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第五章 分式与分式方程压轴题
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一、分式
类型一、 分式性质的应用
类型二、 分式的运算
二、分式方程
类型 三 、 解分式方程
类型 四 、 分式方程无解和增根问题
类型 五 、 分式方程的应用题
一、分式
类型一、分式性质的应用
1．已知两个分式： ， ；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为 ；作差，结果记为 ；
（即 ， ）
第二次操作：将 ， 作和，结果记为 ：作差，结果记为 ；
（即 ， ）
第三次操作：将 ， 作和，结果记为 ；作差，结果记为 ；（即 ， ）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．
① ；②当 时， ；③若 ，则 ；
④在第n（n为正整数）次和第 次操作的结果中： 为定值：
⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中： ， ；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知 ，一次函数 的图象过点 ，则一次函数 的解析式是
．
3．已知 都为正数， ， ， ， ， ，
，则 ．
4．某知名服装品牌在北碚共有 、 、 三个实体店．由于疫情的影响，第一季度 、 、 三店的营业
额之比为 ，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中 店
增加的营业额占总增加的营业额的 ，第二季度 店的营业额占总营业额的 ，为了使 店与 店在第二
季度的营业额之比为 ，则第二季度 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为 ．
5．已知 ．即当 为于1的奇数时， ；当
为大于1的偶数时， ．计算 的结果为 ．
6．已知正整数x，y满足 ，则符合条件的x，y的值有 组．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若 ÷ 有意义，则x的取值
范围是x≠3且x≠0；③若分式 的值为0，则x的值为±3；④分式 的值为整数，则整数x的值有6
个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有 ．（填序号）
8．阅读理解：
材料1：为了研究分式 与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当 时，随着 的增大， 的值随之减小，若 无限增大，则 无限接近于0；当
时，随着 的增大， 的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如
果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一
个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当 时，随着 的增大， 的值 (增大或减小)；当 时，随着 的增大， 的值 （增大或
减小）；
(2)当 时，随着 的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当 时，直接写出代数式 值的取值范围是 ．
类型二、分式性质的运算
9．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 分钟追上了团长、为了回到
1
队尾，他在追上团长的地方等待了t 分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是
2
（ ）A． 分钟 B． 分钟
C． 分钟 D． 分钟
10．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈
密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增
加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的 ，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销
售量的 ，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11
月份总销售量之比是 .
11．6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，
逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手
机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C
耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量
的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的 ，则乙商家获得的总利润率是 .
12．设a、b、c是互不相等的实数，且 ，则 ．
13．对于一个两位数 ， ，记 ，将m的十位数字与个位数字的
和、十位数字与个位数字的差分别作为 的十位数字和个位数字，新形成的两位数 叫做m的伴生和差
数，把m放置于 十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 ，若
M能被7整除，则 的最小值为 .
14．若 ，求 的值
15．将 克糖放入水中，得到 克糖水，此时糖水的浓度为 ．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)再往杯中加入 克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
(3)在 中，三条边的长度分别为 ，证明： ．
16．设n为正整数，且 ，
，
…
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求正整数a，b的值．
17．观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：
________；
(2)用数学的整体思想方法，设 ，分解因式： ， ；
(3)已知 ，a、b、c、d都是正整数，且 ，化简求的值．
18．若三个非零实数 、 、 满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 、
构成“青一三数组”，例如：因为 、 、 的倒数能够满足 ，所以数组 、 、 构成
“青一三数组”．
(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）
①1、2、3；②1、 、 ；③ 、 、 ．
(2)若 、 、 构成“青一三数组”，求实数 的值；
(3)若非零实数 、 、 构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：① ；②点 到原
点的距离记为 ；③不等式 恒成立．求实数 的取值范围．
19．用数学的眼光观察：
同学们，在学习中，你会发现“ ”与“ ”有着紧密的联系，请你认真观察等式：
， ．
用数学的思维思考并解决如下问题：
(1)填空： ______；
(2)计算：
①若 ，求 的值；
②若 ，求 的值；
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！③已知 ，求 的值．
20．阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ，所以 ，即 ，并且当 时， ；对于两个
非负实数 ， ，由于 所以 ，即 ，所以 ，
并且当 时， ；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把
分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：
；
(1)在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
(2)已知： ，求代数式 的值；
(3)当 为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
21．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
例1：分解因式 ；
解：将“ ”看成一个整体，令 ；
原式 ；
例2：已知 ，求 的值．
解： ；
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；(2)计算： ．
(3)①已知 ，求 的值；
②若 ，直接写出 的值．
二、分式方程
类型三、解分式方程
22．若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 有正整数解，则满足条件
的所有整数 的和为 ．
23．若关于x的不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程 有非负整数
解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
24．若关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
25．若关于x的一元一次不等式组 有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程
的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为 ．
26．若关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，且关于 的分式方程
有非负整数解，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27．关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，关于y的分式方程 有负整
数解，试求出符合条件的所有整数m的值．
28．关于 的分式方程 的解为整数，且关于 的不等式组 有解且最多有六个
整数解，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
29．阅读材料，下列关于 的方程：
的解为： ， ； 的解为： ， ；
的解为： ， ； 的解为： ， ；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程 的解是____________；
(2)方程 的解是____________；
(3)解方程： ．
30．仔细观察下面的变形规律： ， ， ，……解答下面的问题：
(1)总结规律：已知 为正整数，请将 和 写成上面式子的形式；
(2)类比发现：
计算 与 的结果；
(3)知识迁移：解关于 （ 为正整数）的分式方程：
；
(4)规律应用：化简 ．31．对于两个不相等的非零实数m、n，分式 的值为零，则 或 ，又因为
，所以关于x的方程 有两个解，分别为
， ．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 有两个解，分别为 ________， ________；
(2)关于x的方程 的两个解分别为 ， ，若 与 互为倒数且 ，则
________， ________；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 ， （ ），求 的值．
类型四、分式方程无解和增根问题
33．若关于x的分式方程 无解，则 ．
34．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式
方程 无解，则m＝1；③关于x、y的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两
边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共
解，则这个公共解为 ，其中正确的是 ．（填序号）
35．对于平面直角坐䏡系中的点 ，若点 的坐标为 （其中 为常数，且 ），则
称点 为点 的“ 之立信点”．例如： 的“2之立信点”为 ，即 ．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)点 的“3之立信点” 的坐标为________．
(2)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 之立信点”为 点，且 为等腰直角三角形，求 的值；
(3)在（2）的条件下，若关于 的分式方程 无解，求 的值．
36．已知，关于x的分式方程 ．
(1)当 ， 时，求分式方程的解；
(2)当 时，求b为何值时分式方程 无解；
(3)若 ，且a、b为正整数，当分式方程 的解为整数时，求b的值．
37．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，
求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须保证 才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 无解，求 的值．
38．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分
式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为
整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程 有增根．
探究2：m为何值时，方程 的根是 ．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 的三个根中两个根之和等于第三个根；探究4：你发现满足“探究3”条件的 的关系是______．
类型五、分式方程的应用题
39．现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一
批口罩数量按照1：3：4的比例分发给 、 、 三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的
20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的 分发给 小区，则 小区两周收到的口罩数量与三个小区两
周收到的口罩数量之和的比为2：9.若 、 小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则 小区第二周收到
的口罩数量与口罩总数量之比为（ ）
A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41
40．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的 ；
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时
间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20 B．21 C．19 D．19
41．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬
A、B、C三种主题大礼包售价之比为 ，销量之比为 ．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文
具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了 ，C主题大礼包
在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销
售额之比为 ，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的 ，则2月下旬
B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
42．某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的
售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为 ；苹果、橘子、车厘子售
价分别比其进价高 ；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为 ．年前水果店一共
卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、
车厘子售价分别是进价的 、 、 ．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的
苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为 ；则这批水果最后的总利润率为 ．
43．已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿
相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果
与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 ．
44．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 米 的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池
后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试验田的小麦都收获了
．(1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含 的
式子表示）；
②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多 ，求 的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，
“丰收1号”小麦种植面积为 平方米（ 为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平
方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当 且 为整数时，符合条件的 值为 （直接写出结
果）．
45．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同
样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”
模型成本少 ．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25
元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批
模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
46．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某
材 同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款
一 雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！某商店的店内广告牌如右图所示．5
素
月，学校花费320元向该商店购得的长
材
管子数量比花200元购得的短管子数量
二
少80根．
素
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型
材
（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
三
问题解决
任
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少
务 分析雪花模型结构
根？
一
任
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材
务 确定采购费用
料采购费．
二
任
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪
务 拟定采购方案
花总数最多．
三
47．为落实《健康中国行动（ ）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育
活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元
购买的排球数量相等．
(1)求每个足球和排球的价格；
(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
(3)在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校
决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足
球和排球的方案．
48．郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多 元，用
元购进足球和 元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为 元，每个排球售价定为
元．
(1)每个足球和排球的进价分别是多少？
(2)根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过 元的资金购进足球和排球共 个，其中足球数
量不低于排球数量的 ，该商店有几种进货方案？
(3) “六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠 元，排球的售价不变．假定这 个球在“六一”期间能够全部卖完，在 的条件下，请设计出 的不同取值范围内，销售这 个
球获得的总利润最大的进价方案．
49．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从
端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点
B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的
情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
(1)【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第
二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相
遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次
迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画
出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．
【答案】(1)①90；②105
50．某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲
从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返
于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这
两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，
相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
(1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点
O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；
(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相
遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
