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专题 08 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线求解与证明
目录
A题型建模・专项突破
题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解..............................................................................................1
题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明..............................................................................................4
题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解................................................................................................12
题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明................................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知 ， ，则 ；
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查了三线合一定理：（1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在 中， ，D是 的中点， ，则
的大小为 ．
【答案】 /20度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得 ， ，再根据三角形内角和定理，计算即可．
【详解】解：∵ ， 是 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在 中， ， ， 是 的中点．若
，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查了等腰三角形和含30度角的直角三角形．熟练掌握等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质，是解题的关键．
由三线合一得 ，由直角三角形中30度角性质得 ．
【详解】解：∵在 中， ， 是 的中点．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：16．
4．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在 中， ， ， 为 的中点，
于 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的
直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得 ，再根据垂直的定义以及直角三角形
两锐角互余即可解答；
（2）如图：连接 ，根据等腰三角形的“三线合一”可得 ，进而得到 ，再根据含30
度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答．
【详解】（1）解： ， ，
，
于 ，
，
．
（2）解：如图：连接 ，
， 为 的中点，
，由（1）知 ， ，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
．
题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，点
在 的延长线上，点 在 的延长线上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)40
【知识点】根据三线合一证明、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质：
（1）连接 ，根据题意可得 ，再由等腰三角形的性质可得 ，从而得到
，再由 ，可得 ，可证明 ，即可求证；
（2）在 中，利用勾股定理解答，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图， 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，
，点 ， 在 ， 上．(1)求证： ．
(2)连接 ，则 、 、 之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得
成为解题的关键．
（1）如图：连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，进而证明 ，最后
根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，进而得到 ；由勾股定理可得 ，最后根
据等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
，
，
是 的中点，
， ， ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，，
．
（2）解： ，理由如下：
，
，
，
，
，
．
7．（25-26八年级上·全国·期末）如图 ，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， 若 ．
(1)求证： ；
(2)若点 ， 分别在边 ， 的延长线上，如图 ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以
证明．
【答案】(1)详见解析
(2)仍成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，再由 ，
可得 ，可证得 ，即可求证；
（2）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，
再由 ，可得 ，可证得 ，即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵P为斜边 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 仍成立，理由如下：
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵P为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ．
8.（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的中点，
点 、 分别在射线 、 上，且 ， 连接 ．
(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．
② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3) 或17
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角
形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接 ，即可证明 ；②根据 ，看图即可得出结论；
（2）连接 ，即同（1）可证明 ，根据 看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ .
②∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（2）解：如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
即 ,∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ .
∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（3）如（1）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴ .
②如（2）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,∴
题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解
1. 核心性质：等腰三角形底边上的高、底边中线、顶角平分线“三线合一”，即使底边中点未知，所作高
线也会自动经过它。
2. 关键步骤：直接从等腰三角形的顶点（顶角）向底边作垂线，此线段即为高。
3. 几何转化：高线将原等腰三角形分成两个全等的直角三角形，同时自动创造出底边的“一半”（即高足
为底边中点）。
4. 建立方程：在其中一个直角三角形中，利用勾股定理（腰为斜边，高与半底边为直角边）建立关键方程，
将已知和未知量联系起来求解。
5. 适用范围：此法是当已知腰长和底边长（或反之）求高、面积或相关长度时的普适方法，是无明确中点
问题的最直接解法。
9．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图是腰长为 的等腰三角形放入平面直角坐标系中，已知点 的坐
标为 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，过点 作 于 ，由三线合
一可得 ，再利用勾股定理求出 即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形 中， ，
若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知
识并正确画出辅助线是解题的关键．
作 ，由 ， ，证 ，
再结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：211．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在 中， ， ， 是 的中点．
动点 、 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点 ．连接 、 和 ．
设点 的运动时间为 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 是等腰三角形，直接写出 的大小．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合等边对等角得 ，再由线段的中点得 ，即可证明 ，故
，即可作答．
（2）先得出 ，结合 是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等
角进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∵ 是 的中点．
∴
∵动点 、 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点 ．
∴ ，
则 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：连接 ，
∵ ， 是 的中点．
∴ ，
即 ，∵ ， ，
∴ ，
依题意，当 时，
则
∴ ；
依题意，当 时，
则
∴ ；
依题意，当 时，
则
∴ （舍去）；
综上： 是等腰三角形，则 或 ．
12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，连
接 ．
(1)求证： 等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)48
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并
能灵活运用是解决此题的关键．
（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明 ，得出 ，根据 ，得出
，即可证明结论；
（2）过点A作 ，垂足为 ，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出 ，再利用
三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：过点A作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明
1.直接作高：从等腰三角形的顶点向底边作垂线。
2.利用“三线合一”：所作高线必然同时也是底边的中线，它将底边平分为两个相等的线段。
3.构造直角三角形：这条高将原三角形分成两个全等的直角三角形。
4.应用勾股定理：在其中一个直角三角形中，以腰为斜边，高和半底边为直角边，建立方程进行计算，从
而解决问题。
13．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在 中， ，过 延长线上一点 作
于点 ，交 于点 ，已知 为 的中点．(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的
关键：
（1）等边对等角，得到 ，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出 ，即可得证；
（2）作 ，交 于点 ，进而得到 ，三线合一，得到 ，证明 ，
得到 ，进而推出 ，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）作 ，交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 延长线上，
且 ．
(1)求证： ；
(2)若等边 的边长为6， 求 的长；
(3)求证： ；
(4)如图，当点 在 的延长线上，点 在 延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)
(3)见解析
(4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形
【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论；
（2）过 作 于 ，利用等边三角形的性质，含 度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进
行求解即可；
（3）过 作 交 于点 ，易得 是等边三角形，得到 ，证明 ，
得到 ，等量代换即可得出结论；
（4）过 作 交 的延长线于 ，证明 是等边三角形，得到 ，证明
，得到 ，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，
， ，
；
（2）如图，过 作 于 ，
，
．
等边 的边长为6，
，
，
，
，
，
．
．
；（3）证明：如图2，过 作 交 于点 ．
，
又 ，
是等边三角形．
，
，
，
又 ，
，
．
由（1）得， ，
又 ．
．
．
，
；
（4）（3）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，过 作 交 的延长线于 ，则 ，，
是等边三角形．
， ．
，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
．
又 ， ，
，
．
．
．
15．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图， 为等腰直角三角形， ， 为等腰三
角形， ，点 为 延长线上一点，且 ．
(1)若 ，则求 和 的度数；
(2)求证： ；
(3)若 ， ， ．请直接写出 的面积为__________．（用含 的式子表示）
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)【分析】（ ）根据等腰三角形的 性质可得 ，即得 ，进而可
得 ，又由等腰直角三角形的性质得 ，进而得到
，即可求解；
（ ）分别过点 作 ， ，垂足分别为点 ，可证 ，得到
，再证明 ，得到 ， ，进而得到 ，即
得 ，即得到 ，即可求证；
（ ）根据 解答即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是
解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，分别过点 作 ， ，垂足分别为点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ， ，
∴
，
故答案为： ．
16．在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异侧）点
D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线
合一证明
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点M，
根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质即
可得出 ；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到 ，
，根据角的和差得到 ，再利用 证明 ，根据全等三角形
性质及线段和差即可得到 ．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，下列结论不一定正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
由 知 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵D为 边的中点，
∴ ， 平分 ，
故选项A、B、D正确，
不一定成立，
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ，
轴，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点 作 ，则轴，D为 的中点，根据坐标的性质即可求解．
【详解】解： 轴， ，
，
过点 作 ，则 轴，
，
，
，
，即 ；
故选：C．
3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在等腰 中， ，过点C作 且 ，
过点A作 于点D，过点E作 交 的延长线于点F，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等
三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质．
先由三线合一得到 ，再证明 ，则 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在 中， ， 是边 上一点，连接 并延长
至点 ，连接 ，过点 作 于点 ，若 ， ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含 度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题
的关键是添加辅助线构造全等三角形．
由 ， ， ，则有 ， ， ，
可得 ，从而可得 ，再证明 ， 所以 ，设 ，则
， ，由 ，可得 ，解得 即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故选： ．
5．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰 中， ， 为 延长线上一点，
且 ，垂足为 ，连接 ，若 ，则 的面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作 于H，过E作
于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过A作 于H，过E作 于F，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．故答案为：B．
二、填空题
6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 中， ， 是边 上的高．若 ，
则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质．熟悉等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、高
重合，简称“三线合一”，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质， 边上的高 同时也
是底边 的中线，计算即可．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 是边 上的高
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在
边 上， ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和含 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中， 角所对的
直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角
形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．
作 于 ，如图，根据等腰三角形的性质得 ，在 中由 得到
，则根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，然后计算
即可．
【详解】解：作 于 ，如图，，
，
在 中， ，
，
，
．
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在四边形 中， 平分 ， ，
， ．则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理．在 上截取 ，
连接 ，作 于点 ．可以得出 ，从而得到 ，利用等腰三角形
“三线合一”的性质得到 ，在 中和在 中，分别利用勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，作 于点 ．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，
，
，
．在 中，
， ，
．
在 中，
， ，
，
的长为 ．
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形 中， ，点 关于 的对称点 恰好落在
上，若 ，则 的度数为 ．（用含有 的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解
题的关键．连接 ，过点 作 于点 ，可证
，那么 ，根据等腰三角形三线合一，那么
，接着证明 ，接着利用三角形内角和表示出 即可．
【详解】解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示：
点 关于 的对称点 恰好落在 上， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图所示，等腰三角形 的底边 为 ，腰长为 ，一动
点P在底边上从点B向点C以 的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点
A的连线 与腰垂直．
【答案】7或25
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理进行
计算是解决问题的关键，分类讨论是难点，漏解是易错点．
依题意得 ，由 与腰垂直，分两种情况进行讨论：①当 时，过点A作
于D，则 ， ，由勾股定理得 ，由此求出 ，
进而得 ，则 ，据此可求出t的值；②当 时，过点A作 于D，由勾
股定理得 ，由此求出 ，进而得 ，则 ，据此
可求出t的值．
【详解】解：∵点P从点B向点C以 的速度移动，设运动的时间为t秒，
∴运动的路程 ，
∵P点与顶点A的连线 与腰垂直，
∴有以下两种情况：
①当 时，过点A作 于D，如图1所示：
∴等腰三角形 的底边 为 ，腰长为 ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴当点P运动7秒时， ．
②当 时，过点A作 于D，如图2所示：
由①可知： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴当点P运动25秒时， ．
综上所述：当P运动7或25秒时，P点与顶点A的连线 与腰垂直，
故答案为：7或25．
三、解答题
11．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图， ， ， 于点 ， 于点 ，
于点 ．求证： 平分 ．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等
三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键．
连接 ， ，可证明 ，由此可得 ， ， 由 ，利用等
腰三角形的三线合一可得 ，结合 即可得出结论．
【详解】如图，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 平分 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 平分 ．
12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中， ， ，D为 的中点，
于点E， ，求：
(1) 的度数；(2) 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及含
30度直角三角形的性质是解题的关键；
（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解；
（2）连接 ，由题意易得 ，则有 ，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ，D为 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
13．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢
固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分， ，
米．(1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱 支撑，立柱 垂直于横梁 ，垂足为点 ．请在图
2中作出立柱 （要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)当 时，求立柱 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
（1）作 平分 交 于点D，线段 即为所求；
（2）证明 ，利用直角三角形斜边中线的性质求解．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求；
（2） ， 平分 ，
，
，
（米）．
14．（25-26八年级上·四川成都·月考）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的
直角边等于斜边的一半．如图1，等腰 中， ， ，作 于点D，则D为
的中点， ， ，在直角三角形 中， ，且 ；
迁移应用：如图2， 和 都是等腰三角形， ，D、E、C三点在同一条直
线上，连接 ．
(1)求证： ；
(2)请直接写出线段 ， ， 之间的等量关系式；
(3)如图2，若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，理解题目给出的定
理是解题的关键．
（1）根据等式的性质可得出 ，然后根据 证明 即可；
（2）由（1）中 ，得出 ，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出
，过A作 于F，则 ，则根据题目给出的定理可得出 ，
结合 ，即可得出结论；
（3）根据含 角的直角三角形的性质求出 ，结合（2）可求 ， ，根据三线合一的
可求出 ，则 ，根据勾股定理求出 ．然后结合根据题目给出的定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
又 ， ，
∴ ；
（2）解： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
过A作 于F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（3）解：由（2）知，在 中， ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ．
15．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图，在 中， ， ， ，
在 边上运动 不与点 重合 ， ，将 沿 折叠至 ， 分别与 ， 交于
， 两点．
(1) ， 的周长为_______．
(2)若 ，则 ，猜想并写出 与 的数量关系为 _，并且证明．
(3)若 ，则 的周长为_______．
(4)如图2，设 与 交于点 ，在整个运动过程中，记 与 的周长之和为 ，求出 的取
值范围为_______．
【答案】(1) ，
(2) ， ，证明见解析
(3) 或 .
(4)y的值是变化的，变化范围为
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出 ，则可得出答案；
（2）由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论；
（3）根据勾股定理与直角三角形的性质，求得 ， ，在 上截取 ，连接 ，过点
N作 于P，证明 ，得 ，再 ，设 ，由 ，
，然后在 中，由勾股定理，求得x值，由 或 ，代入即可求的值，即可由 的周长 求解．
（4）作 的平分线 交 于N，证明 ，得 ， ，
，再证明 ，得 ， ，证明 ，得
，从而求得 ，所以y随着 的增大而减小，最后根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ， ．
（2）解： ， ，
，
将 沿 折叠至 ，
，
，
；
与 的数量关系为 ．
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠至 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 上截取 ，连接 ，过点N作 于P，如图1，∵将 沿DE折叠至 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴
∴
设 ，由 ， ，
在 中，由勾股定理，得
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
的周长 ．
当 时，
的周长 ．
综上， 的周长为 或 .
（4）解：作 的平分线 交 于N，如图2，
∵ 平分
∴ ，由（1）知： ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ， ， ，
∵将 沿DE折叠至 ，
∴ ， ， ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
，
∵ ， ，
∴
∴y随着 的增大而减小，
∵E在AC边上运动（不与点A重合）， ，
∴点M在线段 上，
∴ ，即 ，
此时 ，
当 时，此时DM最小，
∵ ，
∴
∴
∴由勾股定理，得 ，∴
此时y取得最大值为 ，即 ，
∴ ．
故y的值是变化的，变化范围为 ．
