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专题1.2 一定是直角三角形吗（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•雨山区校级月考）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方
是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
2．（2022春•庐阳区校级期中）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是
（ ）
A．1，2， B．6，8，10
C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
3．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C． ， ， D．32，42，52
4．（2022春•宜州区期中）如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点
上，则∠ABC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（
）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
6．（2022春•洛阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1， 的三角形是直角三角形，且1，1， 是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
7．（2022春•中山市期中）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）A．AB＝1，BC＝2，AC＝ B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
8．（2021秋•莱西市期中）下列三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022春•岷县期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6 B．AC＝ ，BC＝ ，AB＝
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝1，BC＝2，AB＝
10．（2022春•昌图县期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则
△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题。
11．（2022春•金乡县期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，
17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 ．
12．（2022春•长沙月考）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝
12，DC＝5，则S△ABC ＝ ．13．（2021春•古丈县期末）若一个三角形的三边满足c2﹣a2＝b2，则这个三角形是
．
14．（2022春•海安市校级月考）已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为
cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
15．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝
4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（2022春•沂南县期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2
，BC＝2，DB＝1，CD＝ ，则AB的长为 ．
17．（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇
数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分
别表示为 ．
18．（2022春•润州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一个动点，连接AP，DE⊥AP，分别交AB、AC于点D、E，垂足为M，点N为
DE的中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 ．
三、解答题。
19．（2022春•仓山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC
＝4 ，CD＝8．求∠ADC的度数．
20．（2022春•天河区校级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的大小．21．（2022春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
CD＝7，AD＝24．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；
（2）求∠A+∠C的度数．
22．（2021春•海珠区期末）在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝
5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．23．（2022春•东莞市月考）三个半圆的面积分别为S ＝4.5 ，S ＝8 ，S ＝12.5 ，把三
1 2 3
个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗π？说明理π由． π
24．（2022春•瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的
长．
（2）在△ABC中，AB＝ ，AC＝2，BC＝3，判断△ABC是否是直角三角形．
25．（2022春•江城区期中）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝
1，AB＝ ，CD＝2，AD＝2 ．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．26．（2021春•浦城县期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，
AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长；
（3）判断△ABC的形状．
专题1.2 一定是直角三角形吗（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•雨山区校级月考）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方
是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
【答案】D。
【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为 ．∴第三边长的平方是25或
7，
故选：D．
2．（2022春•庐阳区校级期中）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．6，8，10
C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
【答案】C。
【解答】解：A、12+22＝（ ）2，故A选项能构成直角三角形；
B、62+82＝102，故B选项能构成直角三角形；
C、32+72≠82，故C选项不能构成直角三角形；
D、0.32+0.42＝0.52，故D选项能构成直角三角形．
故选：C．
3．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C． ， ， D．32，42，52
【答案】A。
【解答】解：A．62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B．0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C． 不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D．（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
4．（2022春•宜州区期中）如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点
上，则∠ABC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A。
【解答】解：连接AC，
设每个小正方形的边长为a，则AC＝ ＝ a，BC＝ ＝ a，AB＝ ＝
a，
∴AC2+BC2＝（ a）2+（ a）2＝AB2，AC＝BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：A．
5．（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（
）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
【答案】B。
【解答】解：∵（a﹣c）2＝b2﹣2ac，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，
故选：B．
6．（2022春•洛阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1， 的三角形是直角三角形，且1，1， 是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
【答案】D。
【解答】解：A、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度是4
或 ，原命题错误，不符合题意；
B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；
C、∵122+352≠362，∴三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形，错误，不符合题意；
D、A、一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三
角形，正确，符合题意．
故选：D．
7．（2022春•中山市期中）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，AC＝ B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D。
【解答】解：A、∵12+（ ）2＝22，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2+AC2，即△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
8．（2021秋•莱西市期中）下列三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D。【解答】解：由勾股定理的逆定理得，因为 D能满足（ ）2+（ ）2＝（2 ）
2，所以D是直角三角形．
故选：D．
9．（2022春•岷县期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6 B．AC＝ ，BC＝ ，AB＝
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝1，BC＝2，AB＝
【答案】B。
【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝2：4：6，
∴∠C＝ ×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
B．∵BC2+AC2＝4+3＝7，AB2＝（ ）2＝5，
∴BC2+AC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形，故B选项符合题意；
C．∵62+82＝36+64＝100＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；
D．∵12+22＝1+4＝5＝（ ）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：B．
10．（2022春•昌图县期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则
△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C。【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
二、填空题。
11．（2022春•金乡县期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，
17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 1 6 ， 6 3 ， 6 5 ．
【答案】16，63，65。
【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是 2
（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，
故可得第⑦组勾股数是16，63，65．
故答案为选：16，63，65．
12．（2022春•长沙月考）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝
12，DC＝5，则S△ABC ＝ 12 6 ．
【答案】126。
【解答】解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°，
则△ABD是直角三角形，
∵AB＝20，
∴BD＝ ＝ ＝16，
则S△ABC ＝ •BC•AD＝ ×（16+5）×12＝126，
故答案为：126．
13．（2021春•古丈县期末）若一个三角形的三边满足c2﹣a2＝b2，则这个三角形是 直角
三角形 ．【答案】直角三角形。
【解答】解：∵c2﹣a2＝b2，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
14．（2022春•海安市校级月考）已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为
13 或 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
【答案】13或 。
【解答】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为 ＝13；
当12为斜边时，第三条线段长为＝ ＝ ．
故答案为：13或 ．
15．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝
4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为 2 4 ．
【答案】24。
【解答】解：连接BD，
∵∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴BD＝ ＝5，
∵52+122＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×5×12﹣ ×3×4＝30﹣6＝24．
故答案为：24．16．（2022春•沂南县期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2
，BC＝2，DB＝1，CD＝ ，则AB的长为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：在△BDC中，BC＝2，DB＝1，CD＝ ，
12+（ ）2＝22，
∴△BDC是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
在△ADC中，AC＝2 ，CD＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+1＝4．
故答案为：4．
17．（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇
数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
【答案】 ， 。
【解答】解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为 和 ，
∵n2+（ ）2＝n2+ ＝ ，（ ）2＝ ，
∴n2+（ ）2＝（ ）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n， ， 三个数组成的数是勾股数．
故答案为： ， ．
18．（2022春•润州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为
BC边上一个动点，连接AP，DE⊥AP，分别交AB、AC于点D、E，垂足为M，点N为
DE的中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 ．
【答案】 。
【解答】解：∵△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵N为DE的中点，
∴AN＝ DE，
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴ DE•AP＝18，
即AN•AP＝18，
当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为 ＝ ，
此时AN＝18÷ ＝ ．
故答案为： ．
三、解答题。
19．（2022春•仓山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC
＝4 ，CD＝8．求∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB＝AD＝4，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，BD＝4，
∵BC＝4 ，CD＝8．
∴BD2+CD2＝42+82＝16+64＝80＝（4 ）2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°+90°＝150°，
即∠ADC的度数是150°．20．（2022春•天河区校级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的大小．
【解答】解：（1）由题意可知AB＝ ＝ ，BC＝ ＝2 ，CD＝
＝ ，AD＝ ＝ ，
∴四边形ABCD的周长为 +2 + + ＝ +3 + ；
（2）连接BD．
∵BC＝2 ，CD＝ ，BD＝ ＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD＝90°．
21．（2022春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
CD＝7，AD＝24．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；
（2）求∠A+∠C的度数．【解答】解：（1）∠D是直角，理由见解答：
连接AC．
∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，
∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625．
又∵CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°；
（2）∠BAD+∠BCD＝360°﹣180°＝180°．
22．（2021春•海珠区期末）在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝
5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC＝ ＝9．
23．（2022春•东莞市月考）三个半圆的面积分别为S ＝4.5 ，S ＝8 ，S ＝12.5 ，把三
1 2 3
个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗π？说明理π由． π
【解答】解：∵S ＝ （ ）2＝4.5 ，S ＝ （ ）2＝8 ，S ＝ （ ）2＝
1 2 3
12.5 ， π π π π π
∴ACπ 2＝36，BC2＝64，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC一定是直角三角形．
24．（2022春•瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的
长．
（2）在△ABC中，AB＝ ，AC＝2，BC＝3，判断△ABC是否是直角三角形．
【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝3；
（2）∵AB＝ ，AC＝2，BC＝3，
∴AB2＝（ ）2＝13，AC2+BC2＝22+32＝4+9＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
25．（2022春•江城区期中）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝
1，AB＝ ，CD＝2，AD＝2 ．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵CD＝2，AD＝2 ，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∵AB＝ ，BC＝1，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝ ．
26．（2021春•浦城县期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，
AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长；
（3）判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，
所以BD2+CD2＝BC2．
所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．
所以CD＝12．
（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，
所以CD2+AD2＝AC2．
所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．
所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．
（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
所以AB2＝BC2+AC2．
所以△ABC是直角三角形．
