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2025 年数学二模
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各数中，与 互为倒数 的是（ ）
A. 2 B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 《博鳌亚洲论坛可持续发展的亚洲与世界2024年度报告》指出：2022年全球能源发电相关碳排放创历
史新高，达到132亿吨，同比增长1.3%．亚洲能源需求和碳排放居全球首位．数据132亿用科学记数法表
示为（ ）
A. B. C. D.
4. 将一个三棱柱展开，其展开图是（ ）
A B. C. D.
.
5. 若 则代数式 的值为（ ）
A. 2024 B. C. 2025 D.
6. 如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
7. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 O， 于点 C， ， ，
则 的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后
记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数 的图象大
致为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一动点，以
点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上任意一点，则长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集是___________．
12. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若 ，则 的度数为_______．
13. 如图，已知 是 的直径， 是弦， 垂足为点 ，点 是弧 的中点，连接
若 ，则 的度数是_______．14. 如图，A，B 是反比例函数 图象上的两点，过点A作 轴，垂足为C， 交 于点
D．若D为 的中点， 的面积为1．
（1） 的面积是_______．
（2）k的值为_______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独
完成此项工程 的天数．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
的
17. 如图，在 10×10 网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． 的三个顶点坐标
分别为 ， ， ．（1）将 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，请在图中画出平移后的 ．
（2）作出 关于原点O中心对称的图形 ．
（3）若 内存在一个格点 P，使得 ，请直接写出点P的坐标．
18. 观察下列等式．
……
（1）请写出第 5 个等式：
（2）猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一，其中记载为了掌握“农时”，古
人开始观象授时，其中一种办法叫“圭表测影（如图1）”，即“表”垂直于地而，“圭”横放于地面，
通过“表影”长短判断季节．如图2，为了测量某古塔的高度，小明将一根 长的竹竿（ ）立
在M处，当塔顶点 A，竹竿顶点 N以及地面点C在同一条直线上时，测得 ，然后小明将竹
竿向前移动 到点 ， ，当点 A， ， 共线时，测得 求古塔
的高度．（结果精确到 ，参考数据：
）20. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过点D作 的切线
交 于点E．
（1）求证： ．
（2）已知 ，过点O作 于点F，若P为 上一动点，且 ，求 的长．
六、（本题满分12分）
21. 为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的掌握情况，在七年级进行了一次国学知识测试并按成绩x（x为整数）分评定为A，B，C，D 四个等级： ． ；B． ；C．
；D． ．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分
信息缺失）．
七年级国学知识测试成绩统计表
等 频 数 （ 人 频
级 数） 率
A 30
B 60
C m
D n
请根据所给信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量为 ，扇形统计图中A 等级所在扇形的圆心角度数为 °．
（2）本次抽查的成绩的中位数落在 等级中．（填A，B，C，D）
（3）该校决定对D等级的学生再次进行国学知识普及教育，已知m是n的5倍，那么该校七年级的450
名学生中，需再次接受国学知识普及教育的学生约有多少人？
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知 ， ， 三点 的坐标分别为 ， ， ，抛物线 经过
， 两点．（1）求该抛物线的解析式．
（2）过点 作线段 的平行线，交抛物线于点 ，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理
由．
（3） 为线段 上一动点，过点 作 轴的平行线，交该抛物线于点 ，当线段 最长时，求点
的坐标．
八、（本题满分14分）
23. 在 中， 是 边上一点， 与 交于 点．
（1）如图1，若 ， 于点 F．
①求证：
②求 的值．
（2）如图2，若 ， ，已知． 求 的长．
