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2025年菁优高考数学压轴训练4
一．选择题（共10小题）
1．（2024•淄博模拟）记 ， ， 表示 ， ， 中最大的数．已知 ， 均为正实数，则 ，
， 的最小值为
A． B．1 C．2 D．4
2．（2024•大连一模）设函数 ，则满足 的 的取值范
围是
A． B． C． D．
3．（2024•佛山模拟）如图，△ 是边长为2的正三角形，记△ 位于直线 左侧的图
形的面积为 ．则函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
4．（2024•全国二模）已知可导函数 的定义域为 ， 为奇函数，设 是 的导函数，
1若 为奇函数，且 ，则
A． B． C． D．
5．（2024•赤峰模拟）已知函数 ，下列函数是奇函数的是
A． B． C． D．
6．（2024•上海）已知函数 的定义域为 ，定义集合 ， ， ，
在使得 ， 的所有 中，下列成立的是
A．存在 是偶函数
B．存在 在 处取最大值
C．存在 为严格增函数
D．存在 在 处取到极小值
7．（2024•招远市三模）若定义在 上的函数 满足： ， ，且对任意 ， ，
都有 ，则
A． B． 为偶函数
C． 是 的一个周期 D． 图象关于直线 对称
8．（2024•保定三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则
A． B． 为奇函数
C． （8） D． 的周期为3
29 ． （ 2024• 兰 陵 县 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 若 当 时 ，
恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2024•东城区一模）已知 是定义在 上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数
，下列说法正确的是
A．若 在 上单调递增，则存在实数 ，使得 在 上单调递增
B．对于任意实数 ，若 在 上单调递增，则 在 上单调递增
C．对于任意实数 ，若存在实数 ，使得 ，则存在实数 ，使得
D．若函数 满足：当 时， ，当 时， ，则 （a）为 的
最小值
二．多选题（共5小题）
11．（2024•江西模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，当 ，
， ，时， ．下列结论正确的是
A． B．
C． 是奇函数 D． 在 上单调递增
12．（2024•江西一模）已知函数 ，若不等式 对任意的
恒成立，则实数 的取值可能是
A． B． C．1 D．2
313．（2024•福建模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． 有最小值
C． D． 是奇函数
14．（2024•南海区校级模拟）已知定义域均为 的函数 与 ，其导函数分别为 与 ，
且 ， ，函数 的图象关于点 对称，则
A．函数 的图象关于直线 对称
B．8是函数 的一个周期
C． （5）
D．
15．（2024•河南模拟）定义在 上的函数 满足 ，则
A． 是周期函数
B．
C． 的图象关于直线 对称
D．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•葫芦岛二模）已知实数 ， ，则 的最大值为 ．
17．（2024•安徽模拟）若函数 为偶函数， 是奇函数，且 ，则
4．
18．（2024•江西一模）已知正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
19 ． （ 2024• 历 下 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 则 不 等 式
的解集为 ．
20．（2024•海淀区校级三模）已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数．例如：
， ， ．给出以下四个结论：
① ；
②集合 ， 的元素个数为9；
③存在 ，对任意的 ，有 ；
④ 对任意 ， 都成立，则实数 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•广汉市校级模拟）已知函数 ， ．
（1）当 ， 时，解关于 的不等式 ；
（2）当 时，对任意 ， ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 ， 时，若点 ， ， ， 均为函数 与函数 图象的公共点，
且 ，求证： ．
22．（2024•闵行区校级三模）设 ，函数 的定义域为 ．若对满足 的任意 、 ，
5均有 ，则称函数 具有“ 性质”．
（1）在下述条件下，分别判断函数 是否具有 （2）性质，并说明理由；
① ；
② ；
（2）已知 ，且函数 具有 （1）性质，求实数 的取值范围；
（3）证明：“函数 为增函数”是“对任意 ，函数 均具有 性质”的充要条
件．
23．（2024•昆明一模）若非空集合 与 ，存在对应关系 ，使 中的每一个元素 ， 中总有唯一的
元素 与它对应，则称这种对应为从 到 的映射，记作 ．
设集合 ， ， ，1，3， ， ， ， ， ， ，且 ，设有序四元数
集合 ， ， ， ， 且 ，2，3， ， ， ， ， 对于给
定的集合 ，定义映射 ，记为 ，按映射 ，若 ，2，3， ，则 ；
若 ，2，3， ，则 ．记 ．
（1）若 ， ， ， ， ， ，写出 ，并求 ；
（2）若 ， ， ， ， ， ， ，求所有 的总和；
（3）对于给定的 ， ， ， ，记 ，求所有 的总和（用含 的式子表示）．
24．（2024•闵行区校级二模）已知函数 是定义域为 的偶函数．
（1）求实数 的值；
6（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
25．（2024•北京模拟）已知函数 为实常数）．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）在（1）的条件下，对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
72025年菁优高考数学压轴训练4
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•淄博模拟）记 ， ， 表示 ， ， 中最大的数．已知 ， 均为正实数，则 ，
， 的最小值为
A． B．1 C．2 D．4
【答案】
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】数学运算；综合法；对应思想；不等式
【 分 析 】 设 ， ， ， 则 ， ， ， 三 式 相 加 得
，再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】解：因为 ， ，
设 ， ， ，
则 ， ， ，
三式相加得： ，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
当且仅当 ，
8即 ， 时等号成立，
所以 ， ．
所以 的最小值为2．
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题．
2．（2024•大连一模）设函数 ，则满足 的 的取值范
围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】奇偶性与单调性的综合
【专题】数学运算；构造法；整体思想；导数的综合应用；函数的性质及应用
【 分 析 】 由 已 知 ， 利 用 换 元 法 ， 则 原 函 数 可 化 为
，构造函数 ，判断 的
单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：令 ，则 ，
函数 可画为 ，
令 ，
则 ，即 为奇函数，
因为 ，
故 单调递增，
由 可得 ，
即 ，
所以 ，
9即 ．
故选： ．
【点评】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，换元法，构造法，奇偶函数的判断，利用
导数研究函数的单调性，属中档题．
3．（2024•佛山模拟）如图，△ 是边长为2的正三角形，记△ 位于直线 左侧的图
形的面积为 ．则函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维
【分析】根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以只有 选项符合，
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的图像，属于中档题．
4．（2024•全国二模）已知可导函数 的定义域为 ， 为奇函数，设 是 的导函数，
10若 为奇函数，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数的奇偶性
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】由 为奇函数，结合导数运算可得 ，由 为奇函数，可得
， 整 理 可 得 ， 进 而 分 析 可 得
，即可得结果．
【解答】解：因为 为奇函数，则 ，
即 ，两边求导得 ，
则 ，可知 关于直线 对称，
又因为 为奇函数，则 ，
即 ，可知 关于点 对称，
令 ，可得 （2） ，即 ，
由 可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
且 ，可知8为 的周期，
11可知 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过
变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题，属于中档题．
5．（2024•赤峰模拟）已知函数 ，下列函数是奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数的奇偶性
【专题】函数的性质及应用；数学抽象；整体思想；综合法
【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案．
【解答】解：由于 ，定义域为 ， ， ，
故 ， 定 义 域 为 ， ， ，
，
即 不是奇函数， 错误；
，定义域为 ， ， ，不关于原点对称，即 不是奇函数，
错误；
，定义域为 ， ， ，不关于原点对称，
即 不是奇函数， 错误；
，定义域为 ， ， ，
，
即 为奇函数， 正确．
12故选： ．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
6．（2024•上海）已知函数 的定义域为 ，定义集合 ， ， ，
在使得 ， 的所有 中，下列成立的是
A．存在 是偶函数
B．存在 在 处取最大值
C．存在 为严格增函数
D．存在 在 处取到极小值
【答案】
【考点】函数的奇偶性
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．
【解答】解：对于 ， 时， ，
当 时， ， ，
对于任意 ， （1）恒成立，
若 是偶函数，此时 （1） ，矛盾，故 错误；
对于 ，若 函数图像如下：
当 时， ， 时， ， ，当 ， ，
13所以存在 在 处取最大值，故 正确；
对于 ，在 时，若函数 严格增，
则集合 的取值不会是 ， ，而是全体定义域，故 错误；
对于 ，若存在 在 处取到极小值，
则在 左侧存在 ， ，与集合 定义矛盾，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题．
7．（2024•招远市三模）若定义在 上的函数 满足： ， ，且对任意 ， ，
都有 ，则
A． B． 为偶函数
C． 是 的一个周期 D． 图象关于直线 对称
【答案】
【考点】抽象函数的周期性
【专题】函数思想；直观想象；逻辑推理；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】对于 ，令 ， ，可得 ，令 ，可得 ，令 ，
，求解即可；
对于 ，取 ， ，得 ，令 ，得 ，即可判断；
对于 ，由 可知 ，则有 ，即可判断；
对于 ， ， ，可得 ，即可判断．
【解答】解：对于 ：对于 ，
令 ， ，得 ，
14又 ，
所以 ，
令 ，
则有 ，
所以 ，
令 ， ，
则有 ，
即 ，
解得 ，故 错误；
对于 ：对于 ，
取 ， ，得 ，
所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，故 不可能是偶函数，故 错误；
对于 ：由 可知 ，
所以 ，
则 为 的一个周期，故 错误；
对于 ：对于 ．
取 ， ，
15得 ，
所以 ．
所以 的图象关于直线 对称， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，属于中档
题．
8．（2024•保定三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则
A． B． 为奇函数
C． （8） D． 的周期为3
【答案】
【考点】抽象函数的周期性
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】利用赋值法令 ，即可求出 ，从而判断 ；令 ，可判断函数的奇偶性，从而判
断 ；令 ，可得 ，从而可得 ，进而推出函数的周期，
即可判断 ；令 ，可求出 ，由奇偶性可得 （2），再由周期性求得 （8），即可判断
．
【解答】解：依题意， ， ，
令 ，得 ，
所以 或 ，
当 时， ，不符合题意，
16所以 ，故 错误；
令 得 ，
所以 ，故 为偶函数，故 错误；
令 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 的周期为6，故 错误；
令 ，得 ，又 ， ，
可得 ，
所以 （2） ，
所以 （8） ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9 ． （ 2024• 兰 陵 县 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 若 当 时 ，
恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【专题】函数的性质及应用；综合法；直观想象；数学运算；分类讨论；转化思想；函数思想
【分析】 先判断 是奇函数且在 上为增函数，所以由 可得
，由 ，得 ， ，构造函数 ， ， ，然后分
17， 和 三种情况求解即可．
【解答】解： 的定义域为 ，
，
为奇函数，
函数 在 ， 上均为增函数，
在 ， 上为增函数，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
，
，即 ，
当 时， ， ，
令 ， ， ，
当 时， ，舍去；
当 时，对称轴为 ，
当 ，即 时，则有 ，即 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 时，有 （1） ，得 ，不满足 ，所以 ；
当 ，即 时，有 （1） ，得 ，所以 ，
综上， ．
故选： ．
【点评】本题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，属于中档题．
10．（2024•东城区一模）已知 是定义在 上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数
18，下列说法正确的是
A．若 在 上单调递增，则存在实数 ，使得 在 上单调递增
B．对于任意实数 ，若 在 上单调递增，则 在 上单调递增
C．对于任意实数 ，若存在实数 ，使得 ，则存在实数 ，使得
D．若函数 满足：当 时， ，当 时， ，则 （a）为 的
最小值
【答案】
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数恒成立问题
【专题】综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算；转化思想
【分析】首先理解函数 表达的是函数 图像上两点割线的斜率，当 时，表示的为切线斜率，
然后举反例设 可判断 错误；设 可得 错误；设 可判断 错误；由函数单
调性的定义可以判断 正确．
【解答】解：函数 表达的是函数 图象上两点割线的斜率，
当 时，表示的为切线斜率，
对于 ：因为 是定义在 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，
且 在 上单调递增，所以设 ，则 （a） ，
此时 为常数，
即任意两点的割线的斜率为常数，故 错误；
对于 ：设 ，由图象可知，
19当 时，随 增大，点 ， 与点 ， （a） 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，
但 在 上不是单调函数，故 错误；
对于 ：因为对于任意实数 存在实数 ，使得 ，
说明 为有界函数所以设 ，
割线的斜率不一定有界，如图：
当 时，割线的斜率趋于正无穷，故 错误；
对于 ：因为函数 满足：当 时， ，
即
20因为 ， ，所以 （a）；
同理，当 时， ，
即 ，
因为 ， ，所以 （a）；
所以 （a）为 的最小值，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的有界性及最值问题，函数的切线的应用，数形结合思想，化
归转化思想，属难题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•江西模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，当 ，
， ，时， ．下列结论正确的是
A． B．
C． 是奇函数 D． 在 上单调递增
【答案】
【考点】函数的奇偶性；抽象函数的周期性
【专题】函数的性质及应用；逻辑推理；转化法；转化思想
【分析】令 ，可得 ；令 及题意条件，可得 （1） ；令 ，可得当
时， ；令 ，可得 ①，令 ，可得
②，由① ②可得 ，进而可判断 的正误；由 及赋值即可判断 的正误；
由 可得 ，解方程组即可判断 的正误；令 ， ，及函
21数的单调性即可判断 的正误．
【解答】解：令 可得： ；令 可得： （1） （1）．
因为当 ， ， 时， ，所以 （1） ，所以 （1） ．
令 可得： ，即 ，
又因为当 ， ， 时， ，所以 ，所以 ，
所以当 时， ．
令 ，可得 ①，
所以 ， ，
两式相加可得： ．
令 ，可得 ②．
① ②可得 ，化简可得 ，所以 是奇函数，故
正确；
由 ，可得 （2） （1） ， （3） （2） ， （4） （3）
， ， ，故 错误；
由 可得 解得 ，故 正确；
令 ， ，可得 ．
令 ，则 ， ，
因为当 时， ，所以 ， ，
22所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
因为 在 上为奇函数，所以 在 上单调递增，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查抽象函数的基本性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
12．（2024•江西一模）已知函数 ，若不等式 对任意的
恒成立，则实数 的取值可能是
A． B． C．1 D．2
【答案】
【考点】函数恒成立问题
【专题】综合法；数学抽象；函数的性质及应用；函数思想
【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
即函数 的图象关于直线 对称．
当 时， 为增函数；
令 ，则 ，
时， ， ，所以 ，所以 为增函数，
所以当 时， 为增函数．
由对称性可知，当 时， 为减函数．
因为 恒成立，所以 恒成立，
23即 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
13．（2024•福建模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． 有最小值
C． D． 是奇函数
【答案】
【考点】抽象函数的周期性
【专题】数学抽象；整体思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】利用辅值法检验选项 ，举出反例检验选项 ，结合函数奇偶性定义检验选项 即可判断．
【解答】解：函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，
令 可得， ，即 ， 正确；
当 时，显然满足已知条件，但 在 上没有最小值， 错误；
由题意得 （2） （1） ， （3） （2） （1） （1） ， （4） （3）
（1） （1） ， ， （1） ， 正确；
令 ，
则由 可得， ，
所以 ，
因为 ，
令 ，则 ，
所以 ，即 为奇函数， 正确．
24故选： ．
【点评】本题主要考查了赋值法在函数求值中的应用，还考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
14．（2024•南海区校级模拟）已知定义域均为 的函数 与 ，其导函数分别为 与 ，
且 ， ，函数 的图象关于点 对称，则
A．函数 的图象关于直线 对称
B．8是函数 的一个周期
C． （5）
D．
【答案】
【考点】抽象函数的周期性
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；计算题；逻辑推理；转化思想；导数的概念及应用
【分析】利用函数的对称性以及函数巧妙构造，进一步利用函数的求导和赋值法判定 的结论．
【解答】解：由于函数 ，令 ，则 ，
即 ，所以 ，
用 代替 ，可得 ，即 ，
由于 ，则 ， ， ，
所以 ，令 ，可得 （3） （3） ，
所以 ，
再由 ，令 ，则 ，
所以 ，即 ，
用 代替 ，可得 ，且 ，即 ，
将 代入，可得 ，所以函数 关于 对称，故 正确；
25由于函数 的图象关于 对称，即 ，
所以 是函数 的一个周期，故 正确；
由 ，令 ，则 （5） ，
由于函数 关于 对称，则 （3），且函数 的图象关于点 对称，所以 （3）
；
则 （5） （3） ，故 错误；
由 ，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
则 ，
由于8是函数 的一个周期，且函数 关于 对称，
则 （2）， （4），
由于函数 的图象关于 对称，即 ，
令 ，则 （2） （4），则 （2） （4） ，
则 （2） （4） ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：函数的性质，赋值法，构造函数，函数的求导的应用，主要考查学生的运
算能力，属于中档题．
15．（2024•河南模拟）定义在 上的函数 满足 ，则
A． 是周期函数
B．
26C． 的图象关于直线 对称
D．
【答案】
【考点】函数的周期性；抽象函数的周期性
【专题】转化法；函数的性质及应用；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，先求出周期，再结合赋值法，即可依次求解．
【解答】解： （2），
则 （2），
故 ，
所以 的周期为4，故 正确；
（2），
令 ，
则 （2） （2），解得 ，
故 ，故 正确；
，
则 关于 对称，
的周期为4，
则 ，
故 ，即 也关于 对称，
由 可知， ， ，均为 对称轴，故 正确；
， 关于 对称，
27则 （2） ，
且 ，
故 ，
又 ，
故 ，
所以 ，故
错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•葫芦岛二模）已知实数 ， ，则 的最大值为 2 ．
【答案】2
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；函数思想
【分析】将分式化简，然后结合平方均值不等式与基本不等式的相关知识即可得到结论
【解答】解：因为 ，
因为 ， ，所以根据平方均值不等式得：
，
当且仅当 时等号成立，
将上式化简得：
28，
当且仅当： 时等号成立，即 ，又因为 ，
所以当 时取得最大值．
故答案为：2
【点评】本题主要考察了基本不等式的相关内容，根据条件化简可以知道，基本不等式的灵活运用是解
题的关键
17．（2024•安徽模拟）若函数 为偶函数， 是奇函数，且 ，则
．
【答案】 ．
【考点】函数的奇偶性
【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；综合题；函数思想
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可．
【解答】解：由题意可知 关于 轴对称， 关于 中心对称，
，
所以 ，故 ，
所以 ，
即 是 的一个正周期，则 （3） （1），
由 （3） ，且 （3），则 （1） ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
18．（2024•江西一模）已知正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值
29范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】函数恒成立问题；基本不等式及其应用
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；逻辑推理；不等式
【分析】将 变形为 ，利用均值不等式求
的最小值即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以
，
所以
，当且仅当 ， 时，
等号成立，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查函数恒成立问题，基本不等式求最值，属难题．
19 ． （ 2024• 历 下 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 则 不 等 式
30的解集为 ， ．
【考点】奇偶性与单调性的综合
【专题】函数的性质及应用；数学运算；转化思想；转化法
【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点 中心对称；通过求导判断导函数为正得 在
上单调递增；再利用对称性将 进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，即 的图像关于点 中心对称，
因为 ，
当且仅当 时取等号，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
由 可得 ，
即 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20．（2024•海淀区校级三模）已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数．例如：
， ， ．给出以下四个结论：
① ；
31②集合 ， 的元素个数为9；
③存在 ，对任意的 ，有 ；
④ 对任意 ， 都成立，则实数 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【答案】①④．
【考点】函数恒成立问题
【专题】新定义；函数思想；函数的性质及应用；综合法；三角函数的图象与性质
【分析】利用给定定义直接判断①；当 ， 时，求出每个元素判断②；举反例判断③；利用题意
分离参数，得到 ，再结合给定定义求解 ，最后得到参数范围即可．
【解答】解：对于①，由 知， ，故①正
确；
对于②，由周期性可知， 的周期为 ，故讨论 ， 即可，
易得当 时， ，当 时， ；
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，故该集合元素个数为6，故②错误；
对于③，显然在 ， 时， 的值域不关于 对称，
故 不关于 对称，即 ，故③错误；
对于④，当 时， ，
当 时， ，
32当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
而 对任意 ， 都成立，故 恒成立，
令 ，即 ，而显然 ，
可得 恒成立，即 ，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查三角函数新定义，以及函数恒成立问题，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中
档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•广汉市校级模拟）已知函数 ， ．
（1）当 ， 时，解关于 的不等式 ；
（2）当 时，对任意 ， ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 ， 时，若点 ， ， ， 均为函数 与函数 图象的公共点，
且 ，求证： ．
【答案】（1） ；
（2） ， ；
（3）证明见解析．
【考点】函数恒成立问题
【专题】综合法；函数思想；导数的综合应用；数学运算
33【分析】（1）即解不等式 ，分 、 、 且 讨论，解不等式可得答案；
（2）转化为 在 ， 上恒成立，求得 的最大值可得答案；
（ 3 ） 由 得 ， 化 简 方 程 得
，令 ，结合一元二次不等式求解可得答案．
【解答】解：（1）当 ， 时，即解不等式 ，
可得 ，
当 时， 成立，
当 时，得 ，即解 ，
解得 ；
当 且 时，得 ，解得 ，
综上所述，不等式的解集为 ；
（2）当 时，可得 ， ，
对任意 ， ，关于 的不等式 恒成立，
即 在 ， 上恒成立，
即 在 ， 上恒成立，
即当 ， 时， 的最大值为0，所以 ，
34所以实数 的取值范围 ， ；
（3）证明：由 ，可得 ，
可得 ，
因为点 ， ， ， 均为函数 与函数 图象的公共点，
可得 ，
，两式相减得
，
因为 ，所以 ，
可得 ，
令 ，则 ，
整理得 ，解得 ，
所以 ．
【点评】本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，利用函数的单调性求参数的取值范围，利用
综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
22．（2024•闵行区校级三模）设 ，函数 的定义域为 ．若对满足 的任意 、 ，
均有 ，则称函数 具有“ 性质”．
（1）在下述条件下，分别判断函数 是否具有 （2）性质，并说明理由；
① ；
② ；
35（2）已知 ，且函数 具有 （1）性质，求实数 的取值范围；
（3）证明：“函数 为增函数”是“对任意 ，函数 均具有 性质”的充要条
件．
【答案】（1）①是，②不是 （2） ． （3）见解析．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】（1）代入 （2）性质直接计算即可．
（2）将原式等价与当 时， 恒成立的问题即可求解．
（3）由充要条件的概念以及函数单调性的性质判断即可．
【解答】解：（1）①是，因为对任意 ， ，
所以符合定义；
②不是，学生只需举一组反例；
（2）显然 ，所以设 ，
则 ，
当 时，取 最小值 ，
原问题等价于当 时， 恒成立，
即 恒成立，
由 ，可得 ，
所以得 ；
（3）证明：充分性：
如果函数 为增函数，则对任意的 ，均有 ，
即 ，因此，对任意 ，若 ，
36则 ，函数 具有 性质，充分性得证；
必要性：
若对任意 ，函数 均具有 性质，
假设函数 不是增函数，则存在 ，满足 ，
即 ，取 ，
则显然 ，
即对于 ，存在 ，但是 ，
与“对任意 ，函数 均具有 性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数 为增函数，必要性得证．
所以“函数 为增函数”是“对任意 ，函数 均具有 性质”的充要条件．
【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，应注意充要条件的概念，属于中档题．
23．（2024•昆明一模）若非空集合 与 ，存在对应关系 ，使 中的每一个元素 ， 中总有唯一的
元素 与它对应，则称这种对应为从 到 的映射，记作 ．
设集合 ， ， ，1，3， ， ， ， ， ， ，且 ，设有序四元数
集合 ， ， ， ， 且 ，2，3， ， ， ， ， 对于给
定的集合 ，定义映射 ，记为 ，按映射 ，若 ，2，3， ，则 ；
若 ，2，3， ，则 ．记 ．
（1）若 ， ， ， ， ， ，写出 ，并求 ；
（2）若 ， ， ， ， ， ， ，求所有 的总和；
37（3）对于给定的 ， ， ， ，记 ，求所有 的总和（用含 的式子表示）．
【答案】（1） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
．
（2）40．
（3） ．
【考点】映射
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可；
（2）对1， ，5是否属于 ，进行分类讨论，求出对应所有 中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射 下得到的所有 的和，同理求出在映射 下得到的所有 ，3， 的
和，即可求解．
【解答】解：（1）由题， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于 进行讨论：
①含1的 的个数为 ，此时在映射 下， ；
不含1的 的个数为 ，此时在映射 下， ；
所以所有 中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的 的个数为 ，此时在映射 下， ；不含5的 的个数为 ，
此时在映射 下， ；所以所有 中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的 的个数为 ，此时在映射 下， ， ；
不含 的 的个数为 ，此时在映射 下， ， ；
所以所有 中 的总个数和 的总个数均为20．
综上，所有 的总和为 ．
38（3）对于给定的 ， ， ， ，考虑 在映射 下的变化．
由于在 的所有非空子集中，含有 的子集 共 个，所以在映射 下 变为 ；
不含 的子集 共 个，在映射 下 变为 ；
所以在映射 下得到的所有 的和为 ．
同理，在映射 下得到的所有 ，3， 的和为 ．
所以所有 的总和为 ．
【点评】本题考查映射的概念、新定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
24．（2024•闵行区校级二模）已知函数 是定义域为 的偶函数．
（1）求实数 的值；
（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）2；
（2） ．
【考点】函数恒成立问题；函数的奇偶性
【专题】函数思想；转化法；数学运算；函数的性质及应用
【分析】（1）由偶函数定义求得参数值；
（2）由基本不等式求得 的最小值，然后解相应的不等式可得 范围．
【解答】解：（1）由偶函数定义知： ，
即 ，
对 成立， ．
（2）由（1）得： ；
， ，
39当且仅当 即 时等号成立，
，
，即 ，解得： 或 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式的性质以及函数最值问题，是中档题．
25．（2024•北京模拟）已知函数 为实常数）．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）在（1）的条件下，对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1） ；
（2）1．
【考点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【专题】转化法；函数思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】（1）由 求解，再检验即可；
（2）求得 ， ，令 ， ，求
得函数 在 ， 上的最小值即可得到实数 的最大值．
【解答】解：（1）因为 ， ，
又因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ．
经检验 满足题意，
40所以 ；
（2）由（1）知 ，从而 ，
由不等式 恒成立，得 ，
令 ， （因为 ， ，
故 ，
由于函数 在 ， 单调递增，
所以 （3） ，
因此当不等式 在 ， 上恒成立时，实数 的最大值为1．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查奇函数性质的应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于
中档题．
41考点卡片
1．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
42综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
434、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
44例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
45技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表
格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函
数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对
称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换： ⇒
y＝f（x） y＝f（ x）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩ω为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换： ⇒
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
⇒
46y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换： ⇒
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|． ⇒
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根
据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图
象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走
向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
47有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y变换”的原则，写出每一次的变换
所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝
x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图
过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供
的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一
特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3．映射
【知识点的认识】
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合
B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．函数是数
集到数集映射，象集A称做函数的定义域，象集C（C B）称做函数的值域．
“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个⊂集合到另一个集合的一种确定的对应关系．
【解题方法点拨】
映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，对应包括“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”
惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形，至于一一映射，它则是一种特殊的映
射，应该指出，一一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过﹣一映射将问题转
化，并获得解决的．注意原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域．
【命题方向】
映射通常与集合、排列组合相联系，也常考新定义题目，新课标地区要求比较浅，属于了解范畴．
4．由函数的单调性求解函数或参数
48【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x 时，都有f
1 2 1 2 1 2
（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，
区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不
考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有
选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单
应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或
求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
5．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的
纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最
小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
49本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点
未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要
求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
6．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
7．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还
是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函
数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于
（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝f
（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
50①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝ 为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝ ＝﹣f（﹣x） a＝1
【命题方向】 ⇒
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重
视这一个知识点．
8．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f
（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意
实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）＝ 的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）＝ ＝f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与 x轴的⇒交点个数．如已知函数在某个小区间与 x轴有n个
交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，
注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，
为了高考将仍然以小题为主．
9．抽象函数的周期性
51【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函
数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y
＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣⇒1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档
题和小题为主，要引起重视．
10．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于 0等），此时，函数中
的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此
适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x R恒成立∈，
∴mx2+mx+m＜1，
∈
∴ x R，m＜ 恒成立，
∀ ∈
52∵x2+x+1＝（x+ ）2+ ≥ ，
∴0＜ ≤ ，
∴m≤0．
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