文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练1
一．选择题（共10小题）
1．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ，则下列表述正确的
是
A． B． C． D．
2．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ， ，若定义集合运算： ， ，
，则集合 的所有元素之和为
A．6 B．3 C．2 D．0
3．（2024•宁波二模）已知点集 ， ， ， ．设非空点
集 ，若对 中任意一点 ，在 中存在一点 与 不重合），使得线段 上除了点 ， 外
没有 中的点，则 中的元素个数最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024•山东一模）用 （A）表示非空集合 中的元素个数，定义 ，
若 ， ， ，且 ，设实数 的所有可能取值组成的集合是
，则 等于
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（2024•河南模拟）已知集合 ，若集合 有15个真子集，则实数 的取值范
围为
A． ， B．
1C． D． ， ，
6．（2024•重庆模拟）已知集合 ，则如图中阴影部分表示的集合为
A． B． ，1， C． ，1， D． ，0，1，
7．（2024•葫芦岛二模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． D． ，
8．（2024•盐湖区一模）已知集合 ， ， ，若 ，则 的最大值
是
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024•大理州二模）已知 ，其中 ， ，则
A．0 B． 或 C． D．
10．（2023•福建二模） 是正整数集的子集，满足： ， ， ，并有如下性质：
若 ， ，则 ，则 的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•宜春模拟）已知 ，如果实数 满足对任意的 ，都存在 ，使得 ，
则称 为集合 的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有
A． ， B． ，
2C． D．
12．（2024•河南模拟）对于 的两个非空子集 ， ，定义运算 ， ，则
A． B．
C．若 ，则 D． 表示一个正方形区域
13．（2024•重庆模拟）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知 为
全集且元素个数有限，对于 的任意一个子集 ，定义集合 的指示函数 ， ．若
， ， ，则
注： 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和（其中 是 定义域的子集）．
A．
B．
C．
D．
14．（2024•新乡二模）已知 ，集合 ， ，
， ，则下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
15．（2024•北京模拟）对于数集 ， ，它们的 积 ， ，则
A．
B．若 ，则
3C．
D．集合 表示 轴所在直线
E．集合 表示正方形区域（含边界）
三．填空题（共5小题）
16．（2024•三明模拟）记 表示 个元素的有限集， （E）表示非空数集
中所有元素的和，若集合 ，则 ，若 ，则 的最小值为
．
17．（2024•浙江模拟）设集合 ，2，3，4，5，6，7，8，9， ，满足下列性质的集合称为“翔
集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2．则 的子集中有 个
“翔集合”．
18．（2024•朝阳区一模）设 ， 为两个非空有限集合，定义 其中 表示集合
的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6门高中
学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为 ， ，
， ．已知 物理，化学，生物 ， 地理，物理，化学 ， 思想政治，历史，地理 ，
给出下列四个结论：
①若 ， ，则 思想政治，历史，生物 ；
②若 ， ， ，则 地理，物理，化学 ；
③若 思想政治，物理，生物 ，则 ， ， ， ；
④若 ， ， ， ，则 思想政治，地理，化学 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
19．（2024•如皋市模拟）设集合 ， ， ，0， ， ，2， ，则集合 满足
4条件：“ ”的元素个数为 ．
20．（2023•徐汇区三模）
对任意数集 ， ， ，满足表达式为 且值域为 的函数个数为 ．记所有可能
的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•顺义区一模）给定正整数 ，设集合 ， ， ， ．若对任意 ， ，2，
， ， ， 两数中至少有一个属于 ，则称集合 具有性质 ．
（Ⅰ）分别判断集合 ，2， 与 ，0，1， 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， 具有性质 ，求 的值；
（Ⅲ）若具有性质 的集合 中包含6个元素，且 ，求集合 ．
22．（2024•新县校级模拟）给定整数 ，由 元实数集合 定义其相伴数集 ， ，
，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集，并定义 的范数 为其中所有元素绝对值之
和．
（1）判断 ， ，2， 、 ， ，0.5， ，哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个 元规范数集 ，求证： ；
（3）当 ， ， ， 遍历所有2023元规范数集时，求范数 的最小值．
注： 、 分别表示数集 中的最小数与最大数．
23．（2024•凌河区校级模拟）设 ， 是两个非空集合，如果对于集合 中的任意一个元素 ，按照某
种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的元素 和它对应，并且不同的 对应不同的 ；同时
中的每一个元素 ，都有一个 中的元素 与它对应，则称 为从集合 到集合 的一一对应，
5并称集合 与 等势，记作 ．若集合 与 之间不存在一一对应关系，则称 与 不等势，记作
．
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 ．
（1）已知集合 ， ，试判断 是否成立？请说明理由；
（2）证明：
① ；
② ．
24．（2024•景德镇模拟）设 ， 是非空集合，定义二元有序对集合 ， 为
和 的笛卡尔积．若 ，则称 是 到 的一个关系．当 时，则称 与 是 相关的，
记作 ．已知非空集合 上的关系 是 的一个子集，若满足 ，有 ，则称 是自反的：
若 ， ，有 ，则 ，则称 是对称的；若 ， ， ，有 ， ，则 ，则称
是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称 是集合 中的一个等价关系，记作 ．
（1）设 ，2，3，4，5， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，2， ， ，5， ，求集合 ， 与 ， ；
（2）设 是非空有限集合 中的一个等价关系，记 中的子集 ， 为 的 等价
类，求证：存在有限个元素 ，使得 ，且对任意 ， ， ，2，
， ；
（3）已知数列 是公差为1的等差数列，其中 ， ，数列 满足 ，其中
6， 前 项 和 为 ． 若 给 出 上 的 两 个 关 系
和
请求出关系 ，判断 是否为 上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明
你的结论并请写出 中所有等价类作为元素构成的商集合 ．
25．（2024•马鞍山模拟）已知 是全体复数集 的一个非空子集，如果 ， ，总有 ， ，
，则称 是数环．设 是数环，如果① 内含有一个非零复数；② ， 且 ，有
，则称 是数域．由定义知有理数集 是数域．
（1）求元素个数最小的数环 ；
（2）证明：记 ，证明： 是数域；
（3）若 ， 是数域，判断 是否是数域，请说明理由．
72025年菁优高考数学压轴训练1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ，则下列表述正确的
是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】判断两个集合的包含关系
【专题】集合思想；逻辑推理；函数的性质及应用；综合法
【分析】由集合间的关系判断即可得解．
【解答】解： ， ， 、
， ， 、
为奇数、 为任意整数、
．
故选： ．
【点评】本题考查集合的关系的判断，集合的关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是
基础题．
2．（2024•湖北模拟）已知集合 ， ， ， ，若定义集合运算： ， ，
，则集合 的所有元素之和为
A．6 B．3 C．2 D．0
【答案】
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】根据 的定义即可求出 的元素，从而得解．
【解答】解：因为 ，2， ，所以集合 的所有元素之和为6．
8故选： ．
【点评】本题考查了元素与集合的关系， 的定义，是基础题．
3．（2024•宁波二模）已知点集 ， ， ， ．设非空点
集 ，若对 中任意一点 ，在 中存在一点 与 不重合），使得线段 上除了点 ， 外
没有 中的点，则 中的元素个数最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】定义法；集合思想；集合；数学运算
【分析】根据整点 ， 的连线内部没有其它整点，当且仅当 与 互为素数，讨论 只有
一个点 得到矛盾，进而有 中元素不止一个，取 ， 分析是否满足要求即可．
【解答】解：对于整点 ， 的连线内部没有其它整点，当且仅当 与 互为素数，
若 只有一个点 ，取 的点 使 ， 和 ， 分别同奇偶， ， 有公因子2（或重合），
不合题意，
故 中元素不止一个，令 ， ，对于 的点 ，
当 或3时，取 ；当 或4时，取 ；
由于 、 横坐标之差为 ，故 内部无整点；
当 ， ，3， 时，取 ，此时横坐标之差为2，纵坐标之差为奇数，二者互素；
当 ， ， 时，取 ，此时横坐标之差为3，纵坐标之差为 ， ，二者互素；
综上， 中的元素个数最小值是2．
故选： ．
【点评】本题考查集合新定义，考查集合的表示方法，属于中档题．
94．（2024•山东一模）用 （A）表示非空集合 中的元素个数，定义 ，
若 ， ， ，且 ，设实数 的所有可能取值组成的集合是
，则 等于
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合；计算题；转化思想；综合法；数学运算
【 分 析 】 结 合 题 意 知 （ A ） ， 从 而 可 得 （ B ） 或 （ B ） ， 即 方 程
有1个根或3个根，而由 得 或 ，分类讨论；当 时，
求解集合 ，判断；当 时， 对应的根为 0 和 ，则 （B） ，再按方程
的解的情况分两类讨论，进一步检验即可．
【解答】解：由题意知， （A） ，
，
，
（B） 或 （B） ，
即方程 有1个根或3个根，
若 ，
则 或 ，
若 ，则 或 ，
当 时， ， （B） ，符合题意；
当 时， 对应的根为0和 ，
10若 （B） ，则有以下两种情况，
①当 有两个相等的实数根时，
△ ，
解得 ，
当 时， ， ， ，
（B） ，符合题意；
当 时， ， ， ，
（B） ，符合题意；
②当 有两个不相等的实数根时，
则 是 的一个根，
即 ，
无解；
综上所述， ， ， ；
故 ，
故选： ．
【点评】本题考查了新定义的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题．
5．（2024•河南模拟）已知集合 ，若集合 有15个真子集，则实数 的取值范
围为
A． ， B．
C． D． ， ，
【答案】
【考点】子集与真子集
【专题】转化思想；计算题；综合法
11【分析】根据真子集的定义，推断出集合 含有4个元素，即不等式 的解集中有且仅有4个
整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数 的取值范围．
【解答】解：若集合 有15个真子集，则 中含有4个元素，
结合 ，可知 ，即 ，且区间 ， 中含有4个整数，
①当 时， ， 的区间长度 ，此时 ， 中不可能含有4个整数；
②当 时， ， ， ，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当 时， ， 的区间长度大于3，
若 ， 的区间长度 ，即 ．
若 是整数，则区间 ， 中含有4个整数，根据 ，可知 ， ，
此时 ， ， ，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若 不是整数，则区间 ， 中含有5、6、7、8这4个整数，则必须 且 ，
解得 ；
若 时， ， ， ，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当 时， ， 的区间长度 ，此时 ， 中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故 ，即 ，结合 可得 ．
综上所述， 或 或 ，即实数 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查真子集的定义与性质、不等式的整数解的个数问题等知识，考查了计算能力、分
类讨论的数学思想，属于中档题．
6．（2024•重庆模拟）已知集合 ，则如图中阴影部分表示的集合为
12A． B． ，1， C． ，1， D． ，0，1，
【答案】
【考点】 图表示交并补混合运算
【专题】转化思想；集合；数学运算；综合法
【分析】图中阴影部分表示集合 ，由此即可得．
【解答】解： ，
图中阴影部分表示的集合为 ，1， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
7．（2024•葫芦岛二模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． D． ，
【答案】
【考点】求集合的交集
【专题】数学运算；转化思想；转化法；集合
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ， ，则 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
8．（2024•盐湖区一模）已知集合 ， ， ，若 ，则 的最大值
是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【考点】集合的包含关系的应用
13【专题】综合法；集合思想；集合；数学运算；计算题
【分析】解出集合 ，由集合的包含关系可得出关于实数 的不等式组，解之即可得出实数 的最大值．
【解答】解：因为 ，由 可得 ，解得 ，
即 ， ，
又因为 ， ，则 ，解得 ，
故 的最大值为2．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于中档题．
9．（2024•大理州二模）已知 ，其中 ， ，则
A．0 B． 或 C． D．
【答案】
【考点】两个集合相等的应用
【专题】数学运算；方程思想；转化法；集合
【分析】根据集合相等及一元二次方程的解法可得出所求的参数 的值．
【解答】解：由题意知： 为方程 的根，
当 时，方程 转化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，有 ，此时 ．
故选： ．
【点评】本题考查集合相等的概念及一元二次方程的解法，考查学生的数学运算能力，属中档题．
10．（2023•福建二模） 是正整数集的子集，满足： ， ， ，并有如下性质：
若 ， ，则 ，则 的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】
14【考点】元素与集合关系的判断
【专题】综合法；数学运算；逻辑推理；直观想象；集合；转化思想
【分析】根据题意，求出 ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．
【解答】解：由题意可知：若 ， ，则 ， ， ， 均属于 ，
而事实上，若 ，中 ，
所以 ，
故 ， 中有正整数 ，
从而 中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3， ， ，
若 ， ，则有 ，与 矛盾，
当 时， ，
当 时，则 ，
所以 ， ，
所以 ，2， ， ，
所以非空子集有 个．
故选： ．
【点评】本题考查了求非空子集的个数，难点在于求出 ，也考查了逻辑推理能力，属于难题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•宜春模拟）已知 ，如果实数 满足对任意的 ，都存在 ，使得 ，
则称 为集合 的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有
15A． ， B． ，
C． D．
【答案】
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】综合法；综合题；集合；集合思想；数学运算
【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．
【解答】解：对于 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，故 正确；
对于 ，假设集合 ， 以0为“开点“，则对任意的 ，存在 ， ，
使得 ，当 时，该式不成立，故 错误；
对于 ，假设集合 以0为“开点“，则对任意的 ，存在 ，
使得 ，故 正确；
对于 ，集合 ， ， ，当 时， ，
时 ，使得 不成立，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
12．（2024•河南模拟）对于 的两个非空子集 ， ，定义运算 ， ，则
A． B．
C．若 ，则 D． 表示一个正方形区域
【答案】
【考点】子集与真子集；交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；集合
【分析】根据新定义逐个选项判断即可．
【解答】解：对于选项 ，由题意知， ， 表示以数集 中的数为横坐标，数集
16中的数为纵坐标的点的集合，
故 ，故选项 错误；
对于选项 ，因为 ， ， ，
又 ， ， ， ，
所以 ，则选项 正确；
对于选项 ，若 ，则 ，故选项 正确；
对于选项 ，若 ，集合 只包含一个点，故选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查集合新定义，属于中档题．
13．（2024•重庆模拟）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知 为
全集且元素个数有限，对于 的任意一个子集 ，定义集合 的指示函数 ， ．若
， ， ，则
注： 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和（其中 是 定义域的子集）．
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；转化思想；综合法；集合
【分析】充分利用 ， 以及 的定义，推导出当 时， ，
17， 均为0，当 时， ， ， 中至少一个为1，结合 的定义化简
求解．
【解答】解：对于 ， ， ，
，故 错误；
对于 ，若 ，则 ， ， ，
此时满足 ，
若 且 时， ， ， ，
若 且 时， ， ， ，
若 且 时， ， ， ，
综上可得 ，故 正确；
对于 ，
，
，
，
，
18，故 正确；
对于 ， ，
当 时， ， ， 中至少一个为1，
，
当 时， ， ， 均为0，
，
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查集合中元素与集合的关系、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
14．（2024•新乡二模）已知 ，集合 ， ，
， ，则下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用
【专题】综合题；集合；集合思想；综合法；数学运算
【分析】根据集合代表的含义，结合直线过定点以及直线与圆的关系，圆与圆的关系，即可结合选项逐
一求解．
【解答】解： 表示过定点 ，且斜率为 的直线的点构成的集合，
表 示 过 定 点 且 斜 率 为 的 直 线 的 点 构 成 的 集 合 ，
；表示圆心为 ，半径为 的圆上的点构成的集合，
19表示圆心为 ，半径为 的圆上的点构成的集合，
对于 ，集合 ， 中的直线平行，故 ，故 正确；
对于 ，由于 ，故 在圆 内，故经过点 的直线与圆相交，
，故 正确，
对于 ，由于 ，故 在圆 外，此时 不一定
成立，
故 错误；
对于 ，由于 ，故两圆相交， ， 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的交集，属于中档题．
15．（2024•北京模拟）对于数集 ， ，它们的 积 ， ，则
A．
B．若 ，则
C．
D．集合 表示 轴所在直线
E．集合 表示正方形区域（含边界）
【答案】
【考点】集合的包含关系判断及应用
【专题】数学运算；集合；集合思想；定义法
【分析】根据新定义逐个选项判断即可．
【解答】解：由题知， ， 表示数集 中的数表示横坐标，
数集 中的数表示纵坐标，组成的点的全体，
故 ， 错；
若 ，则 ， 正确；
20， ， ，
， ， ， ，
则 ， 正确；
集合 表示 轴所在直线， 正确；
集合 表示正方形区域（含边界）， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查集合新定义，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•三明模拟）记 表示 个元素的有限集， （E）表示非空数集
中所有元素的和，若集合 ，则 ， 7 ， 8 ， ，若 ，则
的最小值为 ．
【答案】 ，7，8， ；21．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想
【分析】第一空，根据集合新定义可写出 的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出
，4，5， ， ，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出 的范
围，即可求得答案．
【解答】解：当 ， 时， 表示3个元素的有限集，
由 可知 ，2， 或 ，2， 或 ，3， 或 ，3， ，
故 ，7，8， ；
由题意知 ，4，5， ， ，
故由 可得 ，即 ，
21解得 或 （舍去），
结合 ，故 的最小值为21，
故答案为： ，7，8， ；21．
【点评】本题考查了集合新定义，属于中档题．
17．（2024•浙江模拟）设集合 ，2，3，4，5，6，7，8，9， ，满足下列性质的集合称为“翔
集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于 2．则 的子集中有 49
个“翔集合”．
【答案】49．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合；对应思想；逻辑推理；数学运算；直观想象；综合法
【分析】设满足题意性质的子集个数为 ，则有 ， ，当 时，分为有 的子集和不含
有 的子集，分别求解，即可得答案．
【解答】解：设集合 ，2，3， ， 中满足题设性质的子集个数为 ，则 ， ，
当 时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：
一类是含有 的子集，去掉 后剩下小于 单元子集或者是 ，2，3， ， 满足题设性质的子集，
前者有 个，后者有 个；
另一类是不含有 的子集，此时恰好是 ，2，3， ， 满足题设性质的子集，有 个，
于是 ，
又 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ．
故答案为：49．
【点评】本题属于新概念题，考查了求子集的个数，关键点在于理解“翔集合”的概念，属于中档题．
18．（2024•朝阳区一模）设 ， 为两个非空有限集合，定义 其中 表示集合
22的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6门高中
学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为 ， ，
， ．已知 物理，化学，生物 ， 地理，物理，化学 ， 思想政治，历史，地理 ，
给出下列四个结论：
①若 ， ，则 思想政治，历史，生物 ；
②若 ， ， ，则 地理，物理，化学 ；
③若 思想政治，物理，生物 ，则 ， ， ， ；
④若 ， ， ， ，则 思想政治，地理，化学 ．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【答案】①③．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】逻辑推理；推理和证明；整体思想；定义法
【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到 必为偶数，讨论
和 两种情况下的求解即可；对于④：通过举例 物理，地理，历史 来说明．
【解答】解：对于①： ，
所以 ，所以 ，
又 地理，物理，化学 ，所以 思想政治，历史，生物 ，①正确；
对于②： ， ， ，即 ，
所以 ，所以 必为偶数，又 ，
当 时， ，不符合 ，
23所以 且 ，此时 情况较多，比如 物理，地理，生物 ，②错误；
对 于 ③ ： 若 思 想 政 治 ， 物 理 ， 生 物 ， 则 ， ，
，
所以 ， ， ， ，③正确；
对于④：当 物理，地理，历史 时，
， ， ，
满足 ， ， ， ，但不是 思想政治，地理，化学 ，④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题属于新定义试题，考查对于新定义的理解以及运算能力，属于中档题．
19．（2024•如皋市模拟）设集合 ， ， ，0， ， ，2， ，则集合 满足
条件：“ ”的元素个数为 1 8 ．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】计算题；分类讨论；分类法；集合；排列组合
【分析】由题意可知分 与 讨论，从而解得．
【解答】解： ，且 ，0， ，
当 时，
， ， 中两个0，一个2或 ；
故共有 种；
当 时，
， ， 中一个0，另两个是2或 ；
故共有 种；
24故共有18个元素，
故答案为：18．
【点评】本题考查了排列组合的应用及分类讨论的思想应用．
20．（2023•徐汇区三模）
对任意数集 ， ， ，满足表达式为 且值域为 的函数个数为 ．记所有可能
的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 64 3 ．
【答案】643．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；综合法；逻辑推理；集合；集合思想
【分析】根据给定条件，探讨函数 的性质并作出图象，求出集合 ，进而求得答案作答．
【解答】解： ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得极大值0，
当 时，该函数取得极小值 ，图象如图，
观察图象知，当 ，2， 与图象有一个公共点时，相应的 有1种取法，
当 ，2， 与图象有两个公共点时，相应的 有 种取法，
当 ，2， 与图象有三个公共点时，相应的 有 种取法，
25直线 ， ， 与函数图象的交点个数可能的取值为：
，1， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ， ，3，
， ，3， ，
对应的函数个数为1，3，7， ， ， ， ， ， ，
集合 中元素之和为：
．
故答案为：643．
【点评】本题考查元素与集合的关系、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•顺义区一模）给定正整数 ，设集合 ， ， ， ．若对任意 ， ，2，
， ， ， 两数中至少有一个属于 ，则称集合 具有性质 ．
（Ⅰ）分别判断集合 ，2， 与 ，0，1， 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， 具有性质 ，求 的值；
（Ⅲ）若具有性质 的集合 中包含6个元素，且 ，求集合 ．
【答案】（Ⅰ）集合 ，2， 不具有性质 ，集合 ，0，1， 具有性质 ．
（Ⅱ） ．
（Ⅲ） 或 ．
【考点】元素与集合关系的判断；数列的应用
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】（Ⅰ）根据性质 的定义，即可判断两个集合是否满足．
（Ⅱ）根据性质 的定义，首先确定 ， ， ，再讨论 是否属于集合 ，0， ，即可确定
的取值，即可求解．
（Ⅲ）首先确定集合 中有0，并且有正数和负数，然后根据性质 讨论集合中元素的关系，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）集合 ，2， 中的 ，2， ， ，2， ，
26所以集合 ，2， 不具有性质 ，
集合 ，0，1， 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合 ，
0，1， ，所以集合 ，0，1， 具有性质 ；
（Ⅱ）若集合 ， ， 具有性质 ，记 ， ， ，则 ，
令 ，则 ， ， ，从而必有 ， ， ，
不妨设 ，则 ，0， ， 且 ，
令 ， ，则 ， ，0， ，且 ， ，0， ， 且 ，
以下分类讨论：
①当 ，0， 时，若 ，此时， ，0， 满足性质 ；
若 ，舍；若 ，无解；
②当 ，0， 时，则 ， ，0， ，注意 且 ，可知 无解；
经检验 ，0， 符合题意，
综上 ；
（Ⅲ）首先容易知道集合 中有0，有正数也有负数，
不 妨 设 ， ， ， ， 0 ， ， ， ， ， 其 中 ， ，
，
根据题意 ， ， ， ， ， ，
且 ， ， ， ， ， ，从而 ， ， 或 ，
①当 ， ， 时， ， ， ，
并且 ， ， ， ， ，
27由上可得 ， ， ， ， ，并且 ，
综上可知 ， ， ，0， ， ；
②当 ， ， 时，同理可得 ， ，0， ， ， ，
据此，当 中有包含6个元素，且 时，符合条件的集合 有5个，
分别是 ， ，0，1，2， ， ， ，0， ，1， ， ， ，0， ， ， ， ，
， ，0，1， ， ， ， ，0， ， ．
【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
22．（2024•新县校级模拟）给定整数 ，由 元实数集合 定义其相伴数集 ， ，
，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集，并定义 的范数 为其中所有元素绝对值之
和．
（1）判断 ， ，2， 、 ， ，0.5， ，哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个 元规范数集 ，求证： ；
（3）当 ， ， ， 遍历所有2023元规范数集时，求范数 的最小值．
注： 、 分别表示数集 中的最小数与最大数．
【答案】（1）集合 不是规范数集；集合 是规范数集；
（2）答案见解析；
（3） ．
【考点】集合交并补混合关系的应用
【专题】综合法；集合；新定义；分类讨论；数学运算；逻辑推理
【分析】（1）根据 元规范数集的定义，只需判断集合 ， 中的元素两两相减的差的绝对值，是否都
大于等于1即可；
（2）利用 元规范数集的定义，得到 ，从而分类讨论 ， 和 ， 三种情况，
结合取绝对值的方法即可证明；
（3）利用规范数集的定义和（2）的结论即可得解．
28【解答】（1）解：对于集合 ， ，2， ，因为 ，
所以集合 不是规范数集；
对于集合 ， ，0.5， ，
， ， ， ， ，
所以集合 相伴数集 ，2， ，即 ，
故集合 是规范数集．
（2）证明：不妨设集合 中的元素为 ，即 ， ，
因为 为规范数集，则 ， ，则 ，且 ， ，使得 ，
当 时 ， 则
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时， ，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 ， 时 ，
，
当且仅当 时，等号成立；
综上所述， ．
（3）解：不妨设 ，
因为 为规范数集，则 ， ，则 ，且 ， ，使得 ，
所以对于 ， ， ，同样有 ， ，则 ，
29由（2）的证明过程与结论， 可得，
，当且仅当 时，等号成立，
即 ， ， ， ，
所以范数
，
当且仅当 时，等号成立，
所以范数 的最小值为 ．
【点评】本题考查新定义的理解与运用，分类讨论的熟悉思想方法，属难题．
23．（2024•凌河区校级模拟）设 ， 是两个非空集合，如果对于集合 中的任意一个元素 ，按照某
种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的元素 和它对应，并且不同的 对应不同的 ；同时
中的每一个元素 ，都有一个 中的元素 与它对应，则称 为从集合 到集合 的一一对应，
并称集合 与 等势，记作 ．若集合 与 之间不存在一一对应关系，则称 与 不等势，记作
．
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 ．
（1）已知集合 ， ，试判断 是否成立？请说明理由；
（2）证明：
① ；
② ．
【答案】（1）成立，理由见解析；
（2）证明见解析．
30【考点】元素与集合关系的判断
【专题】分析法；数据分析；集合思想；新定义；集合
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）①取特殊函数满足定义域为 ，值域为 即可利用其证明；
②设 ， ，假设 ，利用反证法得证．
【解答】解：（1）设 ， ， ，令
则 与 存在一一对应，所以集合 ．
（2）①取函数 ，其中 ， ，两个集合之间存在一一对应，故
．
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为 ，值域为 即可，
如： 或 等均可，
②设 ， ，
假设 ，即存在对应关系 为一一对应，
对于集合 中的元素 ， ， ， ，至少存在一个 与这三个集合中的某一个对应，
所以集合 中必存在 ．
记 ，则 ，故 ，
从而存在 ，使得 （a） ；
若 ，则 （a） ，矛盾；
若 ，则 （a） ，矛盾．
31因此，不存在 到 的一一对应，所以 ．
【点评】本题考查集合的应用，考查理解能力和分析能力，属于难题．
24．（2024•景德镇模拟）设 ， 是非空集合，定义二元有序对集合 ， 为
和 的笛卡尔积．若 ，则称 是 到 的一个关系．当 时，则称 与 是 相关的，
记作 ．已知非空集合 上的关系 是 的一个子集，若满足 ，有 ，则称 是自反的：
若 ， ，有 ，则 ，则称 是对称的；若 ， ， ，有 ， ，则 ，则称
是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称 是集合 中的一个等价关系，记作 ．
（1）设 ，2，3，4，5， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，2， ， ，5， ，求集合 ， 与 ， ；
（2）设 是非空有限集合 中的一个等价关系，记 中的子集 ， 为 的 等价
类，求证：存在有限个元素 ，使得 ，且对任意 ， ， ，2，
， ；
（3）已知数列 是公差为1的等差数列，其中 ， ，数列 满足 ，其中
， 前 项 和 为 ． 若 给 出 上 的 两 个 关 系
和
请求出关系 ，判断 是否为 上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明
你的结论并请写出 中所有等价类作为元素构成的商集合 ．
32【答案】（1） ，3，4，5， ， ，2，4， ；
（2）证明见解答；
（3） 为奇数 ， 是 上的等价关系，证明见解答．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】数学运算；综合法；集合；整体思想；综合题
【分析】（1）结合所给定义，分别求出 ，2，3时对应的 的值， ，5，6时对应的 的值；
（2）结合所给定义中的自反性、对称性与传递性，借助反证法可得： ， ，总有 或
，即可得证；
（3）借助等差数列的性质计算可得数列 为等差数列，结合题目所给条件借助反证法可得
，结合所给定义及奇偶性的讨论即可得解．
【解答】解：（1）由 ， ， ，2， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
当 时，有 ，3，4，6，当 时，有 ，5，当 时，有 ，
有 ，3，4，5， ，
又 ，5， ， ， ，
当 时，有 ，4，当 时，有 ，5，当 时，有 ，
则 ，2，4， ；
（2）证明：因为 是 中的一个等价关系，由自反性可知 ，故 不为空集．
若 ，不妨假设 ，所以必有 与 ，由自反性可知 即 ，
再由传递性可知 ． ，则 ，而 ，即 ，
于是由传递性有 ，故 ，所以 ．
33同理可证明 ，所以 ．
综上所述， ， ，总有 或 ．
任取 构成 ，又任取 构成 ，
再任取构成 ， ，
以此类推，因为 是有限集合，结合上述结论可知必存在有限个元素 ，2， ， ，
使得 ，其中 ；
（3）证明：因为 ， ，所以 ，
故 ， ，所以 必存在．
由题意可知当 时，有 ，
整理即： ，
将 代入得： ，
即 ，所以数列 为等差数列，设其公差为 ，
当 时，有 ，显然 成立．
当 时，因为 ， ，即数列 不为常数列，
则 ， 所 以 ， 所 以
，即 ，
34由 ．
而 ， 因 为 ， 所 以
，
而 ，显然此方程无解，所以 ，与题意矛盾，
综 上 所 述 只 有 ． 所 以 ． 因 为
，由于数列 不为常数列，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
故 为奇数．所以 ，
，
而 为奇数，所以 与 一奇一偶，所以 ， ， ， 三奇一偶或两奇两偶，
又 ，所以 ， ， ， 不可能三奇一偶，
故 ， 均为奇数， ， 均为偶数或 ， 均为偶数， ， 均为奇数．
所以 或 ，
当 时， ， ，所以 是自反的；
当 ， ，将 ， 与 ， 取值对调，
则 ， ，所以 是对称的；
35当 ， 与 ， ，即 ，
其中 ， ， 为奇数， ， ， 为偶数或 ， ， 为偶数， ， ， 为奇数，
所以 ， ，所以 是传递的．
综上所述， 是 上的等价关系，
其中 ．
【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于难题．
25．（2024•马鞍山模拟）已知 是全体复数集 的一个非空子集，如果 ， ，总有 ， ，
，则称 是数环．设 是数环，如果① 内含有一个非零复数；② ， 且 ，有
，则称 是数域．由定义知有理数集 是数域．
（1）求元素个数最小的数环 ；
（2）证明：记 ，证明： 是数域；
（3）若 ， 是数域，判断 是否是数域，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）证明过程见解析；
（3） 不一定是数域，理由见解析．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】（1）根据数环的概念求解；
（2）根据数域的概念证明；
（3） 不一定是数域，举反例说明即可．
【解答】解：（1） 是数环，所以集合 非空，即 至少含有一个复数，
36取 ，则 ，
而显然 是一个数环，
故 ；
（2）证明：显然 ，对任意 ， ， ， ， ， ，
所 以 ，
，
所以 是数环，
又因为 ，
故 是一个数域；
（3） 不一定是数域，理由如下：
取 ， ， ，
则 ，但 ，
故 不是数域，
而若 ， 是数域，且 ，则 是数域．
【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．
37考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母
a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a A或a A．
2∈、集合中∉元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及
的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m Z，n Z}．求证：
（1）3 A； ∈ ∈
（2）偶∈数4k﹣2（k Z）不属于A．
分析：（1）根据集合∈ 中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明
要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3 A；
（2）设4k﹣2 A，则存在m，n ∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇∈ 或同偶时，m﹣∈n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2 A．
点评：本题∉考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
38题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3 A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a∈+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3 A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝∈1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或 ，…（10分）
由 ，得 ，成立…（12分）
故 …（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．两个集合相等的应用
【知识点的认识】
对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判
断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往
只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
已知集合A＝{0，2，4}， ．若A＝B，则实数n的值为（ ）
解：由题意，得m+n＝0或 ，
当m+n＝0时， ，即m＝2n+4，
39故2n+4+n＝0，解得 ，
故 ，所以B＝{4，0，2}，满足题意；
当 时，m+n＝2，解得n＝2，
所以n＝2或 ．
3．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定
义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
4．判断两个集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B；如果集合A是
集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
⊂
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
404．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】
通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．
已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（ ）
A．A＞B
B．B A
C．A∈B
D．B⊆A
解：由⊆题意可得，B A．
故选：D． ⊆
5．集合的包含关系的应用
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B，读作“A包含于
B”（或“B包含于A”）． ⊆
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】
设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B A，则m的取值范围是_____．
⊆
解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B A，
∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝ ，符合题意； ⊆
∅
当m≥1时，可得 ，解得 ．
综上所述， ，即m的取值范围是 ．
故答案为： ．
6．子集与真子集
41【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就
说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A B（或B A）．
⊆ ⊇
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A B，但存在元素x B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
⊆ ∈
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3} {1，2，3，4}
{1，2，⊂3，4} {1，2，3，4}
⊆
3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在
所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集
就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A B，并且B A时，有A＝B，但是A B，并且B A，
是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是⊆不可忽视的⊆． ⊂ ⊂
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运
算，概率，函数的基本性质结合命题．
427．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝⊆（ A）∪（ B）⇔．⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等
联合命题．
8．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．
∅ ∅ ⊆ ⊆
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
已知集合A＝{x Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
所以A∩B＝{﹣∈1，0，1，2}．∈
43故选：D．
9．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，
属于基础题．
10．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
Venn图表示N∩（ M）为： ．
U
∁
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞∈10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是 （M∪N）＝[0，8]．
R
∁
4411．集合交并补混合关系的应用
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 （A∩B）＝ A∪ B， （A∪B）＝ A∩ B．
U U U U U U
集合吸收律 ∁A∪（A∩B）∁＝A，∁A∩（∁A∪B）＝A．∁ ∁
集合求补律 A∪ A＝U，A∩ A＝ ．
U U
∁ ∁ ∅
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∩（ B）＝A，则实数a的取值范围是（ ）
R
解：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以
R
B＝{x|x≤1或x≥∁2}，
由A＝{x|x≤a}，且A R B， ∁
得a≤1． ⊆∁
12．数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
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