特征以及切线概念判断 ．
【解答】解：因为 ，
所以①当 时，曲线 的方程为： ，即 ，
此时 ，所以 ，解得 ，则此时 ，
所以曲线 是上半椭圆；
②当 时，曲线 的方程为： ，
即 ，
将 代入 ，解得 或 ，则此时 ，
曲线 是以 为圆心，2为半径的圆在 轴下侧的部分，
作出曲线的图形如下：
选项 ：当 时， ，当 时取最小值3，
当 时， ，当 时取最小值1，则 的最小值为1，故 错
误；
选项 ：因为 表示点 ， 与点 和点 的距离之和，
24当 时，点 和点 为椭圆 的焦点，
由椭圆定义可知 ，
当 时 ， 点 为 圆 的 圆 心 ， 点 在 圆 上 ， 所 以
，
当点 在 或 时 最大，且为2，所以 ，故
正确；
选项 ：直线 过定点 ，当直线经过 或 时，直线斜率 ，
联立 ，化简得 ，因直线 与曲线 有公共点，即△
，解得 或 ，
所以直线 与曲线 有公共点时 ，故 正确；
选项 ：当点 在椭圆上时，对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，则曲线 在点 处的切线斜率
可以取任何非零正实数，
曲线 在 轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数，
同理，当点 在圆上时，对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，
则曲线 在点 处的切线斜率可以取任何非零负实数，曲线 在 轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任
何非零正实数，使得两切线斜率为负倒数，
所以对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查解析几何的综合问题，属中档题．
三．填空题（共5小题）
2516．（2024•和平区模拟）已知圆 以点 为圆心，且与直线 相切，则满足以上
条件的圆 的半径最大时，圆 的标准方程为 ．
【答案】 ．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程
【专题】计算题；转化思想；直线与圆；综合法；数学运算
【分析】确定直线过定点，可得最大半径，求出所求圆的标准方程，即可得出结论．
【解答】解：直线 ，可化为 ，
且 ，
， ，
直线过定点 ，
当圆 半径最大时，半径 ，
所求圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（2024•天津模拟）设直线 和圆 相交于 ， 两点，
若 ，则实数 ．
【答案】 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与圆的位置关系
【专题】综合法；直线与圆；数学运算；转化思想；计算题
【分析】由已知可得 为等腰直角三角形，然后求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式
列式求得 值．
【解答】解：圆 的标准方程为 ，
26圆 的圆心坐标为 ，半径为 ．
，
，
为等腰直角三角形，
圆心 到直线 的距离为 ，即 ，
即 ，整理得 ，解得 （舍 或 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是中档题．
18．（2024•保定二模）已知点 为圆 上位于第一象限内的点，过点 作圆
的两条切线 ， ，切点分别为 、 ，直线 ， 分
别交 轴于 ， 两点，则 2 ， ．
【答案】2； ．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】转化思想；数学运算；转化法；直线与圆
【分析】设 ， 直接计算可得 ，由角平分线定理可得 ，由此求出 ，得出 点
坐标，再由直角三角形求出 点坐标即可得解．
【解答】解：圆 的标准方程为 ，圆心 ，
则 为 的角平分线，所以 ．
设 ， ，则 ，
27所以 ，则 ，
即 ，解得 ，则 ，
所以点 与 重合，
此时 ， ，可得 ，
所以 ．
故答案为：2； ．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
19．（2024•洪山区校级模拟）已知点 ， ，点 是坐标原点，点 是圆
上的动点，则 的最大值为 4 ．
【答案】4．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆；数形结合
【分析】根据题意，得到点 ，可得点 在直线 上的动点，把 的最大值转
化为 ，结合对称法和圆的性质求最值，即可求解．
【解答】解：由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
又由点 ，可得点 在直线 上的动点，
因为点 是坐标原点，点 是圆 上的动点，
则 ，
如图所示，设点 关于直线 的对称点为 ， ，
28可得 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与直线 的交点为 ，
则直线 的方程为 ，联立方程组 ，解得 ， ，
即 ，则 ，
当点 与 重合时，此时 ，则 ，
此时 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即 的最大值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
20．（2024•龙岗区校级模拟）已知点 为圆 上的动点，过圆心作直线 垂直于
轴交点为 ，点 为 关于 轴的对称点，动点 满足到 点与到 的距离始终相等，记动点 到 轴
距离为 ，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直观想象；数学运算
【分析】由已知画出图形，由抛物线定义可得 的轨迹方程，求出 ，数形结合可得 的最小
值．
29【解答】解：圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
轴， ，
又点 为 关于 轴的对称点， ，
到 与直线 的距离相等， 点 的轨迹方程为 ，
如图，由抛物线定义可知， ，则 ，
，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，
而 ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查轨迹方程的请求法，考查化归与转化、数形结合思想，
考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•黑龙江模拟）已知圆 ， ．
（1）证明：圆 过定点；
（2）当 时，点 为直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求四
边形 面积最小值，并写出此时直线 的方程．
【答案】（1）证明见解析．
30（2）面积最小值为 ， ．
【考点】切点弦及所在直线的方程
【专题】综合法；数学运算；计算题；直线与圆；转化思想
【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；
（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）依题意，将圆 的方程 化为
，
令 ，即 ，则 恒成立，
解得 ， ，即圆 过定点 ．
（2）当 时，圆 ，
直线 ，
设 ，依题意四边形 的面积 ，
当 取得最小值时，四边形 的面积最小，
又 ，即当 最小时，四边形 的面积最小，
圆心 到直线 的距离即为 的最小值，
即 ，
，即四边形 面积最小值为 ，
此时直线 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 ，与直线 联立，解得 ，
设以 为直径的圆 上任意一点 ， ，
故圆 的方程为 ，
31即 ，又圆 ，
两式作差可得直线 方程 ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22．（2024•自贡二模）已知圆 与直线 相交于点 ， ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）设 是直线 上，圆 外的任意一点，过 点作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求证：经
过 ， 两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1） ， ；
（2）证明见解析， ．
【考点】直线与圆的位置关系；过圆外一点的圆的切线方程
【专题】综合法；数学运算；整体思想；直线与圆
【分析】（1）联立 求解即可；
（2）先设 ， ， ， ， ，然后求出经过 ， 两点的直线方程为 ，再令
即可求解．
【解答】解：（1）已知圆 与直线 相交于点 ， ，
联立 ，
32解得： 或 ，
即 ， ；
（2）证明：设 ，
设 ， ， ， ，
则 所在直线方程为 ， 所在直线方程为 ，
又 在切线 ， 上，
则 ，
即经过 ， 两点的直线方程为 ，
令 ，
则 ，
即经过 ， 两点的直线必过定点，且该定点的坐标为 ．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
23．（2024•苏州三模）已知圆 ，直线 ，直线 和圆交于 ， 两点，过
， 分别作直线 的垂线，垂足为 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求四边形 的面积取最大值时，对应实数 的值；
（3）若直线 和直线 交于点 ，问是否存在实数 ，使得点 在一条平行于 轴的直线上？若存
在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）当 时，四边形 的面积取最大值．
（3） ，理由见解答．
33【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；数学运算；方程思想；直线与圆
【分析】（1）由直线 与圆 相交，可建立关于 的不等式，解出即可；
（2）联立直线 与圆 方程，进而用 表示出四边形 的面积，再构造函数，利用导数求解即可；
（3）表示出直线 和直线 的方程，联立方程组，得到 的值，再结合题意可得 的值．
【解答】解：（1）由已知，圆心到直线 的距离 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ；
（2）设 ， ， ， ，
则 ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
四边形 的面积 ，
令 （b） ， ，
则 （b） ，
令 （b） 得 ，
当 时， （b） ， （b）单调递增，
当 时， （b） ， （b）单调递减，
所以当 时，四边形 的面积取最大值．
（3） ， ，直线 和直线 ，
34联立得 ，
所以 时，点 在一条平行于 轴的直线上．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，涉及了利用导数研究函数的最值，考查函数思想以及运算求解
能力，属于中档题．
24．（2024•徐州模拟）将圆 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），
所得曲线为 ．记 ， ，过点 的直线与 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 分
别交于点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当 时：
求 的值；
若 有最大值，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；直线与圆
【分析】（1）设所求轨迹 上的任意点为 ，且对应的点为 ， ，列出关系式，代入即可求解；
（ 2 ） 设 直 线 为 ， 联 立 方 程 组 ， 结 合 韦 达 定 理 求 得 和
，再结合 ， ， 三点共线，求得 ，利用斜率公式，即可求
35解；
设直线 为 ，得到直线 的斜率为 ，求得 ，利用基本不等式，
得到 取得最大值，再联立方程组，结合△ ，得到 ，进而求得 的取值范围．
【解答】（1）解：设所求轨迹 上的任意点为 ，与 对应的点为 ， ，
代入方程 ，可得 ，整理得 ，
所以曲线 的轨迹方程为 ；
（2）解： 设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
则△ ，且 ，
可得 ，所以 ，
可得 ，
所以 ，同理可得 ，
又因为 ， ， 三点共线，可得 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
36设直线 的方程为 ，其中 ，由 知，直线 的斜率为 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
联立方程组 ，整理得 ，
则△ ，解得 ，
若 有最大值，则 ，
又因为 ，所以实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于难题．
25．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线 与圆 交于 ， 两点，
过点 的直线 与圆 交于 ， 两点．
（1）若直线 垂直平分弦 ，求实数 的值；
（2）已知点 ，在直线 上 为圆心），存在定点 （异于点 ，满足：对于圆 上任一点
，都有 为同一常数，试求所有满足条件的点 的坐标及该常数．
【答案】（1） ；
（2）在直线 上存在定点 ，使得 为常数3．
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】转化思想；直线与圆；综合法；数学运算；计算题
【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，求出圆的与半径，设出直线方程，转化求解实数 的值；
（2）依题意，直线 的方程为 ，设存在定点 满足题意，设 ， ，得
37，且 得， 上式对任意 ，
恒成立，求解即可．
【解答】解：（1）依题意，圆 方程 变形为 ，
圆心 ，半径 ，
又直线 的方程即为 ，
因为 垂直平分弦 ，
所以圆心 必在直线 上，
所以 过点 和 ，斜率 ，
所以 ；
（2）依题意，直线 的方程为 ，设存在定点 满足题意，则设 ，
，得 ，且 ，
，
，
整理得， ，
上式对任意 ， 恒成立，
且 ，
得 或 ，
解得 或 ，
38又当 ， 时，点 与 重合，故舍去，
综上可知，在直线 上存在定点 ，使得 为常数3．
【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
39考点卡片
1．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
40①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
41即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
2．直线的一般式方程与直线的性质
【知识点的认识】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的
一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l 、l ，其斜率分别为k 、k ，有：
1 2 1 2
（1）l ∥l k ＝k ；（2）l ⊥l k •k ＝﹣1．
1 2 1 2 1 2 1 2
2、直线的一⇔般式方程： ⇔
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式
方程y＝﹣ x﹣ ，表示斜率为﹣ ，y轴上截距为﹣ 的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C ＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直
1
线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C ＝0．
1
（3）已知直线l ，l 的方程分别是：l ：A x+B y+C ＝0（A ，B 不同时为0），l ：A x+B y+C ＝0（A ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
2
42①l ⊥l A A +B B ＝0；
1 2 1 2 1 2
②l
1
∥l 2⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
≠0；
③l
1
与l⇔2 重合 A
1
B
2
﹣A
2
B
1
＝0，A
1
C
2
﹣A
2
B
1
＝0；
④l
1
与l
2
相交⇔A
1
B
2
﹣A
2
B
1
≠0．
⇔
如果A B C ≠0时，则l ∥l ；l 与l 重合 ；l 与l 相交 ．
2 2 2 1 2 1 2 1 2
3．圆的标准方程 ⇔ ⇔ ⇔
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出 a，b，r
的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关
系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出
现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程
再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （ x ﹣ 3 ） 2 + （ y + 2 ） 2 ＝ 5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
43点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（
）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线
4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，
可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出
b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆
的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝ ＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣ （舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离 d
等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于 ，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
4．过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
44﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x ，y ），可以使用切线公式：
0 0
其中R是与圆外切的圆的半径．
【解题方法点拨】
﹣求切线方程：
1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径．
2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程．
【命题方向】
﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算．
5．切点弦及所在直线的方程
【知识点的认识】
﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程．
【解题方法点拨】
﹣求弦方程：
1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标．
2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程．
【命题方向】
﹣弦方程问题：考查如何从切点和圆的方程求解弦的方程，涉及几何和代数运算．
6．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
45（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由 消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
7．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
【知识点的认识】
﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数．
【解题方法点拨】
﹣确定方程：
1．根据位置关系：从直线与圆的位置关系出发确定方程的形式．
2．代入条件：确定方程的参数和具体形式．
【命题方向】
﹣方程参数求解：考查如何根据位置关系确定方程或参数，涉及几何解释和代数计算．
8．圆上的点到定点的距离及其最值
【知识点的认识】
﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径．
【解题方法点拨】
﹣最值计算：
1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值．
2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围．
46【命题方向】
﹣距离最值：考查如何计算圆上的点到定点的距离的最值，涉及几何和代数方法．
9．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O ，O ，半径分别为r ，r ，|O O |＝d
1 2 1 2 1 2
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r +r
1 2
②外切（3条公切线）：d＝r +r
1 2
③相交（2条公切线）：|r ﹣r |＜d＜r +r
1 2 1 2
④内切（1条公切线）：d＝|r ﹣r |
1 2
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r ﹣r |
1 2
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
10．圆方程的综合应用
【知识点的认识】
圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（﹣ ，﹣ ），半径r＝ ．
11．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．
47当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系
反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程
f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离
公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x ，y ），即得到x ＝f（x，
0 0 0
y），y ＝g（x，y），再将x ，y 代入M满足的条件F（x ，y ）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问
0 0 0 0 0
题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
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