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2025年菁优高考数学压轴训练19
一．选择题（共10小题）
1．（2024•安庆模拟）已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2，点 ， ，
， 是抛物线 上两个不同的点，且 ，则
A． B． C． D．3
2．（2024•海州区校级模拟）过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 ， 两点，已知
，线段 的垂直平分线经过点 ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2024•成都三模）已知点 ， 分别是抛物线 和圆 上的动点，若
抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为
A．6 B． C． D．
4．（2024•李沧区校级一模）已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，
切点分别为 ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
5．（2024•启东市校级模拟）已知点 为抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 ， 两点，
则 的最小值为
A． B．4 C． D．6
6．（2024•海陵区校级模拟）过抛物线 焦点 且斜率为 的直线与 交于 、 两点，若
1为 的内角平分线，则 面积最大值为
A． B． C． D．16
7．（2024•广东模拟）抛物线 的焦点为 ，过 的直线交该抛物线于 、 两点，则
的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2024•辽宁模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ， ，
分别与抛物线 相交于点 ， 和点 ， ， ， 是抛物线 上一点，且 ，从
点 引抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的内切圆的周长为
A． B． C． D．
9．（2024•海南模拟）已知过抛物线 焦点 的直线交 于 ， 两点，点 ， 在
的准线上的射影分别为点 ， ，线段 的垂直平分线 的倾斜角为 ，若 ，则
A． B．1 C．2 D．4
10．（2024•青羊区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 且 交
于 ， 两点，直线 ， 分别与 的准线交于 ， 两点， 为坐标原点），下列选项正确的有
A． 且 B． 且 ，
C． 且 D． 且
二．多选题（共5小题）
211．（2024•盐湖区一模）抛物线 的焦点为 ， ， 、 ， 是抛物线上的
两个动点， 是线段 的中点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则
A．若 ，则直线 的斜率为 或
B．若 ，则
C．若 和 不平行，则
D．若 ，则 的最大值为
12．（2024•回忆版）抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 的一条
切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则
A． 与 相切
B．当 ， ， 三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
13．（2024•南关区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ， 在 上 在第一
象限），点 在 上，以 为直径的圆过焦点 ， ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 D． ，则
14．（2024•永州三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与抛物线
相交于 ， 两点（点 在第一象限），过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线
的准线相交于点 ，则
3A． 的最小值为2
B．当直线 的斜率为 时，
C．设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
D．过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 交直线 于点 ，则
15．（2024•姜堰区校级模拟）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， ，
， 两点， 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，则
A．
B．点 与抛物线上任意一点的最短距离为4
C． 的最小值为32
D． 的最小值为11
三．填空题（共5小题）
16．（2024•合肥模拟）抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以点 为圆心，以
为半径的圆与 交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，若 ，则 ．
17．（2024•淮北模拟）已知抛物线 准线为 ，焦点为 ，点 ， 在抛物线上，点 在
上，满足： ， ，若 ，则实数 ．
18．（2024•西城区校级模拟）设点 ， 在抛物线 上，已知 ， ．若
，则 ；若 ，则直线 斜率的最小值为 ．
19．（2024•雁峰区校级模拟）已知 为抛物线 上的动点，动点 满足到点 的距离与到
4点 是 的焦点）的距离之比为 ，则 的最小值是 ．
20．（2024•河北一模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点， 的
中点为 ，以 为直径的圆与 轴交于 ， 两点，当 取最大值时，此时 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•朝阳区校级模拟）已知 为坐标原点，抛物线 ，过点 的直线交抛物
线于 ， 两点， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 ，连接 ， ，证明： ；
（3）已知圆 以 为圆心，1为半径，过 作圆 的两条切线，与 轴分别交于点 ， 且 ， 位
于 轴两侧，求 面积的最小值．
22．（2024•昌乐县校级模拟）如图， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线
于 ， 两点，直线 交抛物线的准线于点 ，设抛物线在 点处的切线为 ．
（1）若直线 与 轴的交点为 ，求证： ；
（2）过点 作 的垂线与直线 交于点 ，求证： ．
23．（2024•四川模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线交于 ，
两点， 为 的中点，且点 到抛物线的准线距离的最小值为2．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设抛物线在 ， 两点的切线相交于点 ，求点 的横坐标．
524．（2024•安徽模拟）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为 的准线 上一
点，直线 的斜率为 ， 的面积为 ．已知 ， ，设过点 的动直线与抛物线
交于 、 两点，直线 ， 与 的另一交点分别为 ， ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）当直线 与 的斜率均存在时，讨论直线 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
25．（2024•五莲县校级模拟）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，设
抛物线 在点 ， 处的切线分别为 和 ，已知 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，设 与 的交
点为 ．
（1）证明：点 在定直线上；
（2）若 面积为 ，求点 的坐标；
（3）若 ， ， ， 四点共圆，求点 的坐标．
62025年菁优高考数学压轴训练19
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•安庆模拟）已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2，点 ， ，
， 是抛物线 上两个不同的点，且 ，则
A． B． C． D．3
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法
【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．
【解答】解：已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，
则 ，
即抛物线 的方程为 ，
又点 ， ， ， 是抛物线 上两个不同的点，且 ，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
72．（2024•海州区校级模拟）过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 ， 两点，已知
，线段 的垂直平分线经过点 ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】计算题；数学运算；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】设直线 的方程为 ，利用设而不求法求弦长 的表达式，再求线段 的垂直平分
线，由条件列方程求 ， 可得结论．
【解答】解：抛物线 的焦点 的坐标为 ，
若直线 的斜率为0，则直线 与抛物线 只有一个交点，不满足条件，
故可设直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
方程 的判别式△ ，
设 ， ， ， ，
则 ，
所以 ，
由已知 ，
设 的中点为 ， ，
则 ， ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
8因为 在线段 的垂直平分线上，
所以 ，故 ，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
3．（2024•成都三模）已知点 ， 分别是抛物线 和圆 上的动点，若
抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为
A．6 B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直线与圆；转化思想；数学运算
【分析】设点 的坐标为 ， ， 是 轴上一点，令 ，可解得 ，进而
，最后运用两点的距离公式及三角形的性质可求解．
【解答】解：设点 的坐标为 ， ， 是 轴上一点，
由抛物线的性质知点 的坐标为 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
将 ，代入化简得 ，
即点 满足 ，
所以 ，
设点 坐标为 ， ，
9所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查两点的距离公式，考查三角形的基础知识，属于中档题．
4．（2024•李沧区校级一模）已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，
切点分别为 ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；综合法；数学运算
【分析】设 ，由 取得最小值时， 最大， 最小即可求解．
【解答】解：如图所示：
因为 ， ，
设 ，则 ，
当 时， 取得最小值 ，此时， 最大， 最小，
且 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合知识，考查计算能力，属于中档题．
105．（2024•启东市校级模拟）已知点 为抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 ， 两点，
则 的最小值为
A． B．4 C． D．6
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；转化思想；综合法
【分析】设过 的直线 的方程为 ， ，联立直线与抛物线方程，通过根与系数关系及基
本不等式，即可求解．
【解答】解： 抛物线 方程为： ，
， ，准线方程为 ，
设过 的直线 的方程为 ， ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
， ，
，
当且仅当 ， ，即 时等号成立，
的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属中档题．
116．（2024•海陵区校级模拟）过抛物线 焦点 且斜率为 的直线与 交于 、 两点，若
为 的内角平分线，则 面积最大值为
A． B． C． D．16
【答案】
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法；计算题
【分析】求出直线 的方程，与抛物线方程联立求出点 ， 的坐标，由内角平分线可得
，由此求出点 的坐标满足的关系，进而求出点 到直线 距离的最大值即可得解．
【解答】解：抛物线 焦点 ，直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，不妨令 ，
则 ，由 为 的内角平分线，
得 ，设点 ，
于是 ，
整理得 ，显然点 在以点 为圆心，2为半径的圆上，
因此点 到直线 距离的最大值为2，
所以 面积最大值为 ．
故选： ．
12【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，借助三角形面积公式求出角平分线的性质，进
而求出角顶点的轨迹方程是解题之关键，是中档题．
7．（2024•广东模拟）抛物线 的焦点为 ，过 的直线交该抛物线于 、 两点，则
的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化法；等差数列与等比数列
【分析】设 ， ， ， ．当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
然后利用 及其基本不等式的性质求出 的最小值，当直线 的
斜率不存在时，直接求出即可．
【解答】解：抛物线 的焦点为 ，
设 ， ， ， ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
联立 ，化为 ，
则 ， ，
，
13当且仅当 时取等号．
又 ， ， ，
当直线 的斜率不存在时， ．
综上， 的最小值为9．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，基本不等式的性质，考
查了分类讨论的思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2024•辽宁模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ， ，
分别与抛物线 相交于点 ， 和点 ， ， ， 是抛物线 上一点，且 ，从
点 引抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的内切圆的周长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线中的最值与范围问题；对应思想
【分析】根据题意可知直线 的斜率存在且设直线 方程为 ，然后与抛物线方程联立，利
用根与系数关系求得 ，同理求出 ，再由几何关系
，求得 ，设 ， ，由抛物线焦半径公式求得 ，从而可求解．
【解答】解：如图，由题意，得抛物线 的焦点为 ，易知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，代入 ，整理得： ，
14由根与系数的关系得 ， ，
所以 ，
又直线 的方程为 ，同理 ，
所以 ，
所以 ，故抛物线 ，
设点 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的面积为 ，
易知 ， 或 ，则 ，
设 的内切圆的半径为 ，内心为点 ，
则由 ，得 ，解得 ，
所以 的内切圆的周长为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题．
9．（2024•海南模拟）已知过抛物线 焦点 的直线交 于 ， 两点，点 ， 在
的准线上的射影分别为点 ， ，线段 的垂直平分线 的倾斜角为 ，若 ，则
A． B．1 C．2 D．4
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】综合法；转化思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程
15【分析】首先求直线 的倾斜角和直线方程，再联立直线 和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，
即可求解．
【解答】解：如图，过点 作 ，
由条件可知直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ，
由 ， ，所以 ，
设直线 的直线方程为 ，
联立 ，得 ，
易知△ ，则 ，
而 ，得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
10．（2024•青羊区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 且 交
于 ， 两点，直线 ， 分别与 的准线交于 ， 两点， 为坐标原点），下列选项正确的有
A． 且 B． 且 ，
C． 且 D． 且
【答案】
16【考点】直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；综合法；整体思想；圆锥曲线中的最值与范围问题；计算题
【分析】联立直线与抛物线方程，得 ，设 ， ， ， ，由韦达定理
可得 ， ，再由向量的数量积逐一
判断．
【解答】解：由 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ，
，
，
直线 的方程为 ，由 ，可得 ，
同理可得 ，
所以 ，
，
对于 ，
，
17只有当 时， ，此时 ，直线与 轴垂直，不存在斜率，不满足题意，
所以 ，故 错误；
对于 ，因为 ，
，故 正确；
对于 ，由 得 ，而 ，所以 ，故 错误；
对于 ，由 可知不存在 且 ，使 成立，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•盐湖区一模）抛物线 的焦点为 ， ， 、 ， 是抛物线上的
两个动点， 是线段 的中点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则
A．若 ，则直线 的斜率为 或
B．若 ，则
C．若 和 不平行，则
D．若 ，则 的最大值为
【答案】
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】设直线 的方程为 ，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出 的
值，可判断 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断 选项；利用三角形三边关系可判断 选项；利用
余弦定理、基本不等式可判断 选项．
18【解答】解：易知抛物线 的焦点为 ，
对于 选项，若直线 与 轴垂直，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
因为 ，则 在直线 上，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则△ ，
由韦达定理可得 ， ，
因为 ，即 ，可得 ，即 ，
所以， ，可得 ， ，解得 ，
此时，直线 的斜率为 ， 对；
对于 选项，当 时，则 在直线 上， ，
则 ， 对；
对于 选项，当 和 不平行时，则 、 、 三点不共线，
所以， ， 错；
对于 选项，设 ， ，
当 时， ，
由 选项可得 ，
所以，
，
即 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ， 对．
19故选： ．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查圆锥曲线中的最值问题解决方法，是中档
题．
12．（2024•回忆版）抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 的一条
切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则
A． 与 相切
B．当 ， ， 三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】选项 中，抛物线的准线为 ，判断是圆 的一条切线；
选项 中，当 、 、 三点共线时，求出点 ，计算 即可；
选项 中，当 时， 与 并不垂直；
选项 中，由 得出 在 的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
【解答】解：对于 ，抛物线 的准线为 ，是 的一条切线，选项 正确；
对 于 ， 的 圆 心 为 ， 当 、 、 三 点 共 线 时 ， ， 所 以
，选项 正确；
20对于 ，当 时， 或 ，对应的 或 ，
当 时， ， ， 与 不垂直，
当 时， ， ， 与 不垂直，选项 错误；
对于 ，焦点 ，由抛物线的定义知 ，则 等价于 在 的中垂线上，
该直线的方程为 ，它与抛物线有两交点，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
13．（2024•南关区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ， 在 上 在第一
象限），点 在 上，以 为直径的圆过焦点 ， ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 D． ，则
【答案】
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径
【专题】综合法；数学运算；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】过点 ， 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，设准线与 轴的交点为 ，结合抛物线
的定义与向量的共线定理分析选项 和 ；结合圆周角定理与三角形全等分析选项 和 ．
【解答】解：过点 ， 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，设准线与 轴的交点为 ，如图所
示，
由抛物线的定义知， ， ，
21选项 ，若 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，故选项 正确；
选项 ，若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，故选项 错误；
选项 ，因为以 为直径的圆过焦点 ，所以 ，
又 ， ， ，
22所以△ △ ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在等腰 △ 中， ，即选项 正确；
选项 ，由△ △ ，知 ，
所以 ，
因为 ，所以△ 是等边三角形，且 ，
所以 ，即选项 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查抛物线焦半径的求法，熟练掌握抛物线的定义与几何性质，平面向量共线定理是
解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（2024•永州三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与抛物线
相交于 ， 两点（点 在第一象限），过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线
的准线相交于点 ，则
A． 的最小值为2
B．当直线 的斜率为 时，
C．设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
D．过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 交直线 于点 ，则
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
23【分析】对于 ，利用 即可判断；
对于 ，将 代入 即可判断；
对于 ，求出 与 的斜率即可求解；
对于 ，证明 即可．
【解答】解：由题意可设直线 方程为 ，且 ， ， ， ，
由 联立得 ，故 ， ；
对于 ，由抛物线定义知 ， ，
故 ，
当等号成立时 ，不符合题意，故 错误；
对于 ，由 知 ， 正确；
对于 ， ， ，故 ， ，
故 ，由 ， ，
得 ，故 正确；
对于 ，直线 的方程为 ，令 ，得 ，
故 ，
故 为 的中点，故 正确．
故选： ．
24【点评】本题考查抛物线的性质以及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
15．（2024•姜堰区校级模拟）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， ，
， 两点， 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，则
A．
B．点 与抛物线上任意一点的最短距离为4
C． 的最小值为32
D． 的最小值为11
【答案】
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】转化思想；数学运算；圆锥曲线中的最值与范围问题；综合法
【分析】 ．设直线 的方程为 ，联立 ，化为 ，利用根与系数的
关系判断 是否成立，即可得出结论；
． 设 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， 可 得 点 与 抛 物 线 上 任 意 一 点 的 距 离 为
25，结合二次函数的单调性即可判断出结论；
，利用根与系数的关系并且结合二次函数的单调性即可判断出结论；
．先求点 ， 到直线 的距离之和为 ，设线段 的中点为 ， ，即
， ，利用点到直线的距离公式可得 ，结合二
次函数的单调性即可判断出结论．
【解答】解： ．设直线 的方程为 ，联立 ，化为 ，△ ，
， ，
则 ，
，因此 正确；
． 设 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， 则 点 与 抛 物 线 上 任 意 一 点 的 距 离 为
，当 时取等号，因此 不正确；
， 时取等号，故 的最小值为32，因此 正确；
．先求点 ， 到直线 的距离之和为 ，设线段 的中点为 ， ，即
， ，则 ，当 时取等号，
的最小值为11，因此 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、
二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
2616．（2024•合肥模拟）抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以点 为圆心，以
为半径的圆与 交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，若 ，则 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由向量相等推得 ，由抛物线的定义推得四边形 为
菱形，再由两点的距离公式求得 的纵坐标，可得所求值．
【解答】解：抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
设 ， ， ，
由 ，可得 ，垂足为 ，且 ，
由抛物线的定义可得 ，
且四边形 为菱形， ，
， ， ．
由 ，解得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17．（2024•淮北模拟）已知抛物线 准线为 ，焦点为 ，点 ， 在抛物线上，点 在
上，满足： ， ，若 ，则实数 2 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】数学运算；综合法；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由题设 ， ， ， 共线，作 ， ，垂足分别为 ， ，结合抛物线定义及相
似比求参数值即可．
27【解答】解：由题设知： ， ， ， 共线，且 ，如下图，
作 ， ，垂足分别为 ， ，则 ， ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ，故 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线得性质的应用，属于中档题．
18．（2024•西城区校级模拟）设点 ， 在抛物线 上，已知 ， ．若
，则 3 ；若 ，则直线 斜率的最小值为 ．
【答案】3；1．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】数学运算；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想
【分析】根据抛物线的几何性质，基本不等式，即可分别求解．
【解答】解： 抛物线 的焦点为 ，
又 ， 在抛物线 上，
， ；
若 ，则 ，又 ，
28直线 的斜率为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
直线 斜率的最小值为1．
故答案为：3；1．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，基本不等式的应用，属中档题．
19．（2024•雁峰区校级模拟）已知 为抛物线 上的动点，动点 满足到点 的距离与到
点 是 的焦点）的距离之比为 ，则 的最小值是 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题
【分析】根据题意得到点 的轨迹，然后将 的最小值转化为 的最小值，根
据垂线段最短得到当 ， ， 三点共线时， 最小，然后求最小值即可．
【解答】解：由题意可得 ， 等于点 到准线 的距离，
如图，过点 作 垂直准线于点 ，
则 ，设动点 ，
29则 ，整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
所以 ，所以当 ， ， ， 四点共线时， 最小，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
20．（2024•河北一模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点， 的
中点为 ，以 为直径的圆与 轴交于 ， 两点，当 取最大值时，此时 ．
【答案】 ．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想
【分析】首先作辅助线 于点 ，并设 ，利用坐标表示 ，并求 的最小值，结合
几何关系，即可求解．
【解答】解：如图，由 ，可知 ，
设 ， ， ， ， ， ，
易知 ，所以 ，
过点 作 于点 ．
设 ，则 ，
所以当 取最小值时， 最小，
因为 ，所以当 最小时， 最小， 最大，
30又 的最小值为1，所以 ，所以 ，
可得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查方程思
想和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•朝阳区校级模拟）已知 为坐标原点，抛物线 ，过点 的直线交抛物
线于 ， 两点， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 ，连接 ， ，证明： ；
（3）已知圆 以 为圆心，1为半径，过 作圆 的两条切线，与 轴分别交于点 ， 且 ， 位
于 轴两侧，求 面积的最小值．
【答案】（1） ；
（2）证明过程见解析；
（3）8．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；逻辑推理；综合法
【分析】（1）设直线 的方程为 ，联立方程，利用韦达定理求出 ，再求出 ，再根据
求出 ，即可求出抛物线 的方程；
31（2）要证 ，即证 平分 ，即证 ，结合（1）计算化简即可
得出结论；
（3）记 ， 分别与圆 切于点 ， ，连接 ， ， ，求出 ，结合切线长定理可得
， ， ， 再 根 据 ， 求 出
，再结合基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ，
所以 ，
此时 ，
解得 ，
则抛物线 的方程为 ；
（2）证明：要证 ，
需证 平分 ，
即证 ，
由（1）知 ， ，
所以
，
32故 ；
（3）记 ， 分别与圆 切于点 ， ，连接 ， ， ，
易知 ，
由切线长定理可得 ， ， ，
所以 ，
因为
，
解得 ，
所以 ，
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
故 面积的最小值为8．
33【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中
档题．
22．（2024•昌乐县校级模拟）如图， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线
于 ， 两点，直线 交抛物线的准线于点 ，设抛物线在 点处的切线为 ．
（1）若直线 与 轴的交点为 ，求证： ；
（2）过点 作 的垂线与直线 交于点 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运动思想；数学运算
【分析】（1）利用已知条件证明 即可；
（2）利用条件证明 即可．
【解答】解：设直线 的方程为 ，
34联立 ，消去 得： ，
，
（1）证明：不妨设 在第一象限， 在第四象限，对于 ，
的斜率为 ，
的方程为 ，即为 ，
令 得 ，
直线 的方程为： ，
令 得 ，
所以 ，所以 ，
即 得证；
（2）证明：过点 的 得垂线的方程为： ，
即 ，
则 ，解得 的纵坐标为
要证明 ，因为 ， ， ， 三点共线，
只需证明： ，
35，
，
所以 成立， 得证．
【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系以及弦长公式的应用，属于中档题．
23．（2024•四川模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线交于 ，
两点， 为 的中点，且点 到抛物线的准线距离的最小值为2．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设抛物线在 ， 两点的切线相交于点 ，求点 的横坐标．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法
【分析】（1）设直线 ，与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式出最小值即可求解；
（2）设切线方程与抛物线联立，由判别式等于0化简切线方程，并求出交点坐标即可求解．
【解答】解：（1）由题知直线 的斜率不为0，
设直线 ，
联立 ，
得 ，
则△ ， ，
由抛物线的定义，知点 到抛物线准线的距离 ，
所以当 时， ，
36所以抛物线 的方程为 ．
（2）由题易知抛物线在 ， 两点处的切线与坐标轴不垂直，
设在点 ， 处的切线方程为 ，
即 ，
联立 ，
得 ，
则△ ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
即 ，
同理可得抛物线在点 ， 处的切线方程为 ，
设 ， ，
由 ，
得 ，
由（1）知 ，
所以 ，
37所以点 的横坐标为 ．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了焦点弦长公式及直线的方程，属中档题．
24．（2024•安徽模拟）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为 的准线 上一
点，直线 的斜率为 ， 的面积为 ．已知 ， ，设过点 的动直线与抛物线
交于 、 两点，直线 ， 与 的另一交点分别为 ， ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）当直线 与 的斜率均存在时，讨论直线 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2）直线 过定点 ．
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想
【分析】（Ⅰ）求得直线 的斜率和三角形 的面积，解方程可得 ，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）分别求得直线 ， 的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和三点共线的性质，结合直
线恒过定点可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设准线 与 轴的交点为 ，
38直线 的斜率为 ， ，又 ，
，解得 ，
故抛物线 的方程为： ．
（Ⅱ）设 ， ， ， ，
过点 的直线 的方程为： ．
则联立 ，整理得： ，
由韦达定理可得： ， ．
又设 ， ， ， ，
可得 的直线方程为： ，
由 ， ， 三点共线可得： ，
化简可得： ，
同理，由 ， ， 三点共线可得： ，
可得 ，
，
综上可得 的直线方程为： ，
变形可得： ，所以直线 过定点 ．
39【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属
于中档题．
25．（2024•五莲县校级模拟）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，设
抛物线 在点 ， 处的切线分别为 和 ，已知 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，设 与 的交
点为 ．
（1）证明：点 在定直线上；
（2）若 面积为 ，求点 的坐标；
（3）若 ， ， ， 四点共圆，求点 的坐标．
【答案】（1）证明见解答；
（2）点 的坐标为 或 ；
（2） 的坐标为 ， ．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；直线与抛物线的综合
【专题】逻辑推理；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算
【分析】（1）设 ， ， ， ， ， ，由 ，得 ，可求得 与 的方程，联
立可求得点 的坐标；再将直线 的方程与抛物线方程联立，即可证得点 在定直线上；
（ 2 ） 在 ， 的 方 程 中 ， 令 ， 得 ， ， ， ， 由
，结合韦达定理，可求得 的值，进而可求得点 的坐标；
40（3）依题意，可求得直线 的方程，再结合点 在定直线 上，联立两直线方程，即可求得点
的坐标．
【解答】解：（1）证明：设 ， ， ， ， ， ，由 ，得 ，所以 方程为：
，整理得： ，
同理可得， 的方程为： ，联立得： ， ．
设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得： ，故 ，
，所以 ， ，有 ，
所以点 在定直线 上．
（ 2 ） 在 ， 的 方 程 中 ， 令 ， 得 ， ， ， ， 所 以 的 面 积
，故 ，
代入可得： ，解得 或 ，所以点 的坐标为 或 ．
（3）抛物线焦点 ，由 ， 得直线 的斜率 ，
所以 ，同理 ，
所以 是 外接圆的直径，若点 也在该圆上，则 ．
由 ，得直线 的方程为： ，
又点 在定直线 上，
联立两直线方程，解得点 的坐标为 ， ．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查方程思想与转化与化归思想的应用，考查推理能力与
运算能力，属于难题．
41考点卡片
1．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（ ，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0， ），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 y轴
焦点在x轴长上 焦点在y轴长上
焦点
（ ，0） （0， ）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线
x＝﹣ y＝﹣
2．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
423．直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交 Δ＞0；
直线与抛物线相切⇔Δ＝0；
直线与抛物线相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】⇔
研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形
式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同
时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．
直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组 的解的个数．
（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一
个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，
设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一
个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
【命题方向】
掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系
提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以
课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往
往是高考考试的热点．
434．抛物线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离．
【解题方法点拨】
1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度．
2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离．
【命题方向】
﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径．
﹣分析焦点弦和焦半径的性质．
5．直线与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的
方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【解题方法点拨】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F （﹣1，0）、F （1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心
1 2
率 ．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F 的任意一条直线与圆锥曲线 C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点 P，使
2
的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为 （a＞b＞0），
∴c＝1，
∵ ，
∴a＝2，
∴ ，
所求方程为 ．
44（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由 ，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而 ， ，
设P（t，0），则
＝
当 ，
解得
此时对 k R， ；
当AB⊥∀x轴∈ 时，直线AB的方程为x＝1，
x ＝x ＝1， ，
A B
对 ， ，
即存在x轴上的点 ，使 的值为常数 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种
特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是
求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，
这也是常用的方法．
【命题方向】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大
可以适当的放到最后做．
6．圆与圆锥曲线的综合
45【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c a2+b2＝c2
1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝1 ± ＝1
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:38:25；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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