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专题6.1 功与功率 机车启动问题【讲】
【讲核心素养】
1.物理观念：功和功率
理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
2.科学思维：变力做功、机车启动模型
（1）能应用图像法、微元法、动能定理等计算变力做功问题培养分析、推理和综合能力。
（2）会分析、解决机车启动的两类问题
3.科学态度与责任：
会利用功能知识初步分析生产生活中的现象，体会物理学的应用价值。
【讲考点题型】
【知识点一】功的分析与计算
1．计算功的方法
（1）对于恒力做功利用W＝Flcos α；
（2）对于变力做功可利用动能定理（W＝ΔE ）；
k
（3）对于机车启动问题中的定功率启动问题，牵引力的功可以利用W＝Pt.
2．合力功计算方法
（1）先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
（2）先求各个力做的功W 、W 、W 、…，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
3．几种力做功比较
（1）重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．
（2）滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．
（3）摩擦力做功有以下特点：
①单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不
为零，且总为负值．
③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能 Q
＝Fx
f 相对．
【例1】（2022·北京丰台·高三期末）如图所示，小孩与冰车静止在冰面上，大人用 N的恒
定拉力，使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角 ，小孩与冰
车的总质量 kg，冰车与冰面间的动摩擦因数 ，重力加速度 m/s2， ，
。求：
（1）小孩与冰车所受支持力的大小 ；
（2）小孩与冰车加速度的大小a；（3） s内合力所做的功W。
【答案】 （1） N；（2） m/s2；（3） J
【解析】
（1）冰车和小孩受力如图所示，
竖直方向合力为零
解得
N
（2）水平方向根据牛顿第二定律
由滑动摩擦力公式
联立得
m/s2
（3）由牛顿第二定律有
由功的定义式得
由位移公式得
联立解得
J【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生掌握受力分析及做功分
析的一般方法及流程。
【变式训练1】（多选）（2022·河北·高考真题）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 和
用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量 ， 时刻将两物体由静止释放，物体
的加速度大小为 。 时刻轻绳突然断开，物体 能够达到的最高点恰与物体 释放位置处于同
一高度，取 时刻物体 所在水平面为零势能面，此时物体 的机械能为 。重力加速度大小
为 ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．物体 和 的质量之比为 B． 时刻物体 的机械能为
C． 时刻物体 重力的功率为 D． 时刻物体 的速度大小
【答案】 BCD
【解析】
A．开始释放时物体Q的加速度为 ，则
解得
选项A错误；
B．在T时刻，两物体的速度P上升的距离
细线断后P能上升的高度
可知开始时PQ距离为
若设开始时P所处的位置为零势能面，则开始时Q的机械能为
从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为
则此时物体Q的机械能
此后物块Q的机械能守恒，则在2T时刻物块Q的机械能仍为 ，选项B正确；
CD．在2T时刻，重物P的速度
方向向下；此时物体P重力的瞬时功率
选项CD正确。
故选BCD。
【技巧总结】1．功的正负的判断方法
（1）恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正
功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法3．合力做功的计算方法
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功。适用于F 为恒力的过程。
合 合 合 合
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W …，再应用W ＝W ＋W ＋W …求合外力做的功。
1 2 3 合 1 2 3
4 求解恒力做功的两个关键
（1）恒力做功大小只与F、l、α这三个量有关，与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速
度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．
（2）F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移.
【知识点二】功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
（1）利用P＝.
（2）利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算方法
（1）P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
（2）P＝Fv ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度．
F F
（3）P＝Fv，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
v v
【例2】（2021·北京·高考真题）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）
通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整
个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小 B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小 D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【答案】 B
【解析】
AB．在ab段，根据平衡条件可知，牵引力
所以在ab段汽车的输出功率
不变，在bc段牵引力
bc段的输出功率
故A错误B正确；CD．在cd段牵引力
汽车的输出
在cd段汽车的输出功率不变，且小于bc段，故CD错误。
故选B。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。。
【变式训练2】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖
井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小 随时间 的变化关系如图所示，其中图线①②分别
描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同：两次提升的高度相同，提升的质
量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，（ ）
A．矿车上升所用的时间之比为 B．两次不同的提升过程克服重力做功不同
C．电机输出的最大功率之比为 D．电机所做的功之比为
【答案】 C
【解析】
A．由图可得，变速阶段的加速度
设第②次所用时间为t，根据速度-时间图象的面积等于位移（此题中为提升的高度）可知
解得
所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为
选项A错误；
B．两次不同的提升过程的高度一致，则重力做功相同，B错误；C．由功率公式
P=Fv
且匀加速过程两种情况加速度一样大，则拉力一样大，故电机输出的最大功率之比等于最大速度
之比，为2∶1，选项C正确；
D．两个过程的初末速度一致，提升高度一致，提升质量相等。而两过程中电动机做的功全部转
化为动能和重力势能，因此两次电动机做功相同，选项D错误。
故选C
【必备知识】（1）在公式P＝Fv中，P、F、v是同一时刻的瞬时值且F与v是同向的，F可以是
变力也可以是恒力．
（2）求总功W时，可采用分段法分别求出各阶段力做的功，总功就等于这些功的代数和，然后
根据＝求平均功率．在本题中，0～5 s时间内合力为变力，对于变力做功问题，也可以根据动能
定理求解，设物块在0 s、5 s时的速度分别为v 、v ，则合力做的功W＝mv－mv＝×2×32 J－0 J＝9
0 5
J，＝＝1.8 W.
【知识点三】变力做功的分析和计算
分析方法及案例
方法 以例说法
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功
应用动能定理 为W ，则有W －mgl（1－cos θ）＝0，得
F F
W ＝mgl（1－cos θ）
F
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运
动一周克服摩擦力做功W＝F·Δx ＋F·Δx ＋
f f 1 f 2
微元法
F·Δx ＋…＝F （Δx ＋Δx ＋Δx ＋…）＝
f 3 f 1 2 3
F·2πR
f
恒力F把物块从位置A拉到位置B，绳子对
等效转换法
物块做功W＝F·（－）
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位
图象法 移为x ，图线与横轴所围面积表示拉力所做
0
的功，W＝x
0
方法1 用动能定理求变力做功
【要点诠释】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于
求变力做功.因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
【例3】 （2021·湖南·高考真题）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。
总质量为 的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 ，若动车组所受的阻力与其速率成正比（ ， 为常量），动车组能达到的最大速
度为 。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为 ，则动车组匀速行驶的速度为
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速度 ，则
这一过程中该动车组克服阻力做的功为
【答案】 C
【解析】
A．对动车由牛顿第二定律有
若动车组在匀加速启动，即加速度 恒定，但 随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大
而变大，故A错误；
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有
故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
C．若四节动力车厢输出的总功率为 ，则动车组匀速行驶时加速度为零，有
而以额定功率匀速时，有
联立解得
故C正确；
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速度 ，由动
能定理可知
可得动车组克服阻力做的功为故D错误；
故选C。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学推理。
方法2 利用微元法求变力做功
【要点诠释】将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可
以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在
中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
【例4】在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力
为 ，半径 为 ，转动一周为 ，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
【答案】 C
【解析】
AB．驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过
程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小
与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长
所以拉力所做的功
故AB错误；
C．根据功率的定义得
故C正确；
D．线速度为
故D错误。故选C。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学推理。
方法3 “转化法”求变力做功
【要点诠释】通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳
通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题。
【例5】（2022·全国·高三专题练习）人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量 的物
体，如图所示，开始时绳与水平方向成 角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动 而到达B
点时，绳与水平方向成 角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取 ）
【答案】 732J
【解析】
人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为 h，物体
上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
又
所以人对绳的拉力做的功
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学推理。
方法4 用F－x图象求变力做功
【要点诠释】在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，
且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线
所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。
【例6】（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模）如图所示，在光滑水平桌面内，固定有光滑
轨道 ，其中半圆轨道 与直轨道 相切于 点，物体受到与 平行的水平拉力 ，从静
止开始运动，拉力 的大小满足如图乙所示（以 为坐标原点，拉力 从 指向 为正方向）。
若 ， ，半圆轨道的半径 ，重力加速度取 。则下列说法中正确的
是（ ）A．拉力 从 到 做功为
B．物体从 到 过程中，所受的合外力为0
C．物体能够到达 点，且速度大小为
D．物体能够到达 点，且速度大小为
【答案】 D
【解析】
A． 图像与坐标轴所围面积表示功，则拉力 从 到 做功为
故A错误；
B．物体从 到 过程中，做圆周运动，合力不变0，故B错误；
CD．从A到B由动能定理有
解得
由于滑轨道 在水平面内，则物体从B到C做匀速圆运动，物体能够到达 点，且速度大小为
，故C错误，D正确。
故选D。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学推理。
【知识点四】机车启动问题
1．模型一 以恒定功率启动
（1）动态过程（2）这一过程的Pt图象和v t图象如图所示：
2．模型二 以恒定加速度启动
（1）动态过程
（2）这一过程的Pt图象和v t图象如图所示：
3．三个重要关系式
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束时功率最大，速度不是最大，即v＝＜v ＝.
m
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F x＝ΔE ，此式经常用
阻 k
于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度．
【例7】（2022·福建·莆田二中模拟预测）为抗击疫情，全国人民齐心合力、众志成城，一辆来自
厦门的大货车满载蔬菜紧急驰援泉州。货车质量为 的货车以 的恒定功率由静止开始运动，
经时间 速度达到最大速度 ，最终做匀速直线运动。求：（g取 ）。
（1）货车所受到的摩擦力；
（2）货车速度为 时的加速度；
（3）货车在加速运动过程中通过的位移。
【答案】 （1）5000N；（2） ；（3）
【解析】
（1）因为当时有最大速度，所以
（2）由题意可得，此时牵引力为
则由牛顿第二定律得
（3）由动能定理可得
解得
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练3】（2022·湖北省罗田县第一中学模拟预测）如图甲所示，质量为m的小火箭由静止
开始加速上升，加速度a与速度倒数 的关系图像如图乙所示，火箭的速度为v 时对应的加速度
1
为a ，不计空气阻力和燃料燃烧时的质量损失，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
1
A．火箭以恒定的功率启动
B．火箭的功率为
C． 关系图像的斜率为
D． 关系图像横轴的截距为
【答案】 C【解析】
根据题意，设火箭的功率为 ，牵引力为 ，由公式 可得
ABC．根据题意，由牛顿第二定律有
解得
由图乙可知， 关系图像的斜率为
则有
可得
即火箭以恒定的功率启动，故AB正确，不符合题意；C错误，符合题意；
D．由上述分析可知， 的关系式为
当 时，解得
即 关系图像横轴的截距为 ，故D正确，不符合题意。
故选C。
【技巧方法】机车启动问题的三点注意
（1）在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Fv 只体现
f m
了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
（2）恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程
发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算（因为F为变力）。
（3）以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线
运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。
