文档内容
2025 届中考模拟试卷
数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据 计算求解即可．
【详解】解： ，
故选：D．
3. 如图，这是初中物理课上用到的电压表立体示意图，则其主视图为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据从正面看到的平面图形可
得到答案．
【详解】解：电压表立体的主视图为：
；
故选：D
4. 量子产业正在开启未来产业新赛道．前瞻产业研究院报告显示，2023年全球量子信息投资规模达到386
亿美元，其中中国投资总额达150亿美元．数据150亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：150亿 ，
故选A．
5. 不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
.
A B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式 的解集，能根据不等式的性质求出不等
式的解集是解此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
，
在数轴上表示为：
故选：C．
6. 如图，两个直角三角板的直角顶点 A 重合，斜边 与 平行，其中 ，
， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长 交 于F，由平行线的性质得到
，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 交 于F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
故选：A．
7. 为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校 6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽
取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级
（ ），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．
请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（ ）
A. 2160 B. 2640 C. 3000 D. 3360
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，用6000乘以样本中竞赛成绩低于80分的人
数占比即可得到答案．
【详解】解： 人，
∴估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是2640，
故选：B．
8. 如图，在 中， 与 相交于点Q，点Q是 的重心，D是 的中点， 与 相交
于点P．若 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．连接 ，根据重心的定义可
得 为 的中位线，从而得到 ，进而得到 ，再由D是 的中点，可
得 为 的中位线，从而得到 ，进而得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点Q是 的重心，
∴ 为 的中线，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∵D是 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
故选：C
9. 一次函数 与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到 ， ，则 ，则可得到二次函数 的图象
开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数 的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，
∴只有D选项中的函数图象符合题意，
故选：D．
10. 如图，在 中， ，D 为 上一点，连接 ，过点 A 作
，垂足为E，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质三角形三边关系，取 的中点O，连接 ，根据直角三角形的性质可得 ，利用三角形三边关系得当 三点在同一直线上时，
满足 最短，利用勾股定理求出 即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ，
∵ ，O为 中点， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴当 三点在同一直线上时，满足 最短，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．12. 函数 中自变量 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x+1≥0且x+1≠0，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数
表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13. 如图，点C，D在以 为直径的半圆上，圆心为O，且 ，弦 与 相交于点E，若E
是 的中点， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质．先利用圆周角定理求得
，再利用圆周角定理求得 ，即得到 和 都是
等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 和 都是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，反比例函数 的图象经过点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，反比例函数
的图象分别与 ， 交于点 ， ， 的面积为 ．
（1）k 的值为________．
1
（2）若 与反比例函数 的图象有且只有一个交点，则 ________．
【答案】 ①. 4 ②. 3
【解析】
【分析】本题考查反比例函数 （ ）中 的几何意义，反比例函数与直线的位置关系（联立方
程利用判别式 判断交点个数）以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于根据三角形面积公式
结合反比例函数 的几何意义建立联系求解 ．（1）已知 的面积，需要利用反比例函数 中 的几何意义来求解 ．
（2）先根据 与反比例函数 的图象有且只有一个交点得出 与 的关系，再通过设点坐标求出
与 的长度关系．
【详解】解：（1）设 点坐标为 ，
∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴ ， ．
∴ ，即 ，
∴ ．
又∵点 在反比例函数 上，
∴ ，
由图象可知 在第一象限， ， ，
∴ ，
故答案为：4；
（2）∵ 与反比例函数 的图象有且只有一个交点，而 所在直线方程为 （设
， ），
联立 ，消去 得 ，整理为 ．
此方程有且只有一个解，
∴ ．
由（1）知 ．
又∵ 点在 上且横坐标为 ，
∴ 点纵坐标 ； 点纵坐标 ．
∴ ， ．
∵ ，且由 ．
∴ ， ，
故 ，
故答案为：3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先计算零指数幂，负整数幂，算术
平方根，再计算加减即可．【详解】解：原式
．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 （顶点均在网格线的交点
上）以及过格点的直线l．
（1）画出 关于直线l对称的 ．
（2）画出 绕A点顺时针旋转 后得到的 ．
（3）线段 旋转到 扫过的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据轴对称的性质确定点 的位置，然后连线即可；
（2）先根据旋转的性质确定点 的位置，然后连线即可；
（3）先利用勾股定理求出 的长，然后根据扇形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图， 解为所求，【小问2详解】
如图， 即为所求；
【小问3详解】
由旋转的性质得， ，
∵ ，
∴线段 旋转到 扫过的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查作图－旋转变换，轴对称变换，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转
变换的性质，轴对称变换的性质，正确作出图形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划
购进A，B两种型号的新能源汽车共3辆，据了解，2辆A型汽车和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆
B型汽车和1辆A型汽车的进价共计50万元，分别求A型汽车和B型汽车的单价．
【答案】每辆A型汽车的价格为20万元，每辆B型汽车的价格为15万元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设每辆 A型汽车
的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案．
【详解】解：设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元．
由题意得 ，解得 ，
答：每辆A型汽车的价格为20万元，每辆B型汽车的价格为15万元．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请写出第6个等式： ．
（2）请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。
（1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【小问1详解】
解：第1个等式： ．第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
……
第6个等式： ．
【小问2详解】
解：猜想第n个等式为 ，证明如下：
等式左边
，
∴此时等式左右两边相等，即等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 灯塔工厂、无人化工厂和智能工厂等新型工厂大量涌现，中国正在迅速拥抱智能化浪潮．如图，这是
某 智 能 工 厂 的 机 械 臂 处 于 某 个 工 作 状 态 的 示 意 图 ．已 知 机 械 臂 米 ， 米
，支架 垂直于水平地面，求机械手点A到支架 所在直线的距离．（结果精确到0.1米， ≈1.73）
【答案】3.7米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点B作 ，交 的延长线于点 E，过点A作 ，交 的延长线于点 F，先求出
， ，然后分别解 ， 求出 即可．
【详解】解：如图，过点B作 ，交 的延长线于点E，过点A作 ，交 的延长线
于点F，
，
，
∴
，
，在 中， ，
∵ 米，
米，
在 中， ， 米，
米，
∴点A到直线 的距离 (米)．
20. 如图， 是 的直径，点E在弦 上，且 平分 ，过点B作 ，交 的延
长线于点D，延长 交 于点F．
（1）求证： ．
（2）若 的半径为2， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、平行线等分线段定
理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）如图：作 于点M， 于点N，由垂径定理可得 ，再根据
角平分线的性质定理可得 ，易证 可得 ，进而证明结论；（2）由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得 、 ，再根据平行线的性质以及
平行线等分线段定理可得 ，易得 、 ，最后运用勾股定
理求解即可．
【小问1详解】
证明∶如图：作 于点M， 于点N，则
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴在 中， ．
六、（本题满分12分）
21. 为增强学生的安全意识，某校开展了安全知识讲座．为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了
50名学生进行了安全知识测试，根据测试成绩（成绩为整数，满分为10分）绘制统计图如下．
（1）求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数．
（2）求七年级被抽取的50人的平均成绩．
（3）现决定从七年级选一人A，从八年级选两人B，C，去市里参加安全知识演讲比赛，A，B，C三人依
次上场，则B和C相邻上场的概率是多少？
【答案】（1）6人 （2）8分
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求加权平均数，树状图法或列表法求解概率，扇形统计图等等，
正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用八年级抽取的人数乘以成绩为10分的人数占比即可得到答案；
（2）先求出七年级抽取的50人的总得分，再除以50即可得到答案；
（3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到 B和C相邻上场的结果数，最后依据概率计算公式
求解即可．【小问1详解】
解： 人，
∴抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数为6人；
【小问2详解】
解： 分，
∴七年级被抽取的50人的平均成绩为8分；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中B与C相邻的结果有4种，
∴B和C相邻上场的概率是 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图， 的对角线 与 相交于点O，点E在 上，且点E又同时在边 ， 的垂
直平分线上，连接 ， ，旋转 得到 ，使得点F落在 的延长线上．
（1）求证： 是菱形．
（2）如图1，当 时，求证： ．
（3）如图2，当 时，求 的值．【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出 ．根据平行四边形的性质得出 ，即
可说明 垂直平分 ，得出 ，证出 是菱形．
（2）如图 1，延长 交 于点 M．根据 ， ，得出 ．根据
是菱形，得出 ，在 中，得出 ，得出
．结合 ，得出 ，根据三角形外角的性质求出
．根 据 旋 转 得 出 ， 证 出 为 等 边 三 角 形 ， ， 求 出
．根据菱形性质知 ，即 ，证出 ．
（ 3 ） 如 图 2 ， 延 长 交 于 点 M ， 设 ， 则 ． 得 出
， ． 根 据 ， 得 出
， ．证 明 ， 得 出 ．设
， 则 ， 即 ， 设 ， 则
，求出 ， ，即可求得 ．
【小问1详解】证明：∵点E在边 的垂直平分线上，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 是菱形．
【小问2详解】
证明：如图1，延长 交 于点M．
∵ ，点E在边 的垂直平分线上，
∴ ．
∵ 是菱形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
根据旋转可得 ，
∴ 为等边三角形， ，∴ ．
∵ 是菱形，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：如图2，延长 交 于点M，
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，整理得 ．
设 ，
则 ，
解得： ， ，
∴ ．
【点睛】该题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，菱形的性质
的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识
点，涉及知识点较多，掌握以上知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 对于二次函数 ，当自变量 时，函数y的最大值为 ．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C
之间的二次函数图象上的两个动点， 轴交直线 于点M， 轴交直线 于点N，
轴于点E， 轴于点D， ，求当P，Q两点不重合时，线段 的长．（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可得对称轴为直线 ，则可推出 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出 ， ；进而得到直线 解析式为 ；设
，则 ，则 ，
可求出 ， ，
，根据 ，可推出 ，据此可得答案；
（3）求出 ，则 ，据此根据二次函数的性质
求解即可．
【小问1详解】
解：∵当自变量 时，函数y的最大值为 ，
∴对称轴 直线 ，
为
∴ ，
∴ ，
把 代入到 中得 ，
解得 ，∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∴ ；
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ；
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵P，Q两点不重合，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ．
