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专题 09 一次函数实际应用的三种考法
类型一、方案问题问题
例．为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知
两城分别有水泥200吨和300吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20元/吨
和25元/吨；从 城往 两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 乡需要水
泥240吨， 乡需要水泥260吨．
(1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少
总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往
乡的水泥多少吨时总运费最少？
【变式训练1】哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从
伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、
小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥
化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【变式训练2】某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版
费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．
印数a（千册）
彩色（元/张） 2.1 2
黑白（元/张） 0.8 0.5
（1）若印制2千册，则共需多少元？
（2）该校先印制了x千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（ ）千册纪念册，且补
印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同．
①用含x的代数式表示y．
②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？
【变式训练3】某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下
面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
每车限载人数
车型 租金（元/辆）
（人）
商务车 6 300
轿 车 4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为
多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前
往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
类型二、利润问题
例．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓
球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
丘乓球拍（元/套） 45
羽毛球拍（元/套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需
花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购
进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（ ），
羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才
能获利最大？
【变式训练1】为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙
两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金
额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种
产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低
于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额
一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并
为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的
进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不
低于15000元，求a的最大值．
【变式训练2】某电脑经销商，今年二，三月份 型和 型电脑的销售情况，如下表所示：
型（台） 型（台） 利润（元）二月
15 20 4500
份
三月
20 10 3500
份
（1）直接写出每台 型电脑和 型电脑的销售利润分别为____________；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中 型电脑的进货量不超过 型电
脑的2倍．设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元．
①求 与 的关系式；
②该商店购进 型、 型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 型
电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使
这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【变式训练3】今年两会，李克强总理点赞“地摊经济”称，地摊经济、小店经济是就业
岗位的重要来源，鼓励通过线上线下一体销售．据统计，武汉王家湾夜市和虎泉夜市等多
家夜市自五一假期以来，人流量、经济流通收入同比增长 ，服装行业的增长最为迅
速．记者了解到，两家夜市主要服装进货来源是佛山和广州两家服装批发厂，其中某种服
装的进货价格如下：
佛山服装批发
广州服装批发厂
厂
虎泉夜市 15元/件 24元/件
王家湾夜市 18元/件 30元/件
虎泉夜市现需服装 件，王家湾夜市需 件，最多可从佛山服装批发厂调进 件，
剩余的则从广州服装批发厂进货，若虎泉夜市从佛山进货 件，两家夜市的进货总费用为
元．
（1） (括号内写出 的取值范围)；
（2）请你设计一种进货方案使两家夜市的进货总费用最少，并计算此时的最少费用；
（3）六月份开始，广州服装厂与两家夜市签订长期协议，对虎泉夜市进货单价统一降低
元，对王家湾夜市进货单价统一降低 元，其中 ，试求此时两家夜市最少进货总
费用 关于 的函数关系式．
类型三、行程问题例．数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道
上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分
别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是
两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中
为折线段．请结合图像回答下列问题：
(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；
(2)在 时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时
的速度．
①图2中m的值为___________．
②请求出在 时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．
【变式训练1】有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺
次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时
到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y
（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度是______米/分钟；
(2)已知线段 轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①求甲机器人在3～4分钟的这段时间的速度是多少米/分？
②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m时x的值______．
【变式训练2】．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所
示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分
钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间
的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数
关系，请你根据图象信息，解答下列问题：
(1)学校与劳动基地之间的距离为________千米；(2) ________，B点的坐标是________．
(3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通
讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围．
【变式训练3】A， 两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往
地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 地联系． 地收到消息后立即派货车乙从
地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙
上，随后以相同的速度返回B地，两辆货车离开各自出发地的路程 （千米）与时间
（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
货车甲离开 地的时间/ 0.1 0.8 1.6 3
货车甲离开 地的距离/ 5 ________ 80 ________
(2)填空：
①事故地点到 地的距离为________千米；②货车乙出发时的速度是________千米/小时；
③货车乙赶到事故地点时，为____时__分；④货车乙从事故地点返回 地时间为__时__分．
(3)请直接写出货车乙在整个运输过程中的路程 关于时间 的函数解析式．
课后训练
1．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，
已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A、B城往C、D两乡运
肥料的平均费用如下表. 现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨.A城(出) B城(出)
C乡(人) 20元/吨 15元/吨
D乡(人) 25元/吨 30元/吨
（1）A城和B城各多少吨肥料？
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并写出自变
量x的取值范围；
（3）由于更换车型，使B城运往D乡的运费每吨减少a元(a＞0)，其余路线运费不变，若
C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，求a的最大整数值.
2．武胜县白坪—飞龙乡村旅游度假村橙海阳光景点组织 辆汽车装运完 三种脐橙
共 吨到外地销售.按计划， 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须
装满.根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获得（元）
设装运 种脐橙的车辆数为 ，装运 种脐橙的车辆数为 ，求 与 之间的函数关系
式；
如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 辆，那么车辆的安排方案有几种？
设销售利润为 （元），求 与 之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应
采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.
3．甲、乙两地相距200千米，货车从甲地出发，行驶1小时后在途中的丙地出现故障，技
术人员乘轿车以100千米/小时的速度从甲地赶来维修（沟通时间忽略不计）．到达丙地修
好车后以原速原路返回，同时货车改变速度前往乙地．两车距乙地的路程 （千米）与货
车驶时间 （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题．（1）货车出现故障前后的速度分别为______、______千米/小时；
（2）货车在丙地停留了______小时；
（3）求图中线段 的函数关系式：
（4）轿车出发后，又过了______小时，两车相距路程为40千米．
