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第一次月考压轴题专练
一、单选题
1．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，在等边 中， 于D，E是线段 上
一点，F是边 上一点，且满足 ，G是 的中点，连接 ，则下列四个结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤当 时， ，其中正确的个
数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形 中， ，
于点 ， 的平分线分别交 ， 于点 ， ， 为 的中点， 的延长线交
于点 ，连接 ．下列结论： ； ； 是等腰三角形； ．
其中结论正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（2023上·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 于 ，
的平分线 交 于点 ，交 于 ， 于 ， 的延长线交 于点 ，下列五个
结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤连接 ，若 ，则 ，
其中正确的结论有（ ）A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
4．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）如图，在等边 中， 于点D，延长 到
点E，使 ，F是 的中点，连接 并延长交 于点G， 的垂直平分线分别交 ，
于点M，点N，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图， 中， ，点M，N分别在 ， 上，
将 沿直线 翻折，点A的对应点D恰好落在 边上（不含端点B，C），下列结论：①直线
垂直平分 ；② ；③ ；④若M是 中点，则 ．其中一定正确的是
（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
6．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点P为线段 外一动点且 ，以 为边作等边 ，则当线段 的长取到最大
值时，点P的横坐标为（ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．1.5 B．2 C．3 D．1
7．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 与边
的垂直平分线 相交于 ， 交 的延长线于 ， 于 ，下列结论：① ；
② ；③ 平分 ；④ ；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
8．（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，沿过点 的直线折
叠这个三角形，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，若 ，则 （ ）
A．. B．. C． D．
二、填空题
9．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）在 中， ，如果
将 折叠，使点B与点A重合，且折痕交边 于点M，交边 于点N．如果 是直角三角形，
那么 的面积是 ．
10．（2024上·陕西西安·八年级西安市航天中学校联考阶段练习）已知 和 均为等腰直角三角
形， ， ，点 为 的中点，已知 为直线 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
11．（2024上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，等腰 ， ， ，
是动点， ， 分别在线段 上．当 周长最小时，则四边形 面积最大值为
．
12．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图，已知直线 分别交 轴、
轴于点 、 两点， ， 、 分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且
．当 的值最小时，则 点的坐标为 .
13．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图， 是边长为6的等边三角形，直线 于
，点 是直线 上一动点，以 为边在 的右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为
．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）在等腰 中， ， 是 的中点，
于 ，交 于 ．则 ．
15．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在 中，
，若 ，则 的长为 ．
16．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形 中， ，
对角线 平分 ，那么 为 度．
17．（2022上·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图， 中， ， 的角
平分线 ， 相交于点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ，则下列结论：①
；② ；③ ；④连接 ， ．其中正确的是 ．（填序号）
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）四边形 的对角线 和 交于E， ，
， ， ，则 的长是 ．
19．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点D是
边上一点，连接 并延长至点E，使得点D恰好是线段 的中点，连接 ，若 ，则
线段 所长为 ．
三、解答题
20．（2024上·浙江金华·八年级校考阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图 ，在四边形
中， ，垂足为 ，若 ， ， ，则 的长为 ．
他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 ，垂足为 ，那么在四
边形 中有四个直角三角形，利用勾股定理可得 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 与
之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．
(1)请你直接写出 的长．
(2)如图 ，分别在 的边 和边 上向外作等腰 和等腰 ，连接 ．
若 ， ，连接 ，交 于点 ，当 时，求 的长；
如图 ，若 ， ， ，当 时，求 的面积．
21．（2023下·山西运城·八年级校联考阶段练习）综合与探究
【解决问题】
（1）如图1， 和 都是等边三角形（ ），将 绕着点 顺时针旋转，连接 、．
①如图2，当点 在 的延长线上时， _________ ；
②如图3，当点 恰好在边 上时， _________ ；
③如图4，当点 在 的延长线上时，求证： ．
【拓展应用】
（2）如图5，在等边 中， 是 外一点，连接 、 、 ，若 ， ，
，求 的面积．
22．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在 中， ，过点C作射线 ，使
（点 与点B在直线 的异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线
段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式
子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
23．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知点 、点 ．
(1)求直线 所对应的函数表达式；
(2)在直线 上有点P，点P到x轴的距离等于4，求点P的坐标；
(3)在x 轴上是否存在点P，使三角形 为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，说明理
由．
24．（2024上·陕西西安·八年级西安市航天中学校联考阶段练习）如图 ，分别过线段 的端点 、 作
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！直线 、 ，且 、 、 的角平分线交于点 ，过点 的直线 分别交 、
于点 、 ．
(1)在图 中，当直线 时，线段 、 、 之间的数量关系是________；
(2)当直线 绕点 旋转到与 不垂直时，在如图 两种情况下：
图 中，线段 、 、 之间的数量关系是________；
图 中，线段 、 、 之间是否有 中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
25．（2023上·湖北黄石·八年级统考阶段练习）如图， 是等边三角形，以直线 为 轴建立平面直
角坐标系，若 且 、 满足 ， 为 轴上一动点，以 为边作等边 ，
交 轴于 ．
(1)如图 ，求 点坐标；
(2)如图 ， 为 正半轴上一点， 在第二象限， 的延长线交 轴于 ，当 点在 轴正半轴上运动
时， 点坐标是否变化，若不变，求 点的坐标，若变化，说明理由；
(3)如图 ， 在 轴负半轴上，以 为边向右构造等边 ， 交 轴于 点，如果 点在 轴负半轴上运动时，仍保持 为等边三角形，连 ，试求 ， ， 三者的数量关系，并证明你的
结论．
26．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）在 中， ，点 为直线 上一点，
， ，连接 交 于 ．
(1)如图1， ， 为 中点，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，延长 至点 使得 ，过点 作 延长线于点 ，若 ， ，
求证： ；
(3)如图3， ， ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，当 最小时，
直接写出线段 的长．
27．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题背景
如图1，在等腰 和等腰 中， ， ， ，求证：
．
尝试应用
如图2，在等腰 中， ， ，点E是 边上一点，点F是 上一点，若
， ， 面积为14，求 的长．
拓展创新
M是平面内一点， ， ，若 ， ， ，请你直接写出 的
长______．
28．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动.设点 的运动时间为 秒.
(1)求斜边 上的高线长；
(2) 当 在 上时， 的长为__________， 的取值范围是__________.（用含 的代数式表示）；
若点 在 的角平分线上，则 的值为__________；
(3)在整个运动过程中，当 是等腰三角形时 的值为__________.
29．（2024上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校联考阶段练习）小明在对本学期所学内容进行回顾与整
理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系：
(1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等
面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的
高．请你结合图1进行证明．
已知：如图 中， ，P是底边 上的任一点（不与B、C重合）， 于 ，
于 ， 于 ．
求证： ；
(2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得 ，， ， ，则阴影部分的面积为______平方米；
(3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在 中， ， ，
E，P分别是 上任意一点，若 ， ，则 的最小值是______；
(4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形 中， ，
延长 到点 ，使 ，连接 ．若动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着
向终点 运动，连接 ，设点 运动的时间为 秒，请直接写出 ______时，使 为等腰三角形．
30．（2024上·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）学习了三角形全等的判定方法（即“ ”
“ ”“ ”“ ” 和直角三角形全等的判定方法（即“ ” 后，我们继续对“两个三
角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示：在 和 中， ， ， ，然后对 是
直角、钝角、锐角三种情况探究．
【深入探究】
(1)如图1，在 和 中， ， ， ，根据 ，可以知道
．
(2)如图2，在 和 中，， ， ， ，且 ， 都是钝角．求证：
．
(3)在 和 中， ， ， ，且 ， 都是锐角．请你用尺规在图3中
作出 ，使 和 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)对于（3）， 还要满足什么条件，就可以使 ？请直接填写结论：在 和 中，
， ， ，且 ， 都是锐角，若 ，则 ．
31．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题
时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的
线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解
决．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围；
(2)如图2，在 中，点D是 的中点，点M在 边上，点N在 边上，若 ．
求证： ；
(3)如图3， 和 均为等腰直角三角形，且 ，连接 ， ，点D为
边的中点，连接 ．请直接写出 与 的数量关系和位置关系．
32．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图1，长方形 ， ，
点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段 延长线上一动点，连接
交 于点G．设 ， ，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)有学生认为：“ 的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由．
(3)是否存在x的值，使得 ？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
33．（2021上·江苏南通·八年级统考期中）【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P
为直线 的一点，连接 ， ，若 ，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在 中，D为 上一点，点D，E关于直线 对称，连接 并延长至点
F，判断点B是否为点D，F关于直线 的“等角点”，并说明理由；
(2)【拓展提升】
如图2，在（1）的条件下，若 ， ，点Q是射线 上一点，且点D，Q关于直线 的
“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出 的度数；
(3)【拓展提升】
如图3，在 中， ， 的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边 ，
点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接 ， ，当 时， 的值为 ．
34．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图1，已知在 中， ，边 在 轴
上，点 在 轴上， ， 的坐标为 ，点 是 轴上一个动点，它的坐标是 ， ，直线
交直线 于点 ．
图1 图2
(1)求直线 的表达式；
(2)若 ，点 为直线 上一点，且 平分 ，求 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，以 为直角边作等腰直角 （ 、 、 三点按照逆时针顺序排列），使得
， ．
①试说明在点 的运动过程中， 的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②点 从 运动到 的过程中，点 的运动路径长为__________．
35．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，直线 ，分别交x轴，y轴于点
A，点C；点B在y轴负半轴上．且 ，点 在直线 上，点P是x轴上的一个动点，设
点P的横坐标为t．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)连接 、 ，若 的面积等于 面积的 ，试求出点P坐标；
(3)以 为斜边作等腰直角三角形 ，是否存在t的值，使点E落在线段 或 上？直接写出所有满
足t的值 ．
(4)直接写出 的最小值为 ．
