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2025年菁优高考数学压轴训练7
一．选择题（共10小题）
1．（2024•雁塔区校级模拟）已知函数 ， ，对于任意的 ，
， 都恒成立，且函数 在 ， 上单调递增，则 的值为
A．3 B．9 C．3或9 D．
2．（2024•威远县校级一模）设函数 ，若存在 ，且 ，使
得 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2024•江西一模）已知 ，则
A． B． C． D．
4．（2024•南通模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．（2024•邹城市校级三模）已知 ， ，则
A． B． C． D．
6．（2024•沙坪坝区校级模拟）已知函数 的部分图像如图所
示，若 ，则
1A． B． C． D．
7．（2024•济南校级模拟）已知函数 ，若 ， 是锐角 的两个内角，则下列结论一定
正确的是
A． B．
C． D．
8．（2024•博白县模拟）已知点 都是 图象上的
点，点 ， 到 轴的距离均为1，把 的图象向左平移 个单位长度后，点 ， 分别平移到点 ，
，且点 ， 关于原点对称，则 的值不可能是
A．3 B．5 C．10 D．11
9．（2024•姜堰区校级模拟）设函数 在 ， 上至少有两个不同零点，则
实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
10．（2024•仪征市模拟）若 ，且 ， ，则
A． B． C． D．
2二．多选题（共5小题）
11．（2024•湖南模拟）已知 ， ，下列结论正确的是
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
C．若 在 ， 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
12．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，则下
列说法正确的是
A．
B． 为偶函数
C． 在 上单调递增
D．若 ，则 的最小值为
13．（2024•东阳市模拟）已知函数 的部分图象如图所
示，则
A．
B．
3C． 为偶函数
D． 在区间 的最小值为
14．（2024•合肥模拟）已知 ， 是函数 的两个零点，且 的最小值是
，则
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D． 在 上仅有1个零点
15．（2024•高州市模拟）已知函数 ，对任意实数 都有 ，则下
列结论正确的是
A． 的最小正周期为
B．
C．函数 的图象关于 对称
D． 在区间 上有一个零点
三．填空题（共5小题）
16．（2024•芝罘区校级模拟）如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 、 在圆 上，且点 位于
第一象限，点 的坐标为 ， ，若 ，则 的值为 ．
417．（2024•抚顺模拟）已知 ， 是函数 的两个零点，且
，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在
内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ．
18．（2024•迎江区校级四模）已知函数 ．直线 与曲线 的
两个交点 ， 如图所示．若 ，且 在区间 上单调递减，则 ； ．
19．（2024•资阳模拟）已知函数 ，若存在 ， ， ，使得
，则 的最小值为 ．
20．（2024•香河县校级模拟）已知函数 在区间 上恰有两个零点，
则 的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•天津）在 中 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ；
5（3）求 ．
22．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 中，若 （A） ， ，求 的面积．
23．（2024•抚州模拟）已知函数 ， ， ，函数 和它的导
函数 的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ，求 的值．
24．（2024•东城区模拟）已知函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上的最大值和最
小值．
条件①：函数 是奇函数；
条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象；
条件③： ．
625．（2024•东城区校级三模）已知函数 ．
（Ⅰ）若 ， ， ，求 的值；
（Ⅱ）设 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
72025年菁优高考数学压轴训练7
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•雁塔区校级模拟）已知函数 ， ，对于任意的 ，
， 都恒成立，且函数 在 ， 上单调递增，则 的值为
A．3 B．9 C．3或9 D．
【答案】
【考点】正弦函数的图象
【专题】转化思想；计算题；综合法；数学运算；三角函数的图象与性质
【分析】根据函数 在 ， 上单调递增得到 的取值范围，结合已知两个恒等式可求解 的值，
结合 取值进行验证，综合可得答案．
【解答】解：因为函数 在 ， 上单调递增，
所以 ，解得 ，即 ，解得 ，
因为对于任意的 ， ，
所以 的图象关于直线 对称，
则 ， ，①
因为 ，
所以 关于点 ， 对称，
则 ， ，②
② ①可得 ， ， ，
令 ，则 ，
8结合 ，可得 或9，
当 时，代入①可得 ， ，
又 ，所以 ，此时 ，
在 ， 上单调递增，符合题意，
当 时，代入①可得 ， ，
又 ，所以 ，此时 ，
在 ， 上不单调，不符合题意．
综上， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的 图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024•威远县校级一模）设函数 ，若存在 ，且 ，使
得 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】由 的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象
【专题】综合法；数学运算；函数思想；三角函数的图象与性质
【分析】依题意，可得 ， ，结合 ， ，及 ，可列
式求得答案．
【解答】解： ，
当 时， ， ，
又 ， ，
又 ，
9若存在 ，且 ，使得 ，
则 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2024•江西一模）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数
【专题】转化法；数学运算；三角函数的求值；转化思想
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得．
【解答】解：由 ，得 ，即 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角恒等变形，属于中档题．
4．（2024•南通模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；数学运算；三角函数的求值；整体思想
【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
10因为 ，
所以 ，
因为 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
5．（2024•邹城市校级三模）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解
【分析】将已知两个关系式分别平方后相加，可求得 ，再利用二倍角公式可求得答案．
【解答】解： ，
，①
又 ，
，②
① ②，得 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的综合应用，属于中档题．
116．（2024•沙坪坝区校级模拟）已知函数 的部分图像如图所
示，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】由 的部分图象确定其解析式
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】由最值求出 ，由五点作图及特殊点求出 ， ，进而求出 ，然后结合诱导公式及二倍角
公式即可求解．
【解答】解：由题意得 ， 且 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
则
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了部分函数的性质求解 的解析式，还考查了二倍角公式及诱导公
式的应用，属于中档题．
127．（2024•济南校级模拟）已知函数 ，若 ， 是锐角 的两个内角，则下列结论一定
正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】余弦函数的单调性
【专题】导数的综合应用；函数思想；数学运算；综合法
【分析】依题意，得 在 上恒成立 在 上单调递减，结合 ，
是锐角 的两个内角，对四个选项逐一判断可得答案．
【解答】解： ， 是锐角 的两个内角，
， ，
又 ，
在 上恒成立， 在 上单调递减．
又 ，
则 ，
， 正确；
同理可得 ， 错误
而 与 ， 与 的大小关系均不确定，
与 ， 与 的大小关系也均不确定， ， 均错误．
故选： ．
【点评】本题考查余弦函数的单调性及导数的应用，考查逻辑推理的核心素养，属于中档题．
8．（2024•博白县模拟）已知点 都是 图象上的
13点，点 ， 到 轴的距离均为1，把 的图象向左平移 个单位长度后，点 ， 分别平移到点 ，
，且点 ， 关于原点对称，则 的值不可能是
A．3 B．5 C．10 D．11
【答案】
【考点】函数 的图象变换
【专题】综合法；函数思想；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】依题意，可求得 ， ， 即 ，结合 ，可求得 ，利
用正弦函数的性质可列式求得答案．
【解答】解：由 都是 图象上的点，
依题意，可得 ， ， ， ，因为点 ， 关于原点对称，
所以 ，又点 ， 到 轴的距离均为1，
故 ， ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
故 或 ，
即 或 ，
所以 的值可能是3，5，9，11， ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的图象及变换，体现了数学探索学科素养，考查了化简运算能力，属于中
档题．
9．（2024•姜堰区校级模拟）设函数 在 ， 上至少有两个不同零点，则
14实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】正弦函数的图象
【专题】综合法；三角函数的图象与性质；计算题；转化思想；数学运算
【分析】先令 得 ，并得到 ，从小到大将 的正根写出，因为
， ，所以 ，从而分情况，得到不等式，求出答案．
【解答】解：令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，解得 ， 或 ， ，
从小到大将 的正根写出如下：
， ， ， ， ， ， ，
因为 ， ，所以 ，
当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，
，即 时， ，解得 ，
故 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
故
15当 时， ，
此时 在 ， 上至少有两个不同零点．
综上， 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（2024•仪征市模拟）若 ，且 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】数学运算；整体思想；综合法；三角函数的求值
【分析】利用切化弦可得 ，再由两角和差公式先求 ，最后由同角基本关系式求解．
【解答】解：因为 ，则 ，则 ，
所以 ，
而 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•湖南模拟）已知 ， ，下列结论正确的是
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
16C．若 在 ， 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 的图象变换；三角函数的周期性
【专题】综合法；数学运算；整体思想；三角函数的图象与性质
【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：
，
对于 ， ，又 ， ，故 正确；
对于 ，将 的图象向左平移 个单位长度后得到 ，
若所得图象关于 轴对称，则 ，得 ， ，所以 ，故 正确；
对于 ，由 ， ，得 ，
若 在 ， 上恰有4个极值点，则 ，
解得 ，故 正确；
对于 ，由 ， ，
结合正弦函数的性质可知， 在 上不可能单调递减，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
12．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，则下
列说法正确的是
A．
17B． 为偶函数
C． 在 上单调递增
D．若 ，则 的最小值为
【答案】
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；函数思想；综合法
【分析】利用正弦函数的对称性质可求得 ，再对各个选项逐一判断即可．
【解答】解： 的图象关于直线 对称，
，
，
， 错误；
，
，是偶函数， 正确；
， ， 在 上不单调， 错误；
的最小正周期 ，
若 ，则 的最小值为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数的对称性、单调性及周期性等性质的运用，属于中档题．
13．（2024•东阳市模拟）已知函数 的部分图象如图所
示，则
18A．
B．
C． 为偶函数
D． 在区间 的最小值为
【答案】
【考点】由 的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出 ，可得 正确， 错误；由诱导公式
可得 正确；整体代入由正弦函数的值域可得 正确．
【解答】解：由题意得 ，
由图象可得 ，
又 ，所以 ，
由五点法可得 ，
所以 ．
：由以上解析可得 ，故 正确；
：由以上解析可得 ，故 错误；
，故 正确；
：当 时， ，
19所以最小值为 ，故 正确；
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
14．（2024•合肥模拟）已知 ， 是函数 的两个零点，且 的最小值是
，则
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D． 在 上仅有1个零点
【答案】
【考点】函数 的图象变换；正弦函数的图象
【专题】整体思想；数学运算；三角函数的图象与性质；综合法
【分析】由已知结合周期公式先求出 ，即可求出函数解析式，然后结合正弦函数的单调性检验选项 ，
结合对称性检验选项 ，结合三角函数图象的平移变换检验选项 ；结合函数零点存在条件检验选项
即可判断．
【解答】解：由 的最小值是 可知，函数 的最小正周期 ，
， ．
对于 ，当 时， ，
在 上单调递增，故 正确；
对于 ， ，
的图象关于直线 对称，故 正确；
对于 ， ，故 错误；
20对于 ，当 时， ，仅当 ，即 时， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性，对称性，单调性的应用，还考查了函数图象的平移变换，
属于中档题．
15．（2024•高州市模拟）已知函数 ，对任意实数 都有 ，则下
列结论正确的是
A． 的最小正周期为
B．
C．函数 的图象关于 对称
D． 在区间 上有一个零点
【答案】
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的图象
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；整体思想；综合法
【分析】由已知结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：选项 ， 故 正确；
选项 ，易知 为最大值或最小值，
是 的一条对称轴的方程．
， ， ，
，
，故 正确；
选项 ，不是最值，故 错误；
选项 ，当 时， ，此区间上 有1个零点．
21故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•芝罘区校级模拟）如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 、 在圆 上，且点 位于
第一象限，点 的坐标为 ， ，若 ，则 的值为 ．
【考点】 ：任意角的三角函数的定义
【专题】49：综合法；15：综合题；34：方程思想；56：三角函数的求值
【分析】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论．
【解答】解： 点 的坐标为 ，设
， ，
即 ， ，
，若 ， ，
则 ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决
本题的关键．
17．（2024•抚顺模拟）已知 ， 是函数 的两个零点，且
22，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在
内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】函数 的图象变换
【专题】数学运算；综合法；三角函数的图象与性质；整体思想
【分析】由已知结合正弦函数的性质先求出 的解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解 的范围．
【解答】解：由题意，函数 的两个零点，且 ，
则 ， ，
， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
又因为将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，
所以 为偶函数，
则 ， ，
又因为 ，
所以 ， ，
当 时， ，函数有且只有两个最值点，
所以 ，
23解得 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了正弦函数最值取得条件
的应用，属于中档题．
18．（2024•迎江区校级四模）已知函数 ．直线 与曲线 的
两个交点 ， 如图所示．若 ，且 在区间 上单调递减，则 2 ； ．
【答案】2； ．
【考点】由 的部分图象确定其解析式
【专题】三角函数的图象与性质；数学运算；计算题；转化思想；综合法
【分析】根据 和 ，可构造方程求得 ，并确定 为半个周期，根据正弦函数
单调性可构造方程组求得 ．
【解答】解：设 ， ， ， ，
由 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得： ，
此时 的最小正周期 ，
因为 ， 在区间 上单调递减，
24所以 和 分别为 单调递减区间的起点和终点，
当 时， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
综上， ， ．
故答案为：2； ．
【点评】本题主要考查由 的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2024•资阳模拟）已知函数 ，若存在 ， ， ，使得
，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】根据两角差的正弦公式得出 ，然后根据题意即可得出 ，从而可
得出 的最小值．
【解答】解： ，
因为存在 ， ， ，使得 ，
所以 ，解得 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，是中档题．
20．（2024•香河县校级模拟）已知函数 在区间 上恰有两个零点，
25则 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；三角函数的求值；数学运算；整体思想
【分析】先根据辅助角公式化简，然后结合 的范围及正弦函数的性质即可得解．
【解答】解： ，
令 ，
则 ，
由 ，
得 ，
因为函数 在区间 上恰有两个零点，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了辅助角公式重点考查了正弦函数的性质，属中档题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•天津）在 中 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 ．
26【答案】（1）4； （2） ； （3） ．
【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】（1）设 ，则 ， ，利用余弦定理能求出 ；
（2）由同角三角函数关系式，先求出 ．再由正弦定理求出 ．
（3）利用二倍角公式求出 ，再由同角三角函数关系式求出 ，利用两角差三角函数能求出
．
【解答】解：（1）在 中 ， ， ，
设 ，则 ， ，
，
解得 ，
；
（2）由（1）得 ， ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
解得 ．
（3） ， ， 是锐角，且 ，
，
，
27．
【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 中，若 （A） ， ，求 的面积．
【答案】（1） ．
（2） ．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化法；转化思想；数学运算；三角函数的求值
【分析】（1）先对 恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，先求出 ，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）
，
由 ，得 ，
故函数 的单调增区间是 ．
（2） ，
则 ，
在锐角三角形 中，
则 ，
故 ，即 ，所以 ，
28又 ，所以， ，
故 的面积 ．
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
23．（2024•抚州模拟）已知函数 ， ， ，函数 和它的导
函数 的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知 ，求 的值．
【考点】由 的部分图象确定其解析式
【专题】数学运算；转化思想；三角函数的图象与性质；综合法
【分析】（1）由图可得， ， ， 的图象过点 ， ，可得 ， ，进而
可得结论；
（2）由（1）及题意得 ，而 ，结合二倍角公式
求解即可．
【解答】解：（1）函数 ， ，
由图可得， ， ，
又 ，所以 ， ，
因为 的图象过点 ， ，
29所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）及 ，得 ，
．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式，属于中档题．
24．（2024•东城区模拟）已知函数 的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上的最大值和最
小值．
条件①：函数 是奇函数；
条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象；
条件③： ．
【答案】（Ⅰ） ．
（Ⅱ）最大值为1，最小值为 ．
【考点】函数 的图象变换；由 的部分图象确定其解析式
【专题】整体思想；数学运算；综合法；三角函数的图象与性质
【分析】（Ⅰ）结合函数图象可求周期，结合周期公式即可求解 ；
（Ⅱ）结合正弦函数的奇偶性及三角函数图象的变换可求 ，然后结合正弦函数的性质即可求解．
30【解答】解：（Ⅰ）由题意知 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
（Ⅱ）选择条件①：函数 是奇函数，
则 ，
因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
于是， ，
因为 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最大值为1．
当 ，即 时， 取得最小值为 ；
选择条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，
因为其图象与 的图象相同，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
于是， ，
因为 ，
所以 ，
31当 ，即 时， 取得最大值为1．
当 ，即 时， 取得最小值为 ；
选择条件③： ，
所以 ， ，
此时 不存在．
【点评】本题主要考查了函数 解析式的求解，还考查了三角函数图象变换及正弦函数性
质的应用，属于中档题．
25．（2024•东城区校级三模）已知函数 ．
（Ⅰ）若 ， ， ，求 的值；
（Ⅱ）设 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ） 或 ；
（Ⅱ）最大值为 ，最小值为 ．
【考点】正弦函数的图象；三角函数的最值
【专题】三角函数的求值；转化思想；数学运算；转化法
【分析】（Ⅰ）根据已知条件，结合三角函数的特殊值，即可求解；
（Ⅱ）结合三角函数的恒等变换，以及三角函数的有界性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ） ， ， ， ，
则 或 ，解得 或 ；
（Ⅱ）
32，
，
则 ，
，
故 ，即 的最大值为 ，最小值为 ．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
33考点卡片
1．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin ＝ y ，cos ＝ x ，
α α α
tan ＝ ．
2．α几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起
点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目
中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【命题方向】
已知角 的终边经过点（﹣4，3），则cos ＝（ ）
α α
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos 的值．
α
解：∵角 的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝ ＝5．
α
∴cos ＝ ＝ ＝﹣ ，
故选：αD．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
2．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f
（ x + T ）＝ f （ x ） ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f
34（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ x+ ），x R及函数y＝Acos（ x+ ）；x R（其中A、 、 为常数，且A≠0， ＞
ω φ ∈ ω φ ∈ ω φ ω
0）的周期T＝ ．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ x+ ）的单调区间时，应注意 的符号，只有当 ＞0时，才能把 x+ 看作一个整体，
代入y＝sin t的相ω应单φ调区间求解，否则将出现错ω误． ω ω φ
2．两类点
y＝sin x，x [0，2 ]，y＝cos x，x [0，2 ]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的∈三种方π法 ∈ π
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ x+ ）和y＝Acos（ x+ ）的最小正周期为 ，y＝tan（ x+ ）的最小正
ω φ ω φ ω φ
周期为 ．
③利用图象．图象重复的x的长度．
3．正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
（2k ﹣ ，2k ）
（2k ﹣ ，2k + ） （k Z）； （k ﹣ ，k + ）
π π π
π
（k Z）；
π 递减区间： π
（k Z）
π
∈
递减 ∈ 区间： （2k ，2k + ） ∈
π π π
35（k Z）
（2k + ，2k + ）
∈
（k Z）
π π
最 值 ∈ x＝2k （k Z）时，y max ＝ 无最值
x＝2k + （k Z）时，y 1；
max
π ∈
＝1；
x＝2k + （k Z） 时，
π ∈
y ＝﹣1
π πmin ∈
x＝2k ﹣ （k Z）时，
y ＝﹣1
π min ∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0）
（k Z） 对称中心：（k + ，0） 对称中心：（ ，0）
π
（k Z） （k Z）
∈ π
对称轴：x＝k + ，k Z 对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
∈ ∈
周期 2 π ∈ 2 π ∈
4．正弦函数的单调性 π π π
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ x+ ）或y＝Acos（ x+ ）（其中， ＞0）的单调区间时，要视“ x+ ”为一个
整体，通过解不等式ω求φ解．但如果 ＜0ω，那φ么一定先借助ω诱导公式将 化为正数，防止ω把单φ调性弄错．
5．正弦函数的奇偶性和对称性 ω ω
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有 sin（﹣x）＝﹣sinx．
另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝k + ，k z．
【解题方法点拨】 π ∈
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝ ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝ ，
而函数y＝sint的对称轴为
则 ，解得 （k Z）
∈
36则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为 ．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣ 看成
一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
【命题方向】
这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．
6．余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ x+ ）或y＝Acos（ x+ ）（其中， ＞0）的单调区间时，要视“ x+ ”为一个
整体，通过解不等式ω求φ解．但如果 ＜0ω，那φ么一定先借助ω诱导公式将 化为正数，防止ω把单φ调性弄错．
7．函数y＝Asin（ x+ ）的图象ω变换 ω
【知识点的认识】ω φ
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象的步骤
ω φ ω
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是| |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，
φ
平移的量是 （ ＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】ω
1．一个技巧
37列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ x+ ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣
ω φ
A+b，故A＝ ．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ x+ ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的
图象变换到y＝Asin （ x+ ）的图ω象φ，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的
ω φ
量是| |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是 （ ＞0）个单位．原因在于
相位φ变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于 xω加减多少值．
3．三点提醒 ω
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin x的图象得到y＝Asin（ x+ ）的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是| |．
8．由y＝Asin（ωx+ ）的部分图象确定ω其解φ析式 φ
【知识点的认识】ω φ
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝ ，k＝ ， 由周期T确定，
ω
即由 ＝T求出， 由特殊点确定．
9．三角函数的最值φ
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、
单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合
三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ + cos （ 2 x + ） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ ﹣ +2• ＝ + （cos2x﹣sin2x）
38＝ + cos（2x+ ）．
故答案为： + cos（2x+ ）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函
数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换
特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t [﹣1，1]
∈
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝ 时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候
要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法
融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
10．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝ cos cos + sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝ cos coαs ﹣β sin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝ sin α cos β+ cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝ siαn coβs ﹣ cαos βsin ；
α β
α β α β α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）＝ ．
α β
α β
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）＝ ．
11．二倍α角β的三角函数α
β
【知识点的认识】
39二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即 ＝ 的一种特例，其公式为：sin2 ＝
2sin •cos ；其可拓展为1+sin2 ＝（sin +cos ）2． α β α
二倍α角的α余弦其实属于余弦函数α 和差化α积里α面的一个特例，即 ＝ 的一种特例，其公式为：cos2 ＝
cos2 ﹣sin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ． α β α
二倍α角的正α切其实属α 于正切函数和α差化积里面的一个特例，即 ＝ 的一种特例，其公式为：tan2 ＝
α β α
．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
π
＝ +sin2x
＝sin2x﹣ cos2x+
＝ sin（2x+ ）+ ，（tan ＝﹣ ）
φ φ
∴其周期T＝ ＝ ．
故答案为： ． π
这个简单的π例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可
以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种
公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公
式．
12．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2 +cos2 ＝1．
α α
（2）商数关系： ＝tan ．
2．诱导公式 α
公式一：sin（ +2k ）＝sin ，cos（ +2k ）＝cos ，tan（ +2k ）＝tan ，其中k Z．
α π α α π α α π α ∈
40公式二：sin（ + ）＝﹣sin ，cos（ + ）＝﹣cos ，tan（ + ）＝tan ．
公式三：sin（π﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣π α）＝cos ，αtan（﹣ π）α＝﹣tan ．α
公式四：sin（ ﹣α ）＝sin α，cos（ ﹣α ）＝﹣αcos ，tan（α ﹣ ）＝α﹣tan ．
π α α π α α π α α
公式五：sin（ ﹣ ）＝cos ，cos（ ﹣ ）＝sin ，tan（ ﹣ ）＝cot ．
α α α α α α
公式六：sin（ + ）＝cos ，cos（ + ）＝﹣sin ，tan（ + ）＝﹣cot ．
3．两角和与差的正α弦、余弦α、正切公式 α α α α
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝cos cos +sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝cos coαs ﹣βsin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝sin αcos β+cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝siαn coβs ﹣cαos sβin ；
α β
α β α β α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）＝ ．
α β
α β
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）＝ ．
4．二倍角α 的β 正弦、余α弦、β 正切公式
（1）S ：sin 2 ＝2sin cos ；
2
（2）C
2
α：cos 2α ＝cos2α ﹣sαin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ；
α
α α α α α
（3）T ：tan 2 ＝ ．
2
α
α
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
41（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
42∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
43比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
＝2R
b2＝a2+c2﹣2accosB，
（ R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
形式 cosA＝ ，
②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cosB＝ ，
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosC＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角 两角
形的
问题
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝ a•h （h 表示边a上的高）；
a a
442．S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA．
3．S＝ r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2+c2﹣2bccos A，
＝2R
45b2＝a2+c2﹣2accos_B，
（ R是△ABC外接圆半径） c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
形式 cos A＝ ，
②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
cos B＝ ，
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos C＝
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角 ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
他两角 两角
形的
问题
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解
三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边
解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求
三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问
题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解
决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形
的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测
建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹
46角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
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