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专题1.6 平行四边形
知识归纳
知识点1：多边形
1. 多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.
2. 正多边形：在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.
3. 多边形的对角线：在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.
1．（2020广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据n边形的内角和公式解答
【解答】（n-2）×180°=540°，解得n=5．
故选：B
2．（2020•北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解析】任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：B．
2．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．
【解析】正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
3．（2020•自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．【解析】设这个角是x°，根据题意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即这个角的度数为130°．
故选：C．
知识点2：平行四边形
1. 平行四边形：两组对边分别平行的四边形.
2. 平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行;
（2）平行四边形的对边相等;
（3）平行四边形的对角相等;
（4）平行四边形的对角线互相平分.
1．（2020•温州）如图，在△ABC 中，∠A＝40°，AB＝AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作
BCDE，则∠E的度数为（ ）
▱
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E＝70°．
故选：D．
2．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是 ABCD的对
角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是 26 ° ． ▱【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB
＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可
得到结论．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
3．（2020•天津）如图， ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的
中点，连接CG．若AD▱＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG
和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
{∠CDG=∠HEG
DG=EG ，
∠DGC=∠EGH
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，
1 3
∴CG= CH= ，
2 2
3
故答案为： ．
2
4．（2020•凉山州）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，
△AOE的周长等于5，则 ▱ABCD的周长等于 ．
▱
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE＝5，
∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，
∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；
故答案为：16．
5．（2020•甘孜州）如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数
为 ． ▱
【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B＝50°即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；
故答案为：50°．
6．（2020•黔东南州）以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平
面直角坐标系．若A点▱坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可
得到点C的坐标． ▱
【解析】∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐▱标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
7．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
8．（2020•黄冈）已知：如图，在 ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点
E，求证：AD＝CE． ▱【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；
【解答】证明：∵O是CD的中点，
∴OD＝CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠OCE，
在△ADO和△ECO中，
{
∠D=∠OCE
OD=OC ，
∠AOD=∠EOC
∴△AOD≌△EOC（ASA），
∴AD＝CE．
9．（2020•孝感）如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．
连接EF，分别与BC，AD▱交于点G，H．
求证：EG＝FH．
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，
{
∠E=∠F
在△BEG与△DFH中， BE=DF ，
∠EBG=∠FDH
∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．
10．（2020•重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，分别过点 A，C 作
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的
性质解决问题即可．
（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．
【解答】（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∠ACB＝∠DAC＝40°，
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
知识点3：平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形
ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边
形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平
行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．
【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形
ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
2．（2019·四川泸州市）四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列四组条件中，一定能判定四
边形 为平行四边形的是( )A． B． ，
C． ， D．
【答案】B
【提示】根据平行四边形的判定方法逐一进行提示判断即可.
【详解】A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；
B. ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
C. ， ，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，
故错误；
D. 对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，
故选B.
3．（2018·黑龙江绥化市）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【提示】根据平行四边形的判定方法逐项进行判断即可.
【详解】A、由 ， 可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、由 ， 可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、由 ， 不能判断四边形ABCD是平行四边形,有可能是等腰梯形；故本选项符合题意；
D、由 ， 可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意，
故选C．知识点4：三角形中位线
三角形中位概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何描述：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,DE= BC
1．（2021佛山市大沥镇一模）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点
C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝
18m，则线段AB的长度是（ ）
A. 9m B. 12m C. 8m D. 10m
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，
∴AB＝ DE＝9m，
故选：A．
2．（2020广东）已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
（ ）A．8 B． C．16 D．4
【分析】三角形中位线的性质，周长概念进行解答
【解析】三角形的中位线等于第三边的一半．所以△DEF的周长为16÷2=8
故选：A
3．（2020广州市） 中，点 分别是 的边 ， 的中点，连接 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点 分别是 的边 ， 的中点，得到DE是 的中位线，根据中位线的
性质解答.
【解答】
如图，
∵点 分别是 的边 ， 的中点，
∴DE是 的中位线，
∴DE∥BC，
∴ ，
故选：B.
