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2025年菁优高考数学压轴训练18
一．选择题（共10小题）
1．（2024•内江三模）设 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，若△ 为直角
三角形，则△ 的面积为
A． B．1或 C． D．1或
2．（2024•咸阳模拟）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆
于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
3．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 的公共点为 ， ，其中
在 的左侧， 是圆 上异于 ， 的点，连接 交 于 ，若 ，则
的离心率为
A． B． C． D．
4．（2024•重庆模拟）数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 （其中 的椭圆为黄金
椭圆，现有一个黄金椭圆方程为 ，若以原点 为圆心，短轴长为直径作 ， 为
黄金椭圆上除顶点外任意一点，过 作 的两条切线，切点分别为 ， ，直线 与 ， 轴分别交
1于 ， 两点，则
A． B． C． D．
5．（2024•新县校级模拟）已知复数 ， 满足 ， ，（其
中 ， 是虚数单位），则 的最小值为
A．2 B．6 C． D．
6．（2024•赤峰模拟）设点 是椭圆 上一点， 、 分别为椭圆 的左、右焦点，且△
的重心为 ，若 ，则△ 的面积为
A． B． C． D．
7．（2024•河北一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上一点，
满足 ，以 的短轴为直径作圆 ，截直线 的弦长为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
8．（2024•江西模拟）已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的
三个顶点，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
9．（2024•贵州模拟）已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，
2的中点为 ， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
10．（2024•来宾一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条直线
与 交于 ， 两点（不在坐标轴上），坐标原点为 ，若 ， ，则 的离心率
为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•永寿县校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直
线 与 交于 ， 两点，若 ，则
A． B．△ 的面积等于
C．直线 的斜率为 D． 的离心率等于
12．（2024•皇姑区校级模拟）一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正
确的有
A．椭圆 是“黄金椭圆”
B．若椭圆 是黄金椭圆，则
3C．设“黄金椭圆” 的左右焦点分别为 ， ，存在椭圆 上一点 ，使得
D．设过原点的直线与焦点在 轴上的“黄金椭圆”分别交于 、 两点，“黄金椭圆”上动点
（异于 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
13．（2024•袁州区校级三模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，坐标原点为 ．若椭
圆 上存在一点 ，使得 ，则下列说法正确的有
A． B．
C．△ 的面积为2 D．△ 的内切圆半径为
14．（2024•广东模拟）已知椭圆 的长轴端点分别为 ， 、两个焦点分别为 、 ，
是 上任意一点，则
A． 的离心率为 B．△ 的周长为
C．△ 面积的最大值为 D．
15．（2024•新会区校级模拟）已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，点 在椭
圆内部，点 在椭圆上，椭圆 的离心率为 ，则以下说法正确的是
A．离心率 的取值范围为
B．当 时， 的最大值为
C．存在点 ，使得
4D． 的最小值为1
三．填空题（共5小题）
16．（2024•广州模拟）已知椭圆 的左右焦点为 ， ．直线 与椭圆 相
交于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
17．（2024•徐汇区校级模拟）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直
线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率是 ．
18．（2024•宝山区三模）已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，若椭圆上存在一
点 ，满足线段 相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 的中点，则该椭圆的离心率为
．
19．（2024•朝阳区校级模拟）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 、 ，点 是 轴正
半轴上一点， 交椭圆于点 ，若 ，且 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ．
20．（2024•河北模拟）数学家 用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，
使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双
球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为
．
5四．解答题（共5小题）
21．（2024•梅州模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值．
22．（2024•金安区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为
，且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 是椭圆 上不在 轴上的任意一点，射线 ， 分别与椭圆 交于点 ， ．设△ ，
△ ， 的面积分别为 ， ， ．求证： 为定值．
23．（2024•榆林四模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过
的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 的周长为8，△ 的最大面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ，是否存在 轴上的定点 ，使得 的内心在 轴上，若存在，求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．
24．（2024•松江区二模）如图，椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过上焦点 与 轴垂直
的直线交椭圆于 、 两点，动点 、 分别在直线 与椭圆 上．
（1）求线段 的长；
（2）若线段 的中点在 轴上，求△ 的面积；
（3）是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的
6点 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024•邵阳三模）已知椭圆 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶点所
围成的三角形面积为 ．
（1）求 的方程．
（2）不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
证明：直线 过定点；
求△ 面积的最大值．
72025年菁优高考数学压轴训练18
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•内江三模）设 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，若△ 为直角
三角形，则△ 的面积为
A． B．1或 C． D．1或
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】分 或 为直角， 为直角时，求出直角边，进而求出三角形的面积．
【解答】解：由椭圆方程 可得 ， ，所以 ，
当 或 为直角时，则 或 ，
此时 ；
当 为直角时，则 ，
即 ，
由椭圆的定义可得 ， ，
可得 ，
所以 ，
所以△ 的面积为 或1．
故选： ．
8【点评】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题．
2．（2024•咸阳模拟）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆
于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的性质
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 ， ，可得 ， ， ， ．
由 ，可得 ，利用勾股定理即可得出．
【解答】解：设 ，
， ，
， ．
， ，
，
，即 ，
，
，
．
故选： ．
9【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
3．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 的公共点为 ， ，其中
在 的左侧， 是圆 上异于 ， 的点，连接 交 于 ，若 ，则
的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征
【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想
【分析】设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，则根据题意易得 ，且直线 的斜率为 ，
再根据椭圆的几何性质易得 ，从而建立方程，即可求解．
【解答】解：设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，
由 ，可得 ，
，
10又根据题意可知 ，
直线 的斜率为 ，即直线 的斜率为 ，
设 ，则 ， ，
又易知 ， ，
，
，
，
的离心率为 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
4．（2024•重庆模拟）数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 （其中 的椭圆为黄金
椭圆，现有一个黄金椭圆方程为 ，若以原点 为圆心，短轴长为直径作 ， 为
黄金椭圆上除顶点外任意一点，过 作 的两条切线，切点分别为 ， ，直线 与 ， 轴分别交
于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法
【分析】根据题意 、 、 、 四点在以 为直径的圆上，可设点 坐标为 ， ，从而得出
11四点所在圆的方程为 ，利用两圆方程之差求得切点 、 所在直线方程，进而求
得 、 两点坐标即可解决本题．
【解答】解：依题意有 四点共圆，
设点 坐标为 ， ，
则该圆的方程为： ，
将两圆方程： 与 相减，
得切点所在直线方程为 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题．
5．（2024•新县校级模拟）已知复数 ， 满足 ， ，（其
中 ， 是虚数单位），则 的最小值为
A．2 B．6 C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征；复数的模
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；数系的扩充和复数；综合法
【分析】设 ，（其中 ， ， 是虚数单位）， 在复平面的对应点 ，则由题意
12可知 的轨迹表示为焦点分别在 ， 的椭圆， 在复平面的对应点 ，
则点 的轨迹表示为射线 上的点，数形结合即可求出 的最小值．
【解答】解：设 ，（其中 ， ， 是虚数单位）， 在复平面的对应点 ，
则 ，
即点 的轨迹表示为焦点分别在 ， 的椭圆，如图所示：
该椭圆的长轴为直线 ，短轴为直线 ，长半轴长为 ，半焦距 ，
短半轴长为 ，
因为 ，
所以 ，
设 在复平面的对应点 ，
即点 的轨迹表示为射线 上的点，
若使得 最小，则需 取得最小值，
即点 为第一象限内的短轴端点，点 为射线 的端点时， 最小，
所以 ．
13故选： ．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了椭圆的定义和性质，属于中档题．
6．（2024•赤峰模拟）设点 是椭圆 上一点， 、 分别为椭圆 的左、右焦点，且△
的重心为 ，若 ，则△ 的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；数学运算；综合法
【分析】由椭圆的定义和椭圆的焦半径公式求得 的坐标，再由三角形的重心性质和面积公式，可得所
求值．
【解答】解：椭圆 的 ， ， ， ，
由椭圆的定义可得 ，
由 ，可得 ，
设 ，即有 ，
解得 ， ，
由 为△ 的重心，可得△ 的面积为 ，
而 ，
则△ 的面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
147．（2024•河北一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上一点，
满足 ，以 的短轴为直径作圆 ，截直线 的弦长为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】综合法；数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据圆的弦长公式易得圆心 到 的距离 ，从而可得 ，进而可得
，然后在 △ 中，由勾股定理建立方程，即可求解．
【解答】解： 以 的短轴为直径作圆 ，截直线 的弦长为 ，
圆心 到 的距离 ，
又 ，且 为 的中点， ，
，又 ，
在 △ 中，由勾股定理可得： ，
，
解得 ，
椭圆 的离心率 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，椭圆与圆的几何性质的应用，方程思想，属中档题．
8．（2024•江西模拟）已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的
15三个顶点，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；转化思想；综合法
【分析】设椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点分别为 ， ， ，依题意可得 ，结合
即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点分别为 ， ， ，
则 ， ， ，且 ，
所以 ， ， ，
依题意 为等腰三角形， ，
所以 ，化简得 ，又 ，
所以 ，即 ，
解得 ，又 ，所以 ，
即椭圆的离心率为 ．
故选： ．
16【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题．
9．（2024•贵州模拟）已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，
的中点为 ， ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化法；数学运算；转化思想
【分析】根据已知条件，依次求出点 ， ， ， 的坐标，再结合向量垂直的性质，以及椭圆的性质，
即可求解
【解答】解：椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，
则 ， ， ，
的中点为 ，
则 ，
， ，
，
则 ，即 ，
17由椭圆的性质可知， ，
则 ，即 ，即 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
10．（2024•来宾一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条直线
与 交于 ， 两点（不在坐标轴上），坐标原点为 ，若 ， ，则 的离心率
为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】设 ，椭圆的半焦距为 ，利用椭圆的定义，表示出 和 ，再根据
，推出 ，然后利用两次勾股定理，即可得解．
【解答】解：由椭圆的定义知， ， ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
设椭圆的半焦距为 ，则 ，即 ，
所以△ 是直角三角形，且 ，
18在 △ 中， ，
所以 ，整理得 ，
解得 或 ，
当 时， ，此时点 在 轴上，与题意不符，舍去，
所以 ，
在 △ 中， ，
所以 ，即 ，
化简得 ，
所以离心率 ．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•永寿县校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直
线 与 交于 ， 两点，若 ，则
19A． B．△ 的面积等于
C．直线 的斜率为 D． 的离心率等于
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知 ，且满足 ，可判断 ；易
知 ，可判断 ；在等腰直角△ 中，可知直线 的斜率为 ，可判断 ；计
算可得 的离心率，可判断 ．
【解答】解：由 ，不妨设 ， ， ，
又 ，可得 ，
利用椭圆定义可知 ，所以可得 ，
即 所以点 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：
由 ， ， ，可知满足 ，所以 ，故 正确；
所以△ 为等腰直角三角形，且 ，
因此△ 的面积为 ，故
正确；
20此时可得直线 的斜率 ，故 错误；
在等腰直角△ 中，易知 ，
即可得离心率 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中
档题．
12．（2024•皇姑区校级模拟）一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正
确的有
A．椭圆 是“黄金椭圆”
B．若椭圆 是黄金椭圆，则
C．设“黄金椭圆” 的左右焦点分别为 ， ，存在椭圆 上一点 ，使得
D．设过原点的直线与焦点在 轴上的“黄金椭圆”分别交于 、 两点，“黄金椭圆”上动点
（异于 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；综合法；数学运算
【分析】 中，由椭圆 的方程，可得 ， ， 的值进而求出椭圆 的离心率的大小，判断出 的真假；
中，分椭圆的焦点在 ， 轴上两种情况讨论，判断出 的真假； 中，由黄金椭圆可得 ，可得
不存在点 使得 ，判断出 的真假； 中，求出设 ， ， 的坐标，代入椭圆的方程作差
可得直线 ， 的斜率之积，判断出 的真假．
21【解答】解： 中，由椭圆 的方程可得 ， ，
可得该椭圆的离心率 ，所以该椭圆是“黄金椭圆”，所以 正确；
中，椭圆 是黄金椭圆，当焦点在 轴上时，则离心率 ，解得 ，
当焦点在 轴上时，则 ，解得 ，所以 不正确；
中 ， 因 为 黄 金 椭 圆 的 离 心 率 ， 可 得 ， 可 得
，
即 ，所以不存在点 使得 ，所以 不正确；
中，设 ， ， ， ， ， ，
则 ，可得 ，
所以 ，而 ，所以 ，
，所以 正确．
故选： ．
22【点评】本题考查黄金椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
13．（2024•袁州区校级三模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，坐标原点为 ．若椭
圆 上存在一点 ，使得 ，则下列说法正确的有
A． B．
C．△ 的面积为2 D．△ 的内切圆半径为
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；数学运算；综合法；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据已知求出 点坐标，根据两点间距离公式分别求出 ， ，在△ 中利用余弦定
理可判定 ，利用向量数量积公式可判定 ，三角形面积公式可判定 ，根据等面积法可判定 ．
【解答】解：由题意得 ， ，则 ， ，
由对称性可设 ， ， ， ， ， ，
由 ，解得 ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
由椭圆的定义得 ，
在△ 中，由余弦定理，得 ，
即 ，
解得 ，故 正确；
，故 错误；
23△ 的面积为 ，故 正确；
设△ 的内切圆半径为 ，由△ 的面积相等，得 ，
即 ，解得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
14．（2024•广东模拟）已知椭圆 的长轴端点分别为 ， 、两个焦点分别为 、 ，
是 上任意一点，则
A． 的离心率为 B．△ 的周长为
C．△ 面积的最大值为 D．
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解．
【解答】解：已知椭圆 的长轴端点分别为 ， 、两个焦点分别为 、 ，
则椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
对于 选项， 的离心率为 ，故 正确；
对于 选项，△ 的周长为 ，故 正确；
对于 选项， ，设 ， ， ，
则△ 面积的最大值为 ，故 错误；
对于 选项， ， ，
24， ，
因此 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
15．（2024•新会区校级模拟）已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，点 在椭
圆内部，点 在椭圆上，椭圆 的离心率为 ，则以下说法正确的是
A．离心率 的取值范围为
B．当 时， 的最大值为
C．存在点 ，使得
D． 的最小值为1
【答案】
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】 项中需先解出 的范围，然后利用离心率的定义进行判断；
项中根据椭圆定义转化为求 的最大值，从而进而判断；
项中先求出点 的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；
25项中根据椭圆定义得 ，并结合基本不等式判断．
【解答】解：对于 项：因为点 在椭圆内部，所以 ，得 ，
所以得： ，故 项正确；
对于 项：由椭圆定义知 ，
当 在 轴下方时，且 ， ， 三点共线时， 有最大值 ，
由 ，得 ， ，所以得 ，
所以 最大值 ，故 项正确；
对于 项：设 ，若 ，即： ， ， ，
则得 ，即点 在以原点为圆心，半径为 的圆上，
又由 项知： ，得 ，
又因为 ，得 ，
所以得： ，所以该圆与椭圆无交点，故 项错误；
对于 项：由椭圆定义得 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，故 项正确．
故选： ．
【点评】本题椭圆的简单性质以及简单应用，是中档题．
三．填空题（共5小题）
2616．（2024•广州模拟）已知椭圆 的左右焦点为 ， ．直线 与椭圆 相
交于 ， 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【分析】由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，再根据椭圆的定义求出 ， ，再在
△ 中，利用余弦定理求出 ， 的关系，即可得解．
【解答】解：由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，则 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
即椭圆的离心率 ．
故答案为： ．
27【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17．（2024•徐汇区校级模拟）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直
线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率是 ．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【专题】转化思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据椭圆定义， ， ， ， 都用 表示，由 ，构造
齐次式即可求解．
【解答】解：依题得 ， ，又 ，
则 ， ，
则 ，
则 ，
即 ，
则 ，则 ，
即 ．
28故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
18．（2024•宝山区三模）已知椭圆 的右焦点为 ，左焦点为 ，若椭圆上存在一
点 ，满足线段 相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 的中点，则该椭圆的离心率为
．
【考点】 ：椭圆的性质
【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法； ：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设线段 的中点为 ，利用 是△ 的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形
的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．
【解答】解：设线段 的中点为 ，由题意知， ，又 是△ 的中位线，
，则 ，由椭圆的定义知 ，
又 ， ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
又 ，可得 ，
故有 ，
29由此可求得离心率 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的简单性质，注意椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常
数 的应用，是中档题．
19．（2024•朝阳区校级模拟）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 、 ，点 是 轴正
半轴上一点， 交椭圆于点 ，若 ，且 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是
．
【答案】 ．
【考点】椭圆的几何特征
【专题】综合法；数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【 分 析 】 设 ， ， 根 据 题 意 可 得 的 内 切 圆 半 径
，又根据椭圆的定义可知 ，从而可得
， ，再由勾股定理及椭圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：设 ， ，
根据题意可得 的内切圆半径
30，
，又根据椭圆的定义可知 ，
， ，又 ，
，
，
，又 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆离心率的求解，化归转化思想，方程思想，属中档题．
20．（2024•河北模拟）数学家 用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，
使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双
球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为
．
【答案】 ．
【考点】求椭圆的离心率
【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想；数学运算
31【分析】根据给定信息分析截口曲线上任意一点满足的关系，进而确定曲线的形状，再利用轴截面求出
椭圆的长半轴长及半焦距得解．
【解答】解：令两个球 ， 分别与截面相切于点 ， ，在截口曲线上任取一点 ，过点 作圆锥
的母线，
分别与两个球相切于 ， ， ， 均为球 的切线，则 ，同理 ，
因此 ，由切点 ， 的产生方式知， 长为定值，
于是截口曲线上任意点 到定点 ， 的距离和为定值，该曲线是以点 ， 为焦点的椭圆，
作出几何体的轴截面，如图，设 ，依题意， ， ，
则 ，椭圆的长轴长 ，半焦距为 ，
则 ，因此 ，所以离心率 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查旋转的组合体的结构特征以及长半轴长及半焦距、离心率相关知识，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
3221．（2024•梅州模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；设而不求法；数学运算；转化思想
【分析】（1）由椭圆的离心率，可得 ， 的关系，设椭圆的方程，将点 的坐标代入椭圆的方程，可
得参数的值，即可得 ， 的值，求出椭圆的方程；
（2）设与 平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为 0，可得参数的值，进而求出两条
直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率为 ，可得 ，
可得 ，设椭圆的方程为： ， ，
又因为椭圆经过点 ，所以 ，
解得 ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）设与直线 平行的直线的方程为 ，
联立 ，整理可得： ，
△ ，可得 ，则 ，
所以直线 到直线 的距离 ．
33所以椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（2024•金安区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为
，且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 是椭圆 上不在 轴上的任意一点，射线 ， 分别与椭圆 交于点 ， ．设△ ，
△ ， 的面积分别为 ， ， ．求证： 为定值．
【答案】（1） ；
（2）证明过程见解析．
【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程
【专题】逻辑推理；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想；综合题；综合法
【分析】（1）由离心率可得 ，则有 ，将点 代入椭圆方程，求出 ， ，可得椭圆
的标准方程；
（2）设 ， ， ， ， ， ，通过直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示根与系数
的关系，代入三角形面积算式中，化简 即可．
【解答】解：（1）因为椭圆 的离心率 ，
又 ，
所以 ，
因为点 在椭圆上，
34所以 ，
解得 ，
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明：设 ， ， ， ， ， ，
因为点 在椭圆上，
所以 ，
即 ．
由（1）得 ， ，
设直线 的方程为 ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ ，
由韦达定理得 ，
同理得 ，
所以
．
35故 为定值．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档
题．
23．（2024•榆林四模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过
的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 的周长为8，△ 的最大面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ，是否存在 轴上的定点 ，使得 的内心在 轴上，若存在，求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ） 或 ；
（Ⅱ）存在定点 ．
【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征
【专题】数学运算；综合法；逻辑推理；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系列出等式求出 和 的值，进而可
得椭圆 的方程；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中信息，设出直线 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和斜率公
式再进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为 的周长为8，△ 的最大面积为 ，
所以 ，
36解得 ， 或 ， ，
则椭圆 的方程为 或 ；
（Ⅱ）因为 ，
由（Ⅰ）知， ，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
若 的内心在 轴上，
此时 ，
可得 ，
即 ，
整理得 ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
当直线 垂直于 轴，即 时，显然点 也是符合题意的点．
故在 轴上存在定点 ，使得 的内心在 轴上．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档
题．
3724．（2024•松江区二模）如图，椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过上焦点 与 轴垂直
的直线交椭圆于 、 两点，动点 、 分别在直线 与椭圆 上．
（1）求线段 的长；
（2）若线段 的中点在 轴上，求△ 的面积；
（3）是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的
点 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） 或 ．
【考点】直线与椭圆的综合
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】（1）根据已知求出点 的横坐标，根据对称性可得 的长；
（2）求出点 的横坐标，由三角形面积公式求解即可；
（3）假设存在以 ， 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上，显然 ，设 ， ，
， ，利用向量的坐标运算表示出点 的坐标，由 ， 在椭圆 上及 ，可得方程组，
38从而可求得点 的纵坐标．
【解答】解：（1）依题意得： ，由 轴，得： ，
代入椭圆方程得： ，
所以线段 的长为 ． 分
（2）显然 ，线段 的中点在 轴上，则 ，即 轴，
， ， 分
所以 ． 分
（3）假设存在以 ， 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上，显然 ，设 ， ，
， ，
则 ， ，
因为四边形 是矩形，一定为平行四边形，所以 ，
代入计算得 ， ，
由题意知 ， 在椭圆 上及 ，
代入，得 ，即 ， 分
将①②代入③并化简得， ，
再结合①，得 ，即 或 ．
39若 ，则 ； 分
若 ，则联立①②，得 ，
消去 ，得 ，解得 ，
由于 ，故 ． 分
综上，存在满足题意的 点，其纵坐标为 或 ． 分
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
25．（2024•邵阳三模）已知椭圆 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶点所
围成的三角形面积为 ．
（1）求 的方程．
（2）不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
证明：直线 过定点；
求△ 面积的最大值．
【答案】（1） ；
40（2） 证明见解析； ．
【考点】根据 及其关系式求椭圆的标准方程；椭圆的定点及定值问题
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得；
（2） 设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；
由 的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值．
【解答】（1）解：令椭圆 的半焦距为 ，由离心率为 ，得 ，
则 ，
由三角形面积为 ，得 ，则 ， ，
的方程是 ；
（2） 证明：由（1）知，点 ，
设直线 的方程为 ，设 ， ， ， ，
由 ，得 ，
则 ，
直线 与 的斜率分别为 ， ，
于是
，整理得 ，解得 或 ，
41当 时，直线 过点 ，不符合题意，因此 ，
此时直线 恒过定点 ；
解：由 知， ，
则 ，
因此△ 的面积
，当且仅当 ，即 时取等号，
故△ 面积的最大值为 ．
【点评】本题考查圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，考查运算求解能力，是中档题．
42考点卡片
1．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi
为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；∈若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d R）．
3、共轭复数：a+bi与c+d⇔i共轭 a＝c，b+d＝0（a，∈b，c，d R）．
⇔ ∈
4、复数的模： 的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝ ．
2．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1） （a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F F |＝2c；
1 2
（2） （a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F F |＝2c．
1 2
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0） （a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，b），B′（0，﹣b） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
2b
焦点在长轴长上
43焦点在长轴长上
焦点 F （﹣c，0），F （c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c（c＞0） |F F |＝2c（c＞0）
1 2 1 2
c2＝a2﹣b2 c2＝a2﹣b2
离心率
e＝ （0＜e＜1） e＝ （0＜e＜1）
准线
x＝± y＝±
3．根据abc及其关系式求椭圆的标准方程
【知识点的认识】
已知椭圆的方程中abc及其关系，可以直接代入标准方程中．关系式c2＝a2﹣b2可用于计算焦距．
【解题方法点拨】
1．确定a和b：从题目中给定的a和b得到椭圆的标准方程．
2．代入公式：
标准方程形式为：
【命题方向】
﹣给定a和b，直接求椭圆的标准方程．
﹣利用a和b的关系确定标准方程．
4．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
443．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A （﹣a，0），A （a，0），B （0，﹣b），B （0，b）
1 2 1 2
其中，线段A A ，B B 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
1 2 1 2
半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝ ，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，
方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
5．求椭圆的离心率
【知识点的认识】
椭圆的离心率e由公式 计算，其中 ．
【解题方法点拨】
1．计算离心率：使用公式 计算离心率．
【命题方向】
45﹣给定a和b，求椭圆的离心率．
﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义．
6．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交 Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨⇔】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难
点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则|AB|＝ ＝ （k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和
椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
46【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
7．椭圆的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题涉及椭圆上的某点到固定点的距离、角度等特性．定值问题通常要求解决椭圆上的点的距离问
题．
【解题方法点拨】
1．计算定点距离：利用椭圆的标准方程计算定点的距离．
2．应用定值：解决与定值相关的几何问题．
【命题方向】
﹣给定椭圆的定点和定值，求解相关问题．
﹣分析定点问题的几何特征．
8．圆与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
47标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c a2+b2＝c2
1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝1 ± ＝1
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:36:57；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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