文档内容
太和县 2025 年初中学业水平考试质量监测试卷（二）
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项A，B，
C，D中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数为（ ）
A. B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解： 的相反数为 ，
故选：C．
2. 中国空间站位于距离地面 的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站的
表面温度与背阳面温度相差极大．数据“400km”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数，据此解答即可．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，色泽古朴典雅．如图，这是一
个紫砂壶，则它的主视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形如下： ，
∴该紫砂壶的主视图是A选项中的图形，
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和实数的运算，根据相关计算法则求出对应
选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】A
【解析】
【详解】解不等式x+1≥2可得x≥1，用数轴表示为： .
故选A.
点睛：把不等式的解集在数轴上表示的方法是：＞向右画，＜向左画，含等号的画实心圆点，不含等号的
画空心圆圈．
6. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线
两侧，入射角 等于反射角 ，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角 的度数为50°，反射光
线 与镜面 平行，则两镜面的夹角 的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 30° D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线的性质，由光的反射规律可求 ，再由 ，可
得 ．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选A．
7. 已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆心角度数为 ，半径为 的扇形面积为 ，据此计算求解
即可．
【详解】解： ，
∴该扇形面积为 ，
故选：A．
8. 已知反比例函数 的图象与直线 交于点 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例的对称性及与一次函数的交点问题，把点 代入 ，求得 ，
得 ，再把 代入 ，求出 的值即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象与直线 交于点 ，
∴把点 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得，
解得， ，
㽁选：D．
9. 如图， 和 分别是 的中线和高线， ， ， ，则 的长为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形高线和中线 的定义，先利用勾股定理求出 的长，则可
求出 的长，再利用三角形中线的定义即可求出答案．【详解】解：∵ 是 的高线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
故选：C．
10. 如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿着 的路径以
个单位长度 的速度运动到点 ．同时，点 从点 出发，沿着 的路径以2个单位长度 的
速度运动到点 ．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接 ， ，设它们运动的时间为
（单位： ）， 的面积为 ，则下列 关于 的图象正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，勾股定理，解直角三角形，先利用勾股定理求出 ，则可求出运动时间为 ，分 和 两种情况，分别用含 的式子表示出 的面积，
再结合函数图象即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴运动时间为 ，
当 时，点P在 上运动，点Q在 上运动，
∴此时 ，
∵ ，
∴ ；
当 时，如图所示，过点Q作 于E，
由题意得， ，
∴ ；
在 ， ，
∴在 ， ，
∴ ；∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在函数 中，自变量 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x＋2≠0，
解得x≠−2．
故答案为：x≠−2．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可
取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，
被开方数非负．
12. 已知 为整数，且满足 ，则整数 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到 ，据此可得答
案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 为整数，且满足 ，∴ ，
故答案为： ．
13. 小明手中有4张扑克牌，分别为1张红桃、1张梅花和2张黑桃，这些牌除正面不同外，其余均相同．
小明将这4张牌的背面朝上搅匀，从中随机抽取2张牌，则抽取的2张牌都是黑桃的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取的
2张牌都是黑桃的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B表示红桃和梅花，C、D表示两张黑桃，
列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，抽取的2张牌都是黑桃的结果数有2种，
∴抽取的2张牌都是黑桃的概率为 ，
故答案为： ．
14. 如图，现有一张矩形纸片 ，点 ， 分别在边 ， 上，将矩形纸片沿着直线 折叠，
使点 的对应点 落在 上，点 的对应点为点 ，连接 ， ．（1）当点 与点 重合时，若 ，则 ______．（用含 的代数式表示）
（2）若 ， ，过点 作 于点 ，当四边形 为正方形时， 的长为
______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质
和菱形的判定是解题的关键．
（1）由折叠的性质得 ， 垂直平分 ，则 ， ，再证 ，
则 ，然后由菱形的性质即可得出结论；
（2）连接 、 ，证 ，得 ，则 ，设 ，则
，再在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质得： ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）连接 、 ，如图所示：
由折叠的性质得： 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ； ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方
程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，移项得： ，
合并同类项得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ，
（1）以点 为旋转中心，将 旋转 后得到 ，请在图中画出 ．
（2）求 的面积．
（3）在 轴上求一点 ，使得 最小，在图中作出点 ，点 的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和旋转，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接 并延长到 使得 ，同理作出 ，再顺次连接 即可；
（2）根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）作点A关于y轴的对称点E，连接 交y轴于P，则点P即为所求；可证明 垂直平分 ，得到
，再证明 ，得到 ，则 ，据此根据两点中点坐标计算公式求出
点P的坐标即可．
【
小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得，
【小问3详解】
解：如图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接 交y轴于P，则点P即为所求；∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P为 的中点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 甲、乙两车从A，B两地同时出发，沿着同一条路线相向而行，下表是甲、乙两车行驶时的一些信息．
信息一 信息二 信息三
相遇时，乙车走的路程比甲车走的 甲车的平均速度是乙车的平均 甲、乙两车出
路程多 速度的 倍 发后 相遇
求甲、乙两车的平均速度．【答案】甲车的平均速度为 ，乙车的平均速度为
【解析】
【分析】本题主要 考查了一元一次方程的实际应用，设乙车的平均速度为 ，则甲车的平均速度为
，再根据2小时相遇时，乙车比甲车多走 建立方程求解即可．
【详解】解：设乙车的平均速度为 ，则甲车的平均速度为 ，
由题意得， ，
解得 ，
∴ ，
答：甲车的平均速度为 ，乙车的平均速度为 ．
18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（ 为正整数）．
8的倍
任意两个连续奇数的平方差
数
表示结果
… …
一般结论
按上表规律，完成下列问题：
（i） ______ ______ ______．（ii） ______．
（2）请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立．
【答案】（1）（i）72；8；9；（ii）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）（i）仿照题意求解即可；（ii）观察可知两个连续奇数的平方差等于8乘以这两个奇数和的四分之一，
据此规律求解即可；
（2）利用平方差公式求出 去括号后的结果即可证明结论．
【小问1详解】
解：（i）由题意得， ；
（ii） ，
，
，
，
……，
以此类推可知， ；
【小问2详解】
证明：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部
位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分
布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图 2 是某种型号飞机的机翼形状，图中，
， ， ，请你根据图中的数据计算 的长度．（参考数据：
， ，结果保留小数点后一位）
【答案】 的长度约为1.3米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识：将
实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出
， ，得出 的长，即可得出答案．
【详解】解： ， ， ，
， ，
过点 作 于 ，如图所示：则四边形 是矩形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答： 的长度约为1.3米．
20. 如图， 为 的外接圆， 为 的直径， 为弦， 为弧 的中点，过点 作
，交 于点 ，垂足为 ，弦 分别与 ， 交于点 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，熟知垂径定理和圆周角定理是解题的关键．
（1）由垂径定理可得 ，则可证明 ，据此可证明结论；
（2）连接 ，由垂径定理得到 ，由勾股定理得 ，
则 ；设 ，则 ，由勾股定理得 ，
解得 ，则 ；证明 ，则 ，解直角三角形得到
；再证明 ，则 ．
【小问1详解】
证明：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∵ 为弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ，在 中，由勾股定理得 ；
∴ ；
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 为弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
为增强学生的安全意识，某校针对七、八年级学生进行了一次安全知识竞赛．竞赛结束，学校对七、八年
级的安全知识竞赛成绩进行统计，并对学生今后的安全意识培养提出了意见和建议．
【数据收集与整理】的
从七年级和八年级中各抽取10名学生 成绩(用 表示)(单位：分)进行整理，将结果制成下表．
等级 A B C D
成绩 /分
整理数据样本，将结果绘制如图所示的扇形统计图和频数分布直方图．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）扇形图中， 的值为______．
（2）已知 ， ， ， 四个等级成绩的平均数分别为82.5分、87.5分、92.5分、97.5分，计算八年级
学生成绩的平均数．
（3）若该校七、八年级各有1500名学生，请估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记
为优秀)的总人数．
【答案】（1）20 （2）92.5
（3）2100
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和频数分布直方图，加权平均数，用样本估计总体等知识，掌握相关结论和
方法是解题的关键．
（1）用1减去其他等级所占百分比求出七年级B等级所占百分比即可的解；
（2）运用加权平均数公式求解即可；
（3）用1500乘以各年级优秀所占比，再求和即可．
【小问1详解】
解：七年级B等级所占百分比是： ，
∴ 的值为20，
故答案为：20；
【小问2详解】
解：由图可知八年级A、B、C、D等级的人数分别为：2、1、2、5，∴八年级学生成绩的平均数为： ；
【小问3详解】
解： (人)，
答：估计七、八年级学生成绩为优秀(竞赛成绩不低于90分的记为优秀)的总人数为2100人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在 中， 是边 上的一点， 是边 上的一点，连接 ， ， ， ．
（1）如图1，若 ， 与 交于点 ， ， 平分 ．
①求证： ．
②若 是 的中点，求证： ．
（2）如图2，若四边形 是菱形， 平分 ， ，交 于点 ， ，
，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）①先由等边对等角得到 ，再证明 ，进而可证明 ，据此证明 即可证明 ；②延长 交于H，可证明
，得到 ，再求出 ，则可证明
；
（2）先导角证明 ，得到 ，则 ；再证明
，得到 ，则可证明 ，得到 ，则
；过点A作 于M，则 ， ；
过点E作 于N，则四边形 是矩形，可得 ，
，求出 ，则 ．
【小问1详解】
证明：①∵ ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴∴ ；
②如图所示，延长 交于H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，过点A作 于M，则 ，
∴ ；
如图所示，过点E作 于N，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 【问题背景】
如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边 ， 分别在 轴和 轴上，若反比例函数
（ ）的图象分别交 ， 于点 ， ．
【构建联系】
（1）求证： ．
（2） 是边 上靠近点 的三等分点，将 沿直线 折叠后得到 ，若反比例函数
（ ）的图象经过点 ，且 ，求 的值．【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线
是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答；
（2）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，证明 ，由相似三角形的性质列方程，
即可解答；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，求得 的长，即可解答．
【详解】解：（1）证明：设点 ， ，
点 ， 都在正方形 上，
，且 ，
，即 ．
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
四边形 是正方形， ，
， ，
，根据折叠的性质可得 ， ， ，
，
轴，
，
，
，
， ．
，
，
解得 ，
点 ．
把点 代入 ，解得 ；
（3）如图2，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，，
则四边形 为矩形，
由（2），可知 ， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
．
