文档内容
专题1.1 等腰三角形（知识讲解）
【学习目标】
1. 通过对折等腰三角形纸片,发现并理解等腰三角形性质
2. 会用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题.
3.掌握并运用等腰三角形关联的几个几何模型
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,
∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能
为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
要点二、等腰三角形的性质
1. 等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)
几何语言：在ΔABC中， 如图 2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合
一”）．
在ΔABC中，AB=AC，如图 2
1）∵BD=CD，∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD；
2）∵AD⊥BC, ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD;
3)∵∠BAD=∠CAD∴BD=CD,AD⊥BC.
2.等腰三角形的性质的作用
性质1在同一个三角形中，把边的问题转化为角的问题，证明同一个三角形中的两角
相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2“三线合一”是解决角、线段相等的重要知识点，是用来证明线段相等、角相等、垂直关系重要依据。
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常
情况只有一条对称轴．通过此内容可以更好理解对称轴是轴对称图形对应点连线的垂直平
分线。
要点三、等腰三角形的判定
判定1、如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等
角对等边”）.
判定2、如果一个三角形的一个顶角的外角等于另一个内角 2倍，则这个三角形为等
腰三角形。
特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的
相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】
类型一、等边对等角求角的大小
1．已知等腰三角形有一个角是50°，则它的另外两个角是_____．
【答案】65°，65°或80°，50°
【分析】从当等腰三角形的顶角是50°时，当等腰三角形的底角是50°时两种情况进行
分析，然后利用三角形内角和定理即可得出答案．
解：当等腰三角形的顶角是50°时，其底角为：180°﹣50°×2＝65°．
当等腰三角形的底角是50°时，其顶角为：180°﹣50°×2＝80°，
故答案为：65°，65°或80°，50°．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理应用，掌握三角形内角
和定理以及等腰三角形的性质是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在 中， 是 的垂直平分线，且分别交 ， 于点 ，
，若 ， ，则 的度数为______．【答案】25°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到
EA=EB，得到∠EBA=∠A=50°，结合图形计算，得到答案．
解：∵ ， ，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直
平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式2】如图所示，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D点为AC边上
一点，E为AB边上一动点，将△ADE沿着DE折叠，点A的对应点A'落在△ABC的边上，
若AD＝2，则线段A'C的长度为 _____．
【答案】 或
【分析】分当点 在AB上时和当点 在BC上时两种情况讨论求解即可得到答案．
解：如图所示，当点 在AB上时，
由折叠的性质可得 ， ，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∴CD=AC-AD=1，∠A=∠B=45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点 在BC上时，
由折叠的性质可得 ，CD=AC-AD=1，
∴ ，
∴综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性
质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
类型二、等边对等角证明
2．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．（1）图中有______个三角形（包括△ABC），有______对全等三角形．
（2）求证：BD=CE．
【答案】（1）6，2；（2）见解析．
【分析】（1）根据题意图形数出三角形的个数即可；找出图形中的全等三角形即可；
（2）根据题意证明△ABE≌△ACD即可得出结果．
解答：（1）图中的三角形有：
、 、 、 、 、 ，共 个，
； ，
故答案为：6，2；
（2）证明：如图
∵AB=AC，
∴∠B =∠C.
∵AD=AE，
∴∠1 =∠2.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴BE=CD．
∴BE—DE=CD—DE．∴BD=CE．
【点拨】本题考查了三角形的个数，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形
的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F．
求证：△BDE ≌△CDF．
【分析】由等腰三角形的性质得∠B=∠C，再证∠DEB=∠DFC=90°，然后由AAS证明
△BED≌△CFD即可．
证明 ：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三
角形的判定方法，证出∠B=∠C是解题的关键．
【变式2】如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：
（1）AO＝DO；
（2）∠OBC＝∠OCB．【分析】（1）由已知条件，结合对顶角相等可以利用 判定 ，由全等
三角形的性质可得；
（2）由全等三角形的性质和等边对等角得结论．
证明 ：（1）在 和 中，
，
，
；
（2）由（1）知， ，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，等边对等角，解题的关键是熟练掌握常见的
判定三角形全等的方法．
类型三、三线合一求解
3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线
分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则
CDM周长的最小值为___．
【答案】13.5
【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由
面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．
解：如图，连接MA、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴MA=MC
∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD
∵点D为DC边的中点，BC=3
∴
∵AB=AC
∴AD⊥BC
∴
即
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△MCD的周长的最小值为13.5
故答案为：13.5
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两
点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把
MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．
举一反三：
【变式1】 若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面
积为____cm2
【答案】 或 或【分析】分边长为6cm的边是腰长与底边长两种情况分析求解即可求得答案．
解：①当边长为6cm的边是腰长时，底边为：16-6×2=4cm，
∴三角形的三边长分别为4cm、6cm、6cm，能组成三角形；
如图所示，AB=AC=6cm，BC=4cm，AD⊥BC，
∴BD=2cm，
∴ ，
∴ ；
②当边长为6cm的边是底边长时，腰长为： ×（16-6）=5cm，
三角形的三边长分别5cm、5cm、6cm，能组成三角形，
如图所示，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，
∴BD=3cm，
∴ ，
∴ ；∴综上所述，该等腰三角形的面积为 或
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理和组成三角形的条件，难点在于要分
情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
【变式2】如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝______．
【答案】75°
【分析】利用等边三角形的性质先求出∠DAC，再利用三角形的内角和定理和等腰三
角形的性质求出∠ADE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD是中线，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝30°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝
＝
＝75°．
故答案为：75°．
【点拨】本题考查了等边三角形性质，掌握等边三角形、等腰三角形的性质是解题的
关键．
类型四、三线合一证明
4．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．（1）如果∠BAC＝100°，则∠B＝ °；
（2）求证：BD＝CE．
【答案】（1）40；（2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）过点A作AP⊥BC于P，利用等
腰三角形三线合一即可求解．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B=∠C
∴∠B＝ =40°
故答案为：40 ；
（2）证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．
举一反三：
【变式1】如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．晓伟同学说：我找到线段CD的中点
F，连结AF，那么AF一定垂直于CD．你认为晓伟同学的结论正确吗？请说明理由．【答案】正确，理由见解析．
【分析】连接 ，先根据三角形全等的判定定理证出 ，再根据全
等三角形的性质可得 ，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论．
解：晓伟同学的结论正确，理由如下：
如图，连接 ，
在 和 中，
∵ ，
，
，
又∵点 是 的中点，
（等腰三角形的三线合一）．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一，通过作
辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点
E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【分析】先证明∠A=∠ABE得到△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得
到结论．
证明 ：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE= ∠ABC= ×80°=40°，
∵∠A=40°，
∴∠A=∠ABE，
∴BE=AE,△ABE为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD=BD．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判断与性质，解题的关键是证明
△ABE为等腰三角形．
类型五、格点找等腰三角形
5．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 ， 是两个格点，
若点 也是图中的格点，且 为等腰三角形，则符合条件的点 有______个．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当以AB为底边时，或当以AB为腰
时，分别作出符合条件的图即可解题．
解：分情况讨论：
当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个；
当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个，综上所述，符合题意的店C共有8个，
故答案为：8．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
举一反三：
【变式1】 如图所示的网格是正方形网格，△ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形
网格中的格点上，则∠ABC＝______°．
【答案】135
【分析】根据网格的特点和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：如图，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
【点拨】本题以网格为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，属于常见题型，熟
练掌握网格的特点和等腰直角三角形的性质是解题关键．
【变式2】在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，在坐标轴上找一点 ，
使得 是等腰三角形，则这样的点 共有__________个【答案】
【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB
的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得到答案．
解：如图所示，
一共有5个这样的点，
故答案为：5．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
类型六、找等腰三角形
6．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB
为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个．【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质作图即可；
解：如图，
以AB为腰的三角形有6个，
分别是△ABP，△ABP，△ABP，△ABP，△ABP，△ABP；
1 2 3 4 5 6
以AB为底的三角形有两个，
分别是△ABP，△ABP．
7 8
因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个．
故答案为：8．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关
键．
举一反三：
【变式1】在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的
两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，
若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③
当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和
三角形的内角和即可得到结论．
解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，
25°，100°，50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；
②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．
④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，
⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．
⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD
的角平分线，则图中的等腰三角形有___ 个．
【答案】5
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即
可找出图中的等腰三角形．
解：∵ ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ， ∠A=36°，
∴ ，
又∵ 、 分别是 、 的角平分线，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 、 是等腰三角形；
并且： ，
，
∴ ，
，
∴ ， 是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有5个．
故答案为5．
【点拨】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形
内角和定理、三角形的角平分线等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要漏了．
类型七、等边对等角证明等腰三角形
7．如图，已知 中， 是 的中点， 于 ， 于 ，且
．猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】 ，见解析
【分析】由“HL”可证Rt△BED≌Rt△CFD，可得∠B=∠C，可得结论．
解：AB=AC，理由如下：
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，直线 ，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证： FCE是等腰三角
形．
【分析】由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，进而得到∠CFE的度数，再根据三角形内
角和定理求得∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论．
证明 ：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE，
＝180°﹣60°，
＝120°，
∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE
＝180°﹣30°﹣120°
＝30°，
∴∠2＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．【点拨】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质，等腰三角形
等角对等边的判定，熟记平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2】如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重
合，点C落在点C'处，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）先根据折叠的性质可得 ，再根据平行线的性质可得
，从而可得 ，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据长方形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，设
，从而可得 ，然后在 中，利用勾股定理可求出 的值，由
此即可得出答案．
证明 ：（1）由折叠的性质得： ，
，
，
，
；
（2） 四边形 是长方形，
，
由折叠的性质得： ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
，即 ，
解得 ，
．
【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
类型八、等角对等边证明线段相等
8．如图，AD＝BC，AC＝BD．
求证：
（1）△ADB≌△BCA； （2）OA＝OB．
【分析】（1）根据已知条件和公共边 ，直接证明 ；
（2）根据（1）中的 可得 ，等角对等边即可证明
解：（1） AD＝BC，AC＝BD，
；
（2）
．
【点拨】本题考查了 证明三角形全等以及全等的性质，等角对等边，掌握以上知
识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，把长方形 沿 折叠， 落在 处， 交 于点E．已
知 ．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证： ；
（2）求 的长；
（3）请直接写出 中 上的高为_______ ．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据翻折的性质与平行线的性质可得 ，进而根据等边对
等角即可证明 ；
（2）设 ，根据（1）的结论，在 中，勾股定理即可求得 的长，进
而可得 的长；
（3）先根据勾股定理求得 的长，设 中 上的高为 ，根据等面积法求解
即可
解：（1）证明： 四边形 是长方形，四个角都为直角，
，
翻折，
（2）设 ，
在 中
即
解得
（3）在 中， ，
设 中 上的高为 ，则 ，，
故答案为：
【点拨】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关
键．
【变式2】在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，E是BC延
长线上一点，且CE＝CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求证：DB＝DE．
【答案】（1）36°；（2）见解析
【分析】（1）设 ，根据等边对等角可得 ， ，
根据三角形内角和定理可得 ，进而列方程即可
求得 ，即∠DBC的度数
（2）根据（1）的结论，求得 的度数，进而求得 的度数，进而根据等角
对等边即可证明
解：（1）设 ，即
解得
（2）
E是BC延长线上一点，
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，求得 的度
数是解题的关键．
类型九、等角对等边求边长
9．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，折叠该纸片，
使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，则折痕BE的长为______．
【答案】4【分析】先求出 ，再根据折叠的性质可得
，然后根据等腰三角形的判定可得 ，最后
在 中，利用 角所对直角边等于斜边的一半即可得出答案．
解： 在 中， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
在 中， ，
，
，
，解得 ，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、折叠的性质、 角所对直角边等于斜边的
一半等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE AB，交BC于点
E，BE＝2，则DE的长是 ___．
【答案】2
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝
∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE AB，∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，求得 是
解题的关键．
【变式2】如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点
D，交 于点E， ， ，则 _______ ．
【答案】5
【分析】先根据角平分线的定义可得 ，再根据平行线的性质可得
，从而可得 ，然后根据等腰三角形的判定可得
，同样的方法可得 ，最后根据线段的和差即可得．
解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰三
角形的判定是解题关键．
类型十、直线上与已知两点构成等腰三角形10．（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角 ，腰为a，求作
这个等腰三角形；
（2）在（1）中，把锐角 变成钝角 ，其他条件不变，求作这个等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）分成 是顶角和顶角两种情况进行讨论，当 是底角时，首先作一个
∠A＝ ，在一边上截取AB＝a，然后过B作另一边的垂线BR，然后在AR的延长线上截
取RC＝AR，连接BC，即可得到三角形，当 是顶角时，作∠D＝ ，在角的两边上截取
DE＝DF＝a，则△DEF就是所求三角形；
（2）作∠M＝ ，在角的边上截取MN＝MH，则△MNH就是所求．
解：（1）如图所示：
△ABC和△DEF都是所求的三角形；
（2）如图所示：△MNH是所求的三角形．
【点拨】本题考查了三角形的作法，正确进行讨论，理解等腰三角形的性质：三线合
一定理，是关键．
举一反三：
【变式1】 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
点A，B，C都是格点．请用无刻度的直尺在给定的网格中画图：
（1）画线段 ，使 ，且 ；
（2）画 ，使 ．
【分析】（1）如图，取格点T，连接AT，取格点F，G，连接FG交AT于点D，线段
AD即为所求．
（2）利用数形结合的思想构造等腰直角三角形即可．
解：（1）如图，线段AD即为所求．
（2）如图，∠APB即为所求．
【点拨】本题考查作图平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是
学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】已知等腰三角形的底边长为 ，底边上的高的长为 ，求作这个等腰三角形．（不写作法，保留作图的痕迹）
【分析】先画一条长为a的线段，作该线段的垂直平分线，截取高为h，连接即可得
到所求的等腰三角形．
解：如图，
【点拨】此题考查作图能力，掌握线段垂直平分线的作图方法及截取线段的方法是解
题的关键．
类型十一、尺规作图-等腰三角形
11．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，
O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有__________【答案】8
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所
求的点P的位置．
解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴
的交点有2个
综上所述，满足条件的点P有8个．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解
更简便．
举一反三：
【变式1】 如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰
三角形，则这样的C点有_____个．【答案】8
【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等
腰三角形，可得答案．
解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C ，C ，
1 5
在x轴上有1点满足条件的点C ，
2
②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C ，
4
在x轴上有2点满足条件的点C ，C ，
3 8
③当AC=BC时，在y轴有1点满足条件的点C ，
6
在x轴有1点满足条件的点C ，
7
综上所述：符合条件的点C共有8个．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏
掉任何一种情况是本题的关键．
【变式2】如图，线段AB＝a，点P是AB中垂线MN上的一动点，过点P作直线
CD∥AB．若在直线CD上存在点Q使得△ABQ为等腰三角形，且满足条件的点Q有且只
有3个，则PM的长为_____．【答案】a或 a
【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，依据点G在直线CD 上，AB＝a，△GAB
是等腰三角形的点G有且只有3个，即可得到PM的长．
解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，
①当直线CD经过两弧的交点时，直线CD与两弧共有3个交点G，G，G，
1 2 3
此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，△PAB是等边三角形，
∴PM＝ a；
②当直线CD与两弧均相切时，直线CD与两弧、直线MN共有3个交点G，G，
1 2
G，
3此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，
∴PM＝AG ＝AB＝a，
1
故答案为：a或 a．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定，垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运
用，解题时注意：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办
法．
类型十二、等腰三角形的性质和判定
12、如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性
质求出∠DAE＝20°，则可求出答案．
解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性
质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连
接CD、CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）度量得∠BDC＝130°，设∠ADB＝x°，当x°等于多少度时，△CDE是直角三角
形？
【答案】（1）见解析；（2） 的值为 或 ，△CDE是直角三角形
【分析】
（1）易证 ，根据 即可证明： ；
（2）分两种情形讨论即可解决问题．
（1）证明， ，
，
即： ，
和 都是等腰直角三角形，
， ，在 与 中，
，
，
（2） 是直角三角形，
当 ，
是等腰直角三角形，
，
，
．
当 ，易知 ．
故满足条件的 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质，解题的关
键是注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定．
【变式2】如图1， 和 都是等腰直角三角形，
，连接 、 ．
（1）试说明 与 的关系；
（2）如图2，连接 、 ，且点M是 的中点，连接 ，求证： ．
【答案】（1）DA=BE，DA⊥BE；（2）见解析
【分析】
（1）只要证明△CDA≌△CEB即可解决问题；
（2）如图2中，延长CM到N使得CM=MN．证明△CDN≌△ECA即可解决问题；
解答：（1）DA=BE,DA⊥BE，∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形
∴CD=CE，CA=CB
又∵∠DCE=∠ACB
∴∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE
∴∠DCA=∠ECB
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB（SAS）
∴∠CDA=∠CEB, DA=BE
延长DA交BE于F，交CE于G
又∵∠DGC=∠EGF
∴180°-∠1 -∠DGC=180°- ∠2 - ∠EGF
∴∠DFE=∠DCE=90°
∴DA⊥BE
（2）如图，延长CM到F，使得FM=CM，连接DF并延长交CA于H∵M为DB的中点
∴DM=BM
在△BCM和△DFM中
∴△BCM≌△DFM
∴DF=BC=CA，∠3=∠4
∴CB∥DF
∴∠DHC=∠BCA=90°
∴∠CDF+∠DCH=90°
又∵∠ECA+∠DCH=90°
∴∠CDF=∠ECA
在△CDF和△ECA中
∴△CDF≌△ECA（SAS）
∴AE=CF=2CM
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型十三、等边三角形的性质和判定
13、如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点
A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．（1）求证：△AEM是等边三角形；
（2）若AE＝1，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）利用条件可求得∠E＝60°且利用直角三角形的性质可得出ME＝AM，可判定
△AEM的形状；
（2）由条件利用勾股定理可求得AB和BD的长，可求出△ABC的面积．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高线，AE⊥AB，
∴∠ABD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵点M是BE的中点，
∵在Rt△ABE中，AM＝ BE＝EM，
∴△AEM是等边三角形；
（2）∵AE＝1，∠EAB＝90°，∠ABD＝30°
∴BE＝2AE＝2，
由勾股定理得：AB＝ ，
∴AB＝AC＝BC＝ ，
∴AD＝ AB＝ ，
∴BD＝ ，
∴S△ABC＝ × × ＝ ．【点拨】本题主要考查等边三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形中，30°所
对的边是斜边的一半，掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键．
举一反三：
【变式1】发现：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长
CB至点E，使BE=AD，连结CD，AE，发现△ABC为等边三角形，给出证明．
探究：证明：△ACE≌△CBD．
应用：如图2，在四边形ABCF中，AB=BC=CF=AF，∠ABC=60°，延长BA至点D，
延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．
【答案】发现：见解析； 探究：见解析；应用：60°
【分析】
发现：根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，即可求证；
探究：根据等边三角形的性质，可得BC=AC=AB，∠ACB=∠ABC，再由BE=AD，可得
CE=BD，即可求证；
应用：连接AC，可得△ACE≌△CBD，从而得到∠E=∠D，进而得到∠CGE=∠ABC，即
可求解．
解答：发现：证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
探究：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
∵CE=BD，∠ACB=∠ABC，AC=BC，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；
应用：如图，连接AC，∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB，∠ACB=∠ABC=60°，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°
∴∠CGE=60°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练
掌握全等三角形的判定和性质定理，等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式2】如图，CD＝BE，DG⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】
（1）根据题意由“HL”可证Rt△EFB≌Rt△DGC，可得∠B＝∠C，可证OB＝OC；（2）根据题意由余角的性质可得∠D＝∠DAO＝60°，可证△ADO是等边三角形．
解答：（1）证明：∵DG⊥BC，EF⊥BC，
∴∠DGC＝∠EFB＝90°，
在Rt△EFB和Rt△DGC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴OB＝OC；
（2）△ADO是等边三角形，理由如下：
∵∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，
∴∠D＝60°＝∠BAG，
∴∠D＝∠DAO＝60°，
∴△ADO是等边三角形．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判
定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键．
类型十四、含30度的直角三角形
14、如图，在 中， ， ， 是 边上的点，且
，过点 作 边的垂线交 边于点 ，求 的长．
【答案】 ．
【分析】
运用含 角的直角三角形的性质得 ，从而得出答案．
解： ， ，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握直角三角形中
角所对的边是斜边的一半是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝
DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当AB⊥AC，∠AEB＝60°，AB＝4时，求BC的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）8
【分析】
（1）只需要利用AAS证明△ABE≌△DEC即可；
（2）由AB⊥AC，∠A=90°，则∠D=∠A=90°，然后证明Rt△ABC≌Rt△DCB得到
∠ACB=∠DBC，再由∠AEB=∠EBC+∠ECB=60°，得到∠ECB=∠EBC=30°，则BC=2AB=8．
解：（1）在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DEC（AAS）；
（2）∵AB⊥AC，
∴∠A=90°，
∵△ABE≌△DEC，
∴∠D=∠A=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中
，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠AEB=∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ECB=∠EBC=30°，
∴BC=2AB=8．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，
三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
【变式2】如图，在 中， ， ， ， ，求
的长．
【答案】9
【分析】
根据等腰直角三角形的性质和含 直角三角形的性质求解即可．
解：
在 中
且 ，
在 中，
【点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和含 直角三角形的性质，解题的关键
是熟练掌握直角三角形的有关性质．
