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专题 1.2 一定是直角三角形吗
1.经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的
教学目标 探究意识和合作交流的习惯。
2. 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用
1.重点：能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题.
2.难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
教学重难点
（1）把握勾股定理的逆定理；
（2）用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
知识点01：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的 ，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【即学即练1】1．下列数组中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．1，1，1 C． D． ， ，
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15
知识点02：勾股定理逆定理
a，b，c
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定 （如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否 .若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为 ；当 时，此三角形为 ，其中
c
为三角形的最大边.
【即学即练2】
1．在 中， ，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， ， 是一个三角形的三条边，且满足 ，请判断这个三角形的形
状是 ．
3．如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ， ．
(1)求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
题型01 勾股树（数）的判定【典例1】下列几组数是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1， ，
【变式1】下列各组数是勾股数的是（ ）
A． B．1， ，
C．16，12，20 D．8，15，19
【变式2】下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10
【变式3】下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A． ，2， B． ， ， C．8，15，19 D．9，40，41
题型02 判断三边能否构成直角三角形
【典例1】已知 ， ， 是 的三条边，则下列条件能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】已知 ， ， ， ，则下列条件不能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D．
【变式2】下列条件中，不能判定 为直角三角形是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【变式3】满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 在网格中判断直角三角形
【典例1】如图，在边长为1的小正方形网格中，点 ， ， 均在网格的格点上，下列结论不正确的是
（ ）A． B． C． D．
【变式1】如图，小正方形的边长均为 ， 、 、 在小正方形的格点上，连接 ， ， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上，则下列结论错
误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
【变式3】如图所示的网格是正方形网格，点 、 、 、 、 都是网格线交点，则 （
）
A． B． C． D．
题型04 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】如图，已知在 中， ， ， ， 平分 ，则 的面积为 ．
【变式1】如图，在 中，点D为 边上的中点， ， ， ，则 边上
的高 的长为 ．【变式2】在 中， ， ， ，点D为 外一点， ， ，则
、 、 、 围成的四边形的面积为 ．
【变式3】如图， 中， 为 边上的一点，连接 并延长，过点 作 ，垂足为 ，若
， ， ， ．
(1) ________ ；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的值为________．
题型05 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离 米，点A与地面上
点C（点B，C处于同一水平面上）的距离 米，且 米．
(1)求 的度数；
(2)现这架无人机沿 所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边 的垂直平分线上，连接 ，求这
架无人机向下飞行的距离（ 的长）．
【变式1】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育
场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用
一条小路 隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区 的 边长为24米， 边长为7米，
蔬菜区 的 边长为20米， 边长为15米， ．(1)求小路 的长；
(2)求 的度数和蔬菜区 的面积．
【变式2】如图，某景区内有一个露营区 ，湖边 上原有两个观景台 和 ，且 ，为了方便游
客观赏，现计划在湖边新建一个观景台 （ 、 、 在同一直线上），并铺设了步道 ，同时测量了
， ， ，请解决以下问题：
(1)试判断步道 是否是露营区 到湖边 的最短路径，并说明理由；
(2)求观景台 与观景台 之间距离 的长．
【变式3】如图，四边形 为某工厂的平面图，经测量 ， ，且
．
(1)求 的度数．
(2)若直线 为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观
察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为 ，求被监控到的道路长度为多少米？（精确
到1m，参考数据 ， ）
题型06 勾股定理逆定理的拓展问题
【典例1】阅读下列内容：
设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且 是最长边，我们可以利用 ， ， 三边长间的关系来判断
这个三角形的形状： 若 ，则该三角形是直角三角形； 若 ，则该三角形是钝角三
角形； 若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则
最长边是 ，由于 ，由结论 可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：(1)若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或
“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，且这个三角形是直角三角形，则 的值为________．
【变式1】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，
NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【变式2】定义：a，b，c为正整数，若 ，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股
数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．
【变式3】在 中， ，设 为最长边，当 时， 是直角三角形；
当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究 的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．若a，b，c分别是 的三边，那么下列条件中不能判定 是直角三角形的是（ ）A． B．
C． D．
3．如图，在 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交 ， 于M，N
两点，分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线 交 于点D，则线
段 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．如图，在四边形 中， ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 的网格中，每个正方形的边长均为1，点 都在格点上，则下列结论：①
；② 是直角三角形；③ 的面积为10，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6． ， ， 三地的两两距离如图所示， 地在 地的正西方向，那么 地在 地的
方向上．
7．已知 的三边满足 ，则 中最大的角是 ．8．勾股定理 本身就是一个关于 ， ， 的方程，满足这个方程的正整数解 通常叫做勾
股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：
．分析上面勾股数组可以发现， ，
分析上面规律，第9个勾股数组为 ．
9．已知， ， ， 是 的三条边长，记 ，其中 为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若 ， ，则 为直角三角形
②若 ， ， ，则
③若 ， ， ， ， 为三个连续整数，且 ，则满足条件的 的个数为7
10．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1， ， ， 三点均在正方形格点上．
（1） 的大小为 ；
（2）若 ，则 的长为 ．
11．如图，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均在格点上．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 边上的高h．
12．已知：整式 ，且整式 ．
(1)若 ，求整式 、 的值；
(2)若 、 、 的值均为正数，则以整式 、 、 为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由．
13．如图，每个小正方形的边长为1，四边形 是一个凹四边形．(1)求凹四边形 的周长；
(2)连接 ， 是直角吗？ 求出凹四边形 的面积．
14．某占地面积为 的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所
示，已知 ， ， ， ， ．
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求这条直道 的
长度；
(2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于 ，请判断上述设计方案是否符合规划要求？并说明理由．
15．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ， ，
两轮轮轴的距离 （购物车车轮半径忽略不计）， 、 均与地面平行．
(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手 到 的距离．
16．如图，在 中， 于点D．
(1)已知 ， ， ，求证： ；(2)已知 ．
①若 ， ，求 的长；
②若设 ， ， ，则m，n，k的数量关系为__________．
