文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练20
一．选择题（共10小题）
1．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若△ 为等边三角形，则双曲
线 的离心率为
A． B． C． D．
2．（2024•新郑市校级一模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ， 为
的右焦点， 的离心率为2，若 为 右支上一点，满足 ，则
A． B．1 C． D．2
3．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 ， ，直线 过点 且平行于
的一条渐近线， 交 于点 ，若 ，则 的离心率为
A． B．2 C． D．3
4．（2024•江西一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为 关
于渐近线的对称点．若 ，且△ 的面积为8，则 的方程为
A． B． C． D．
15．（2024•山西模拟）设直线 与双曲线 相交于 ， 两点，
若线段 中点的坐标是 ， ，且 ，则
A． B． C． D．2
6．（2024•辽宁模拟）已知定点 ，动点 在圆 上， 的垂直平分线交直线 于
点，若动点 的轨迹是双曲线，则 的值可以是
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024•大武口区校级四模）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ．过 作其中一
条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
8．（2024•天津模拟）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直
线与 分别在第一、二象限交于 ， 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
29．（2024•岳麓区校级模拟）已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且
，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
10．（2024•临渭区校级模拟）已知直线 与双曲线 的两条渐近线交于
两点，且点 在第一象限． 为坐标原点，若 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C．2 D．5
二．多选题（共4小题）
11．（2024•屯溪区校级模拟）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过
的直线 与圆 相切于点 ， 与第二象限内的渐近线交于点 ，则
A．双曲线 的离心率
B．若 ，则 的渐近线方程为
C．若 ，则 的渐近线方程为
D．若 ，则 的渐近线方程为
12．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 ， 分别交双曲线于 ， 和 ，
四点 ， ， ， 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是
A．四边形 一定是平行四边形
B．四边形 可能为菱形
3C． 的中点可能为
D． 的值可能为
13．（2024•新县校级模拟）双曲线 ，左、右顶点分别为 ， ， 为坐标原
点，如图，已知动直线 与双曲线 左、右两支分别交于 ， 两点，与其两条渐近线分别交于 ， 两
点，则下列命题正确的是
A．存在直线 ，使得
B． 在运动的过程中，始终有
C．若直线 的方程为 ，存在 ，使得 取到最大值
D．若直线 的方程为 ， ，则双曲线 的离心率为
14．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点
发出的光线 交双曲线右支于点 ，经双曲线反射后，反射光线 的反向延长线过左焦点 ．若双曲
线 的方程为 ，则
4A．双曲线的焦点 到渐近线的距离为
B．若 ，则
C．当 过点 时，光线由 所经过的路程为8
D．反射光线 所在直线的斜率为 ，则
三．填空题（共5小题）
15．（2024•浙江模拟）已知双曲线 为双曲线的左右焦点，过 作斜率为正的直
线交双曲线左支于 ， ， ， 两点，若 ， ，则双曲线的离心
率是 ．
16．（2024•江宁区校级三模）已知双曲线 与直线 交于 ，
两点（点 位于第一象限），点 是直线 上的动点，点 ， 分别为 的左、右顶点，当
最大时， 为坐标原点），则双曲线 的离心率 ．
17．（2024•闵行区二模）双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过坐标原点的直线与 相交
于 、 两点，若 ，则 ．
18．（2024•咸安区校级模拟）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角
5得到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 ．现
将双曲线 上的每个点 绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到曲线 ，则曲线 的方程
为 ．
19．（2024•辽宁模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
点 作斜率为 的直线与 的右支交于点 ，且点 满足 ，且 ，则 的离
心率是 ．
四．解答题（共6小题）
20．（2024•盐湖区一模）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，直线 经过双曲线的左焦点 ，
与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点．
（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）若 ，求 的面积．
21．（2024•江西模拟）已知双曲线 的离心率为2，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求 的值．
22．（2024•浦东新区三模）已知双曲线 ，点 、 分别为双曲线的左、右焦点， ，
、 ， 为双曲线上的点．
（1）求右焦点 到双曲线的渐近线的距离；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若 ，其中 、 两点均在 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形
的面积的取值范围．
623．（2024•濮阳模拟）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若 的离心
率 ，且点 在 上．
（1）求 的方程．
（2）若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点（不同于双曲线的顶点），问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离
之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左，
右焦点分别为 ， ， 的离心率为2．点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与
的渐近线交于 ， 两点．当 轴时，直线 为△ 的等线．
（1）求 的方程；
（2）若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
（3）设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 处的切线 为△ 的等线．
25．（2024•青羊区校级模拟）已知双曲线 经过点 ，且离心率为2．
（1）求 的方程；
（2）过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，交 轴于点 ．设点 ， 为双曲线 上的两个动
点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，求 ．
72025年菁优高考数学压轴训练20
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若△ 为等边三角形，则双曲
线 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率 ．
【解答】解：由题意，因为△ 为等边三角形，
所以 ， ，
因为△ △ ，
所以 ， ，即 ，故点 ，
8因为 ，
则 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能
力，属于中档题．
2．（2024•新郑市校级一模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ， 为
的右焦点， 的离心率为2，若 为 右支上一点，满足 ，则
A． B．1 C． D．2
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】设点 ， ，由 的离心率可得 、 与 的关系，再由 ，求得 ，将
代入 的方程，得 ，然后分类利用三角公式求解．
【解答】解：设点 ， ，
由 ，得 ，
， ，将 代入 的方程得 ，得 ，
当 时， ，
故 ．
同理可得当 时， ．
9故选： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题．
3．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 ， ，直线 过点 且平行于
的一条渐近线， 交 于点 ，若 ，则 的离心率为
A． B．2 C． D．3
【答案】
【考点】双曲线与平面向量
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】先求出直线 的方程，联立直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：由题意得， ， ，直线 的方程为 ，
联立 与 可得， ，
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
化简得， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题．
4．（2024•江西一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为 关
于渐近线的对称点．若 ，且△ 的面积为8，则 的方程为
10A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】根据双曲线的性质可知 ， ，由条件得 ，根据三角形中位线，可得
，再结合 ，即可求解．
【解答】解：因为 关于 的一条渐近线的对称点为 ，
令渐近线为 ．即 ， ，
则 到 的距离为 ，
所以 ，又 ．
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为△ 的面积为8，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ， ，
所以双曲线方程为 ．
故选： ．
11【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
5．（2024•山西模拟）设直线 与双曲线 相交于 ， 两点，
若线段 中点的坐标是 ， ，且 ，则
A． B． C． D．2
【答案】
【考点】双曲线的中点弦
【专题】综合法；数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理所求值．
【解答】解：将 ， 代入直线 中，得 ，
联立 ，解得 ， ，
设 ， ， ，
联立 和双曲线 ，
消去 得 ，
则△ ，
12因此 ，
整理得 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程、直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
6．（2024•辽宁模拟）已知定点 ，动点 在圆 上， 的垂直平分线交直线 于
点，若动点 的轨迹是双曲线，则 的值可以是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【考点】双曲线的性质
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算
【分析】当 在圆内时，由几何性质可得 ，此时点 的轨迹是以 ， 为焦
点的椭圆，当点 在圆上时，线段 的中垂线交线段 于圆心 ，当点 在圆外时，
，此时点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的一支，从而得到答案．
【解答】解：当 在圆内，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点，
则 ，线段 的中点 在线段 内，
则线段 的中垂线交线段 于点 ，如图1，
连接 ，则 ，
所以 ，
则 ，
此时 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
13当点 在圆上时，线段 的中垂线交线段 于圆心 ，
当点 在圆外时，设 与圆的另一交点为 ，
设点 为弦 的中点，则 ，线段 的中点 在线段 内，
则线段 的中垂线交线段 的延长线于点 ，如图2，
连接 ，则 ，
所以 ，
则 ，
此时点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的一支，
同理当 在圆上运动时，还会得到 ，
所以动点 的轨迹是双曲线，则点 在圆外，所以 ．
综上可得， ．
故选： ．
14【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆与双曲线定义的应用，求解动点轨迹的常见方法有：直
接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．
7．（2024•大武口区校级四模）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ．过 作其中一
条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；综合法；数学运算
【分析】根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为 ，则过 且垂直渐近线
的直线方程为 ，联立两直线方程求出 ， ，再根据题意建立方程，即可求解．
【解答】解：根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为 ，
则过 且垂直渐近线 的直线方程为 ，
联立 ，可得 ， ，
15，又 ，
， ，
， ，又 ，
双曲线的方程为 ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
8．（2024•天津模拟）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直
线与 分别在第一、二象限交于 ， 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解．
【解答】解：如图，
16设 ，内切圆圆心为 ，内切圆在 ， ， 上的切点分别为 ， ， ，
则 ， ， ，
由 及双曲线的定义可知，
，
故四边形 是正方形，
得 ，于是 ，
故 ，得 ，
于是 ，
在△ 中，由余弦定理可得：
，
从而 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2024•岳麓区校级模拟）已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且
，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值是
17A． B． C． D．
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；不等式；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】由椭圆与双曲线的定义，结合基本不等式的应用求解．
【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，
则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ，
， ，
设 ，
则在△ 中，由余弦定理得： ，
化简得 ，
即 ，
则
，
当且仅当 ，
即 时等号成立，
故选： ．
18【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
10．（2024•临渭区校级模拟）已知直线 与双曲线 的两条渐近线交于
两点，且点 在第一象限． 为坐标原点，若 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C．2 D．5
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线方程，再与直线方程联立求出点 ， 的坐标，然后列式求
出 ， 的关系即可．
【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 和 ，
显然直线 与直线 交点在第一象限，则有 ，即 ，
由 ，解得 ，即点 ，
由 ，解得 ，即点 ，而 ，
即 ，整理得 ，
所以双曲线 的离心率 ．
故选： ．
19【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
二．多选题（共4小题）
11．（2024•屯溪区校级模拟）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过
的直线 与圆 相切于点 ， 与第二象限内的渐近线交于点 ，则
A．双曲线 的离心率
B．若 ，则 的渐近线方程为
C．若 ，则 的渐近线方程为
D．若 ，则 的渐近线方程为
【答案】
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征；求双曲线的渐近线方程
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用 ，可得 ，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率 ，知
正确；根据斜率关系可知直线 为双曲线 的一条渐近线，利用 可构造方程求得 正确；
分别利用 和 可构造方程求得 正误．
【解答】解：对于 ， ， ， ， ，
， ，
20又 与第二象限内的渐近线交于点 ，
，即 ， ， ， 正确；
对于 ，由 知： ，又 ， ， 直线 即为双曲线 的一条渐近线，
，
，又 ， ， ， ，
，
， ，整理可得： ，即 ，
，
，即 ，解得： ， 的渐近线方程为 ， 错误；
对于 ， ， ，
，
，整理可得： ，
即 ， ， ， 的渐近线方程为 ， 正确；
对于 ， ， ， ，
，
， ，
，整理可得： ，
21， ，即 ， 的渐近线方程为 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造
关于 ， ， 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程．是中档题．
12．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 ， 分别交双曲线于 ， 和 ，
四点 ， ， ， 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是
A．四边形 一定是平行四边形
B．四边形 可能为菱形
C． 的中点可能为
D． 的值可能为
【答案】
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数
【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得
结论．
【解答】解：由双曲线的中心对称性可知， ， 分别关于原点与 ， 对称，
故 ， ，所以四边形 一定是平行四边形，
而直线 ， 斜率之积为 ，则 与 不垂直，
所以四边形 不可能为菱形， 正确， 错；
设 ， ， ， ，则 ， ，
两式作差得 ，
将 ， 代入，
求得 ，故 的方程为 ，将其与双曲线联立，
22解得 ，此时 ，故 错误；
当点 位于第四象限，点 位于第一象限，
由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得 的取值范围为 ，
当点 位于第一象限，点 位于第二象限，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
由 可得 ，
又因为 ，
可得 的取值范围为 ，
综上 的取值范围为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属
于中档题．
13．（2024•新县校级模拟）双曲线 ，左、右顶点分别为 ， ， 为坐标原
点，如图，已知动直线 与双曲线 左、右两支分别交于 ， 两点，与其两条渐近线分别交于 ， 两
点，则下列命题正确的是
23A．存在直线 ，使得
B． 在运动的过程中，始终有
C．若直线 的方程为 ，存在 ，使得 取到最大值
D．若直线 的方程为 ， ，则双曲线 的离心率为
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；计算题；综合法；数学运算
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对 项判断；设直线 分别与
双曲线联立，渐近线联立，分别求出 ， 和 ， 坐标，从而可对 、 项判断；根据 ，求
出 ，从而可对 项判断．
【解答】解：对于 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故 项错误；
对于 项：设直线 ，与双曲线联立 ，得： ，
设 ， ， ， ，由根与系数关系得： ，
所以线段 中点 ，
将直线 与渐近线 联立得点 坐标为 ，
将直线 与渐近线 联立得点 坐标为 ，
所以线段 中点 ，
所以线段 与线段 的中点重合，所以 ，故 项正确；
对于 项：由 项可得 ，
因为 为定值，当 越来越接近渐近线 的斜率 时， 趋向于无穷，
24所以 会趋向于无穷，不可能有最大值，故 项错误；
对于 项：联立直线 与渐近线 ，解得 ，
联立直线 与渐近线 ，解得 ，
由题可知， ，
所以 ，即 ，
，解得 ，所以 ，故 项正确．
故选： ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于难题．
14．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点
发出的光线 交双曲线右支于点 ，经双曲线反射后，反射光线 的反向延长线过左焦点 ．若双曲
线 的方程为 ，则
A．双曲线的焦点 到渐近线的距离为
B．若 ，则
C．当 过点 时，光线由 所经过的路程为8
25D．反射光线 所在直线的斜率为 ，则
【答案】
【考点】双曲线的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；转化法
【分析】对于 ，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；
对于 ，判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；
对于 ，利用双曲线的定义直接求得；
对于 ，先求出双曲线的渐近线方程，由 在双曲线右支上，即可得到 所在直线的斜率的范围；
【解答】解：对于 ，由双曲线 的方程为 知双曲线的渐近线方程为： ，
焦点 到直线 的距离为： ，故 正确；
对于 ，若 ，
则 ，
因为 在双曲线右支上，
所以 ，由勾股定理得： ，
二者联立解得： ，故 正确；
对 于 ， 光 由 所 经 过 的 路 程 为
，故 不正确；
26对于 ，双曲线 的渐进线方程为 ，
设左、右顶点分别为 、 ，如图所示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时 ，最小，
因为 在双曲线右支上，
所以 所在直线的斜率为 ．即 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
15．（2024•浙江模拟）已知双曲线 为双曲线的左右焦点，过 作斜率为正的直
线交双曲线左支于 ， ， ， 两点，若 ， ，则双曲线的离心
率是 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解．
【解答】解：设 ， ， ，
，又 ，
27，又 ，
，
， ， ，
， ，
又 ， ，
，
，
，
，又 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
16．（2024•江宁区校级三模）已知双曲线 与直线 交于 ，
两点（点 位于第一象限），点 是直线 上的动点，点 ， 分别为 的左、右顶点，当
最大时， 为坐标原点），则双曲线 的离心率 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】综合法；整体思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】先求得 ， 两点的坐标，分析得到当 最大时， 最大，利用正切函数的定
义及基本不等式求出当 最大时点 的位置，根据 求得 ，进而求得双曲线的离
心率．
28【解答】解：将 代入双曲线方程得 ，得 ，所以 ．
设点 的坐标为 ，不妨设 ，
由题意知 为锐角，所以当 最大时， 最大，则 最大．
设双曲线 的右焦点为 ，因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时， 最大，即 最大．
由 可得 ，所以 ，
故双曲线 的离心率 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
17．（2024•闵行区二模）双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过坐标原点的直线与 相交
于 、 两点，若 ，则 4 ．
【答案】4．
【考点】双曲线与平面向量
29【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想
【分析】推得四边形 是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的
邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．
【解答】解：双曲线 的 ， ， ，
设 在第一象限， 在第四象限，设 ， ，
由题意可得 ，
由 ， ，可得四边形 是平行四边形，
则 ，
由双曲线的定义，可得 ，即 ，即有 ， ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
即有 ，
则 ．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积
的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（2024•咸安区校级模拟）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角
得到向量 ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 ．现
将双曲线 上的每个点 绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到曲线 ，则曲线 的方程
为 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线与平面向量
30【专题】数学运算；逻辑推理；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据定义，在双曲线上设点 ，求出旋转后点 的坐标，然后反求出 的坐标，再代
入双曲线方程，化简即得．
【解答】解：在双曲线 上任取一点 ，
将其绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到点
，即 ，
在曲线 上设点 ，
则有 ，
求出 ， ，得 ，
因点 在双曲线 上，
故： ，
整理得： ，故曲线 的方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查新定义的运用，考查双曲线的方程与性质，属于中档题．
19．（2024•辽宁模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
点 作斜率为 的直线与 的右支交于点 ，且点 满足 ，且 ，则 的离
心率是 ．
31【答案】 ．
【考点】双曲线的定义；双曲线的离心率
【专题】数学运算；对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据题意得到 是线段 的垂直平分线，从而得到 ，再利用 推得
，结合双曲线的定义得到关于 ， ， 的齐次方程，进而得解．
【解答】解：如图，直线 的斜率为 ．
由 ，得点 为 的中点，
又 ，所以 是线段 的垂直平分线，所以 ，
过点 作 于点 ，由已知得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ， 为 的中点，所以 ，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又题中直线与 的右支有交点，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 的离心率为 ．
32故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线离心率相关计算知识，属于中档题．
四．解答题（共6小题）
20．（2024•盐湖区一模）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，直线 经过双曲线的左焦点 ，
与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点．
（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】双曲线与平面向量
【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法
【分析】（1）设直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的
位置关系可得出关于实数 的不等式组，即可解得 的取值范围；
（2）设直线 的方程为 ，设点 ， 、 ， ，由平面向量的坐标运算可得出 ，
将直线 的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出 的值，可得出 的值，然后利用三角形的面
积公式可求得 的面积．
【解答】解：（1）在双曲线 中， ， ，则 ，
33该双曲线的左焦点为 ，若直线 的斜率不存在，则直线 与双曲线交于左支上的两点，不合乎题
意，
设直线 的方程为 ，设点 ， 、 ， ，
联立 可得 ，
因为直线 与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点，
所以， ，解得 ，
因此，直线 的斜率的取值范围是 ．
（2）因为 ， ，
由 可得 ，则 ，
当直线 与 轴重合时，则点 、 ， ， ，
此时， ，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
由（1）可得 ，则 或 ，
由韦达定理可得 ，则 ，
34，即 ，解得 ，则 ，
所以， ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属
于中档题．
21．（2024•江西模拟）已知双曲线 的离心率为2，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
【考点】由双曲线的离心率求解方程或参数
【专题】逻辑推理；综合法；数学运算；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出 和 的值，进而可得 的方程；
（2）设出 ， 两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，推出 且 ，再根据韦
达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）记双曲线 的半焦距为 ，
因为双曲线 的离心率为2，
所以 ，①
不妨设 的顶点为 ，渐近线方程为 ，
因为双曲线 的顶点到渐近线的距离为 ，
所以 ，②
又 ，③
35联立①②③，
解得 ， ， ，
则 的方程为 ；
（2）设 ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时 且△ ，
解得解得 且 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
解得 或 ，
此时满足 且 ．
故 或 ．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中
档题．
22．（2024•浦东新区三模）已知双曲线 ，点 、 分别为双曲线的左、右焦点， ，
、 ， 为双曲线上的点．
（1）求右焦点 到双曲线的渐近线的距离；
36（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若 ，其中 、 两点均在 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形
的面积的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ， ．
【考点】双曲线与平面向量
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解；
（2）先设直线 的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求；
（3）由对称性得，四边形 为平行四边形，且面积为四边形 面积的2倍，先设 ， ，
直线 程为 ，直线 方程 ，结合弦长公式求出 ，及平行线 与 之间的
距离 ，进而表示出四边形 的面积，再由函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）由题，右焦点 ，
渐近线方程为 ，
因此焦点 到渐近线的距离为 ；
（2）显然，直线 不与 轴重合，设直线 方程为 ，
由 ，得 ，
联立方程 ，得 ，
37其中，△ 恒成立， ， ，
代入 ，消元得 ， ，
即 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ；
（3）延长 交双曲线于点 ，延长 交双曲线于点 ．则由对称性得，四边形 为平行四边形，
且面积为四边形 面积的2倍，
由题，设 ， ，直线 程为 ，直线 方程 ，
由第（2）问，易得 ，
因为 ，得 ，即 ，因而 ，
平行线 与 之间的距离为 ，
因此， ，
令 ，则 ，
故 ，
得 在 上是严格增函数，
故 （等号当且仅当 时成立）
所以，四边形 面积的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题．
3823．（2024•濮阳模拟）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若 的离心
率 ，且点 在 上．
（1）求 的方程．
（2）若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点（不同于双曲线的顶点），问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】双曲线的定点及定值问题
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息、离心率公式以及 ， ， 之间的关系，列出等式求出 和
的值，进而可得 的方程；
（2）设出直线 的方程，将直线 的方程与双曲线方程联立，将 和 用坐标表示出来，利用韦
达定理将 表述出来，再进行化简求解即可．
【解答】解：（1）不妨设双曲线 的半焦距为 ，
因为双曲线 的离心率 ，且点 在 上，
所以 ，解得 ，
则 的方程为 ；
（2） 为定值，理由如下：
由（1）知 ，
39不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时 ，
因为 ，
所以 ，
同理得 ，
因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，
所以 ， 两点在 轴同侧，
此时 ，
即 ，
解得 ，
则
．
40故 ，为定值．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中
档题．
24．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离
之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左，
右焦点分别为 ， ， 的离心率为2．点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与
的渐近线交于 ， 两点．当 轴时，直线 为△ 的等线．
（1）求 的方程；
（2）若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
（3）设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 处的切线 为△ 的等线．
【答案】（1） ；
（2）12；
（3）证明见解答．
【考点】双曲线相关动点轨迹
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算
【分析】（1）求出点 ， ， 的坐标，由直线 为△ 的等线及双曲线的性质可求出 ， 的
值，从而可得 的方程；
（2）切线 ，代入 的方程，可得关于 的方程，由△ ，可得关于 的方程，表示
出 ，进一步可得 的方程为 ，求出点 ， 的横纵坐标，结合面积公式求解即可；
（3）表示出切线 的方程，易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 ， ， 到 的距离为
， ， ，利用点到直线的距离公式推出 ，即可得证．
41【解答】解：（1）由题意知 ， ， ，显然点 在直线 的上方，
因为直线 为△ 的等线，所以 ， ， ，
解得 ，
所以 的方程为 ；
（2）设 ， ，切线 ，代入 ，
得 ，
所以△ ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，
所以 ，即 方程为 ，
当 斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ， ，
故 ，
所以 是线段 的中点，
因为 ， 到过 的直线距离相等，则过 点的等线必满足： ， 到该等线距离相等且分居两侧，
所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得： ，
42所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ；
（3）证明：设 ，由 ，所以 ， ，
故曲线 的方程为 ，
由 知切线 为 ，即 ，即 ，
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 ， ， 到 的距离为 ， ， ，
由（2）知 ， ，
所以 ，
由 得 ，
，
因为 ，
所以直线 为△ 的等线．
【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
25．（2024•青羊区校级模拟）已知双曲线 经过点 ，且离心率为2．
（1）求 的方程；
43（2）过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，交 轴于点 ．设点 ， 为双曲线 上的两个动
点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，求 ．
【答案】（1） ．
（2） ．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征
【专题】转化思想；数学运算；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）根据离心率的定义得到 ，利用点在双曲线上代入求解即可，
（2）设出直线方程，联立方程，利用设而不求思想，利用斜率关系进行转化求解即可．
【解答】解：（1） 离心率为2， ，即 ，则 ，
即 ，则双曲线方程为
双曲线经过点 ，
，得 ，
的方程为 ．
（2）由题意，点 坐标为 ，点 坐标为 ，
设 ， ， ， ．
法一：
①若直线 斜率存在，设直线 方程为 ，
，消去 可得 ，
则 且△ ，
44且 ．
整理可得 ，
即 ，
化简得 ，
即 ，
因为直线 不过点 ，所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，恒过定点 ．
②若直线 斜率不存在，则 ， ．
则 ，
解得 ，所以直线 的方程为 ，过定点 ．
综上，直线 恒过定点 ．
法二： 直线 不过点 ， 可设直线 方程为 ．
由 可得 ，
即 ，
即 ，
得 ，
等式左右两边同时除以 得 ，
△ ，
45，解得 ．
所以直线 方程为 ，恒过定点
设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线位置关系的应用，联立方程，利用韦达定
理以及设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
46考点卡片
1．双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到
定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面
的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点
（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
① （a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
② （a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以 （a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝± ；③离心率e＝ ＞1；④渐近线：y＝±
x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
【解题方法点拨】
例1：双曲线 ﹣ ＝1的渐近线方程为
解：由 ﹣ ＝0可得y＝±2x，即双曲线 ﹣ ＝1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的 1看成是0，然后因式
分解得到的两个式子就是它的渐近线．
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程
47解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
设双曲线方程为 ﹣y2＝ （ ≠0），
λ λ
∵双曲线过点P（4，3），
∴ ﹣32＝ ，即 ＝﹣5．
λ λ
∴所求双曲线方程为 ﹣y2＝﹣5，
即： ﹣ ＝1．
一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到 a、b、c三者
中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的
表达式了．
【命题方向】
这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也
是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要
的，对于还剩下的部分，尽量多写．
2．求双曲线的渐近线方程
【知识点的认识】
双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线 或 ，其渐近线方程为
或 ．
【解题方法点拨】
1．计算斜率：利用 计算渐近线的斜率．
2．代入方程：写出渐近线方程．
【命题方向】
﹣给定双曲线的参数，求渐近线方程．
48﹣利用标准方程计算渐近线方程．
3．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
4．双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
49焦点 F （﹣c，0），F （ c，0） F （0，﹣c），F （0，c）
1 2 1 2
焦距 |F F |＝2c |F F |＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 ∈关于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝ （e＞1）
准线
x＝± y＝±
渐近线
质
± ＝0 ± ＝0
5．求双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的离心率e是 ，其中 是焦距的一半．
【解题方法点拨】
1．计算离心率：利用公式 计算离心率．
2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．
【命题方向】
﹣给定双曲线的参数，求离心率．
﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．
6．由双曲线的离心率求解方程或参数
【知识点的认识】
已知离心率e，可以求解c和a，从而得到双曲线的标准方程．
【解题方法点拨】
1．计算a和b：由e和c计算参数．
2．代入方程：得到双曲线的标准方程．
【命题方向】
50﹣给定离心率，求解双曲线的方程或参数．
﹣利用离心率计算标准方程．
7．双曲线相关动点轨迹
【知识点的认识】
动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化．
【解题方法点拨】
1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹．
2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质．
【命题方向】
﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹．
﹣分析轨迹方程及其性质．
8．直线与双曲线的综合
【知识点的认识】
直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与双曲线相交 Δ＞0；
直线与双曲线相切⇔Δ＝0；
直线与双曲线相离⇔Δ＜0；
直线与双曲线的位⇔置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有 2个．
值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐
近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．
【解题方法点拨】
（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：
①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．
（2）弦长的求法
设直线与双曲线的交点坐标为A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则|AB|＝ ＝ （k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【命题方向】
双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应
用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基
51本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．
9．直线与双曲线的位置关系及公共点个数
【知识点的认识】
直线与双曲线的交点数量取决于它们的方程．可以通过联立方程求解交点数量．
【解题方法点拨】
1．联立方程：将直线方程和双曲线方程联立．
2．求解交点：通过解方程得到交点的数量．
【命题方向】
﹣给定直线方程和双曲线方程，求交点数量．
﹣分析直线与双曲线的交点情况．
10．双曲线的中点弦
【知识点的认识】
中点弦是指经过某点P，与双曲线相较于两点，且P为两点的中点，两个交点为端点的线段称为过P点的
中点弦．
【解题方法点拨】
1．计算中点：找出双曲线上的两点的中点．
2．计算弦长：计算中点弦的长度．
【命题方向】
﹣给定双曲线上的两点，计算中点弦的长度．
﹣利用点的坐标计算中点弦．
11．双曲线与平面向量
【知识点的认识】
双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算．
【解题方法点拨】
1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线．
2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中．
【命题方向】
52﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质．
﹣利用向量分析双曲线的性质．
12．双曲线的定点及定值问题
【知识点的认识】
定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值．
【解题方法点拨】
1．找定点：确定双曲线上的定点．
2．计算定值：通过双曲线方程计算相关值．
【命题方向】
﹣给定双曲线条件，求定点或定值问题．
﹣分析定点和定值的几何意义及计算方法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:39:39；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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