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第五章 分式与分式方程压轴题
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一、分式
类型一、 分式性质的应用
类型二、 分式的运算
二、分式方程
类型 三 、 解分式方程
类型 四 、 分式方程无解和增根问题
类型 五 、 分式方程的应用题
一、分式
类型一、分式性质的应用
1．已知两个分式： ， ；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为 ；作差，结果记为 ；
（即 ， ）
第二次操作：将 ， 作和，结果记为 ：作差，结果记为 ；
（即 ， ）
第三次操作：将 ， 作和，结果记为 ；作差，结果记为 ；（即 ， ）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．
① ；②当 时， ；③若 ，则 ；
④在第n（n为正整数）次和第 次操作的结果中： 为定值：
⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中： ， ；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】通过计算确定第2n个式子的变化规律和第2n-1个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判
定即可．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
， ，
……
当2n-1为奇数时（1除外），
， ，
当2n为偶数时，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，
∵ ，故①正确；
当x=1时，M+M+M+M= =30 ，故②错误；
2 4 6 8
，解得x=1或-2，故③错误；
当n=2k-2时， =x，x不是定值，故④错误；
由规律知，⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简以及探究式子的规律，解决问题的关键是确定式子的变化规律．
2．已知 ，一次函数 的图象过点 ，则一次函数 的解析式是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了分式的定义，待定系数法求一次函数解析式等知识．根据
得到 ， ， ， 求出 ．结合一次函数
的图象过点 ，即可求出一次函数解析式．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
得 ，
∵ ，
∴ ．∵一次函数的图象 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ．
故答案为： ．
3．已知 都为正数， ， ， ， ， ，
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，分式求值，代数式求值．运用整体的思想是解题的关键．
将每个等式的左右两边相乘得， ，解得 ，由 ，解得 ，同理
可得， ， ， ， ， ，然后代入求解即可．
【详解】解：将每个等式的左右两边相乘得， ，即 ，
∵ 都为正数，
∴ ，
∵ ，解得 ，
同理可得， ， ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．某知名服装品牌在北碚共有 、 、 三个实体店．由于疫情的影响，第一季度 、 、 三店的营业
额之比为 ，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中 店
增加的营业额占总增加的营业额的 ，第二季度 店的营业额占总营业额的 ，为了使 店与 店在第二
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！季度的营业额之比为 ，则第二季度 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为 ．
【答案】
【分析】设第一季度营业额为 ，第二季度营业额为 ，则总共增加的营业额为 ， 店增加的营业
额为 ，第二季度 店的营业额为 ，则第一季度 店的营业额为 ； 店的营
业额为 ；第二季度 店与 店的营业额之和为 ，若 店与 店在第二季
度的营业额之比为 ，则第二季度 店营业额为 ， 店营业额为 ；第二
季度 店增加的营业额为 ， 店增加的营业额为 ，依此可得 ，进一步即可
求解．
【详解】解：设第一季度营业额为 ，第二季度营业额为 ，则总共增加的营业额为 ， 店增加的
营业额为 ，第二季度 店的营业额为 ，
∵第一季度 、 、 三店的营业额之比为 ，
∴第一季度 店的营业额为 ，
店的营业额为 ，
第二季度 店与 店的营业额之和为 ，
若 店与 店在第二季度的营业额之比为 ，
∴第二季度 店营业额为 ， 店营业额为 ，
∵第二季度 店增加的营业额为 ， 店增加的营业额为 ，依题意得：
，
∴ ，∴第二季度 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查应用类问题，列代数式，分式的基本性质，求分式的值．理解题意，找到正确的等量关
系是本题的关键．
5．已知 ．即当 为于1的奇数时， ；当
为大于1的偶数时， ．计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】先找到规律 的值每6个一循环，再求出 ，由 ，可得
．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
…，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ 的值每6个一循环，
∵
，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出 的值，每6个一循环是解题的关键．
6．已知正整数x，y满足 ，则符合条件的x，y的值有 组．
【答案】2
【分析】根据x，y均为正整数，可知 、 ，据此建立不等式 并求解可知 ，
结合 ，可确定可知符合条件的x的值，然后根据 确定与之对应的y的值，即可确定符合条件
的x，y的值的组数．
【详解】解：∵x，y均为正整数，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
结合 ，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
对应的y的值为：9、 、 、 、 、 、 、 、 ，
∴符合条件的x、y的值为 ， ，∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不
等式并求解是解题关键．
7．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若 ÷ 有意义，则x的取值
范围是x≠3且x≠0；③若分式 的值为0，则x的值为±3；④分式 的值为整数，则整数x的值有6
个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有 ．（填序号）
【答案】①②③④⑤
【分析】①根据象限点的坐标特征判断即可；
②根据分母不为0，除式不为0，确定出所求即可；
③根据分式值为0的条件：分母不为0，分子为0，判断即可；
④分式变形后，根据分式值为整数，确定出整数x的值，判断即可；
⑤根据底数为1或﹣1，指数为0三种情况判断即可．
【详解】解：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第二象限，符合题意；
②若 ÷ 有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0且x≠﹣5，符合题意；
③若分式 的值为0，则x的值为3，符合题意；
④分式 ＝ ＝3+ 的值为整数，则整数x的值有2个，符合题意；
⑤若已知 ＝1，则整数x的值为3或1或5，符合题意，
则错误的有①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题考查分式的取值以及幂的性质，掌握分式的基本性质以及负整数指数幂和零指数幂是解决问
题的关键，注意1的任何次方、任何一个不为0的数的零指数幂、-1的偶数次方都是1．
8．阅读理解：
材料1：为了研究分式 与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当 时，随着 的增大， 的值随之减小，若 无限增大，则 无限接近于0；当
时，随着 的增大， 的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如
果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一
个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当 时，随着 的增大， 的值 (增大或减小)；当 时，随着 的增大， 的值 （增大或
减小）；
(2)当 时，随着 的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当 时，直接写出代数式 值的取值范围是 ．
【答案】(1)减小，减小
(2)当 时， 无限接近于2
(3)
【分析】（1）根据 的变化情况，判断 、 值得变化情况即可；
（2）根据材料由 即可求解；
（3）由 ，配合 即可求解．
【详解】（1）解：∵当 时，随着 的增大， 的值随之减小，∴随着 的增大， 的值随之减小；
∵当 时，随着 的增大， 的值也随之减小，
∴随着 的增大， 的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当 时， 的值无限接近于0，
∴当 时， 无限接近于2；
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
类型二、分式性质的运算
9．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 分钟追上了团长、为了回到
1
队尾，他在追上团长的地方等待了t 分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是
2
（ ）
A． 分钟 B． 分钟
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C． 分钟 D． 分钟
【答案】C
【分析】根据题意得到队伍的速度为 ，队尾战士的速度为 ，可以得到他从最前头跑步回到队尾，
那么他需要的时间是 ，化简即可求解
【详解】解：由题意得： 分钟．
故选：C
【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键．
10．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈
密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增
加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的 ，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销
售量的 ，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11
月份总销售量之比是 .
【答案】
【分析】设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为 ，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三
种土特产的总销售量为 ，先根据核桃增加的销售量建立等式可求出 ，再根据“葡萄干、哈密瓜
11月份的销售量之比为 ”求出11月份葡萄干的销售量，从而可得11月份葡萄干还需增加的销售量，
由此即可得．
【详解】设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为 ，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三
种土特产的总销售量为 ，
则10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量依次为 ，
11月份三种特产总增加的销售量为 ，
11月份核桃增加的销售量为 ，11月份核桃的销售量为 ，
因此有 ，
整理得： ，
当葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为 时，11月份葡萄干的销售量为 ，
则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列代数式的应用、分式的应用，依据题意，正确求出11月份总销售量与10月份总销
售量的关系是解题关键．
11．6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，
逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手
机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C
耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量
的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的 ，则乙商家获得的总利润率是 .
【答案】56%
【分析】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则
售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机 副，根据甲商家
的数据可得b=2a+2c，继而根据利润率公式列式计算乙商家的即可得.
【详解】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则
售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机 副，
由甲商家的总利润为50%，则有
40%•a•2x+60%•b•x+30%•c•x=50%(2xa+bx+cx)，
整理得，b=2a+2c，
则乙商家的总利润率为：
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！=
=
=
=
=56%，
故答案为56%.
【点睛】本题考查了销售问题——商品的利润率，弄清题意，理清各量间的关系，掌握运算技巧是解题的
关键.
12．设a、b、c是互不相等的实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值，由 可得 ，同理可得 ，
，由此三式相乘即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．13．对于一个两位数 ， ，记 ，将m的十位数字与个位数字的
和、十位数字与个位数字的差分别作为 的十位数字和个位数字，新形成的两位数 叫做m的伴生和差
数，把m放置于 十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 ，若
M能被7整除，则 的最小值为 .
【答案】 1001 /0.5
【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减，分数加减的逆用等知识，根据题意用 、 写出四位数
的表达式，根据 、 的范围，可得最小的 ，因为 能被7整除，所以可知 和 的取值，即得
的最小值．
【详解】解：∵两位数 的十位数字是 ，个位数字是 ，两位数 的十位数字是 ，个位数字是
，
四位数 ，
∴当 ， 时， 最小， ，
∵ 能被7整除， ，
， 时， ，
， 时， ，
， 时， ，
， 时， ，
由题意得 ， ，
∴ 最小，
即 最小，
， 时， ．
故答案为：1101，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14．若 ，求 的值
【答案】
【分析】设 ，从而得x=3k，y=4k，z=5k；通过整式和分式的运算性质计算，即可得到答案．
【详解】设 ，
∴x=3k，y=4k，z=5k
∴
=
=
= ．
【点睛】本题考查了整式、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式、分式运算的性质，从而完成求
解．
15．将 克糖放入水中，得到 克糖水，此时糖水的浓度为 ．
(1)再往杯中加入 克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
(3)在 中，三条边的长度分别为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可；（2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可；
（3）利用三角形的三边关系得到 ， ， ，即 ， ， ，在通
过本题糖水不等式变形求证即可．
【详解】（1）解：由题意得：加入 克糖后糖水浓度为： ，
由糖水变甜可知： ，
故答案为：
（2）解：利用作差法比较大小：
．
∵ ， ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，即 ．
（3）解：在 中， ， ， ，且 ，
∴ ， ， ．
由糖水不等式得， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证
明 是解决本题的关键．
16．设n为正整数，且 ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
…
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求正整数a，b的值．
【答案】(1)见解析
(2) 或 或 或
【分析】本题考查分式的化简，整数解．
（1）运用分式的运算法则计算即可；
（2）由（1）可得： ， ，从而 ．设 ， ，上式可变
形为 ，即 ，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答．
【详解】（1）
（2）由（1）可得： ， ，
∵
∴ ，
设 ， ，则 ，即 ，
故 ，
由a，b为正整数可知s，t为正整数，
则 为整数，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ，
则 或 或 或 ．
17．观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：
________；
(2)用数学的整体思想方法，设 ，分解因式： ， ；
(3)已知 ，a、b、c、d都是正整数，且 ，化简求
的值．
【答案】(1) ；
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2) ；
(3) ，
【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可；
（2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；
（3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．
【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：
；
故答案为： ；
（2）解：由（1）可知 ，
∴ ，
设 （ ），
∴
∵ ，
∴ ；
（3）解：由（2）可知 ，
当 时，则
，
∵ ，
∴ ，
∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；∵
，
当a=17，b=5，c=3，d=1；
∴原式 ；
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的
关键．
18．若三个非零实数 、 、 满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 、
构成“青一三数组”，例如：因为 、 、 的倒数能够满足 ，所以数组 、 、 构成
“青一三数组”．
(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）
①1、2、3；②1、 、 ；③ 、 、 ．
(2)若 、 、 构成“青一三数组”，求实数 的值；
(3)若非零实数 、 、 构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：① ；②点 到原
点的距离记为 ；③不等式 恒成立．求实数 的取值范围．
【答案】(1)②③
(2) 或 或 ；
(3)无
【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键．
（1）根据“青一三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，
如果有一个满足题意即为“青一三数组”；
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2） 倒数为 ， 的倒数为 ， 的倒数为 ，由 、 、 构成“青一三数
组”，分三种情况进行讨论求解即可；
（3）由 ，可得 ，再由点 到原点的距离记为 ，可得
，再求解即可．
【详解】（1）解：① ， ， ，
1、2、3不能构成“青一三数组”；
② ，
1、 、 能构成“青一三数组”；
③ 的倒数为 ， 的倒数为 ， 的倒数为 ，
，
、 、 能构成“青一三数组”；
三组数中构成“青一三数组”的有②③，
故答案为：②③；
（2）解： 倒数为 ， 的倒数为 ， 的倒数为 ，
、 、 构成“青一三数组”，
①当 时，解得： ；
②当 时，解得： ；
③当 时，解得： ；
综上可知，实数 的值为 或 或 ；
（3）解： ，，
点 到原点的距离记为 ，
19．用数学的眼光观察：
同学们，在学习中，你会发现“ ”与“ ”有着紧密的联系，请你认真观察等式：
， ．
用数学的思维思考并解决如下问题：
(1)填空： ______；
(2)计算：
①若 ，求 的值；
②若 ，求 的值；
③已知 ，求 的值．
【答案】(1)4
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)① ；② ；③ 的值为
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方
公式 ．
（1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；
（2）①先利用完全平方公式变形求出 ，然后求出 的值即可；
②先将 两边都除以 ，得 ，然后求出 ，再求出结果即可；
③分两种情况：当 时，当 时，求出结果即可．
【详解】（1）解：
；
故答案为：4．
（2）解：①∵ ，
∴ ．
②将 两边都除以 ，得 ．
∴ ，
∴ ．③当 时，此时 ，则 ，得 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
∴ ，
当 时，此时 ，则 ，得 ，
∵ ，故舍去．
综上， 的值为 ．
20．阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ，所以 ，即 ，并且当 时， ；对于两个
非负实数 ， ，由于 所以 ，即 ，所以 ，
并且当 时， ；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把
分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：
；
(1)在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)已知： ，求代数式 的值；
(3)当 为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
【答案】(1)①②④
(2)
(3) 时， 有最小值，最小值为3
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，
理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
（2）先根据 ，得到 ，进而得到 ，即可得到 ，
利用倒数的定义即可求出 ；
（3）先求出 ，再将 变形为 根据（一）结论得到
，即可求出当且仅当
，即 时， 有最小值，最小值为3．
【详解】（1）解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由题意， ，
∴ ．
原式
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∴原式的最小值为3．
21．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
例1：分解因式 ；
解：将“ ”看成一个整体，令 ；
原式 ；
例2：已知 ，求 的值．
解： ；
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)计算： ．
(3)①已知 ，求 的值；
②若 ，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 1； 5
【分析】（1）将“ ”看成一个整体，模仿例1求解；
（2）令 ， ，将原式变形，即可求解；
（3） 将 中的1用 替代，即可求解； 将 代入 将原式变形为
，再将 代入 ，进一步将原式变形为 ，由此可解．
【详解】（1）解：令 ，
；（2）解：令 ， ，
则原式
，
故答案为： ；
（3）解： ，
；
，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！．
【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整
体思想，看懂例题．
二、分式方程
类型三、解分式方程
22．若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 有正整数解，则满足条件
的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先根据不等式组的解的情况得出 的取值范围，再根据分式
方程的解为正整数解进一步得出 的值，即可得出答案．熟练掌握它们的解的情况是解题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
关于 的不等式组无解，
，
解得 ，
，
方程可化为 ，
方程两边同乘 得， ，解得 ，
是正整数， ，
或 或 或 ，
当 时， ，分式方程无解，舍去，
或 或 ，
满足条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
23．若关于x的不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程 有非负整数
解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
【答案】
【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为 得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数
解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可．
【详解】解：关于x的不等式组整理得到：
，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ；
分式方程两边都乘以 得： ，即 ．
∵y有非负解且 ，
∴ 且 ，解得： 且 ．
∴ 且 ，
∴整数m为： 它们的和为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组
的解法是解题的关键．
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24．若关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
【答案】
【分析】先解不等式组，确定 的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，
由分式方程有正整数解，确定出 的值，相乘即可得到答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：
解不等式②得： ，
则根据题意可知，不等式组的解集为： ，
关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，
则该不等式的整数解至少包含： ， ，
，
解得： ，
分式方程 去分母得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
是正整数，且 ，
∴ 或 ，
或 ，
满足条件的整数 的积为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及解分式方
程的步骤是解题关键．
25．若关于x的一元一次不等式组 有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程
的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为 ．
【答案】
【分析】不等式组变形后，根据有且仅有4个整数解确定出 的范围，再表示出分式方程的解，由分式方
程有整数解，确定出满足条件 的值．
【详解】解：解不等式组 ，得 ，
不等式组 有且仅有4个整数解，
，
．
解分式方程 ，得 ，
为非负整数，
∴ 为偶数，且 ，
所有满足条件的只有 ，2，4
∴所有整数a的值之积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法
是解题的关键．
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26．若关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，且关于 的分式方程
有非负整数解，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】4
【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，先解不等式组，解得 取 的整数，再解分式方程，
根据分式方程的解，确定 的取值范围，最后综合两个的取值范围，即可解题．
【详解】解：
整理得 ，
不等式组有且仅有4个整数解，
，整理得 ，
又 ，
，
，
整理得 ，
关于 的分式方程 有非负整数解，
有 ，解得 ，即 ，故 ，
，整理得 ，且 为2的倍数， 为整数，
综上所述， 可取 ， ，
则所有满足条件的整数 的值之和是 ，
故答案为：4．27．关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，关于y的分式方程 有负整
数解，试求出符合条件的所有整数m的值．
【答案】 或 / 或
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和分式
方程是解题的关键．
先解关于x的一元一次不等式组的解集是 ,可得 ．再解关于y的分式方程可得 ，因为该
分式方程有非负整数解，据此推断出整数m的值即可．
【详解】解：由 ，得 ，
∵关于x的一元一次不等式组 的解集是 ,
∴ ，
分式方程 ，
∴ ,
∴ ，
又∵关于y的分式方程 有负整数解且m为整数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∵ 为负整数，
∴符合条件的m的值为 或 ．
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28．关于 的分式方程 的解为整数，且关于 的不等式组 有解且最多有六个
整数解，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，由分式方程得 ，由一元一次不
等式组得 ，根据不等式组 有解且最多有六个整数解，即可得到 ，
再由 为整数，即可得到 的值，正确掌握解一元一次不等式组和解分式方程得方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由 得 ，
∵不等式组 有解且最多有六个整数解，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 或 或 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，∴所有满足条件的整数 的值之和 ，
故答案为： ．
29．阅读材料，下列关于 的方程：
的解为： ， ； 的解为： ， ；
的解为： ， ； 的解为： ， ；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程 的解是____________；
(2)方程 的解是____________；
(3)解方程： ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解；
（2）根据材料中方程的解法求解即可；
（3）先将方程化为 ，再利用材料中的解法求解即可．
【详解】（1）解：方程 的解为 ，
故答案为： ，
（2）由方程 可得 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ，
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（3）将方程 变形为 ，
可得 或 ，
解得 ，
【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为 的形式求解．
30．仔细观察下面的变形规律： ， ， ，……解答下面的问题：
(1)总结规律：已知 为正整数，请将 和 写成上面式子的形式；
(2)类比发现：
计算 与 的结果；
(3)知识迁移：解关于 （ 为正整数）的分式方程：
；
(4)规律应用：化简 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题目中的规律，写出结果即可；
（2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可；
（3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可；
（4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可．【详解】（1）解：∵ ，
，
，……
∴ ，
；
（2）解：
；
．
（3）解：方程变为 ，
即： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：因为 为正整数，原方程分母不会为零；
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以原方程的根式 ．
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的规律题，解分式方程，解题的关键是根据题意找出题目中的规律，注意
解分式方程要进行检验．
31．对于两个不相等的非零实数m、n，分式 的值为零，则 或 ，又因为
，所以关于x的方程 有两个解，分别为
， ．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 有两个解，分别为 ________， ________；
(2)关于x的方程 的两个解分别为 ， ，若 与 互为倒数且 ，则
________， ________；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 ， （ ），求 的值．
【答案】(1)1，6
(2) ，2
(3)
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及 与 互为倒数，确定出 与 的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为 、 ，代入原式计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴方程 有两个解，分别为 ，
故答案为：1，6；
（2）解： ，
方程变形得：
由题中的结论得：有两个解，分别为 ， 2，
∵ 与 互为倒数，
∴ ，
故答案为： ，2；
（3）解： ，
方程整理得，
得 或
可得 ， ．
∴ ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键．
类型四、分式方程无解和增根问题
32．若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】10或 或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】解：（1） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ；
（2） 为原方程的增根，
此时有 ，即 ，
解得 ．
（3）方程两边都乘 ，
得 ，
化简得： ．
当 时，整式方程无解．
综上所述，当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：10或 或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程
无解的情形．
33．若关于x的分式方程 无解，则 ．
【答案】2
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据
分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时， 都有解，故此情形下无符合题
意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入 ，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
综上，若要关于x的分式方程 无解，a的值为2．
故答案为： 2．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
34．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式
方程 无解，则m＝1；③关于x、y的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两
边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共
解，则这个公共解为 ，其中正确的是 ．（填序号）
【答案】②③
【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断．
【详解】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；
②将关于x的分式方程 两边同时乘以（x﹣2）得
3﹣x﹣m＝x﹣2
∴x＝ ，
∵原分式方程无解，
∴x＝2，
∴ ＝2，
解得m＝1，
故②正确；
③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得
（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，
（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，
∴ ，
解得：
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 ，
故③正确．
综上，正确答案为：②③．
【点睛】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按
照相应的解题方法准确进行计算．
35．对于平面直角坐䏡系中的点 ，若点 的坐标为 （其中 为常数，且 ），则
称点 为点 的“ 之立信点”．例如： 的“2之立信点”为 ，即 ．
(1)点 的“3之立信点” 的坐标为________．
(2)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 之立信点”为 点，且 为等腰直角三角形，求 的值；
(3)在（2）的条件下，若关于 的分式方程 无解，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据点 为点P的“ 之立信点”的定义计算；
（2）根据x轴的正半轴上点的特征、点 为点P的“ 之立信点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：当 时，
，
∴点 的“3之立信点” 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，．
∴点P的坐标为 ，
∵点P的“k之立信点”为 点，
∴点 的坐标为 ，
时，
为等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：1；
（3）当 时，去分母整理得： ，
∵原方程无解，
∴① ，即 ，
② ，即 ，则 ， ；；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查的是三角形的综合题，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判
断，掌握点 为点P的“k之立信点”的定义、分式方程的解法是解题的关键．
36．已知，关于x的分式方程 ．
(1)当 ， 时，求分式方程的解；
(2)当 时，求b为何值时分式方程 无解；
(3)若 ，且a、b为正整数，当分式方程 的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)
(2)
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数
确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，
∴原分式方程的解为： ．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
①当 时，即 ，原分式方程无解；
②当 时，得 ，
Ⅰ. 时，原分式方程无解，即 时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即 时，
此时b=5；
综上所述， 时，分式方程 无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程 中，
得： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
，
解得： ，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决
这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，
而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，
求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须保证 才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 无解，求 的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2) 且 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出 的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即
可求出 的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴ ，即
又∵
∴ ，即
∴ 且（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴ 或者
①当 时，得：
②当 时， ，得：
综上：当 或 时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去
分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
38．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分
式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为
整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程 有增根．
探究2：m为何值时，方程 的根是 ．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的 的关系是______．
【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3： ；探究4：
【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为
且 ，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．
【详解】解：探究1：方程两边都乘 ，
得
∵原方程有增根，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
故m的值是 ．
探究2：方程两边都乘 ，
得
∵原方程的根为 ，
，
探究3：由（1）（2）得
，
方程的三个对应根为 且 ，
∴ ，
=15-8b，
探究4： ，
，
整理得 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解
题的关键．
类型五、分式方程的应用题
39．现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一
批口罩数量按照1：3：4的比例分发给 、 、 三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的
20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的 分发给 小区，则 小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若 、 小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则 小区第二周收到
的口罩数量与口罩总数量之比为（ ）
A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41
【答案】B
【分析】先设出相应的量，利用题意表示出它们的关系，再列式求解即可．
【详解】解：设第一批和第二批口罩数量分别为a和b， 小区第二周收到的口罩数量为x，由题意可得如
下信息：
A B C 三个小区口罩总量
第一
周
第二
周
∵ 小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9，
∴ ，
∴ ，
由 、 小区两周收到的口罩数量之比为3：4，
∴ 、 、 三个小区两周收到的口罩数量之和的比为 ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式的应用，解题关键是正确理解题意，根据其中的比例关系正确表示出第一周
和第二周的A和B两个小区的口罩数量，以及求出a和b的数量关系，本题较为抽象，学生在审题上易出
现困难．
40．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的 ；
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时
间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A．20 B．21 C．19 D．19
【答案】D
【分析】设甲单独完成任务需要 小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，根据乙提供的信
息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所
需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要 小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，由题意得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的根，且符合题意，
甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的 ，
丙的工作效率是 ，∴一轮的工作量为： ，
∴ 轮后剩余的工作量为： ，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为： ，
∴乙还需要工作的时间为 （小时），
∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 （小时）．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解．
41．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬
A、B、C三种主题大礼包售价之比为 ，销量之比为 ．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文
具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了 ，C主题大礼包
在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题
大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销
售额之比为 ，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的 ，则2月下旬
B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
【答案】
【分析】设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为 ，销量为 ，2月下旬A主题大礼包
减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为 ，根据“2月下旬A主题大礼包减少的
销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的 ”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼
包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答．
【详解】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为 ，销量为 ，2月下旬A主题大
礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为 ，
根据题意，得 ，
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！解得 ，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为 ， ，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程方程是应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．
42．某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的
售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为 ；苹果、橘子、车厘子售
价分别比其进价高 ；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为 ．年前水果店一共
卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、
车厘子售价分别是进价的 、 、 ．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的
苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为 ；则这批水果最后的总利润率为 ．
【答案】
【分析】设苹果、橘子、车厘子进价分别为 ，然后分别表示出降价前和降价后苹果、橘子、车厘
子的售价，设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为 ，年前销售礼盒z个，则年后销售礼
盒 个，根据年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为 ，列出比
例式求出 ，然后分别表示出总成本，年前利润和年后利润即可得到答案．
【详解】解：设苹果、橘子、车厘子进价分别为 ，则降价前苹果、橘子、车厘子的售价分别为
，
∴降价后，苹果、橘子、车厘子的售价分别为 ，
设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为 ，年前销售礼盒z个，则年后销售礼盒 个，
∵年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为 ；∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验： 是方程的解，
∴年前销售礼盒40个，年后销售礼盒10个，
这批水果的总成本为 ，
年前销售利润为
，
年后销售利润为
，
∴总利润率 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，正确设出未知数，根据已知条件求出年前和年后销售礼盒的
数量是解题的关键．
43．已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿
相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果
与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 ．
【答案】 ， ，
【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是 千米/小时，则第二段路程的速度为 千米/小时, 根
据题意建立分式方程解方程即可求解；
（2）分析题意，结合函数图象可知，从 时，两人的距离S随t的增大而增大，当第一次相遇到
小聪停下，S随t的增大而增大，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大．
【详解】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是 千米/小时，则第二段路程的速度为 千米/小时, 根
据题意得，
解得 ，经检验， 是原方程的解，
故答案为：24
第一段路程的速度为 千米/小时
（2）结合函数图象可知，从 时，两人的距离S随t的增大而增大，
小明的速度为 千米/小时
当第一次相遇时，
解得
当第一次相遇到小聪停下，此时 ，
当第二次相遇时，解得
小聪开始骑行第二段路程时的时间为 ，
当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大，此时 ．
当 时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随t的增大而减小，
综上所述， ， ， 时，S随t的增大而增大，
故答案为： ， ，
【点睛】本题考查了分式方程的应用，函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
44．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为 米 的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池
后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试验田的小麦都收获了
．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含 的
式子表示）；
②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多 ，求 的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，
“丰收1号”小麦种植面积为 平方米（ 为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平
方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当 且 为整数时，符合条件的 值为 （直接写出结
果）．
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1)① ； ②2号
(2)14
(3) ， ，
【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．
（1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；
②根据 ，并利用不等式的性质作出比较；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得 的值；
（3）根据题意列出方程，并结合 ，列不等式求解．
理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键．
【详解】（1）解：①由题意，“丰收 号”小麦的试验田的面积为 ，
∴“丰收 号”单位面积产量为 ；
由题意，“丰收 号”单位面积为 ，
∴“丰收 号”单位面积产量为 ．
故答案为： ； ．
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即“丰收 号”小麦的单位面积产量高．
故答案为： 号．
（2）根据题意，得：，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
∴ 的值是 ．
（3）根据题意，得：
，
整理，可得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
又∵ 为正整数，且满足 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴符合条件的 的值为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
45．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同
样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”
模型成本少 ．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25
元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批
模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元
(2)①w与a的函数关系式为 ；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，
最大利润为 元
【分析】（1）等量关系式：320元购进“天宫”模型的数量 元购进“神舟”模型的数量 ，据此列
方程，检验合理性，即可求解；
（2）①总利润 “神舟”模型的利润 “天宫”模型的利润，据此即可求解；
②可求 ，再由一次函数的增减性，从而可求 的最值．
【详解】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个 (元)，
根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型 个，
则
，
与a的函数关系式为 ；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得 ，
， ，
当 时，
（元）；答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润 元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及
不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键．
46．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某
材 同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款
一 雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
某商店的店内广告牌如右图所示．5
素
月，学校花费320元向该商店购得的长
材
管子数量比花200元购得的短管子数量
二
少80根．
素
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型
材
（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
三
问题解决
任
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少
务 分析雪花模型结构
根？
一
任
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材
务 确定采购费用
料采购费．
二
任
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪
务 拟定采购方案
花总数最多．
三
【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长
管子3根，则短管子2根；任务二： ；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管
子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根
长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多
【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子 根，制作一个乙款雪花模型需要
长管子y根，则短管子 根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，
列出方程组，解方程组即可；
任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！要的费用即可；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程
，得出 ，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列
出不等式组 ，求出 ，根据m必须能被3整除，得出 ， ，264，
267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出
长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子 根，制作一个乙款雪花模型
需要长管子y根，则短管子 根，根据题意得：
，
解得： ，
， ，
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则
短管子2根；
任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的根；
∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：
（元）；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得：，
解得： ，
∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
∴ ，
解得： ，
∵m必须能被3整除，
∴ ， ，264，267，
当 时， ，
∵ ，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为 （根），最多为：
（根），
∵ ，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买258根长管子，2130根短管子；
当 时， ，
∵ ，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为 （根），最多为：
（根），
∵ ，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买261根长管子，2125根短管子；
当 时， ，
∵ ，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为 （根），最多为：
（根），
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴此时短管子可以用完，
∴购买264根长管子，2120根短管子；
当 时， ，
∵ ，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为 （根），最多为：
（根），
∵ ，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买267根长管子，2115根短管子；
∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
∴长管子数越多制作的雪花模型越多，
∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不
等关系列出方程或不等式．
47．为落实《健康中国行动（ ）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育
活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元
购买的排球数量相等．
(1)求每个足球和排球的价格；
(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
(3)在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校
决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足
球和排球的方案．
【答案】(1)每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元
(2)本次购买最少花费4500元钱
(3)学校再次购买足球和排球的方案有3个：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个
足球，10个排球
【分析】（1）设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为 元，由题意：用500元购买的足球
数量和400元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球 个，求出 ，再由题意得
，然后由一次函数的性质即可得出结论；
（3）求出学校节约资金1000元，设学校再次购买足球m个，排球n个，再由题意：学校决定将节约下的
资金全部用于再次购买足球和排球，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
【详解】（1）解：设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；
（2）解：设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球 个，
则 ，
解得： ，
由题意得： ，
∵ ，
∴y随a的增大而增大，
∴当 时，y有最小值 ，
答：本次购买最少花费4500元钱；
（3）解：在（2）方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，
∵体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，
∴学校节约资金： （元），
设学校再次购买足球m个，排球n个，
由题意得： ，
整理得： ，
∵m、n都是非负整数，
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ 或 或 ，
∴学校再次购买足球和排球的方案有3个：
①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）正确求出一次函数关系式；（3）找准等
量关系，正确列出二元一次方程．
48．郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多 元，用
元购进足球和 元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为 元，每个排球售价定为
元．
(1)每个足球和排球的进价分别是多少？
(2)根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过 元的资金购进足球和排球共 个，其中足球数
量不低于排球数量的 ，该商店有几种进货方案？
(3) “六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠 元，排球的售价不变．假
定这 个球在“六一”期间能够全部卖完，在 的条件下，请设计出 的不同取值范围内，销售这 个
球获得的总利润最大的进价方案．
【答案】(1)每个足球的进价分别是 元，每个排球的进价分别是 元
(2)该商店有 种进货方案
(3)当 时，购进足球 个，排球 个获得利润最大；当 时， ， ， ， ， ， 获
得利润一样大；当 时，购进足球 个，排球 个获得利润最大．
【分析】（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元，根据用4000元购进足球和2400元
购进排球的数量相同列出方程，姐方程即可；
（2）设商店购买足球a个，则购买排球（40-a）个，根据商店计划用不超过3000元的资金购进足球和排
球共40个，其中足球数量不低于排球数量的 ，列不等式组，解不等式组即可；
（3）根据总利润=足球利润+排球利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值及此时进货方案．
【详解】（1）解：（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元，根据题意得：
，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
∴x+40=60+40=100（元），
答：每个足球的进价分别是100元，每个排球的进价分别是60元；
（2）解：设商店购买足球 个，则购买排球 个，
根据题意得： ，
解得： ，
是正整数，
的取值为 ， ， ， ， ， ，
该商店有 种进货方案；
（3）解：设该商店售完 个球所获得的利润为 元，
由题意得： ，
当 ，即 时， 随 的增大而增大，
当 时， 最大，
此时购进足球 个，排球 个；
当 ，即 时， ，
此时的进货方案为：购进足球 个，排球 个；购进足球 个，排球 个；购进足球 个，排球 个；
购进足球 个，排球 个；购进足球 个，排球 个；购进足球 个，排球 个．
当 ，即 时， 随 的增大而减小，
当 时， 最大，
此时购进足球 个，排球 个．
综上，当 时，购进足球 个，排球 个获得利润最大；当 时， ， ， ， ， ，
获得利润一样大；当 时，购进足球 个，排球 个获得利润最大．
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不
等式和函数关系式．
49．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从
端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点
B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的
情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
(1)【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第
二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相
遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次
迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画
出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．
【答案】(1)①90；②105
(2)①50；② ；图像见解析
【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点
A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为 ，根据题意列函数解析式即可得到结果．
【详解】（1）解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120，
设机器人的甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为 ，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为 ，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为 ，
而 ，
∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时
和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得， ，
解得m=90，
∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度；
②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115，
设机器人的甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为 ，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为 ，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为 ，
而 ，
∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时
和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！根据题意得， ，
解得m=105，
∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度；
（2）解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为 ，
根据题意知， ，
解得x=50，
经检验：x=50是分式方程的根，
即：a=50；
②当 时，点P(50，150)在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y=3x，
当 时，即当 ，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为 ，
根据题意知， ，
∴ ，
即函数解析式为 ，
函数图像如图：
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理
解题意是解题的关键．
50．某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返
于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这
两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，
相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
(1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点
O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；
(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相
遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
【答案】(1)60，80
(2)① ；② ，补全函数图像见解析，标出N（50，50）
(3)0＜x≤8或32≤x≤48
【分析】（1）①根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！b，由所用时间相等得出 ，求出甲从相遇点到B所用的时间为 ，乙从相遇点到点A再返回点B所
用的时间为 ，根据题意列出方程求解即可得；
②解法与①方法类似，求解即可；
（2）①当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为： ，根据题意得出方程求
解可得；
②当 时，点 在线段OM上，设直线的解析式为 ，将点M代入可确定
此段的函数解析式；当 时， ，即当 时，此时第二次相遇点是甲在到点B返
回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为： ，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段
函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可；
（3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，
然后代入不等式求解即可得．
【详解】（1）解：①∵相遇点与点A相距20个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为： 个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则 ，
∴ ，
∴甲从相遇点到B所用的时间为： ，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为： ，
∵ ，
∴甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相
遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：，
解得： ；
②∵相遇点与点A相距40个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为： 个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则 ，
∴ ，
∴甲从相遇点到B所用的时间为： ，
乙从相遇点到点A所用的时间为： ，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为： ，
∵ ，
∴甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y
个单位长度，
根据题意可得：
，
解得： ；
故答案为：60；80；
（2）解：①结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，
则乙的速度为： ，
根据题意可得： ，
解得： ，
72
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！经检验： 是分式方程的解，
∴ ，
故答案为： ；
②当 时，点 在线段OM上，
设直线的解析式为 ，将点M代入可得：
，
解得： ，
∴当 时， ；
当 时， ，
即当 时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，
设设甲的速度为v，则乙的速度为： ，
根据题意可得： ，
化简得： ，
当 时， ，
∴经过点 ，描点，连接即可得出函数图象，
综上可得： ，
函数图象如图所示：（3）解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况：
①如图所示：
由题意可得：
，
化简得： ，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度，
且 ，
解得： ；
②如图所示：
74
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！根据题意可得： ，
化简得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
③如图所示：
根据题意可得： ，
化简得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
综合①②③可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解
题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键．76
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