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2025年菁优高考数学压轴训练6
一．选择题（共10小题）
1．（2024•新泰市校级模拟）已知集合 ，若 ， ， 且互不相等，则使得指
数函数 ，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 ，
， 的个数是
A．16 B．24 C．32 D．48
2．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）已知 ， ，则下面
正确的是
A． B． C． D．
3．（2024•深圳模拟）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
4．（2024•浙江模拟）函数 的图象不可能是
A． B．
C． D．
5．（2024•东莞市校级模拟）高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之
1一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作 ，是指不超过
实数 的最大整数，例如 ， ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若
函数 ，则当 ， 时， 的值域为
A． B． C． D．
6．（2024•江苏模拟）已知实数 ， 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024•广汉市校级模拟）某次“最强大脑”节目中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一
个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根 未等主持人报出数字，台下已经有人报出答
案：13．淮安市某中学举办“数学节”活动，其中也有一个类似问题：下列选项中，最接近
的是（其中 ， ，
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024•东湖区校级四模）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
9．（2024•威宁县校级模拟）已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ，
， ，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
10 ． （ 2024• 东 兴 区 校 级 模 拟 ） 定 义 在 上 的 函 数 ， 对 ， 都 有
，若 且 ，则下列式子一定成立的是
2A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•山东模拟）已知 ， ， ，则
A． 的最大值为 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为
12．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 ， ，且 （a） （b），则下列说法正确
的是
A． B．
C． 的最小值为 D．
13．（2024•金安区校级模拟）设 ， ，且 ，则下列关系式可能成立的是
A． B． C． D．
14．（2024•盐城一模）已知 ， ，且 ， ，则
A． B． C． D．
15．（2024•重庆模拟）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•浦东新区三模）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，
则 ．
17．（2024•杨浦区校级三模）设 ，已知函数 的两个不同的零点 、 ，满足
3，若将该函数图像向右平移 个单位后得到一个偶函数的图像，则 ．
18．（2024•回忆版）已知 ， ，则 ．
19．（2024•广东模拟）若 ，则 ．
20．（2024•咸阳模拟）已知函数 ，若 ， ，且 ，则
的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•广西一模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当函数 的定义域为 时，求实数 的取值范围．
22．（2023•青岛学业考试）若一个两位正整数 的个位数为4，则称 为“好数”．
（1）求证：对任意“好数” ， 一定为20的倍数；
（2）若 ，且 ， 为正整数，则称数对 为“友好数对”，规定： ，例如
，称数对 为“友好数对”，则 ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”
的 的最大值．
23．（2023•南京二模）已知函数 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若关于 的不等式 的解集为集合 ，且 ， ，求实数 的取值范围．
24．（2022•德阳模拟）已知函数 ， 的最大值为1．
4（1）求常数 的值；
（2）若 ， ，求证： ．
25．（2021•神木市校级一模）已知 是定义在 上的偶函数，且 时， ．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
52025年菁优高考数学压轴训练6
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•新泰市校级模拟）已知集合 ，若 ， ， 且互不相等，则使得指
数函数 ，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 ，
， 的个数是
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值；对数函数的单调性与最值
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；排列组合；逻辑思维；运算求解
【分析】满足各个函数在 的参数取值均为 ，由于 ， ， 互不相等，有三种情况：指
数函数 ，对数函数 在 单调递增，而幂函数 不满足；指数函数 ，幂函
数 在 上单调递增，而对数函数 不满足；对数函数 ，幂函数 在
上单调递增，而指数函数 不满足；三个函数都在 上单调递增，分别求出这四种情况
的所有可能种数相加即可．
【解答】解：由题意知，满足指数函数 且 ，对数函数 且 的 ， 取
值，且使得它们在 单调递增的 ， 都只有2个，分别是2，3．满足幂函数 的 取值，且使
得它在 上单调递增的 有4个，分别为 ， ，2，3．
由于 ， ， 互不相等，有三种情况：①指数函数 ，对数函数 在 上单调递增，而
幂函数 不满足，有 种；
6②指数函数 ，幂函数 在 上单调递增，而对数函数 不满足，有 种；
③对数函数 ，幂函数 在 单调递增，而指数函数 不满足，有 种
（与②相同）；
④三个函数都在 单调递增，有 种；
由分类加法计数原理，共有 种选法，也即满足条件的有序实数对 ， ， 有24个．
故选： ．
【点评】本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．
2．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）已知 ， ，则下面
正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学抽象；构造法；数形结合
【分析】由题意可得， ， 可分别看成 ， 与 的交点的横坐标，结合函数图象的
对称性及函数的单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， 可分别看成 ， 与 的交点的横坐标，
因为 ， 的图象关于 轴对称， 与 的图象关于 对称，
且 与 ， 交于一点，
即 ，
结合函数图象可知， ， 错误；
7令 ，则 在 上单调递增，且 （a） ，
因为 ，
所以 ， 错误；
令 ，则 在 上单调递增，且 （b） ，
因为 ，
所以 ， 错误；
因为 ，
所以 ，即 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及指数及对数函数的性质在函数值大小比较中的应用，属于中档
题．
3．（2024•深圳模拟）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过
8A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】
【考点】对数函数的图象
【专题】函数的性质及应用；数学运算；定义法；对应思想
【分析】分 和 两种情况讨论，结合函数图象平移知识即可．
【解答】解：①当 时， ，则函数 的图象可由 的图象向左平移 个
单位，则函数 的图象经过一，三，四象限，
②当 时， ，则函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位，则函数
的图象经过二，三，四象限，
综上所述，函数 的图象一定经过三、四象限．
故选： ．
【点评】本题考查对数函数图象相关知识，属于中档题．
4．（2024•浙江模拟）函数 的图象不可能是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据题意，分两种情况讨论，当 时，由反比例函数的性质分析，当 时，分析可得
9与 轴一定有交点，由此分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 ，
当 时， ，是反比例函数，其图象与 符合；
当 时，设 ，其图象大致如图：
，
函数 ，是反比例函数，其图象与 的图象一定存在交点，
即方程 一定有解，
则当 时，函数 与 轴一定有交点，
选项 中图象不关于原点对称，则有 ，与 轴没有交点，故不会是函数 的图象．
故选： ．
【点评】本题考查函数的图象，涉及函数的单调性以及函数值符号的分析，属于中档题．
5．（2024•东莞市校级模拟）高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之
一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作 ，是指不超过
实数 的最大整数，例如 ， ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若
函数 ，则当 ， 时， 的值域为
A． B． C． D．
【答案】
10【考点】求对数型复合函数的值域
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】由 ，得 ，当 ， 时，令 ，函数 在
上单调递增，在 上单调递减，可得结果．
【解答】解：由题意得 ，解得 ，则 的定义域为 ，当 ，
时，令 ，函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，又 在
上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的值域为 ，所以 的值域为
．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的值域，属于中档题．
6．（2024•江苏模拟）已知实数 ， 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【考点】对数的运算性质
【专题】方程思想；数学运算
【分析】通过构造，把 的方程代换成 的式子，之后取对数整理．
【解答】解： ，令 ，
，则 ，
，
令 时，则 ，即 ， ，两边取对数，
11，
， ， ，
，即 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了构造，对数的运算，难度比较大．
7．（2024•广汉市校级模拟）某次“最强大脑”节目中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一
个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根 未等主持人报出数字，台下已经有人报出答
案：13．淮安市某中学举办“数学节”活动，其中也有一个类似问题：下列选项中，最接近
的是（其中 ， ，
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【考点】对数运算求值
【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；整体思想
【分析】令 ，可得 ，两边取对数，利用对数运算及对数函数单调
性求解即得．
【解答】解：令 ，则 ，显然 ，
取常用对数得： ，则 ，即 ，
而 ， ，因此 ，解得 ，
所以最接近 的整数是5．
故选： ．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于中档题．
8．（2024•东湖区校级四模）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
12【答案】
【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学运算；计算题；转化思想
【分析】由条件得到 ， ，从而得到 ， ，即可得出 ，构造函数
，利用函数的单调性，即可判断出 ，从而得出结果．
【解答】解：由 ，得到 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
又 ， ，得到 ，
令 ，则 ，所以 ，
得到 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，
又 （1） ，
当 时， ，得到 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递减，
又 ，所以 ，得到 ．
故选： ．
【点评】本题的关键在于判断 ， 的大小，通过构造函数 ，利用导数与函数的单调性
间的关系，得函数 的单调性，即可求出结果，是中档题．
139．（2024•威宁县校级模拟）已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ，
， ，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系
【专题】函数的性质及应用；逻辑推理；转化思想；数学运算；数形结合；构造法
【分析】画出直线 与函数 和 的图象，根据 与 互为反函数，图象关于
对称；直线 的图象也关于 对称，得出交点 ， 关于 对称，由此判断选项中
的命题是否正确即可．
【解答】解：画出直线 与函数 和 的图象，如图所示：
因为 与 互为反函数，图象关于 对称；
直线 的图象也关于 对称，所以交点 ， ， ， 关于 对称；
所以 ， ，
又 ， 在直线 上，所以 ，即 ，选项 正确；
因为 ，所以选项 正确；
由 ，得 ，设 ，则 单调递增，
因为 ， ，所以 的零点在 上，即 ，
由 得， ， ，选项 错误；
14设 ，则 （1） ， ，所以 ，
又因为 ，函数 在 上单调递增，
所以 ，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
10 ． （ 2024• 东 兴 区 校 级 模 拟 ） 定 义 在 上 的 函 数 ， 对 ， 都 有
，若 且 ，则下列式子一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数值大小的比较
【专题】导数的综合应用；转化思想；综合法；数学运算
【分析】变形得 ，得函数 在 上单调递增，由 且
，得 ，令 ，则 ，即 ，两边同时取对数得 ，令
15，利用导数求出单调性求解．
【解答】解： 定义在 上的函数 ，对 ， 都有 ，
，
，
，
函数 在 上单调递增，
且 ， ，令
，则 ，即 ，
当 时，成立；
当 时，两边同时取对数得 ， ，
令 ，得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值为 （e） ，
．
故选： ．
【点评】本题考查函数的单调性、对数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•山东模拟）已知 ， ， ，则
A． 的最大值为 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为
16【答案】
【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数学运算；综合法
【分析】利用基本不等式判断 、 、 ，由 ，令 ，利用导数说明
函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断 ．
【解答】解：因为 ， ， ，
对于 ，当且仅当 时等号成立，故 错误；
对于 ，当且仅当 ， 时等号成立，故 正确；
对于 ，
又 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 正确；
对于 ，
设 ，则 ，
所以当 时， （b） ，则 （b）单调递增，
当 时， （b） ，则 （b）单调递减，
所以 （b） （1） ，
所以 的最小值为 ，当且仅当 、 时取等号，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
12．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 ， ，且 （a） （b），则下列说法正确
的是
A． B．
17C． 的最小值为 D．
【答案】
【考点】对数函数的图象
【专题】整体思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】由已知结合对数函数的性质及函数图象的变化可得 ，即可判断 ， ，然后结合基本不等
式检验选项 ， 即可．
【解答】解：因为函数 ， ，且 （a） （b），
所以 ，且 ，
所以 ，即 ， 正确， 错误；
，当且仅当 ，即 ， 时取等号，但显然与已知矛盾， 错误；
，当且仅当 时取等号，但显然等号无法取
得，
故 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
13．（2024•金安区校级模拟）设 ， ，且 ，则下列关系式可能成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较
【专题】转化思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法；逻辑推理
【分析】先求出 ，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性逐一分析能求出结果．
【解答】解： ， ，
， ， ，解得 ，
对于 ， ，
设函数 （a） ， ， ，
18（a）在 上单调递减，则 （a） （1） ，
，故 对 错；
对于 ， ， ，
设 （a） ， ， ，
（a）在 上单调递减， （a） （1） ，
，
若 ， ，对 正确；
对于 ， ，
设 （a） ， ， （a） ，
则 （a）在 上单调递增，在 上单调递减，
（a） ， （1） ， ，
（a） ， ， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查构造函数、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
14．（2024•盐城一模）已知 ， ，且 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式；指数式与对数式的互化
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学运算；不等式；整体思想
【分析】由已知结合指数及对数的转化及对数函数的性质检验选项 ；结合对数的运算性质检验选项 ；
结合基本不等式检验选项 ， 即可．
【解答】解：因为 ，所以 ，
19因为 ，所以 ，则 ， 正确；
，所以 错误；
因为 ， ， ，当 成立，而 ，故 ，所以 正确；
，即 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了指数与对数的转化公式，还考查了对数函数的性质，基本不等式的应用，属于
中档题．
15．（2024•重庆模拟）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用
【专题】数学运算；不等式；整体思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】根据基本不等式可判定 ，根据指数函数的单调性可判定 ，根据基本不等式、对数运算及对
数函数单调性可判断 ，根据二次函数的性质可判断 ．
【解答】解： ， ，且 ， ，
当且仅当 时取等号，故 正确．
， ，且 ， ， ，
， ，故 正确．
由 ，得 ，当且仅当 时取等号， ，故
错误．
，又 ， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论，二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
2016．（2024•浦东新区三模）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，
则 1 ．
【答案】1．
【考点】有理数指数幂及根式
【专题】数学运算；综合法；三角函数的求值；转化思想；计算题
【分析】由题意结合三角换元和三角恒等变换即可求解．
【解答】解： 实数 、 、 、 满足 ， ，
可令 ， ， ， ，
则 ，
可得 ，
则 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角换元的运用，三角恒等变换，是中档题．
17．（2024•杨浦区校级三模）设 ，已知函数 的两个不同的零点 、 ，满足
，若将该函数图像向右平移 个单位后得到一个偶函数的图像，则 ．
【答案】 ．
【考点】函数的图象与图象的变换；函数的奇偶性；对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】由已知结合方程的根与系数关系可求出 ，然后结合函数图象的平移及偶函数的对称性即可求．
【解答】解：因为函数 的两个不同的零点 、 ，
所以 的两根为 、 ，
21则 ， ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
若将该函数图像向右平移 个单位后得到 为偶函数，
则 为偶函数，图象关于 轴对称，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换及偶函数对称性的应用，属于中档题．
18．（2024•回忆版）已知 ， ，则 6 4 ．
【考点】对数的运算性质
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学运算；整体思想
【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，而 ，
故 ，即 ．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
19．（2024•广东模拟）若 ，则 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；整体思想
22【分析】由已知结合根式的运算进行化简即可求解．
【解答】解：若 ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了根式的化简，属于基础题．
20．（2024•咸阳模拟）已知函数 ，若 ， ，且 ，则
的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】基本不等式及其应用；指数函数的图象
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；转化思想
【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出 、 的关系，再借助基本不等式“1”的
妙用求解即得．
【解答】解：函数 的定义域为 ， ，
即函数 是奇函数，又函数 ， 都是 上的增函数，
则 在 上递增，由 ，
得 ，于是 ，即 ，
则 ，而 ， ，即有 ， ，
因此
，当且仅当 ，
即 时取等号，所以当 时，
23取得最小值 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查函数的性质，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•广西一模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当函数 的定义域为 时，求实数 的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）设 ，则 ．由此可知 ．
（2）由题意知， 的最小值为4， ，由此可知 的取值范围．
【解答】解：函数的定义域满足 ，即 ，
（1）当 时，
设 ，则 ．（3分）
， ．（5分）
（2）由 知， 的最小值为4，7分 ，
的取值范围是 ．（10分）
【点评】本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
22．（2023•青岛学业考试）若一个两位正整数 的个位数为4，则称 为“好数”．
24（1）求证：对任意“好数” ， 一定为20的倍数；
（2）若 ，且 ， 为正整数，则称数对 为“友好数对”，规定： ，例如
，称数对 为“友好数对”，则 ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”
的 的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【考点】有理数指数幂及根式
【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；逻辑推理；数学运算
【分析】（1）设 ，从而有 即可证明；
（2）根据题意可得 ，进而分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）证明：设 ， 且 为整数，
，
，且 为整数， 是正整数，
一定是20的倍数；
（2） ，且 ， 为正整数， ，
当 时， ，没有满足条件的 ， ，
当 时， ，
满足条件的有 或 ，
解得 或 ，
或 ，
25当 时， ，没有满足条件的 ， ，
当 时， ，
满足条件的有 ，解得 ，
，
当 时， ，没有满足条件的 ， ，
当 时， ，
满足条件的有 或 ，
解得 或 ，
或 ，
小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 的最大值为 ．
【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
23．（2023•南京二模）已知函数 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若关于 的不等式 的解集为集合 ，且 ， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ， ．
【考点】对数函数的图象
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】（1）先得到 在 上单调递增， （1） ，再得到 在 上单调递
减，在 上单调递增，证明即可；
（2）先得到 在 上递减，在 ， 上递增，再分类讨论，求解即可．
【解答】证明：（1）若 ，则 ，函数定义域为 ，
26则 在 上单调递增，
（1） ，
当 时， （1） ，当 时， （1） ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时，函数取得最小值为 （1），
（1） ；
解：（2） 为增函数，
当 时， ， ， ，
则存在 ，使 ，
在 上递减，在 ， 上递增，
又 （1） ，由（1）可知 ，有 ，可得 ，满足 ， ；
①若 ，有 ， 存在 ，使 ，则 ，
有 （a） ，则 ，
设 （a） ， ，
则 （a） 为增函数，
（1） ， （a） 在 上递增，
， ，
②若 ，有 ， 存在 ，使 ，则 ，
有 ，符合题意，
27综上， ， ．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性的运用，属于中档题．
24．（2022•德阳模拟）已知函数 ， 的最大值为1．
（1）求常数 的值；
（2）若 ， ，求证： ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析．
【考点】指数函数综合题
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】（1）由题可得 ，分类讨论可得 时，
，即 ，然后通过构造函数 可求；
（2）由题可得 ，构造函数 ，利
用导数可得 ，即得．
【解答】解：（1）由题意 ， ．
由于 ，
所以若 ，即 ，
当 时， ；当 时， ；
即 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，不合题意；
若 ，即 ，
当 时， ；当 时， ；
即 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
28，
所以 ，两边取自然对数得： ，
即 ，
令 ，
则 ，
易知 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
（1） ，
即 的根为1，
所以 ，
即 ；
（2）由（1）知 ，且在 上单调递增，在 上单调递减，
（1） ， ，
当 时， ；当 时， ，
由 ，不妨设 ，
则 ，
令 ，
于是 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，且 ， ，
29从而 ，
即 ．
【点评】本题考查了转化思想求函数的最值及极限思想，第一问利用导数通过分类讨论得到 ，
通过两边取对数，构造函数 ，再利用导数求 的值；第二问关键是构造函数
，然后利用导数与单调性的关系即证，属于难题．
25．（2021•神木市校级一模）已知 是定义在 上的偶函数，且 时， ．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法； ：对数函数的单调性与特殊点
【专题】15：综合题；33：函数思想；51：函数的性质及应用
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数 的解析式；
（2）若 ，将不等式进行转化即可求实数 的取值范围
【解答】解：（1）令 ，则 ，
时， ，
则 ．
（2）（Ⅲ） 在 ， 上为增函数，
在 上为减函数
（1）
，
30或 ．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式
是解决本题的关键
31考点卡片
1．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
32综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
334、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
34例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
35技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
2．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求
解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴
的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
3．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表
格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函
数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对
称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
36y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换： ⇒
y＝f（x） y＝f（ x）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩ω为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换： ⇒
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换： ⇒
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|． ⇒
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根
据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对
变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图
象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
37③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走
向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y变换”的原则，写出每一次的变换
所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝
x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图
过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供
的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一
特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
38【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
5．幂函数的概念
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为
偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
6．幂函数的单调性与最值
【知识点的认识】
一、幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
∈
39（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
二、幂函数与指数函数的对比
式子 名称
a x y
指数函数：y＝ 底数 指数 幂值
ax
幂函数：y＝xa 指数 底数 幂值
三、五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x﹣1
y＝
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞）时， 增 增 x （0，+∞）时，
增 减
∈ ∈
x （﹣∞，0]时， x （﹣∞，0）
减 时，减
∈ ∈
公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）
40四、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
7．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定： ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
∈
＝ ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分∈数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
∈
②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义∈．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，∈s Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞∈0，r Q）．
∈
【解题方法点拨】
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、 ＝a C、 ＝3 D、 ＝
\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
41∴A不正确；
∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}
{{a}^{3}}$，
∴B不正确；
∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，
∴C正确；
∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$ B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n
D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
8．有理数指数幂及根式化简运算求值
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定： ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
∈
＝ ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分∈数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
∈
42②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义∈．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，∈s Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞∈0，r Q）．
∈
【解题方法点拨】
﹣利用 ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）进行互化．
∈
﹣利用指数运算法则，如 、（am）n＝amn进行化简．
﹣利用根式运算法则，如 、 进行化简．
﹣验证化简和运算结果的正确性．
【命题方向】
题目通常涉及有理数指数幂及根式的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用．
计算： ＝_____．
解 ： ＝
故答案为： ．
9．指数函数的图象
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
43定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；
同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
10．指数函数图象特征与底数的关系
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
指数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的指数函数图象形态不同．
44【解题方法点拨】
﹣当0＜a＜1时，指数函数单调递减，图象从左上到右下．
﹣当a＞1时，指数函数单调递增，图象从左下到右上．
﹣分析底数a的取值，确定图象特征．
【命题方向】
题目通常涉及指数函数图象特征与底数的关系，结合具体问题分析函数图象及其应用．
如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c＞0，且c≠1），
④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
解：结合指数函数的性质可知，c＞d＞1＞a＞b＞0．
故选：B．
11．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
45当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；
同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
12．指数式与对数式的互化
【知识点的认识】
ab＝N logaN＝b；
alogaN＝⇔N；log
a
aN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b f（x）＝log b；log f（x）＝b f（x）＝ab（定义法）
a a
（2）af（x）＝a⇔g（x） f（x）＝g（x）；log f（x⇔）＝log g（x） f（x）＝g（x）＞0（同底法）
a a
（3）af（x）＝bg（x） ⇔f（x）log a＝g（x）log b；（两边取对数⇔法）
m m
⇔
（4）log f（x）＝log g（x） log f（x）＝ ；（换底法）
a b a
（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blog ⇔ x+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝log x或t＝ax）（换元法）
a a
13．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
4614．对数运算求值
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N；log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M；log ＝ log M．
a a a a
【解题方法点拨】
﹣利用对数定义直接求值．
﹣利用换底公式 进行换底运算．
﹣ 结 合 对 数 运 算 性 质 ， 如 log （ mn ） ＝ log m+log n 、 、
a a a
进行化简求值．
【命题方向】常见题型包括计算对数值、简化复杂对数表达式、利用对数性质解决实际问题．
计算： ＝_____．
解：原式＝lg2﹣1+ +lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2﹣1+9＝10．
故答案为：10．
15．求对数型复合函数的值域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数 y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是
a
（0，+∞），值域是R．
对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围．
【解题方法点拨】
﹣确定内层函数的值域．
﹣将内层函数的值域代入外层对数函数，分析外层函数的值域．
﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
【命题方向】
47常见题型包括求解对数型复合函数的值域，结合复合函数的内外层分析其值域．
函数y＝log （x2﹣2x+4）的值域为_____．
3
解：因为x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，
所以y＝log （x2﹣2x+4）≥1．
3
故答案为：{y|y≥1}．
16．对数函数的图象
【知识点的认识】
17．对数函数图象特征与底数的关系
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1 a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣当0＜a＜1时，对数函数单调递减，图象从左上到右下．
48﹣当a＞1时，对数函数单调递增，图象从左下到右上．
﹣分析底数a的取值，确定图象特征．
【命题方向】
常见题型包括对数函数图象特征与底数的关系，结合具体问题分析函数图象及其应用．
如图，曲线是对数函数y＝log x的图象，已知a的取值分别为 ， ， ， ，则相应的曲线C ，
a 1
C ，C ，C 的a的值依次为（ ）
2 3 4
解：因为对数函数中，a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，
又当底数a＞1时，底数越大，函数图象越接近相应的坐标轴，0＜a＜1时，越小越接近相应坐标轴，
故曲线C ，C ，C ，C 的a的值依次为 ， ， ， ．
1 2 3 4
18．对数函数及对数型复合函数的图象
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1 a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其图象形态．
﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层对数函数，确定复合函数的整体图象．
﹣利用图象分析函数的性质和应用．
49【命题方向】
常见题型包括对数函数及其复合函数的图象分析，结合解析式和具体问题确定函数图象及其应用．
已知函数y＝log （x+b）的图象如图．
a
（1）求实数a与b的值；
（2）函数y＝log （x+b）与y＝log x的图象有何关系？．
a a
解：（1）由图象可知，函数的图象过点（﹣3，0）与点（0，2），
所以log （﹣3+b）＝0，log b＝2，
a a
解得a＝2，b＝4，
故实数a的值为2，b的值为4；
（2）函数y＝log （x+4）的图象可以由y＝log x的图象向左平移4个单位长度得到．
a a
19．对数函数的单调性与最值
【知识点的认识】
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝log x在（0，+∞）上为增函数
a
当0＜a＜1时，y＝log x在（0，+∞）上为减函数
a
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
20．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图
的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
21．对数函数图象与性质的综合应用
【知识点的认识】
1、对数函数的图象与性质：
a＞1 0＜a＜1
50图象
定义域 （ 0 ， + ∞）
值域 R
定点 过点 （ 1 ， 0 ）
单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
函数值正负 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜ 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜
1，y＜0 1时，y＞0
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数
的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．
【解题方法点拨】
1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝log x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（ ，﹣1）函
a
数图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
【命题方向】
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类
讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如log x＞log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与
a a a
510＜a＜1两种情况讨论．形如log x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
a
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