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专题 13 二元一次方程组特殊解的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、整体法解二元一次方程组
类型二、换元法解二元一次方程组
类型三、消元法解二元一次方程组
类型四、构造二元一次方程组求解
类型五、二元一次方程组中的新定义问题
压轴专练
类型一、整体法解二元一次方程组
例1-1．如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ．那么关于未
知数 和 的二元一次方程组 的解满足（ ）
A． B． C． D．
例1-2．阅读材料：解方程组 时，可由 得 ，然后再把 代入 ，得
，求得 ，再把 代入 ，求得 ，从而求得原方程组的解为 ，这种方法被称为“整体代入法”.
请用上述方法解方程组：
变式1-1．已知关于x，y的方程组 的唯一解是 ，则关于 ， 的方程组
的解是 ．
变式1-2．阅读材料：
善于思考的小亮同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形为 ，即 ③，
把方程①代入③，得 ，解得 ；
把 代入方程①，得 ，所以方程组的解为 ．
请解决下列问题．
(1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组 ；(2)已知 ， 满足方程组 ，求 的值．
类型二、换元法解二元一次方程组
例2．阅读探索：
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ，原方程组可化为 解得 ，即 ，解得 ；
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，把方程①代入③得， ，则
；把 代入①得， ，所以方程组的解为： ；
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于 ， 的方程组： 的解；
(2)若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组
的解．(3)已知 、 、 ，满足 ，试求y的值．
变式2-1．用换元法解方程组 ．
变式2-2．若关于x，y的方程组 的解为 ，则方程组 的解为
变式2-3．【阅读材料】解方程组 时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，
运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 和 分别看作一个整体，设 ，
原方程组可变形为 ，解得 即 再解这个方程得 ．
这种解方程组的方法叫做整体换元法．
【知识应用】
（1）已知关于 的二元一次方 的解为 ，那么关于 的二元一次方程组中 的值分别为多少，请求出来．
【知识迁移】
（2）用材料中的方法解二元一次方程组
类型三、消元法解二元一次方程组
例3．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由 ，得 ，即 ．③
，得 ．④
，得 ，从而可得 ．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：变式3-1．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量
较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法．
【整体代入法】例：解方程组 时，由①，得 ③，然后再将③代入②，得
，解得 ．将 代入③，得 ， 该方程组的解 ．
根据上面方法，解决下面问题：(1)解方程组： ；
【轮换式解法】例：解方程组 时，
① ②，得 ， ③．
③ ，得 ④．
② ④，得 ，将 代入③，得 ． 该方程组的解是
根据上面方法，解决下面问题：(2)解方程组： ．
变式3-2．小明同学在解方程组 时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算
量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得： ，即 ．
再 得： ，
最后重新组成方程组 ，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方
程组的轮换对称解法．
(1)方程组 的解为___________；(2)利用轮换对称解法解方程组 ．
类型四、构造二元一次方程组求解
例4．已知 ， ， ， ， 中每一个数值只能取 ，0，1中的一个，且满足
， ，则 ， ， ， ， 中数值取0的个数是
．
变式4-1．设 ， ， ， ， 是从 ， ， 这三个数取值的一组数，若
， ，则 ， ， ， ，
中为0的个数为 个．
变式4-2．解方程组： ．类型五、二元一次方程组中新定义问题
例5．我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二
元一次方程组 叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于x，y的二元一次方程组 ，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______．
(2)若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格：
x 2 0
y 0 1
则这个方程的共轭二元一次方程是______．
(3)直接写出方程组的解：
的解为______； 的解为______； 的解为______．
(4)发现：若共轭二元一次方程组 的解是 则m，n之间的数量关系是______．
(5)应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．
变式5-1．规定：形如 与 的两个关于 ， 的方程互为“共轭二元一次方程”，其中
，由这两个方程组成的方程组 叫做“共轭方程组”，其中常数 ， 称为“共轭系数”．(1)由方程 和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ；
(2)若关于 ， 的二元一次方程组 是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭
系数；
(3)若关于 ， 的“共轭方程组” 有无数多个解，求共轭系数 ， 应满足的条件．
变式5-2．对于关于 的二元一次方程组 （其中 是常数），给出如下
定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
变式5-3．定义：关于x，y的二元一次方程 中的常数项c与未知数x系数a互换，
得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程 的“友好方程”为 ．
(1)求方程 与它的“友好方程”组成的方程组的解；(2)已知关于x，y的二元一次方程 的系数满足 ，求方程 与它的“友好方
程”组成的方程组的解；
(3)已知关于x，y的二元一次方程 是 的“友好方程”，求
的值．
1．已知方程组 ，则 的值为 （ ）
A．3 B． C． D．2
2．若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n二元一次方程组
的解为 ．
3．【阅读理解】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程组 时，如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
解：①＋②， ，
解得
即 ③
①－②，
所以原方程组的解为
即联立③和④，得
(1)由二元一次方程组 ，可得 ； ．
(2)解方程组
【拓展提升】
(3)对于实数x，y，定义新运算： ，其中a，b，c是常数，例如： ．
已知 ，则 ．
4．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题．
【类比观察】（1）求下列方程组的解
方程组 的解为：________；
方程组 的解为：________；
【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________；
【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ，
的方程组 的解．5．观察发现：
材料：解方程组 ．
将①整体代入②，得 ．解得 ．
把 代入①得 ，所以 ．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
(1)请直接写出方程组 的解为_______．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ．
6．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组： 的不同解法．同学们发现：
虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、
加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来
消元更简单：
①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．
解得x＝﹣1，从而y＝2．所以原方程组的解是 ．请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：
．
7．阅读下列材料：
小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，
如果把方程组中的 ， 看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：
解：令 ．
原方程组化为 ， 解得
把 代入 ，得 ，解得 ，所以原方程组的解为
(1)运用上述方法解方程组(2)直接写出方程组 的解为_______．
(3)在（2）的条件下 ， ，求 的值．
8．对于有理数 ， ，定义新运算： ， ，其中 ， 是常数．例如，
， ．
已知 ， ，则根据定义可以得到： ．
(1) ________， ________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；
(4)若关于 ， 的方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组
的解为________．9．阅读理解：
已知实数 ， 满足 ， ，求 和 的值．仔细观察两个方程未知数的系
数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由
可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ________， _______；
(2)对于实数 ， ，定义新运算： ，其中 ， ， 是常数，等式右边是实数运算．已知
， ，求 的值．
10．定义：数对 经过一种运算可以得到数对 ，将该运算记作： ，其中
（ 均为常数， ）．
例如，当 时， ．
(1)当 时， __________；
(2)若 ，求 和 的值；
(3)如果组成数对 的两个数 满足二元一次方程 时，总有 ，求 、 的值．
