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解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
类型一 利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝
________.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.
求证：DE＝DF.
3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝
EC，连接EB.求证：EB⊥AB.
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二、构造等腰三角形
4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，
则△ABC的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.
类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在
AC，BC上．求证：DE＝DF.
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类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB
＋CD.
8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且
PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】
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参考答案与解析
1．4
2．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.
3．证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝
AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝
∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.
4．B
5．证明：如图，延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分
∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC＝MC.∵△ABC是
等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝
90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.
6．证明：连接CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD
＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝
∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.
7．证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝
∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－
∠BED＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE
＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE
＋EC＝AB＋CD.
8．(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝
∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角
形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.
(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，
∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝AF＋CF＝AC.又∵AC＝1，∴DE＝.
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