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2025年菁优高考数学压轴训练5
一．选择题（共10小题）
1．（2024•南宫市校级模拟）设函数 ．若对任意的 ， ，总存在 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
2．（2024•北京）已知 ， ， ， 是平面直角坐标系中的点集．设
是 中两点间的距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则
A． ， B． ， C． D．
3 ． （ 2024• 青 羊 区 校 级 模 拟 ） 若 存 在 满 足 ， 且 使 得 等 式
成立，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． D． ，
4．（2024•宁波模拟）已知集合 且 ，若 中的点均在直线
的同一侧，则实数 的取值范围为
A． ， ， B．
C． ， ， D．
5．（2024•莲湖区校级模拟）若 ， 满足约束条件 则 的最小值为
1A．0 B． C． D．
6．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为 、 及 ，其中 ．若 ， 是函数
的两个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2024•莲湖区校级模拟）设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B．1 C． D．2
8．（2024•永寿县校级模拟）已知实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是
A． B． C． D．
9．（2023•武功县校级模拟）已知实数 ， 满足线性约束条件 ，则 的取值范围为
A． ， B． C． D． ，
10．（2023•河南模拟）记不等式组 的解集为 ，现有下面四个命题：
， ；
， ；
， ；
， ．
2其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题）
11．（2024•日照一模）设 满足：对任意 ，均存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 ．
12．（2024•浙江一模）已知 ， ， ，二次函数 有零点，则 的最小值是
．
13．（2024•荆州模拟）若存在正实数 ， ， 满足 ，且 ，则 的最小值为
14．（2024•海淀区校级模拟）已知函数 在区间 ， 上的最大值为 ，当实数 ，
变化时， 最小值为 ．
15．（2024•新城区校级模拟）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
16．（2024•五华区校级模拟）我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数 ，则它
的焦点坐标为 ．
17．（2024•咸阳模拟）设 ， 满足约束条件 ，设 ，则 的取值范围为 ．
18．（2023•甘肃模拟）若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是 ．
19．（2023•涪城区校级模拟）若实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
320．（2023•江西模拟）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
三．解答题（共5小题）
21．（2024•东兴区校级模拟）已知 ．
（1）若 ，求 的最大值，并求出此时 的值；
（2）若 且 ，求 的最大值．
22．（2023•南阳模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 ， 上的值域；
（2）当 时，求函数 在 ， 上的最大值．
23．（2023•南阳模拟）已知集合 是函数 的定义域，集合 是不等式
的解集， ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
24．（2023•澳门模拟）设 ， 满足 ．
（a）画出满足以上不等式组的区域．
（b）设 ，求 的取值范围．
（c）设 ，求 的最小值．
25．（2023•和平区校级一模）在① （4） ， （3） ，②当 时， 取得最大值3，③
， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
4问题：已知函数 ，且 _______．
（1）求 的解析式；
（2）若 在 ， 上的值域为 ， ，求 的值．
52025年菁优高考数学压轴训练5
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•南宫市校级模拟）设函数 ．若对任意的 ， ，总存在 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】函数的性质及应用；综合法；计算题；数学运算；转化思想
【分析】分情况讨论 不同取值时函数 在 ， 上的范围，从而确定 的最大值，
将对任意实数 ， ，总存在实数 ， 使得不等式 成立，转化为 恒成立，即可
解决．
【解答】解：设 的最大值为 （b），令 ， ， ，
若对任意的 ， ，总存在 ， ，使得 ，
则 （b） ． ， （4） ， ．
（1）当△ ，即 时， （b） ， （4） ，
若 ，即 ，则 ，
若 ，即 ，则 ．
（2）当△ ，即 时，
①当 ，即 时，令 ，得 ，若 ，
则 （b） ，若 ，则 （b） ．
6②当 ，即 时，令 ，得 ，
若 ，则 （b） ，
若 ，则 （b） ．
③当 ，即 时，若 ，
则 ，
若 ， ，
（Ⅰ）若 ，即 ，
则 ，
（Ⅱ）若 ，即 ，
则 ．
④当 ，即 时，
若 ，则 ，
若 时， ，
（Ⅰ）若 ，则 ，
（Ⅱ）若 ，则 ．
综上所述， （b） ，
所以实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的单调性，和存在性问题的转化，属于难题．
2．（2024•北京）已知 ， ， ， 是平面直角坐标系中的点集．设
7是 中两点间的距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则
A． ， B． ， C． D．
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；数形结合法；数形结合；函数的性质及应用
【分析】根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：集合 ， ， 表示的图形如下图阴影部分所示，
由图象可知， ， ．
故选： ．
【点评】本题考查简单的线性规划问题，涉及了二次函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题．
3 ． （ 2024• 青 羊 区 校 级 模 拟 ） 若 存 在 满 足 ， 且 使 得 等 式
成立，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． D． ，
【考点】 ：简单线性规划
【专题】35：转化思想； ：换元法； ：构造法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应
用
【分析】画出不等式组表示的平面区域，
8把 化为
，设 ，求出 的取值范围；
构造函数，利用导数求出函数的最小值，
建立不等式求实数 的取值范围．
【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，
如图所示；
， ， ；
可化为
，
设 ，其中 ；
，
令 ， ，
则 ，
，
当 时， （e） ，
当 时， （e） ，
（e） ，
，
解得 或 ；
又 值不可能为负值，
实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
9【点评】本题考查了线性规划以及函数与不等式的综合应用问题，是难题．
4．（2024•宁波模拟）已知集合 且 ，若 中的点均在直线
的同一侧，则实数 的取值范围为
A． ， ， B．
C． ， ， D．
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】整体思想；计算题；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】依题意可得 ，令 ，求出 与 的交点坐标，依
题意只需 （1）或 ，即可求出 的取值范围．
【解答】解：依题意集合 即为关于 ， 的方程组 的解集，显然 ，
所以 ，即 ，
令 ，
10由 ，解得 或 ，
即函数 与 的交点坐标为 和 ，
又 ，所以 为奇函数，
因为 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
依题意 与 的交点在直线 的同侧，
只需 （1）或 ，即 或 ，
所以实数 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了函数单调性和参数的计算，属于中档题．
5．（2024•莲湖区校级模拟）若 ， 满足约束条件 则 的最小值为
A．0 B． C． D．
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；综合法
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的
坐标代入目标函数即可得解．
【解答】解：如图所示，画出可行域，
11联立 ，解得 ，即 ，
由 ，得 ，
由图可知当直线 经过点 时， 取得最小值，最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查线性规划，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
6．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为 、 及 ，其中 ．若 ， 是函数
的两个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】函数思想；计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】由 ， 为函数 的两个零点可得 ，即可得
，结合题意可得 ．
【解答】解：由 ， 为函数 的两个零点，故有 ，
即 恒成立，
12故 ， ，则 ，
由 ， ， 为某三角形的三边长，且 ，
故 ，且 ，则 ，因为 必然成立，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题．
7．（2024•莲湖区校级模拟）设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B．1 C． D．2
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】不等式的解法及应用；数形结合法；数形结合；数学运算
【分析】首先画可行域，再根据目标函数的几何意义，利用数形结合，即可求解．
【解答】解：如图，
13可行域 为直线 ， ， 所围成的区域，
的值为 内一点与点 连线的斜率，
联立 ，得 ， ，
故该点取 ， 的交点 时斜率最大，故 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
8．（2024•永寿县校级模拟）已知实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；转化思想
【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．
14【解答】解：由题意知，实数 ， 满足约束条件 ，
则可行域如图中阴影部分所示（包含边界），
目标函数 的几何意义是定点 与可行域内的点连线所在直线的斜率，
由图知，当目标函数经过点 时，目标函数 取得最大值，
联立 ，解得 ，所以 ，
所以 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．（2023•武功县校级模拟）已知实数 ， 满足线性约束条件 ，则 的取值范围为
A． ， B． C． D． ，
【答案】
【考点】简单线性规划
【专题】转化思想；数学运算；数形结合法；不等式的解法及应用
【分析】画出可行域，由 的几何意义是到原点距离的平方，求出最值，得到取值范围．
【解答】解：画出可行域，如下阴影部分：
15的几何意义是 到原点距离的平方，
数形结合得到点 到原点的距离最小，故 最小值为1，
由于 与 互相垂直，设垂足为 ，故点 到原点的距离的平方最大，
令 中 得 ，故 ，
将 代入 中，可得 的最大值为 ，
所以 的取值范围为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档
题．
10．（2023•河南模拟）记不等式组 的解集为 ，现有下面四个命题：
， ；
， ；
， ；
， ．
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
16【考点】命题的真假判断与应用；简单线性规划；其他不等式的解法
【专题】数形结合法；数学运算；转化思想；不等式的解法及应用
【分析】依题意，作出线性规划图，对 、 、 、 四个选项逐一判断分析即可．
【解答】解： 不等式组 的解集为 ，作出平面区域：
由图可知，在阴影区域 中，
对于 ， ，正确；
， ，错误；
， ， 代入不成立，错误；
， ，正确．
故选： ．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•日照一模）设 满足：对任意 ，均存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】二次函数的性质与图象
17【专题】数学运算；计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用
【分析】令 ，由题意 ，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可．
【解答】解：令 ．
因为对任意 ，均存在 ，使得 ，所以 的值域是 值域的子集，
所以 ，即 ，解得 ，即 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于中档题．
12．（2024•浙江一模）已知 ， ， ，二次函数 有零点，则 的最小值是
．
【答案】 ．
【考点】基本不等式及其应用；二次函数的性质与图象
【专题】数形结合法；数学运算；函数的性质及应用；方程思想
【分析】利用 ， 即可求解．
【解答】解：因 ， ， ，二次函数 有零点，
所以△ ．
设 ， ，其中 ， ，则 ，即 ．则：
．
令 ，由对数函数性质得，函数 在 ， 上单调递增，所以函数 有最
小值 ．
即 ．当且仅当
18取等，即 时取等．
故答案为： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于难题．
13．（2024•荆州模拟）若存在正实数 ， ， 满足 ，且 ，则 的最小值为
【考点】 ：简单线性规划
【专题】49：综合法；35：转化思想；52：导数的概念及应用
【分析】由 ，又 ，令 ，则
， ， ，利用函数求导求最值．
【解答】解： 正实数 ， ， 满足 ，
，
， ，
，
令 ，
则 ， ，
，
，则 ，
可得 在 递减，在 递增，
19，
即 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，
利用求导得到最值，属于难题．
14．（2024•海淀区校级模拟）已知函数 在区间 ， 上的最大值为 ，当实数 ，
变化时， 最小值为 2 ．
【考点】二次函数的性质与图象；函数的最值
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】根据题意，可得 ，则 即为函数 与函数
图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，因此作出图象，根据图象观察即可得出答案．
【解答】解： ，函数可理解为：
当横坐标相同时，函数 ， ， 与函数 ， ， 图象上点的纵向
距离，
则 即为函数 与函数 图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，
由图象可知：当函数 的图象刚好为 时， 取得最小值为2，此时 ，且 ，即
， ．
20故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．
15．（2024•新城区校级模拟）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；数形结合法
【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目标函数的最小值．
【解答】解：画出可行域，
令 ，则 ，
当直线 经过 时，直线在 轴上的截距最大，此时 取得最小值，故最小值为：
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档
题．
2116．（2024•五华区校级模拟）我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数 ，则它
的焦点坐标为 ， ．
【答案】 ．
【考点】二次函数的性质与图象
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；计算题；函数思想
【分析】 ，函数图象向左平移 个单位得 的图象，求出
的焦点，即可得结果．
【解答】解： ，将函数图象向左平移 个单位，
得到 的图象，即 ，它表示的曲线是以 为焦点的抛物线，
则原函数图象的焦点坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二次函数图像的平移，属于中档题．
17．（2024•咸阳模拟）设 ， 满足约束条件 ，设 ，则 的取值范围为
， ．
【答案】 ， ．
【考点】简单线性规划
【专题】数学运算；不等式；方程思想；计算题；转化思想；数形结合；综合法
【分析】根据题意，分析可得 ，设 ，作出不等式组
对应的平面区域，分析 的几何意义，并求出 的取值范围，进而计算可得答案．
22【解答】解：根据题意，作出不等式组 对应的平面区域，
为图中 的及其内部，但不包含边 ，其中 ， ，
，
设 ，则 ，其几何意义为平面区域内任意一点与点 连线的斜率，
设 ，
则 ， ，
则 ，则有 ，
又由 ，故 ，即 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键，属
于中档题．
18．（2023•甘肃模拟）若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是 4 ．
23【答案】4．
【考点】简单线性规划
【专题】综合法；不等式的解法及应用；数学运算；数形结合
【分析】先根据约束条件件 画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化
成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可．
【解答】解：由约束条件，画出可行域如图，
目标函数 可化为： ，得到一簇斜率为 ，截距为 的平行线，
要求 的最大值，须满足截距最大，
当目标函数过点 或 时截距最大，
由 可得 ，
由 可得 ， ，
的最大值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的
大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度．属简单题．
19．（2023•涪城区校级模拟）若实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ，
24【考点】简单线性规划
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：实数 ， 满足 的可行域如图的阴影部分：
的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方，
由图形可知最小值为 的平方，最大值为 的平方，
，
可得 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
20．（2023•江西模拟）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是
【答案】 ．
【考点】简单线性规划
【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；数形结合法
【分析】由约束条件作出可行域，求出 的范围，再由 求解．
25【解答】解：由约束条件直线可行域如图：
联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ， ，
， ．
．
的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•东兴区校级模拟）已知 ．
（1）若 ，求 的最大值，并求出此时 的值；
（2）若 且 ，求 的最大值．
【答案】（1） 的最大值为3，此时 ；
（2）3．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值
【专题】不等式；数学运算；转化思想；逻辑推理；综合法
26【 分 析 】 （ 1 ） 设 ， 则 ， 代 入 中 ， 得
，设 ，根据一元二次方程根的分布得到不
等式，求出 ，进而可得答案；
（ 2 ） 设 ， 由 于 ， ， 故 ， 将 代 入 等 式 中 得
，根据根的判别式得到 ，验证当 时满足要求，从而得到最大值．
【解答】解：（1）设 ，则 ，
代入 ，得 ，即 ，
令 ，开口向上，则 ，
要想 在 上有解，
则 （1） 或 ，
由 （1） ，解得 ，
由 ，即 ，解得 ，
综上， ，故 的最大值为3，此时 ，解得 ．
（2）设 ，由于 且 ，故 ，
将 代入 中，得 ，
即 ，△ ，
要想方程在 上有解，则△ ，
27解得 ，
又 ，故 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，此时 ，符合要求，
故 的最大值为3．
【点评】本题考查一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系，考查转化思想，属于中档题．
22．（2023•南阳模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 ， 上的值域；
（2）当 时，求函数 在 ， 上的最大值．
【答案】（1）值域是 ， ；（2） ．
【考点】二次函数的值域；二次函数的最值
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理
【分析】（1）函数在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，可得函数 在区间 ， 上
的值域；
（2）当 时， ，分类讨论，即可求函数 在区间 ， 上的最大
值．
【解答】解：（1）当 时， ，其图象对称轴为直线 ；
所以函数 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
， ， ， （3） ，
函数 在区间 ， 上的值域是 ， ；
28（2）当 时， ，
当 ，函数 在区间 ， 上的最大值 ；
当 ，函数 在区间 ， 上的最大值 ；
函数 在区间 ， 上的最大值 ．
【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学
思想，属于中档题．
23．（2023•南阳模拟）已知集合 是函数 的定义域，集合 是不等式
的解集， ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其应用
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑
【分析】（1）分别求函数 的定义域和不等式 的解集化简集合
，由 得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到 的取值范围；
（2）求出 对应的 的取值范围，由 是 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点
值的关系列不等式组求解 的范围．
【解答】解：（1）由条件，得 ， 或
若 ，则必须满足
所以 的取值范围为 ， ；
（2）易得 或 ，
29是 的充分不必要条件，
或 是 或 的真子集，
则 ， ，
的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．
24．（2023•澳门模拟）设 ， 满足 ．
（a）画出满足以上不等式组的区域．
（b）设 ，求 的取值范围．
（c）设 ，求 的最小值．
【答案】（a）见解答．
（b） ， ．
（c） 的最小值为13．
【考点】简单线性规划
【专题】综合法；转化思想；计算题；数形结合；数学运算；不等式的解法及应用
【分析】（a）利用约束条件，画出不等式组的平面区域．
（b）通过 的几何意义，求解可行域的得到的值，即可求 的取值范围．
（c）通过 的几何意义，转化求解 的最小值即可．
【解答】解：（a） ， 满足 的可行域如图：
30（b） 的几何意义是 和原点的直线的斜率．求解3条直线的交点可得 ， 和
．那么 在给定区域内变动时， 的最小值可以在的 取得，最大值可在点 处取得，
因此 ． ， ．
（c） 的几何意义是点 和原点距离的平方．转化为原点到 的距离的平方，
即 ，
的最小值为13．
【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
25．（2023•和平区校级一模）在① （4） ， （3） ，②当 时， 取得最大值3，③
， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数 ，且 _______．
（1）求 的解析式；
（2）若 在 ， 上的值域为 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
31【考点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质与图象；函数的值域
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）分别选①②③，得到关于 ， 的方程组，解出即可求出 的解析式；
（2）根据函数的值域以及二次函数的性质求出 的值即可．
【解答】解：（1）若选①，
由题意可得
解得 ， ，
故 ；
若选②，
由题意可得
解得 ， ，
故 ；
若选③，
因为 ，
所以 图象的对称轴方程为 ，
则 ，即 ，因为 ，所以 ，
故 ．
（2）因为 在 上的值域为 ， ，
所以 ，即 ，
因为 图象的对称轴方程为 ，且 ，
所以 在 ， 上单调递增，
32则
整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是中档题．
33考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，
与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的⇒意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q
对于p⇒是必不可少的，所以说q是p⇒的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x p，则x q．等价于
x q，则x p一定成立． ∈ ∈
2∉、充要条∉件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
34【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
3．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
35解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
363、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
37解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
38点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
4．运用基本不等式求最值
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．
【解题方法点拨】
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+
的最小值，可以利用均值不等式 从而得出最小值为 2，并且在 x＝1 时取到最小值．需
39要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
【命题方向】
均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代
数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最
值求解，并能正确代入和计算．
已知正数a，b满足a+b＝1，则 的最大值是_____．
解：因为正数a，b满足a+b＝1，
所以a+1+b+1＝3，
则 ＝ ，
当且仅当a＝b＝ 时取等号．
故答案为： ．
5．其他不等式的解法
【知识点的认识】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数
和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【解题方法点拨】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点
其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝log （x﹣1），g（x）＝log （3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，
a a
讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 log （x﹣1）≥log （3﹣x），
a a
40∴当a＞1时，有 ，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有 ，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然
后变成一个对数函数来求解也可以．
【命题方向】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点
希望大家好好学习．
6．二次函数的性质与图象
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣
；最值为：f（﹣ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x
轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝﹣ ，含义为抛
物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得
41取得，这也是一个常考点．
7．二次函数的值域
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
﹣确定二次函数的开口方向（通过 a 的正负判断）．
﹣计算顶点 x 坐标， ．
﹣计算顶点处的函数值 ．
﹣根据开口方向确定值域范围．
【命题方向】
主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题．函数 f（x）＝x2+x﹣2
（x [0，2]）的值域是_____．
∈
解：函数f（x）＝x2+x﹣2的对称轴为 ，
故函数f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上单调递增，
又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，
所以函数f（x）＝x2+x﹣2（x [0，2]）的值域是[﹣2，4]．
8．二次函数的最值 ∈
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）＝ax2+bx+c，最值为 ，根据 a 的正负判断最值类
型．
42﹣计算顶点 x 坐标 ．
﹣计算顶点处的函数值 ．
﹣根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
【命题方向】
主要考查二次函数最值的计算与应用题．
设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为 ，则a的值为_____．
解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，
当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；
当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为 ，
即﹣a2﹣2a+3＝ ，解得a＝﹣ 或a＝﹣ （舍），
综上，a的值为﹣ ．
故选：C．
9．二次函数的应用
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变
量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有
可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛
物线的焦点、准线和曲线的平移．
﹣分析实际问题，抽象出二次函数模型．
﹣确定二次函数的解析式，结合实际情况求解相关参数．
﹣运用二次函数性质求解实际问题，如最值、单调性等．
【命题方向】
常见的应用题包括抛物线轨迹问题、工程优化设计问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型并求解
的能力．
2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）
43之间的关系可表示为 ．若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．
解：设利润为g（x），
则 ，
当x＝40时，g（x） ＝70万元；
max
10．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0
或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特
征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可
求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的
解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
44②分式不等式问题：
＞0 f（x）•g（x）＞0；
⇔
＜0 f（x）•g（x）＜0；
⇔
≥0 ；
⇔
≤0 ．
⇔
11．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【知识点的认识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它
的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
【解题方法点拨】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根
的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴（x +x ）2＝ + +2x x ，即9＝ + +2，
1 2 1 2
∴ + ＝7，又 ＝（x x ）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
1 2
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x +x 与x •x 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以
1 2 1 2
应用上面的公式（韦达定理）．
45【命题方向】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系
然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
12．简单线性规划
【知识点的认识】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模
型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我
们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最
值或者是斜率的最值．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距 取最大值时，z也取
最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距 取最大值时，z取最小值；截距 取最小
值时，z取最大值．
【命题方向】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件 ．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S＝ ＝ ．
46（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表
示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0， ）在已知的平面区域内，直线系过定点（0， ），结合图形寻找直
线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx+ 过定点（0， ）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+ 能平分平面区域．
47因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（ ， ）．
当y＝kx+ 过点（ ， ）时， ＝ + ，所以k＝ ．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，
也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件： ，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l ：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
0
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线
l ：x+y＝0，再将直线l 平移，当l 的平行线l 过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l 的平行线l 过点
0 0 0 1 0 2
A时，可使z＝x+y达到最大值．故z ＝2，z ＝7．
min max
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关
系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和
韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位
亩）分别为（ ）
48A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函
数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种
植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找
出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足 ，则 的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上 的一个动点，则|
+ |的最小值是 ．
49分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给
定代数式的几何意义来完成．
解答：（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1， ）处取到最大值．
（2）依题意得， + ＝（x+1，y），| + |＝ 可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的
距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由
点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此| +
|的最小值是 ＝ ．
故答案为：（1） （2） ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2） 表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4） 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
13．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解
析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式
有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是
由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数
定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
50“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义
域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
14．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求
解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴
的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
15．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的
纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最
小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点
未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要
求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
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