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第 1 讲 功、功率 机车启动问题
目标要求 1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的
概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
基础回扣
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
技巧点拨
1．判断力做功与否以及做功正负的方法
判断依据 适用情况
根据力与位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜
90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜ 常用于质点做曲线运动时做功的判断
α≤180°，力做负功
2.计算功的方法(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
例1 如图1所示，完全相同的四个木块放于水平地面上，在大小相等的恒力F作用下沿
水平地面发生了相同的位移．关于力F做功，下列表述正确的是( )
图1
A．图甲中，因为木块与地面间没有摩擦力，所以力F做的功最少
B．图乙中，力F做的功等于摩擦力对木块做的功
C．图丙中，力F做的功等于木块重力所做的功
D．图丁中，力F做的功最少
答案 D
解析 由W＝Flcos α可知，F、l相同，α越大，力F做的功越少，D正确．
1．(做功情况的判断)(2020·广东惠州一中月考)图2甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速
上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯
均静止．下列关于做功的判断中正确的是( )
图2
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
答案 A
解析 题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹
角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
2.(恒力做功的计算)(2020·宁夏石嘴山市月考)如图3所示，质量为m的小车在与竖直方向成
α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离 l.在此过程中，小车受到的阻力大
小恒为F，则( )
f
图3
A．拉力对小车做功为Flcos α
B．支持力对小车做功为Flsin α
C．阻力对小车做功为－Fl
f
D．重力对小车做功为mgl
答案 C
解析 根据力做功的公式：W＝Flcos θ，其中θ为力与位移的夹角，所以拉力做功为：W＝
Flsin α，阻力做功为：W＝－Fl，故A错误，C正确．支持力和重力的方向与运动方向垂
f f
直，所以不做功，故B、D错误．
考点二 变力做功的分析和计算
方法 以例说法
应用动能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则
F
有：W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克
微元法
服摩擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3
＝F·2πR
f
图象法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图
0
线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功
的公式得W＝·Δx等效转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图象法求变力做功
例2 如图4甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移
大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则( )
图4
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
答案 B
解析 滑动摩擦力F＝μmg＝20 N，物体先加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小
f
为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减
速运动，选项 A、C错误；F－x图象中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，W＝
×100×4 J＝200 J，选项B正确，D错误．
等效转换法求变力做功
例3 如图5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑
轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B
点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2
图5
A．W>W
1 2B．W<W
1 2
C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
答案 A
解析 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；
因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑
块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知
识可知，Δl >Δl ，故W>W，A正确．
AB BC 1 2
3．(微元法求变力做功)如图6所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为
和R的两个半圆构成．现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉
力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
图6
A．0 B．FR C.πFR D．2πFR
答案 C
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内
F可以看成恒力，小球的路程为πR＋π·，则拉力做的功为πFR，故C正确．
4．(平均值法求变力做功)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深
度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次
相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功．由于阻力与深度成正比，
可用阻力的平均值求功，据题意可得
W＝d＝d①
1
W＝d′＝d′②
2
联立①②式解得d′＝(－1)d，故选B.考点三 功率的分析和计算
基础回扣
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
技巧点拨
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·v ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度．
F F
(3)P＝F·v，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
v v
例4 (多选)(2019·广东汕头中学检测)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时
间t，则下列说法中正确的是( )
A．t时间内重力对物体做功为mg2t2
B．t时间内重力的平均功率为mg2t
C．前末重力的瞬时功率与后末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前内重力做功的平均功率与后内重力做功的平均功率之比为1∶3
答案 ACD
解析 物体自由下落，t时间内物体下落H＝gt2，W＝mgH＝mg2t2，故A正确；P＝＝＝
mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前末与后末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有
P＝Fv＝mgv∝v，故前末与后末功率瞬时值之比为P∶P ＝1∶2，C正确；前与后下落的位
1 2
移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确．
5．(瞬时功率)如图7所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，
小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是( )
图7
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
答案 A
解析 小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，对小球受力分析如图，F＝mgtan
θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增大，A项正确．
6．(平均功率)(2018·天津卷·10)如图8，我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大
型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，飞机在水平跑道上的滑跑
可视作初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度
v＝80 m/s.已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的 0.1倍，重力加
速度g取10 m/s2.求飞机滑跑过程中
图8
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P.
答案 (1)2 m/s2 (2)8.4×106 W
解析 (1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，由：v2＝2ax
解得a＝2 m/s2
(2)设飞机滑跑过程中的平均速度为v′，则v′＝；
F－0.1mg＝ma在滑跑阶段，牵引力的平均功率P＝Fv′
解得P＝8.4×106 W．
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到P
过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
OA段 ＝P
额
＝Fv
1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
过程分析 F＝F 阻⇒a＝0 v
m
＝ v↑ F＝↓⇒a＝↓
AB段
运动性质 以v
m
做匀速直
⇒
线运动 加速度减
⇒
小的加速直线运动
F＝F 阻⇒a＝0 以v
m
＝做匀速直线
BC段
运动 ⇒
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝＝(式中F 为
m min
最小牵引力，其值等于阻力大小F )．
阻
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
<v ＝.
m
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F x＝ΔE.此式经常用
阻 k
于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
机车启动的图象问题
例5 汽车在平直公路上以速度v 匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹区时，司机减小了
0
油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图象中，哪个图象正确
表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )答案 C
解析 功率减小一半时，由于惯性汽车速度来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝Fv，
此时牵引力减小一半，小于阻力，汽车做减速运动，由公式 P＝Fv可知，功率一定时，速
度减小后，牵引力增大，则汽车所受合力减小，加速度减小，故汽车做加速度越来越小的减
速运动，当牵引力增大到等于阻力时，汽车做匀速运动，C正确．
机车启动的两种方式
例6 汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行
驶时，阻力是车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，则：
(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车的加速
度为2 m/s2时速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时
间？
答案 (1)12 m/s 4 m/s (2)16 s
解析 (1)汽车运动中所受阻力大小为F＝0.1mg①
f
当a＝0时速度最大，牵引力F等于F 的大小，
f
则最大速度v ＝＝②
max
联立①②解得v ＝12 m/s.
max
设汽车加速度为2 m/s2时牵引力为F，
1
由牛顿第二定律得F－F＝ma③
1 f
此时汽车速度v＝④
1
联立①③④并代入数据得v＝4 m/s.
1
(2)当汽车以加速度a′＝0.5 m/s2匀加速运动时，设牵引力为F，
2
由牛顿第二定律得F－F＝ma′⑤
2 f
汽车匀加速过程所能达到的最大速度v＝⑥
t
t＝⑦联立①⑤⑥⑦并代入数据解得t＝16 s．
课时精练
1．(2020·广东深圳中学月考)如图1所示，自动卸货车始终静止在水平地面上，车厢在液压
机的作用下，θ角逐渐增大且货物相对车厢静止的过程中，下列说法中正确的是( )
图1
A．货物受到的支持力对货物不做功
B．货物受到的支持力对货物做正功
C．货物受到的重力对货物不做功
D．货物受到的摩擦力对货物做负功
答案 B
解析 货物受到的支持力的方向与运动方向时刻相同，做正功，故A错误，B正确；摩擦力
的方向与其运动方向时刻垂直，不做功，故D错误；货物位置升高，重力做负功，C错误．
2．(2020·江苏卷·1)质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到
的阻力大小为1.8×103 N．此时，汽车发动机输出的实际功率是( )
A．90 W B．30 kW C．36 kW D．300 kW
答案 C
解析 汽车匀速行驶，牵引力 F等于阻力F，实际功率P＝Fv＝Fv＝1.8×103×20 W＝
f f
3.6×104 W＝36 kW，故选项C正确．
3．(2020·四川棠湖中学高三下学期第四次月考)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其
速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随
时间的变化规律分别如图2甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的
功分别为W、W、W，则以下关系正确的是( )
1 2 3
图2
A．W＝W＝W B．W<W<W
1 2 3 1 2 3C．W<W<W D．W＝W<W
1 3 2 1 2 3
答案 B
解析 在第1 s内，滑块的位移大小为x＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W＝Fx＝1×
1 1 1 1
0.5 J＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移大小为x ＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W ＝Fx ＝
2 2 2 2
3×0.5 J＝1.5 J；第3 s内，滑块的位移大小为x ＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W ＝Fx ＝
3 3 3 3
2×1 J＝2 J，所以W<W<W，故选B.
1 2 3
4.(多选)(2019·陕西西安市长安区模拟)如图3所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉
到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力F 的大小不变，
阻
重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图3
A．重力做功为mgl B．绳的拉力做功为零
C．F 做功为－mgl D．F 做功为－F πl
阻 阻 阻
答案 ABD
解析 小球下落过程中，重力做功为mgl，A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做
功为零，B正确；空气阻力F 大小不变，方向始终与速度方向相反，故 F 做功为－F
阻 阻 阻
·πl，D正确．
5．(多选)(2020·天津卷·8)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为
我国高铁自主创新的又一重大标志性成果．如图4所示，一列质量为m的动车，初速度为
v ，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度v ，设动车行驶过
0 m
程所受到的阻力F保持不变．动车在时间t内( )
图4
A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fv
m
D．牵引力做功W＝mv 2－mv2
m 0
答案 BC解析 由P＝F v知，P不变，v变大，则F 变小，由F －F＝ma知，a变小，故A错误，
牵 牵 牵
B正确；当F ＝F时，动车的速度最大，可得牵引力的功率 P＝F v ＝Fv ，故C正确；
牵 牵 m m
由动能定理可知W－W ＝mv 2－mv2，所以牵引力做功W＝mv 2－mv2＋W ，故D错误．
阻 m 0 m 0 阻
6．(2019·贵州安顺市适应性监测(三))在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50 kg的同学，
一分钟内连续跳了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间均为0.2 s，重力加速度g取10
m/s2，忽略空气阻力，则他在这一分钟内克服重力做的功约为( )
A．3 500 J B．14 000 J C．1 000 J D．2 500 J
答案 A
解析 G＝mg＝500 N，腾空时间为0.2 s表示每次上升过程用时0.1 s，上升的高度为h＝gt2
＝0.05 m，则起跳一次克服重力做的功W ＝Gh＝500 N×0.05 m＝25 J．一分钟内连续跳了
0
140下，则一分钟内克服重力做功W＝140W＝140×25 J＝3 500 J，故选A.
0
7.(多选)(2020·安徽“皖南八校”摸底)如图5所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B
上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
图5
A．A所受的合力对A做正功
B．B对A的弹力对A做正功
C．B对A的摩擦力对A做正功
D．A对B的作用力对B做正功
答案 AC
解析 A、B作为整体，由牛顿第二定律得(m ＋m )·gsin θ＝(m ＋m )a，解得a＝gsin θ，由
A B A B
牛顿第二定律知，A所受合力方向沿斜面向下，与速度方向相同，故 A所受合力对A做正功，
A正确；B对A的弹力竖直向上，与速度方向的夹角大于90°，故B对A的弹力对A做负功，
B错误；B对A的摩擦力方向水平向左，与速度方向的夹角小于 90°，故B对A的摩擦力对
A做正功，C正确；设B对A的摩擦力和支持力沿斜面方向的合力为 F，对A，由牛顿第二
定律得m gsin θ＋F＝m a，解得F＝0，由牛顿第三定律知，A对B的摩擦力和压力沿斜面
A A
方向的合力为零，故A对B的作用力对B不做功，D错误．
8.如图6所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，
木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前
2 s内重力的平均功率和2 s末的瞬时功率分别为( )
图6A．48 W 24 W B．24 W 48 W
C．24 W 12 W D．12 W 24 W
答案 B
解析 木块所受的合外力F ＝mgsin θ－μmgcos θ
合
＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝ W＝24 W.
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故选项B正确．
9．一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F 的水平拉力拉动物体，经过一段时间后
1
其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F ，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为 2v.
2
对于上述两个过程，用W 、W 分别表示拉力F 、F 所做的功，W 、W 分别表示前后两
F1 F2 1 2 f1 f2
次克服摩擦力所做的功，则( )
A．W >4W ，W >2W
F2 F1 f2 f1
B．W >4W ，W ＝2W
F2 F1 f2 f1
C．W <4W ，W ＝2W
F2 F1 f2 f1
D．W <4W ，W <2W
F2 F1 f2 f1
答案 C
解析 根据x＝t得，两过程的位移关系x ＝x ，根据a＝，得两过程的加速度关系为a ＝.由
1 2 1
于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即 F ＝F ＝F，根据牛顿
f1 f2 f
第二定律得，F －F ＝ma ，F －F ＝ma ，所以F ＝F ＋F，即F>.根据功的计算公式W＝
1 f1 1 2 f2 2 1 2 f 1
Fl，可知W ＝2W ，W <4W ，故选项C正确，A、B、D错误．
f2 f1 F2 F1
10．(多选)(2020·河北邢台市摸底)动车组列车在启动阶段的运动可视为初速度为零的匀加速
直线运动，当速度达到200 km/h时便保持此速度做匀速直线运动．若列车所受机械阻力恒
定，所受空气阻力与速度大小成正比．该运动过程中列车发动机的功率没有达到其额定值，
则列车的牵引力F和功率P随时间t变化的关系图象可能正确的是( )答案 AC
解析 列车从静止开始做匀加速直线运动阶段，列车所受的空气阻力与速度大小成正比，即
F ＝kv＝kat，由牛顿第二定律得F－F－kat＝ma，解得F＝ma＋F＋kat，牵引力F与时间
f空 f f
t为线性关系，发动机的输出功率P＝Fv＝Fat＝ka2t2＋(ma＋F)at，功率P与时间t为二次函
f
数关系；当速度达到v ＝200 km/h时，突然减小牵引力为F′，使牵引力大小等于机械阻力
0
和空气阻力之和，即F′＝F＋F ＝F＋kv ，列车开始做匀速直线运动，功率P＝(F＋
f f空 f 0 f
kv)v ，此时功率P突然减小，之后牵引力F和功率P均不随时间t变化，A、C正确，B、
0 0
D错误．
11.(多选)如图7所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数
为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面
体相对静止．则下列关于斜面对m的支持力和摩擦力的说法中正确的是( )
图7
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
答案 ACD
解析 支持力方向垂直斜面向上，与位移夹角小于90°，故支持力一定做正功，而摩擦力是
否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，此时物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度
a＝gtan θ.
若a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于 90°，则做正功；若a<gtan θ，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，A、C、D正确，B错
误．
12．质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过
程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以
a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t；
1
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多
长时间．
答案 (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
解析 (1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－F＝ma
f
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at
1
解得t＝7 s.
1
(2)当达到最大速度v 时，加速度为零，
m
则有P＝(mgsin 30°＋F)v
f m
解得v ＝8 m/s.
m
(3)汽车匀加速运动的位移x＝at2，在后一阶段对汽车由动能定理得
1 1
Pt－(mgsin 30°＋F)x＝mv 2－mv2
2 f 2 m
又有x＝x＋x
1 2
解得t≈15 s
2
故汽车运动的总时间为t＝t＋t＝22 s.
1 2
13．如图8甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向
右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图象如图乙
所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不
变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小．求：
图8
(1)汽车在AB路段上运动时所受的阻力F ；
f1(2)汽车刚好到达B点时的加速度a；
(3)BC路段的长度．
答案 (1)2 000 N (2)－1 m/s2 (3)68.75 m
解析 (1)汽车在AB路段时，有F＝F ，P＝Fv，F ＝，
1 f1 1 1 f1
联立解得：F ＝2 000 N.
f1
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有F＝F ，P＝Fv，F ＝，
2 f2 2 2 f2
联立解得：F ＝4 000 N.
f2
t＝5 s时汽车开始做减速运动，有F－F ＝ma，
1 f2
解得a＝－1 m/s2.
(3)由动能定理得：PΔt－F x＝mv2－mv2，
f2 2 1
解得x＝68.75 m.
14.(多选)(2019·江苏苏州市调研)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶
过程中牵引力F和车速倒数的关系图象如图9所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设
阻力恒定，则( )
图9
A．汽车所受阻力为6×103 N
B．汽车在车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2
C．汽车在车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W
答案 CD
解析 当牵引力等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小F＝2 000 N，故A错误；
f
车速为5 m/s时，汽车的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；
题图中倾斜图线的斜率表示汽车的额定功率，可知P＝Fv＝2 000×30 W＝6×104 W，汽车
f
的最大功率等于额定功率，等于6×104 W，故D正确；
当车速为15 m/s时，牵引力F＝＝ N＝4 000 N，则加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确．
