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专题 04 圆（期中复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
①利用垂径定理及其推论求弦长，半
圆的基本概念与垂 径及其弦心距； 常考小题与综合题
径定理
②证明线段相等、垂直关系
①能直接证明角、弧、弦的相等关
圆心角、弧、弦的 系；
常考小题与综合题
关系 ②能与其他定理（如圆周角定理）结
合进行证明或计算
①能利用定理求角度；
圆周角定理 ②证明角相等； 常考小题与综合题（求角度最常考）
③利用内接四边形的性质求角度
切线的性质与判定 ①证明切线；
常考小题与综合题（必考点）
（绝对核心） ②利用切线性质求长度或角度
①求线段长度、角度；
②证明线段相等、角相等、线段垂直
切线长定理 或平行； 常考小题与综合题
③能够与三角形的内心、外心等知识
点结合解决相应题目。
①能够直接套用公式计算；
②能与实际问题结合，如计算弯管长
弧长与扇形面积 常考小题
度、羊吃草的面积、零件面积等
③能熟练求阴影部分面积（割补法）
圆锥的侧面积和全
①求侧面积或全面积 常考小题
面积
知识点01 圆的定义及其相关概念
1. 圆的定义：
静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的
半径。动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。
2. 圆的相关概念：
(1) 弦的概念：
如图：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(2) 直径：
过圆心的弦叫做直径。直径是弦，但是弦不一定是直径。
(3) 弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。
① 半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。
② 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为。读作弧AOC。表示优弧时，
必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。
③ 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。读作弧AC。
(4) 等圆：
能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。
(5) 等弧：
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
知识点02 垂径定理及其推论
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。
注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们
半径2 =弦心距2 +半弦长2 OC2 =OE2 +CE2
与直径构成勾股定理。即： （ ）
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
知识点03 弧、弦以及圆心角1. 圆心角的认识：
顶点在圆心的角叫做圆心角。大小范围为0°＜α＜360°。
2. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 弧、弦、圆心角的关系的推论：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
4. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
知识点04 圆周角
1. 圆周角的定义：
顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2. 圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
3. 圆周角定理的推论：
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。
如图：若＝，则∠ABC＝∠BAD；若∠ABC＝∠BAD，则＝。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝90°。
若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的直径。
4. 圆的内接四边形：
（1）概念：如图：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边
形叫做圆的内接多边形。
（2）圆的内接四边形的性质：
①圆的内接四边形的对角互补。
即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。
②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的
内角的对角）
即：∠EAD＝∠C。知识点05 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：
（1）如图1：d＞r⇔点在圆外。
（2）如图2：d＝r⇔点在圆上。
（3）如图3：d＜r⇔点在圆内。
2. 三角形的外接圆与外心：
（1）外接圆：如图：若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角
形的外接圆。
（2）外心：
三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的
交点。所以到三角形三个顶点的距离相等。
特别说明：
①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜
边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
知识点06 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r⇔直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。（2）d＝r⇔直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的
切点。
（3）d＞r⇔直线与圆相离，与圆没有公共点。
2. 切线的判定：
（1）判定定理：经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线。
（2）切线的判定的方法：
①直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
②直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
3. 切线的性质：
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4. 切线长定理：
（1）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，
叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是 A与B，则PA与PB
的长度是切线长。
（2）切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。
推广：由切线长定理的结论可得：
①△APO≌△BPO⇒∠AOP＝∠BOP⇒＝⇒AB⊥OP。
5. 三角形的内切圆与内心：
（1）内切圆
如图：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三 个
内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
（3）直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为
(a+b−c) ab
2 或 a+b+c 。
（4）三角形的面积与内切圆半径的关系：
r
(a+b+c)
2
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。
6. 弦切角与弦切角定理：
（1）弦切角：
如图，像∠ACP这样顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经
过切点的弦构成的夹角。
（2）弦切角定理：
弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数
的一半。
知识点07 正多边形与圆
1. 正多边形及其相关概念：
（1）正多边形的概念：
各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。
（2）圆的内接正多边形：
把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
（3）圆的内接正多边形的相关概念：
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的中心角。360°
n
正多边形的中心角度数为 。
④边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂线即为边心
距。
2. 正多边形的有关计算：
(1) 正多边形的内角计算：
(n−2)×180°
n
正n边形的每个内角计算公式为 。
(2) 正多边形的中心角：
360°
n
正n边形的中心角度数为 。
(3) 正多边形的外角：
360°
n
正n边形的外角度数为 。
(4) 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
r2
=
(a) 2
+h2
2
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为 。
(5) 正多边形的周长和面积：
1 1
S= arn= Cr
C=an 2 2
边长为a的正n边形的周长为 ；面积为 。
知识点08 弧长与扇形的面积
1. 扇形的弧长：
（1）扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。
（2）扇形弧长的计算公式：2πr
360°
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的
nπr
180
圆心角所对的弧的长度l＝ 。
2. 扇形的面积计算：
πr2 S
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 ，则1°的圆心角所对的面积 ＝
πr2 nπr2
360° S 360
扇
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 ＝ 。
1
S = lr
扇 2
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
3. 圆锥的侧面积与全面积：
（1）圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点 C到底面圆上任意一点的
连线是圆锥的母线，如的 CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点 C到底面圆心
O的距离CO是圆锥的高。
（2）圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。
CB2 =CO2 +OB2
即：如图： 。
（3）圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇
形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
（4）圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展
开图的扇形的半径为a，弧长等于底面圆周长等于：
l=2πr
，根据已知弧长1
S= la=πra
2
与半径可得扇形的面积为： 。
nπa2
S=
360
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。
题型一 利用垂径定理求弦长、半径及弦心距
解｜题｜技｜巧
在垂径定理中，利用勾股定理“弦心距2+半弦长2＝半径2”解决相关题目
【典例1】已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则⊙O的
半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．4❑√2cm D．2❑√3cm
【变式1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在
工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交^AB于点C，测出
AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 ．
【典例2】如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的
长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【变式1】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交
圆A于点D，则BD长为 ．
【典例3】（2025春•道县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若
CD＝8，OD＝5，则OE的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1】日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图
形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半
径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 ．
题型二 利用垂径定理证明线段相等以及垂直关系
解｜题｜技｜巧
【典例1】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且
OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．【典例2】已知：如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，
MN＝4❑√3cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）猜想OM和AB的位置关系，并说明理由；
（3）求∠ACM的度数．
题型三 垂径定理的应用
解｜题｜技｜巧
把实际问题抽象为数学问题，在利用垂径定理中的勾股定理解决问题。
易｜错｜点｜拨
注意实际问题中的量对应的数学问题中的量，不能混淆。
【典例1】（2025春•郓城县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图 1，筒车盛水桶的
运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为
4 米，⊙O 半径长为 3 米．若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是
（ ）
A．1米 B．2米 C．(3-❑√5)米 D．(3+❑√5)米
【典例2】（2025春•石景山区校级期中）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数
学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在
壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如
图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝2寸，AB＝8寸（注：1尺＝10寸），则可得直
径CD的长为 尺．”【典例3】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面
圆中弦AB的长为（ ）cm．
A．4❑√2 B．6 C．8 D．8.4
题型四 弦、弧及圆心角之间的关系
易｜错｜点｜拨
在判断弦和弧的关系时，前提条件必须是同圆或等圆中，注意相等关系成立，加减运算关系不成立。
涉及加减运算关系时，弦的大小关系要利用三角形的三边关系判断。
【典例1】下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例2】如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．^AB=C^D B．^AC=^BD C．AC＝BD D．AD＝BD
【典例3】如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是
（ ）A．AB＝2AC B．AB＞2AC
C．AB＜2AC D．以上结论都不对
题型五 利用弦、弧及圆心角的关系进行证明与计算
【典例1】如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
A．42° B．44° C．46° D．48°
【变式1】（2025春•江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长
线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 ．
【变式2】（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，^AB=^BE，连接
AE交BD于点F．
（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；
（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，
求∠COE的度数．【变式3】如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E．
（1）求证：点D为^BC的中点；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
题型六 圆周角定理
解｜题｜技｜巧
在解决圆周角相关的题目时，遇圆周角找到其对应的弧及其这段弧对应的其他圆周角；遇直径则找到
其所对的直角；在复杂的图形中，学会化简剥离图形。
易｜错｜点｜拨
在运用圆周角定理时，同样要注意前提条件必须是同圆或等圆中应用。还要注意特殊的弦（直径）。
【典例1】（2025春•平舆县期中）如图，已知四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直
径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接CD．若CD=3❑√2cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．3❑√2cm C．6cm D．12cm
【变式1】（2025春•高州市期中）如图，在圆 O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD等于（
）A．40° B．60° C．50° D．45°
【变式2】（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、
AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（ ）
A．35° B．37° C．37.5° D．52.5°
【典例2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长．
【变式1】如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）证明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝2，BE＝8，求弦CD的长．题型六 内接四边形的性质及其应用
【典例1】（2025春•前郭县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠B＝110°，
则∠AOC的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（ ）
A．128° B．100° C．120° D．132°
【变式2】（2025春•泗县期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．
若∠AEB＝73°，则∠ABC的度数为（ ）
A．117° B．107° C．105° D．97°
题型七 切线的性质与判定
解｜题｜技｜巧在进行切线的判定时，通常情况下要么连半径，证垂直，要么你作垂直，证半径。注意证明垂直时可
利用勾股定理证明垂直；利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直；利用三角形的全等转换证明垂
直；利用平行线转换证明垂直。
在进行角度计算时，利用半径与切线垂直构造直角三角形解决问题。
【典例1】如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点
E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
【典例2】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，
∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．
【典例3】如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D， 连
接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若AE＝2❑√5，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度．题型八 切线长定理
解｜题｜技｜巧
回归切线长的概念以及切线长定理，注意圆心与圆外一点的连线，是平分两条切线形成的夹角的。
【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的
长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作
⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
题型八 三角形的内切圆与外接圆
解｜题｜技｜巧解决内切圆有关的题目时，抓住关键点“圆心到三边的距离相等”；解决外接圆有关的问题时，抓住
关键点“圆心到三个顶点的距离相等”
【典例1】（2025春•沈丘县期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AB＝2，∠C＝45°，则⊙O
的半径OA的长度为（ ）
A．❑√22 B．1 C．❑√2 D．2
【变式1】（2025春•宁江区期中）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC．射线CO与⊙O交于点
D．若∠ABC＝76°，则∠DCB的度数为（ ）
A．52° B．62° C．68° D．72°
【典例2】（2025春•叶县期中）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将
∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延
长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
题型九 正多边形和圆解｜题｜技｜巧
熟记相关计算公式并应用
【典例1】（2025春•泗阳县期中）学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六
边形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延长线分别交CD、EF于点M，N，则∠HMC的度
数是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．85°
【变式1】（2025春•富顺县期中）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，P为^AB上一点，连接PA，
PE，则∠APE的度数为（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【变式2】（2025春•固安县期中）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，
顶点E重合，若CE＝2，则正六边形的周长为 ．
题型十 扇形的弧长与面积
解｜题｜技｜巧
熟记相关计算公式并应用
【典例1】（2025春•乌当区校级期中）如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的
圆弧AC的长度为（ ）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm
【变式1】（2025春•宝山区校级期中）如图所示，将一个半径OA＝10cm，圆心角∠AOB＝90°的扇
形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB
再次回到OM上，则点O运动的路线长为 cm．（计算结果不取近似值）
【典例2】（2025春•重庆校级期中）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径
为2，则此阴影部分的面积为（ ）
8 2 8 2
A． π B． π C． D．
9 9 9 9
【变式1】（2025春•新野县期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°，OE＝
2，则阴影部分的面积为（ ）
2π 4π 8π
A． B． C．2π D．
3 3 3
题型十一 圆锥侧面积与全面积的计算
解｜题｜技｜巧
熟记相关计算公式并应用，注意原图形与展开图之间的对应关系不能混淆。
【典例1】（2025春•杨浦区校级期中）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面
积是（ ）
A．18πcm2 B．18cm2 C．24cm2 D．24πcm2
【变式1】（2025春•祁东县期中）将圆心角为90°，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个
圆锥的底面圆半径为 ．
【变式2】（2025春•杨浦区校级期中）如图，现有一个圆心角为120°，半径为10cm的扇形纸片（接
缝忽略不计），则该圆锥的全面积为 cm2．题型三（跨章节/学科题型）
易｜错｜点｜拨
解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题
【典例1】如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得
定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 cm．（结果保留π）
【典例2】物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑
筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上
升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为 ．
【典例3】苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原
子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则
∠1的度数为 °．期中基础通关练（测试时间：10分钟）
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，
形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB（AB所对的弦的
长）约为36m，拱高CD（AB的中点到弦AB的距离）约为6m，则AB所在圆的半径OA为（ ）
A．30m B．27m C．6❑√17m D．25m
3．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（
）
A．2 B．2❑√10 C．❑√5 D．❑√13
4．如图，在⊙O中，^AB=2^BC且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 ．5．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过
点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（ ）
A．45° B．90° C．135° D．180°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝
30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在一张Rt ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着
⊙O的切线DE剪△下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（ ）
个这样的正五边形．A．5 B．7 C．9 D．10
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若
∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
4 3 3
期中重难突破练（测试时间：10分钟）
10．如图AB，CD是⊙O中两条互相垂直的弦，BD＝6，AC＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．❑√10 B．2❑√2 C．2❑√5 D．2❑√10
11．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，
过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）A．8 B．12 C．16 D．18
12．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方
形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为❑√170，则大正方形的边长为（
）
A．25 B．26 C．30 D．34
14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC
边的延长线于点E．若DM＝CE，^AE的长为2π，则CE的长 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，
若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是 ．16．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与
⊙O、切线PA相交于C、Q两点．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在圆O上，AC交圆O于点M，BC与圆O交于点D，DM＝
DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的直径，DF⊥AB．
（1）求证：∠CAD＝∠DAB；
（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；
（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）
18．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面
积为S 、S 、S ，则它们之间的关系是（ ）
1 2 3
A．S ＜S ＜S B．S ＜S ＜S C．S ＜S ＜S D．S ＜S ＜S
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
19．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是^AN的中点，点P是半径ON上的点
若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）
A．2 B．❑√3 C．❑√2 D．1
20．（2013秋•新洲区期中）如图1在平面直角坐标系中，⊙O 与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C
1
两点，BC＝8，连AB．
（1）求证：∠ABO ＝∠ABO；
1（2）求AB的长；
（3）如图2，过A、B两点作⊙O 与y轴的正半轴交于M，与O B的延长线交于N，当⊙O 的大小变化
2 1 2
时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请
判断正确结论并证明．
21．（2024秋•西城区校级期中）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米
的距离记作+52米，逆时针跑出60米记作﹣60米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，
b，且满足：（a+80）2+|b﹣40|＝0．
（1）a+b＝ ；
（2）定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距．
定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧
距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在
跑道上对应的有理数；
②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的
速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，
此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值．
