文档内容
2025年菁优高考数学压轴训练8
一．选择题（共10小题）
1．（2024•贵州模拟）设方程 的两根为 ， ，则
A． ， B． C． D．
2．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，
使臭氧量 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 ，
其中 是臭氧的初始量， 是自然对数的底数， 是时间，以年为单位．若按照关系式 推
算，经过 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 的值约为
A．584 B．574年 C．564年 D．554年
3．（2024•太原模拟）已知函数 ，若方程 恰有三个不同实数根，
则实数 的取值范围是
A． ， ， B．
C． D．
4．（2024•江西模拟）已知函数 在区间 ， 上都单调递增，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
5 ． （ 2024• 浙 江 二 模 ） 已 知 正 实 数 ， ， 满 足
，则 ， ， 的大小关系是
1A． B． C． D．
6．（2024•中山市校级模拟）设函数 若关于 的方程 有四个实根 ，
， ， ，则 的最小值为
A． B．23 C． D．24
7．（2024•重庆模拟）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以
说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 看作是每天的“进
步”率都是 ，一年后是 ；而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是
；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 倍．那么当“进步值”是
“退步值”的5倍时，大约经过 天．（参考数据： ， ，
A．70 B．80 C．90 D．100
8．（2024•回忆版）设函数 ， 为常数），当 时，曲线
与 恰有一个交点，则
A． B． C．1 D．2
9．（2024•抚顺模拟）函数 满足：当 时， ， 是奇函数．
记关于 的方程 的根为 ， ， ， ，若 ，则 的值可以为
A． B． C． D．1
210．（2024•灌云县校级模拟）已知函数 若存在唯一的整数 ，使得
成立，则所有满足条件的整数 的取值集合为
A． ， ，0， B． ， ， C． ，0， D． ，
二．多选题（共5小题）
11．（2024•西湖区校级模拟）已知函数 其中 （a） （b） （c） ，且
，则
A．
B．函数 有2个零点
C．
D． ，
12．（2024•袁州区校级模拟）已知函数 ， ，则
A．若 有2个不同的零点，则
B．当 时， 有5个不同的零点
C．若 有4个不同的零点 ， ， ， ，则 的取值范围是
D．若 有4个不同的零点 ， ， ， ，则 的取值范围是
13．（2024•吉安模拟）已知函数 ，则
A． 的图象关于点 对称
3B． 的值域为 ，
C．若方程 在 上有6个不同的实根，则实数 的取值范围是
D．若方程 在 上有6个不同的实根 ，2， ， ，则
的取值范围是
14．（2024•怀化二模）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则
A． B．
C． D．
15．（2024•定西模拟）已知函数 ， ，则
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 只有1个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
三．填空题（共5小题）
16．（2024•浦东新区校级四模）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 有最小值，则 的取值范围是 ；
②当 时，若 无实根，则 的取值范围是 ， ， ；
③当 时，不等式 的解集为 ；
4④当 时，若存在 ，满足 ，则 ．
其中，所有正确结论的序号为 ．
17．（2024•南开区校级模拟）已知函数 若函数 有唯一零点，
则实数 的取值范围是 ．
18．（2024•湖北模拟）关于 的方程 有实根，则 的最小值为 ．
19．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边 处，乙工厂与甲工厂在河的
同侧，且位于离河岸 的 处，河岸边 处与 处相距 （其中 ，两家工厂要在此岸
边建一个供水站 ，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米 元和 元，供水站 建在岸
边距离 处 才能使水管费用最省．
20．（2024•天津模拟）设 ，函数 若函数 恰有4个零点，则
实数 的取值范围为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 ，其中 ．
（1）若函数 的最大值是最小值的5倍，求 的值；
（2）当 时，函数 的正零点由小到大的顺序依次为 ， ， ， ，若 ，求
的值．
22．（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高 （单位： 与体重平均值 （单位： 的关系如
下表
表1未成年男性的身高与体重平均值
5身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
平均
值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的
身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟
合优度判断系数 （如表 ．误差平方和越小、拟合优度判断系数 越接近1，拟合度越高．
表2拟合函数对比
函数模型 函数解析式 误差平方和
指数函数 6.6764 0.9976
二次函数 8.2605 0.9971
幂函数 74.6846 0.9736
（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与
骨细胞数量成正比，比例系数为 ；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为 ．记时刻 的未成年时期
骨细胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻 的未成年时期
肌肉细胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重 关于身高
的函数模型；
（3）在（2）的条件下，若 ， ．当刚出生的婴儿身高为 时，与（1）
的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注： ， ；婴儿体重 ， 符合实际，婴儿体重 ， 较符合实
际，婴儿体重 ， 不符合实际．
23．（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形 操场扩建成一个更大的矩形 操场，要求 在
6上， 在 上，且 在 上．若 米， 米，设 米 ．
（1）要使矩形 的面积大于2700平方米，求 的取值范围；
（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积．
24．（2024•长宁区校级三模）设函数 的定义域为 ，对于区间 ， ，若满足以下
两个性质之一，则称区间 是 的一个“好区间”．
性质①：对于任意 ，都有 ；性质②：对于任意 ，都有 ．
（1）已知函数 ， ．分别判断区间 ， ，区间 ， 是否为 的“好区
间”，并说明理由；
（2）已知 ，若区间 ， 是函数 ， 的一个“好区间”，求实数 的
取值范围；
（3）已知函数 的定义域为 ，其图像是一条连续的曲线，且对于任意 ，都有 （a）
（b） ，求证： 存在“好区间”，且存在 ， 为不属于 的任意一个“好区
间”．
25．（2024•江西模拟）某公园有一个矩形地块 （如图所示），边 长 千米， 长4千米．
地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线 是以 为顶点，以 所在直线为对称轴的抛物线的
一部分，现要经过曲线 上某一点 （异于 ， 两点）铺设一条直线隔离带 ，点 ， 分别在
边 ， 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点 到边 的距离为 （单位：千米），
的面积为 （单位：平方千米）．
（1）请以 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，求出 关于 的函数解析式；
（2）是否存在点 ，使隔离出来的 的面积 超过2平方千米？并说明理由．
782025年菁优高考数学压轴训练8
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•贵州模拟）设方程 的两根为 ， ，则
A． ， B． C． D．
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】构造法；函数思想；转化思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】问题转化为 ， 为 的两根，构造函数 ， ，结合零点存在
定理及指数函数，对数函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 的两根为 ， 即为 的两根，
令 ， ，
则 （1） ， （3） ， ，
因为 ，
所以 ， 错误；
因为 ，得 ，
由 可得 ，
故 ， 正确；
所以 ， 错误；
， 错误．
故选： ．
9【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数在函数零点范围求解中的应用，还考查了零点存在定理的
应用，属于中档题．
2．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，
使臭氧量 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 ，
其中 是臭氧的初始量， 是自然对数的底数， 是时间，以年为单位．若按照关系式 推
算，经过 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 的值约为
A．584 B．574年 C．564年 D．554年
【答案】
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】综合法；函数的性质及应用；函数思想；数学运算
【分析】由题意得，解不等式 即可．
【解答】解：由题意可得， ， ， ， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查指数型函数的的应用，属于中档题．
3．（2024•太原模拟）已知函数 ，若方程 恰有三个不同实数根，
则实数 的取值范围是
A． ， ， B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算
10【分析】作出函数 的图象，方程 恰有三个不同实数根，等价为 与
的图象有3个交点．讨论 ，且 时， 与 的位置关系，结合直线
和曲线相切的条件，求得 ，以及直线 经过点 ， ，可得 的取值范围；当 时，
与 的图象只有1个交点，可得结论．
【解答】解：作出函数 的图象，如右图：
方程 恰有三个不同实数根，等价为 与 的图象有3个交点．
，
的图象恒过定点 ，
当 时， 与 相切，设切点为 ， ，可得 ，且 ，
可化为 ，设 ， ，可得 ， 在 递增，且
，
则 ， ，此时 与 的图象有2个交点，
又 的图象经过 ，可得 ，即有 ，
则 时， 与 的图象有3个交点；
当 时， 经过点 ，即有 ，解得 ，
由 ，可得 ，
由 与 相切，可得△ ，解得 舍去），
11由图象可得， 时， 与 的图象有3个交点；
当 时， 与 的图象只有1个交点．
综上，可得实数 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的零点和方程的关系，以及直线和曲线相切的条件，考查数形结合思想、方程思
想和运算能力，属于中档题．
4．（2024•江西模拟）已知函数 在区间 ， 上都单调递增，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；分段函数的应用
【专题】转化思想；数学运算；计算题；方程思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】根据题意，设 ，分析可得 必然有两个零点，设其两个零点为 、 ，且
，写出 的解析式，结合二次函数的性质可得关于 的不等式组，解可得 的取值范围，即可得
答案．
【解答】解：根据题意，设 ， 为开口向上的二次函数，且 ，
则 必然有2个零点，设 的两根零点为 、 ，且 ，
12，
若 在区间 ， 上都单调递增，必有 ，
则有 ，故 ，
则 在 上一定递增，
只需满足 在 上递增即可，必有 ，解可得 ，
综合可得： ．
故选： ．
【点评】本题考查分段函数单调性的判断，涉及二次函数的性质，属于中档题．
5 ． （ 2024• 浙 江 二 模 ） 已 知 正 实 数 ， ， 满 足
，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】不等式比较大小；函数与方程的综合运用
【专题】数形结合；计算题；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】根据题意，将3个等式变形，由函数与方程的关系分析 ， ， 的几何意义，作出函数
和 、 、 的图象，结合图象分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若 ，变形可得 ，
则 是函数 与函数 图象交点的横坐标；
13同理： ，变形可得 ，
则 是函数 与函数 图象交点的横坐标，
，变形可得 ，
则 是函数 与函数 图象交点的横坐标，
作出 和 、 、 的图象，
结合图像可得 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及指数函数、对数函数的性质，属于中档题．
6．（2024•中山市校级模拟）设函数 若关于 的方程 有四个实根 ，
， ， ，则 的最小值为
A． B．23 C． D．24
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；数形结合法；函数思想
14【分析】根据题意，作出函数 的图象，结合图象可得 ， ，然后再由基本不
等式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：作出函数 的图象如图所示：
由图可知， ，由 （2） ，可得 或 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及基本不等式的应用，作出图象是关键，属
于中档题．
7．（2024•重庆模拟）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以
说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 看作是每天的“进
15步”率都是 ，一年后是 ；而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是
；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 倍．那么当“进步值”是
“退步值”的5倍时，大约经过 天．（参考数据： ， ，
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质
【专题】数学运算；综合法；整体思想；函数的性质及应用
【分析】根据题意列方程，然后取对数求解．
【解答】解：设 天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
即 ．
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天．
故选： ．
【点评】本题考查了对数的运算，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
8．（2024•回忆版）设函数 ， 为常数），当 时，曲线
与 恰有一个交点，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【考点】函数与方程的综合运用
【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算
16【分析】设 ，所求问题等价于 在 上恰有一个零点，由
即可求解．
【解答】解：函数 ， ，
设 ，
则 是偶函数，
由曲线 与 在 上恰有一个交点，
得 在 上恰有一个零点，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．
9．（2024•抚顺模拟）函数 满足：当 时， ， 是奇函数．
记关于 的方程 的根为 ， ， ， ，若 ，则 的值可以为
A． B． C． D．1
【答案】
【考点】函数与方程的综合运用；函数的奇偶性
【专题】整体思想；数学运算；计算题；函数的性质及应用；综合法
【分析】首先判断函数 关于点 对称，再画出函数 和 的图象，结合函数的对称
性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解．
【解答】解：若函数 是奇函数，则 ，
17即 ，则函数 关于点 对称，所以 ，
而 也关于点 对称，恒过点 ，
方程 的根，即为函数 与 交点的横坐标，
因为两个函数都关于点 对称，所以交点也关于点 对称，且其中一个交点是 ，
如图画出两个函数的图象，
若 ，根据对称性可知， 轴左侧和右侧各有3个交点，如图，
当直线 过点 时， 轴右侧有2个交点，此时 ，
当直线 过点 时， 轴右侧有3个交点，此时 ，
所以满足条件的 的取值范围是 ，选项中满足条件的只有 ．
故选： ．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，属于中档题．
10．（2024•灌云县校级模拟）已知函数 若存在唯一的整数 ，使得
成立，则所有满足条件的整数 的取值集合为
A． ， ，0， B． ， ， C． ，0， D． ，
【答案】
【考点】分段函数的应用
【专题】数学运算；函数的性质及应用；数形结合法；分类讨论；转化思想
18【分析】先作出 的图象，把 转化为点 ， 与点 所在直线的斜率，分类讨
论，即可得出答案．
【解答】解：函数 若存在唯一的整数 ，使得 成立，
作出 的函数图象如图所示：
表示点 ， 与点 所在直线的斜率，
可得曲线 上只有一个点 ， 为整数）和点 所在直线的斜率小于0，
而点 在动直线 上运动，
由 ， ， ，
可得当 时，只有点 满足 ；
当 时，只有点 满足 ．
又 为整数，可得 的取值集合为 ， ，0， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•西湖区校级模拟）已知函数 其中 （a） （b） （c） ，且
19，则
A．
B．函数 有2个零点
C．
D． ，
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用
【专题】综合法；直观想象；数学运算；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用
【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可．
【解答】解： （8） ，故 正确；
作出函数 的图象如图所示，
观察可知， ，而 ， ，
故 ， 有3个交点，
即函数 有3个零点，故 错误；
由对称性， ，而 ，
故 ，故 正确；
， 是方程 的根，故 ，
20令 ，则 ，
故 ，
而 ， 均为正数且在 上单调递增，
故 ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数、指数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
12．（2024•袁州区校级模拟）已知函数 ， ，则
A．若 有2个不同的零点，则
B．当 时， 有5个不同的零点
C．若 有4个不同的零点 ， ， ， ，则 的取值范围是
D．若 有4个不同的零点 ， ， ， ，则 的取值范围是
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】直观想象；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】作出 的图象，由 有2个不同的零点，结合图象，可判断 ；
由 ，令 ，得到 ，求得 ，结合图象，可判断 ；
由对数的运算性质，求得 ，结合二次函数的对称性得到 ，进而判断 正确；
由 ，结合对勾函数的性质，可判定 正确．
【解答】解：由函数 ，可得 ，
作出 的图象，如图所示：
21对于 中，由 ，可得 ，若 有2个不同的零点，
结合图象知 或 ，所以 错误；
对于 中，当 时，由 ，可得 ，
令 ，则有 ，
可得 ，
结合图象知， 有3个不等实根， 有2个不等实根， 没有实根，
所以 有5个不同的零点，所以 正确；
对于 中，若 有4个不同的零点 ， ， ， ，
则 ，且 ，则 ，
由二次函数的对称性得 ，则 ，
结合 知 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 ，所以 正确；
对于 中，由 ，其中 ，
由对勾函数的性质，可得 在 上为单调递减函数，
可得 ，
22所以 的取值范围为 ，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数、对勾函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
13．（2024•吉安模拟）已知函数 ，则
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为 ，
C．若方程 在 上有6个不同的实根，则实数 的取值范围是
D．若方程 在 上有6个不同的实根 ，2， ， ，则
的取值范围是
【答案】
【考点】函数与方程的综合运用
【专题】对应思想；分类讨论；数学运算；三角函数的图象与性质；直观想象；综合法
【分析】对于 ，判断 是否成立，即可判断；
对于 ，分 、 去绝对值，即可判断；
对于 ，分 、 求解即可；
对于 ，由题意可得 或 ， 有4个不同的实根， 有2个不同
的实根，列出不等式组，可得 的范围，再结合三角函数的对称性求解即可．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 的图象不关于点 对称， 错误；
当 时 ，
23所以 ，
当 时， ，
所以 ，
综上得 ， 正确；
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
所以方程 在 上的前7个实根分别为 ，
所以 ， 正确；
由 ，
即 ，
或 ，
得 或 ，
所以 有4个不同的实根，
有2个不同的实根，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ， ，
所以 ，
24所以 的取值范围是 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
14．（2024•怀化二模）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数零点的判定定理
【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】函数的零点转化为函数图象交点的横坐标，作函数 、函数 、函数 的图象，
根据图象特征依次判断即可．
【解答】解： 函数 的零点为 ， 的零点为 ，
函数 与函数 图象的交点的横坐标为 ，
函数 与函数 图象的交点的横坐标为 ，
作函数 、函数 、函数 的图象如下，
故点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
25函数 与函数 的图象关于直线 对称，
函数 的图象关于直线 对称，
点 、 关于直线 对称，
又 点 、 在直线 上，
点 、 关于原点对称，
，
故选项 错误；
易知 ，
故选项 正确；
， ， ，
，
即选项 正确；
易知 ， ，
，
即 ，
故选项 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的零点与函数图象交点的关系应用，应用了数形结合的思想，属于中档题．
15．（2024•定西模拟）已知函数 ， ，则
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 只有1个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
【答案】
26【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【专题】综合题；数形结合；逻辑推理；综合法；函数的性质及应用
【分析】做出函数 的大致图象，问题转化为 与这两个函数图象交点的个
数问题．
【解答】解：分别令函数 ， ，
即 ， ，它们的根为 分别与 和 交点的横坐标，
作出 和 的大致图象，如图所示：
由图可知，当 有2个零点时， 无零点或只有1个零点， 错误；
当 有3个零点时， 只有1个零点， 正确；
当 有2个零点时， 有4个零点， 错误， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查函数的零点个数的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心素养，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•浦东新区校级四模）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 有最小值，则 的取值范围是 ；
27②当 时，若 无实根，则 的取值范围是 ， ， ；
③当 时，不等式 的解集为 ；
④当 时，若存在 ，满足 ，则 ．
其中，所有正确结论的序号为 ②③④ ．
【答案】②③④．
【考点】分段函数的应用；命题的真假判断与应用
【专题】逻辑推理；导数的综合应用；综合题；数形结合；数形结合法；分析法；数学运算；转化思想；
函数的性质及应用
【分析】①若 有最小值，则 ，当 时，求出函数的最小值，当 时，分析各段函数的单
调性，求出各段上函数的值域，从而列出不等式组 ，解此不等式组，即可求得结果；
②当 时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，根据 无实根，求出 的范围；
③当 时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而得出 在 单调递减，利
用单调性解不等式 ；
④ 当 时 ， 分 析 各 段 函 数 的 单 调 性 ， 求 出 各 段 上 函 数 的 值 域 ， 若 存 在 ， 满 足
，则 ， ，
利用分析法和函数的单调性，构造函数 ， ，利用导数研究该函数的单调性，
即可证明结论．
【解答】解：①若 有最小值，则 ，
当 时，当 时， ，
当 时， 在 ， 单调递减， ，
28当 时， 在 单调递减， ，
有最小值 ；
当 时，
当 时， 在 单调递减， ，
当 时， 在 ， 单调递减， ，
当 时， 在 单调递减， ，
，解得 ，
综上， 有最小值，则 的取值范围是 ，故①错误；
②当 时，当 时， 在 单调递增， ，
当 时， 在 ， 单调递减， ，
当 时， 在 单调递减， ，
若 无实根，则 的取值范围是 ， ， ，故②正确；
③当 时，当 时， 在 ， 单调递减， ，
当 时， 在 单调递减， ，
在 ， 单调递减，
， ，
，解得 ，故③正确；
④当 时，当 时， 在 单调递增，当 时， 在 ， 单调递减，
若存在 ，满足 ，
29则 ， ，
要证 ，即证 ，
而 在 单调递增， ，
令 ， ，
，
在 ， 单调递增， ，
成立，
，故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查分段函数单调性及应用，函数零点，极值点偏移问题，属中档题．
17．（2024•南开区校级模拟）已知函数 若函数 有唯一零点，
则实数 的取值范围是 或 ．
【答案】 或 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】 换元后转化为 ，该方程存在唯一解 ，且 ，数形结合求解．
【解答】解：当 时， 单调递减，图象为以 和 轴为渐近线的双曲线的一支；
当 时 ， 有 ， 可 得 在 单 调 递 减 ， 在 单 调 递 增 且
，画出图象如下：
30由题意， 有唯一解，设 ，
则 ，（否则至少对应2个 ，不满足题意），
原方程化为 ，即 ，
该方程存在唯一解 ，且 ．
转化为 与 有唯一公共点，且该点横坐标在 ，画图如下：
情形一： 与 相切，联立得 ，由△ 解得 ，此时 满足题
意：
情形二： 与 有唯一交点，其中一个边界为 （与渐近线平行），
此时交点坐标为 ，满足题意；
另一个边界为 与 相切，即过点 的切线方程，
设切点为 ， ，则 ，解得 ，
所以求得 ，此时左侧的交点 横坐标为 满足条件，右侧存在切点 ，故该边界无法取到；
31所以 的范围为 ．
综上， 的取值范围为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．
18．（2024•湖北模拟）关于 的方程 有实根，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；基本不等式及其应用
【专题】直线与圆；导数的综合应用；方程思想；直观想象；数学运算；转化思想；综合法
【分析】将方程转化为求直线上的点 与坐标原点之间的距离的最小值，利用点到线的距离，结合
函数的单调性即可求得答案．
【解答】解：设方程的实根为 ，
则 ，
点 是直线 上任意一点，
，
设 ， ，
则 ，
令 ，得 ，
令 ，得
所以 在 单调递减，在 单调递增，
32从而 （1） ， 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用及点到线的距离公式，属于中档题．
19．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边 处，乙工厂与甲工厂在河的
同侧，且位于离河岸 的 处，河岸边 处与 处相距 （其中 ，两家工厂要在此岸
边建一个供水站 ，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米 元和 元，供水站 建在岸
边距离 处 2 0 才能使水管费用最省．
【答案】20．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】数形结合法；导数的综合应用；函数思想；直观想象；函数的性质及应用；综合法；数学运算
【分析】根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可
确定供水站的位置．
【解答】解：根据题意可知点 在线段 上某一适当位置时，才能使总运费最省，
设 点距 点 ，则 ， ，
，
又设总的水管费用为 元，
由题意得 ，
33令 ，解得 ，
在 上， 只有一个极值点，
根据实际意义，函数在 处取得最小值，
此时 ，
故供水站 建在岸边 、 之间距甲厂 处，能使铺设水管的费用最省．
故答案为：20．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，导数的综合运用，属于中档题．
20．（2024•天津模拟）设 ，函数 若函数 恰有4个零点，则
实数 的取值范围为 ， ， ．
【答案】 ， ， ．
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】综合法；函数的性质及应用；综合题；函数思想；数学运算
【分析】对实数 的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的 的函数图象，函数
恰有4个零点，说明 的图象与 的图象有四个交点，通过 斜率的变化即可确定实数 的
取值范围．
【解答】解：因为函数 恰有4个零点，
所以 的图象与 的图象有四个交点，
当 时，如图所示，
34的图象与 的图象仅有两个交点，与题意不符；
当 时，如图所示，
在 ， 上，当 与 相切时，
联立 ，得 ，
则△ ，得 （舍去 ，
由图可知，当 时， 与 在 有一个交点，在 有两个交点，与题意不符，
所以当 时， 与 在 无交点，在 有两个交点，与题意不符，
当 时， 与 在 无交点，在 有三个交点，与题意不符，
当 时， 与 在 无交点，在 有四个交点，符合题意；
当 时，如图所示，
在 ， 上，当 与 相切时，
联立 ，得 ，
则△ ，得 （舍去 ，
35由图可知，当 时， 与 在 有两个交点，在 有四个交点，与题意不符，
当 时， 与 在 有两个交点，在 有三个交点，与题意不符，
当 时， 与 在 有两个交点，在 有两个交点，符合题意，
当 时， 与 在 有一个交点，在 有两个交点，与题意不符．
综上所述， ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于难题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 ，其中 ．
（1）若函数 的最大值是最小值的5倍，求 的值；
（2）当 时，函数 的正零点由小到大的顺序依次为 ， ， ， ，若 ，求
的值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】函数的零点；三角函数的最值
【专题】三角函数的图象与性质；转化思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出 的最值，即可得到方程，解
得即可；
（2）依题意可得 ，令 ，求出 ，即可求出 ， ，从而得解．
【解答】解：（1）因为 ，
36所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
由 ，解得 ，故 ；
（2）当 时， ，
令 ，有 ，有 或 ，
可得 或 ，
取 ，可得 ， ，
又由 ，有 ，解得 ，故 ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质，属于中档题．
22．（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高 （单位： 与体重平均值 （单位： 的关系如
下表
表1未成年男性的身高与体重平均值
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
平均
值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的
身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟
合优度判断系数 （如表 ．误差平方和越小、拟合优度判断系数 越接近1，拟合度越高．
表2拟合函数对比
函数模型 函数解析式 误差平方和
37指数函数 6.6764 0.9976
二次函数 8.2605 0.9971
幂函数 74.6846 0.9736
（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与
骨细胞数量成正比，比例系数为 ；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为 ．记时刻 的未成年时期
骨细胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻 的未成年时期
肌肉细胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重 关于身高
的函数模型；
（3）在（2）的条件下，若 ， ．当刚出生的婴儿身高为 时，与（1）
的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注： ， ；婴儿体重 ， 符合实际，婴儿体重 ， 较符合实
际，婴儿体重 ， 不符合实际．
【答案】（1）指数函数模型是最优模型；理由见解析；
（2） ；
（3）（2）中幂函数模型更适合，理由见解析．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法；函数思想
【分析】（1）由表中数据比较指数函数模型误差平方和以及 的大小，即得结论；
（2）根据身高与骨细胞数量以及体重与肌肉细胞数量的关系，结合已知数据，即可求得答案；
（3）分别计算出两种模型函数下的婴儿体重，比较大小，即得结论．
【解答】解：（1）因为 ，所以指数函数模型误差平方和最小，
因为 ，所以指数函数模型 最大，
38所以指数函数模型是最优模型；
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以体重 关于身高 的函数模型为 ；
（3）把 代入 ，得 ， 不符合实际，
把 ， 代入 得 ，
把 代入 ，得 ， 符合实际，
所以（2）中幂函数模型更适合．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
23．（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形 操场扩建成一个更大的矩形 操场，要求 在
上， 在 上，且 在 上．若 米， 米，设 米 ．
（1）要使矩形 的面积大于2700平方米，求 的取值范围；
（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积．
【答案】（1） 或 ；
（2）当 的长度为40米时，矩形 的面积最小为2400平方米．
【考点】基本不等式及其应用；根据实际问题选择函数类型
【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；数学运算；不等式
39【分析】（1）因为 ， ，所以 ，然后求解即
可；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知
，得解．
【解答】解：（1）因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
则 或 ，
即 的取值范围是 或 ；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故当 的长度为40米时，矩形 的面积最小为2400平方米．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
24．（2024•长宁区校级三模）设函数 的定义域为 ，对于区间 ， ，若满足以下
40两个性质之一，则称区间 是 的一个“好区间”．
性质①：对于任意 ，都有 ；性质②：对于任意 ，都有 ．
（1）已知函数 ， ．分别判断区间 ， ，区间 ， 是否为 的“好区
间”，并说明理由；
（2）已知 ，若区间 ， 是函数 ， 的一个“好区间”，求实数 的
取值范围；
（3）已知函数 的定义域为 ，其图像是一条连续的曲线，且对于任意 ，都有 （a）
（b） ，求证： 存在“好区间”，且存在 ， 为不属于 的任意一个“好区
间”．
【答案】（1） ， 是， ， 不是；
（2） ；
（3）证明见解析．
【考点】函数与方程的综合运用
【专题】函数的性质及应用；综合法；函数思想；导数的综合应用；分类讨论；逻辑推理；直观想象；
数学运算
【分析】（1）由“好区间”的定义判断即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，根据“好区间”的定义可判断出 上满足性质②，再
由 ， ， ，求解即可；
（3）由题意可得 在任意区间 ， 上对应的函数值区间长度必大于 ，从而可得在任意区
间 ， 上都不满足性质①，且在 上单调递减，即有即存在 ，分 ， ，
证明即可．
【解答】解：（1） ，
41当 ， 时， ， ，满足性质①，
所以 ， 是 的“好区间”；
当 ， 时， ， ，
既不满足性质①，也不满足性质②，
所以 ， 不是 的“好区间”；
（2） ，
0 3
0
12 单调递减 极小值3 单调递增
若 在区间 ， 上满足性质①，则 ， ， ，
而 ， ， ，
所以 在区间 ， 上不满足性质①
若 在区间 上满足性质②，
当 时， （3） ，
所以 ， ， ，
当 时，因为 （3） ，所以不符合；
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（3）证明：因为任意 ，都有 （a） （b） ．
所以 在任意区间 ， 上对应的函数值区间长度必大于 ，
即 在任意区间 ， 上都不满足性质①，
因为对于任意 ，都有 （a） （b） ，
42所以 在 上单调递减，
所以 不恒成立，即存在 ，
若 ，
取 ，则 （a） （b） ，
在区间 ， 上对应函数值的区间 （b）， （a） ，
（b）， （a） ， ，
所以 ， 是一个“好区间”；
若 ，
取 ，
则 （b） （a） ，
在区间 ， 上对应函数值的区间 （b）， （a） ，
（b）， （a） ， ，
， 是一个“好区间”；
所以 存在“好区间”；
记 ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减；
又 图像是一条连续的曲线，
所以 图像也是一条连续的曲线，
先证明 有零点，
43设 ，
若 ，则 有零点为 ，
若 ，则 ， ， ， 在区间 上有零点；
若 ，则 ， ， ， 在区间 上有零点；
所以 必有零点，记为 ，
即 的“好区间” 都满足性质②，
所以 不属于任意一个“好区间”．
【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合应用、分类讨论思想，理解定义是关键，属于中档题．
25．（2024•江西模拟）某公园有一个矩形地块 （如图所示），边 长 千米， 长4千米．
地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线 是以 为顶点，以 所在直线为对称轴的抛物线的
一部分，现要经过曲线 上某一点 （异于 ， 两点）铺设一条直线隔离带 ，点 ， 分别在
边 ， 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点 到边 的距离为 （单位：千米），
的面积为 （单位：平方千米）．
（1）请以 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，求出 关于 的函数解析式；
（2）是否存在点 ，使隔离出来的 的面积 超过2平方千米？并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）不存在，理由见解析．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；根据实际问题选择函数类型
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）由题意设抛物线方程为 ，然后将点 的坐标代入可求出 ，则可求得抛物线的方程，
再利用导数的几何意义求出切线 的方程，从而可求出 ， 两点坐标，进而可表示出 的面积；
44（2）利用导数求出 的最大值与2比较即可．
【解答】解：（1）如图建立平面直角坐标系，
则 ，
由题意设抛物线方程为 ，代入点 ，得 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ，
由题意知直线 为抛物线的切线，
因为点 到边 的距离为 ，所以切点 的坐标为 ，
由 ，得 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
（2）因为） ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
45所以当 时， ，
当 时， ，
所以） 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以不存在点 ，使隔离出来的 的面积 超过2平方千米．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
46考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判
断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为
“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由
真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若
p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同
真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小
题形式出现．
2．不等式比较大小
【知识点的认识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【命题方向】
方法一：作差法
47典例1：若a＜0，b＜0，则p＝ 与q＝a+b的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解 ： p﹣ q ＝ ﹣ a﹣ b ＝ ＝ （ b2﹣ a2 ） ＝
，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜
D． ＜ ＜
解：由指数函数的单调性可知， ＞ ，
由幂函数的单调性可知， ＞ ，
则 ＞ ＞ ，
故 ＜ ＜ ，
48故选：B．
3．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤（ ）2或者a+b≥2
．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A ： a ， b 均 为 负 数 ， 则 ． B ： ． C ： ． D ：
．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写
成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式
的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求 的最值？当0＜x＜1时，如何求 的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时， ＝ ，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤ ，
若x＜0时，﹣ ≤y＜0，
49综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ，
∴ 的最值是﹣ 与 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨
论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常
数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
504、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积
的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值．
技巧三：分离
51例3：求y＝ 的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2 +5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
52技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条件利用基本不等式．
4．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求
解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴
的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
5．由函数的单调性求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x 时，都有f
1 2 1 2 1 2
（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，
区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不
考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
53第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有
选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单
应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或
求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
6．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴
对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x R是（ ）
A．偶函数 B．奇∈函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正
确率．
7．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
54log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
8．三角函数的最值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、
单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合
三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ + cos （ 2 x + ） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ ﹣ +2• ＝ + （cos2x﹣sin2x）
＝ + cos（2x+ ）．
故答案为： + cos（2x+ ）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函
数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换
特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t [﹣1，1]
∈
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝ 时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候
要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法
55融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
9．函数的零点
【知识点的认识】
一般地，对于函数y＝f（x）（x R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x D）的
零点．即函数的零点就是使函数值∈为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． ∈
【解题方法点拨】
解法﹣﹣二分法
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x ；③计算f
1
（x ）；
1
④若f（x ）＝0，则x 就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x ）＜0，则令b＝x （此时零点x （a，
1 1 1 1 0
x ））；⑥若f（x ）f（b）＜0，则令a＝x ．（此时零点x0 （x ，b） ⑦判断是否满足条件∈，否则
1 1 1 1
重复（2）～（4） ∈
【命题方向】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与 x轴的交点的横坐标，另
外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性
的，知道它的概念就行了．
10．函数零点的判定定理
【知识点的认识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那
么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c （a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）
＝0的根． ∈
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在
（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）
上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，
b）上有唯一的零点．
【解题方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性
质找出零点．
56特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有
两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
11．函数的零点与方程根的关系
【知识点的认识】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他
们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们
重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二
次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【命题方向】
直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
12．函数与方程的综合运用
【知识点的认识】
函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．
【解题方法点拨】
﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．
﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．
﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．
【命题方向】
常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．
13．分段函数的应用
【知识点的认识】
57分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个
在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，
这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．
下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，
年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征
收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件 元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为 （11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝ （11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝ （11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得 （11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝ （11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵ 在[2，10]是减函数
∴g（p） ＝g（2）＝800（万元）
max
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不
分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达
58式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况
和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
14．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是
学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，
看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求
出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这
种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象
可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝ （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的
速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值
a
增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特
点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，
同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
59【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，
针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的
理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到
10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增
加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参
考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log x D．y＝ x2
7
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x [10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值
∈
60不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x [10，1000]时，
∈
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝ x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log 1000＝4﹣lg7＜5，且l+log x≤ x
7 7 7
恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝ x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查
和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝ （k为常数），如果不搞促销活
动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生
产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平
均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，
企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝ ，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝ ，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价 ，…（2分）
61所以，y＝ …（3分）
＝16x﹣ ＝ ，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当 ，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题
和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 19:21:50；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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