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专题 19 外接球、内切球与棱切球
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题型一：基础：长方体模型.................................................................................................................................................1
题型二：基础：四面体对棱相等模型.................................................................................................................................2
题型三：重要模型：线面垂直型.........................................................................................................................................3
题型四：重要模型：面面垂直型.........................................................................................................................................5
题型五：常见几何体：棱锥型.............................................................................................................................................6
题型六：常见几何体：圆锥型.............................................................................................................................................7
题型七：常见几何体：圆台型.............................................................................................................................................8
题型八：常见几何体：棱台型.............................................................................................................................................9
题型九：常见几何体：组合体型.......................................................................................................................................10
题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形...................................................................................................................11
题型十一：两线交心法模型：二面角型...........................................................................................................................12
题型十二：动点与翻折型外接球.......................................................................................................................................14
题型十三：外接球最值范围型...........................................................................................................................................14
题型十四：内切球...............................................................................................................................................................16
题型十五：棱切球...............................................................................................................................................................17
题型十六：综合难题...........................................................................................................................................................18
结束.......................................................................................................................................................................................19
题型一：基础：长方体模型
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝.
1．（24-25高二上·安徽宣城·开学考试）在四面体 中，已知点 ， 分别为棱 ， 中点，且
， ，若 ， ，则该四面体外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23贵州黔东南·模拟）我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体
中， 分别为棱 的中点，当 时，四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三下·江苏·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》
相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某鳖臑
的外接球半径为1，则该鳖臑 的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．4．（22-23高按·辽宁沈阳·模拟）已知四面体ABCD满足 ， ， ，
且该四面体ABCD的外接球的球半径为 ，四面体的内切球的球半径为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5.（22-23·浙江温州·模拟）阳马和鳖臑［biē nào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图
斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开
（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下
的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，
则下列结论正确的是（ ）
A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B．鳖臑的外接球半径为
C．鳖臑的体积为正方体的 D．鳖臑内切球半径为
题型二：基础：四面体对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于
长方体的体对角线长，即 (长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三
棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
2．（2022高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·贵州·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，
，且直线AB与DC所成角的余弦值为 ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·四川绵阳·模拟）四面体 的三组对棱分别相等，且长度依次为 ，5.则该四
面体的外接球的表面积
A． B． C． D．
4．（2023高三·河南·模拟）四面体S-ABC中，三组对棱分别相等，依次为 ， ，5.则此四面体的体
积为.
A．20 B． C． D．30
5．（2024高三·全国·模拟，多选）一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体．下列结论
正确的是（ ）
A．若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体
B．等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直
C．三组对棱长度分别为 ， ， 的等面四面体外接球的表面积为
D．过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为
题型三：重要模型：线面垂直型线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是
r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
1．（20-21高按·河北唐山·模拟）已知三棱锥 中， 面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，
，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·河南郑州·模拟）在三棱锥A-BCD中，平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC,
，若此三棱锥的外接球表面积为 ，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（ ）
A．7 B．12 C．6 D．
3．（21-22高三·西藏拉萨·阶段练习）如图,三棱锥 中, , ,且
,则三棱锥 的外接球表面积为
A． B． C． D．
4．（22-23高三·全国·阶段练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
M为 中点，H为线段 上一点（除 的中点外），且 .当三棱锥 的体积最大时，
则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．（21-22高三上·湖北武汉·期中，多选）已知球O是三棱锥 的外接球， ，则 ，点D是PB的中点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 最长的棱棱长为 B． 平面PAB
C．球心O到底面PAB的距离为 D．球O的表面积为
题型四：重要模型：面面垂直型
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
1．（22-23高三·安徽·模拟）在四面体 中，若 ，则当四面体 的体积最
大时其外接球表面积为
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知四棱锥 的各顶点在同一球面上，四边形 为
等腰梯形，若 ， 为正三角形，且面 面 ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·一模）在体积为12的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，
， ，若点 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
平面 平面 ， 是 的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末，多选）如图，三棱锥S－ABC中，平面 平面ABC，过点B且
与AC平行的平面 分别与棱SA、SC交于E，F，若 ， ，则下列结论正
确的为（ ）A．三棱锥S－ABC中的外接球表面积为
B．
C．若E，F分别为SA，SC的中点，则BF与SA所成角的余弦值为
D．
题型五：常见几何体：棱锥型
棱锥的外接球有其特殊性，如果底面四边形是矩形。特殊情况下，还可以转化为“线面垂直-直棱柱模
型”
1．（2022·河南·模拟预测）在四棱锥 中，侧面 底面ABCD，且 ， ，
底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥 的最大体积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面
体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①此八面体的表面积为 ；
②异面直线 与 所成的角为 ；
③此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
④若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥 中，若 ，其中 是边长为2的正三角形，则四棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）正四棱锥 的底面边长为 ， 则平面 截
四棱锥 外接球所得截面的面积为（ ）.
A． B． C． D．
5．（22-23高三·广东深圳·模拟，多选）已知正四棱锥 的底面边长为1，且侧棱长为 ，点 ，
分别为侧棱 ， 上的动点，则下列结论中，正确的为（ ）
A． 为等边三角形
B．正四棱锥 的侧面积为
C．若 ，则 平面
D．正四棱锥 的外接球表面积为
题型六：常见几何体：圆锥型
圆锥外接球模型
圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解
1．（22-23高三上·陕西西安·阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为 ，且
，对应圆锥外接球体积分别为 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．2
2．（2023·山西晋城·模拟）底面半径为√3，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为
A．6π B．12π C．8π D．16π
3．（21-22高二下·江西宜春·阶段练习）在圆锥 中， 是母线 上靠近点 的三等分点， ，底面
圆的半径为 ，圆锥 的侧面积为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时，从点 到点 绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当 时，过顶点 和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当 时，圆锥 的外接球表面积为
D．当 时，棱长为 的正四面体在圆锥 内可以任意转动4．（2023全国·模拟）如图： 是圆锥底面圆的直径， 、 是圆锥的两条母线， 为底面圆的中心，
过 的中点 作平行于 的平面 ，使得平面 与底面圆的交线长为 ，沿圆锥侧面连接 点和 点，
当曲线段 长度的最小值为 时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径
为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·吉林长春·模拟，多选）在圆锥 中，C是母线 上靠近点S的三等分点， ，底面
圆的半径为r，圆锥 的侧面积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当 时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当 时，圆锥 的外接球表面积为
D．当 时，棱长为 的正四面体在圆锥 内可以任意转动
题型七：常见几何体：圆台型
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
1．（2024·安徽·三模）已知圆台 的上､下底面面积分别为 ，其外接球球心 满足 ，
则圆台 的外接球体积与圆台 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为 ，半径为 ，下底面圆心为 ，半径为 ，高
为 ，若该圆台的外接球球心为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3
和4，球的体积为 ，则该圆台的侧面积和体积分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球 （圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的
上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三·贵州贵阳·阶段练习，多选）如图 与 分别为圆台上下底面直径， ，若 ，
， ，则（ ）
A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为
B．圆台的全面积为
C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为
D．从点 经过圆台的侧面到点 的最短距离为
题型八：常见几何体：棱台型
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
1．（2022·四川成都·三模）已知三棱台 的六个顶点都在球O的球面上，， 和 分别是边长为 和 的正三角形，则球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·云南昆明·模拟）已知正三棱柱的底面边长为 ，高为6，经过上底面棱的中点与下底
面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在
球 的球面上，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二上·安徽宣城·开学考试）如图，正四棱台 的上､下底面边长分别为
分别为 ， 的中点，8个顶点 构成的十面体恰有内切
球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·湖北十堰·期末，多选）上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现
出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆
结构类似的六面体 ，设矩形 和A B C D 的中心分别为 和 ，若 平面
1 1 1 1
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，则（ ）
A．这个六面体是棱台
B．该六面体的外接球体积是
C．直线 与 异面
D．二面角 的余弦值是题型九：常见几何体：组合体型
因为组合体会受图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大
圆）上。
1．（22-23·宁夏银川·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已
知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该
容器有外接球,则外接球的体积为 ( )
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千
多年，其中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为 、高为 的圆柱，
上面是一个底面积为 、高为 的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为
A． B． C． D．
3．（20-21高二上·安徽芜湖·期中）已知三角形 的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，
，分别以 ，， 所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为
，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三·湖南·模拟）如图所示几何体是由正四棱锥 与长方体 组成，
， ，若该几何体存在一个外接球，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龙江·二模，多选）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四
面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截
面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是（ ）A．点E到平面ABC的距离为
B．直线DE与平面ABC所成角的正切值为2
C．该截角四面体的表面积为
D．该截角四面体存在内切球
题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形
表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心垂
线交点确定球心法）
1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
2、等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知三棱锥 中， ，其余各校长均为2，P是三棱锥
外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥 的顶点都在球 的表面上，若球 的表面积为 ，
， ， ，则当三棱锥 的体积最大时， （ ）
A． B．30 C． D．
3．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为3
的等边三角形， 为球 的直径，且 ，则 到面 的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）四面体 中 ，其余各棱长均为 ，则该四面体外接球的
表面积是（ ）
A． B． C． D．5．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试，多选）四面体 中， ，记四
面体 外接球的表面积为 ，当 变化时，则（ ）
A．当 时， B．当四面体 体积最大时，
C． 可以是 D． 可以是
题型十一：两线交心法模型：二面角型
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法
A'
O
H2 D
A E
H1
C
B
图6
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O
1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O ；
2
(3) 分别过O 作该底面的垂线，过O 作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
1 2
1．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知在三棱锥 中，除 外其他各棱长均为2，且二面角
的大小为 .若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）三棱锥 中， 是边长为4的正三角形，
，二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23·重庆万州·模拟）已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面
角 为 的四面体 ，则四面体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
4．（2023湖南长沙·模拟）在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角
为 的四面体 （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B．C． D．
5．（23-24高二下·广西柳州·期中）如图，在四面体 中， 与 均是边长为 的等边三
角形，二面角 的大小为 ，则此四面体的外接球表面积为 ．
题型十二：动点与翻折型外接球
1．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟）在边长为2的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 折起，
使得平面 平面 ，则所得三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）直角 中， ， ，D是斜边AC上的一动点，沿BD将 翻
折到 ，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时，四面体 的外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川·三模）如图，在梯形 中， ，将 沿对角线
折起，使得点 翻折到点 ，若面 面 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·湖南长沙·一模）在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角
为 的四面体 （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23·广东湛江·模拟，多选）如图，矩形 中，E、F分别为 、 的中点，且 ，
现将 沿 间上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．当平面 平面 时，二面角 大小的正切值为
D．当平面 平面 时，三棱锥 外接球表面积为
题型十三：外接球最值范围型
立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：
一、构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；
二、借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往
往可以使用此种方法；
三、根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.
1．（2020·山西太原·模拟预测）三棱锥 中， ，△ 为等边三角形，二面角
的余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知二面角 的大小为 ，且 ，
， 若四点 ， ， ， 都在同一个球面上，当该球体积取最小值时， 为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面
ABC， ， ，若球O的表面积为 ，则三棱锥 （以A为顶点）的侧面积的最大
值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．（2024高三下·江西新余·专题练习）已知棱长为3的正四面体的几何中心为 ，平面 与以 为球心的
球相切，若 与该正四面体的截面始终为三角形，则球 表面积的取值范围为（ ）.A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测，多选）如图所示，四面体 的底面是以 为斜边的直角三角形，
体积为 ， 平面 ， ， 为线段 上一动点， 为 中点，则下列说法正确的
是（ ）
A．三棱锥 的体积和三棱锥 的体积相等
B．当 时，
C．当 时，
D．四面体 的外接球球心为 ，且外接球体积 与 之比的最小值是
题型十四：内切球椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、三角形内切圆
二、类比：三棱锥
1．（2024·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·北京海淀·期末）边长为2的正方形 的中心为 ，将其沿对角线 折成直二面角.
设 为 的中点， 为 的中点，将 绕直线 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·湖北武汉·模拟预测）已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，在该圆锥内放置一个棱
长为 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则 的最大值为（ ）
A．3 B．
C． D．4．（2024·安徽安庆·三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径
和母线长都是 ，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
5．（2024·吉林长春·模拟预测，多选）如图，在正三棱柱 中，E，F分别为 ， 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则异面直线 和 所成的角的余弦值为
B．若 ，则点C到平面 的距离为
C．存在 ，使得 平面
D．若三棱柱 存在内切球，则
题型十五：棱切球
1．（22-23高三下·河南·阶段练习）在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥
的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知四面体 中， ， ， ，
，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台 中， ，若球 与上底面
A B C D
以及棱 均相切，则球 的表面积为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知体积为 的球O与正四面体 的四个面均相切，且与正四面体
的六条棱均相切，则正四面体 与 的表面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．3
5．（23-24高一下·浙江·期中，多选）已知棱长为2的正方体 的棱切球（与正方体的各条
棱都相切）为球 ，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的体积为
B．球 内接圆柱的侧面积的最大值为
4
C．球 在正方体外部的体积小于 (2√2−1)π
3
D．球 在正方体外部的面积大于6√4−2√2π
题型十六：综合难题
1．（2024·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中
华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似
看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球 ）.如图：已知粽子三棱锥 中，
， 、 、 分别为所在棱中点， 、 分别为所在棱靠近 端的三等分点，小
玮同学切开后发现，沿平面 或平面 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的
比为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体 中， ， ，点P在底面ABCD
的边界及其内部运动，且满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．若点M满足 ，则
B．点P到平面 的距离范围为
C．若点M满足 ，则不存在点P使得D．当BP＝3时，四面体 的外接球体积为
3．（2023·浙江温州·二模）已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为3．以点 为球心， 为半
径的球 与过点 的球 相交，相交圆的面积为 ，则球 的半径为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．（22-23·江西新余·模拟）如图两个同心球，球心均为点 ，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段
与 是夹在两个球体之间的内弦，其中 两点在小球上， 两点在大球上，两内弦均不穿过小
球内部.当四面体 的体积达到最大值时，此时异面直线 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·吉林白山·期末，多选）在三棱锥 中，记 ，其他棱长均为2，三棱锥的所
有顶点都在球 的球面上，球 与三棱锥的所有面都相切.若点 在底面内的射影位于 内部及其边
界，则下列说法正确的是（ ）
A．当三棱锥 的体积为 时，
B．当 时，球 与球 的体积之比为
C．当三棱锥 的体积最大时，球 的半径为
D．当 时，球 的表面积为
