文档内容
考情
分析
生活实 体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能
践类 量问题， 汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
试题
变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连接的
情境 学习探
系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、板块模型
究类
的能量问题
第 1 课时 功、功率 机车启动问题
目标要求 1.理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握
功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变
化并能进行相关计算。
考点一 功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。(2)物体在力的方向上发生位移。
2．公式：W＝Flcos α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为力的作用点的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负
(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
4．计算功的方法
(1)恒力做的功
①直接用W＝Flcos α计算。
②合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功。
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W 、…，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求合外力做的
1 2 3 合 1 2 3
功。
方法三：利用动能定理W ＝E －E 。
合 k2 k1
(2)求变力做功的常用方法
①微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒
力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功
若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可
以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F、F 分别为物体初、末态所受的力，然后用公式
1 2
W＝l求此力所做的功。
③用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位
于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功
若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。
⑤应用动能定理求变力做功。
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。( × )
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( √ )
3．力F、F 做的功分别为10 J和－15 J，则力F 比F 做功多。( × )
1 2 1 2
4．功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。( × )例1 (2024·上海市模拟)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹
角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则 ( )
A．合外力对磁铁做正功
B．AB对磁铁的作用力不做功
C．AB对磁铁的弹力不做功
D．AB对磁铁的摩擦力不做功
答案 B
解析 由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故 A错误；磁
铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小
等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，
故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故
C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故 D
错误。
例2 如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生
相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
答案 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
解析 物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图
所示
由平衡条件得
Fcos θ－F sin θ＝0，
f NFsin θ＋F cos θ－mg＝0
f N
代入数据得F＝10 N，F ＝10 N
f N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
W ＝F xcos θ＝300 J
N N
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
W＝Fxcos (90°－θ)＝100 J
f f
(3)物体重力做的功W ＝－mgx＝－400 J
G
(4)合外力对物体做的功
方法一：W ＝W ＋W＋W ＝0
合 N f G
方法二：F ＝0，W ＝F xcos α＝0。
合 合 合
例3 水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m
＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动
到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝
0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．拉力F对小球做的功为16π J
B．拉力F对小球做的功为8π J
C．小球克服摩擦力做的功为16π J
D．小球克服摩擦力做的功为4π J
答案 A
解析 将圆弧分成很多小段l 、l…l ，拉力F在每小段上做的功为W 、W…W ，因拉力F
1 2 n 1 2 n
大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，
所以W＝Flcos 37°，W＝Flcos 37°，…
1 1 2 2
W＝Flcos 37°
n n
故W ＝W ＋W ＋…＋W ＝Fcos 37°(l ＋l ＋…＋l)＝Fcos 37°·＝10×0.8××6 J＝16π J，故
F 1 2 n 1 2 n
A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W ＝μmg·＝8π J，故C、D错误。
克f
考点二 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。( × )
2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。( √ )
3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。( × )
例4 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，斜
面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为 μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10
m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A．48 W 24 W B．24 W 48 W
C．24 W 12 W D．12 W 24 W
答案 B
解析 木块所受的合外力
F ＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
合
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W
故选项B正确。
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，其中F为恒力，α不变。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为
变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
(2)对公式P＝Fvcos α的理解：可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos
α是速度v在力F方向上的分速度。
例5 (2023·山东卷·4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的
场景。引水过程简化如下：两个半径均为 R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上
均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为 m
的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入
稻田的水做功的功率为( )
A. B.
C. D．nmgωRH
答案 B
解析 由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质
量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的
总质量为m ＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝
总
1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝，t＝，联立解得P＝，故选B。
考点三 机车启动问题
两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像和v－t图像a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P＝
过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
P
额
＝Fv
1
OA段
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
AB段 过程分析 F＝F 阻⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质 以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
F＝F 阻⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速直线
BC段
运动
例6 气垫登陆艇主要用于投送登陆部队，为滩头部队提供火力支援，另外也可以执行布
雷任务，拥有强悍的运力。如图所示，某重型气垫船，自重达5.0×105kg，最高时速为108
km/h，装有额定输出功率为9 000 kW的燃气轮机。假设该重型气垫船在海面直线航行过程
所受的阻力F 不变，下列说法正确的是( )
f
A．该重型气垫船在海面直线航行过程加速度一定保持不变
B．该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力F 为3.0×105 N
f
C．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的牵引力为6.0×105 N
D．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为9 000 kW
答案 B
解析 在以额定功率运动过程中，气垫船的牵引力逐渐减小，当时速达到最大时，牵引力等
于阻力不变，A错误；由P ＝Fv ，可得F＝3.0×105 N，当气垫船以不同的速度做匀速
额 f m f
航行时，牵引力等于阻力，B正确，C错误；根据P＝，解得P＝4 500 kW，D错误。
例7 (2023·辽宁锦州市模拟)随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，
某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝2 000 kg，当汽车在水平
路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的 0.1倍。若汽车从静止开始在水平路面上匀加速
启动，t ＝5 s时，速度v ＝10 m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t ＝65 s
1 1 2
时速度达到最大值v ＝30 m/s，汽车运动的v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，求：
m(1)汽车的额定功率P；
(2)汽车在0～t 期间牵引力的大小F及汽车在0～t 期间牵引力做的功W；
1 1
(3)汽车在t～t 期间的位移大小x。
1 2 2
答案 (1)60 kW (2)6 000 N 1.5×105 J
(3)1 400 m
解析 (1)汽车受到的阻力为F＝0.1mg＝2 000 N
f
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则汽车的额定功率为P＝F v ＝Fv ＝60 000 W
牵 m f m
＝60 kW
(2)从0～5 s时间内，汽车做匀加速直线运动，加速度大小为a＝＝ m/s2＝2 m/s2
汽车匀加速直线运动的位移为x＝at2＝25 m
1 1
根据牛顿第二定律可得F－F＝ma，可得F＝6 000 N
f
在0～t 期间牵引力做的功为W＝Fx＝1.5×105 J
1 1
(3)在t～t 期间，由动能定理得
1 2
P(t－t)－Fx＝mv 2－mv2
2 1 f 2 m 1
解得x＝1 400 m。
2
机车启动问题的三个重要关系式
1．无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝。
m
2．机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
